Fundamental groups of positively curved manifolds

摘要

本文以06年秋季学期戎小春教授于首都师范大学组织的“正曲率，对称群和拓扑”的讨论班上报告的一些内容为基础，简要回顾了其中一研究方向的基本定义与定理，并侧重整理了关于正曲率流形基本群的一些的结果。同时，作者对讨论班上所提出的问题进行了进一步的探究． 本文主要证明的结论是：定理A(Myers定理的逆问题)：“任意一个有限群可作为某一个正Ricci曲率闭流形的基本群”．戎小春教授在他未公开的讲义中提出了关于这个定理证明梗概，在本文中作者通过群扩张的方法，对该定理进行了完整的证明；定理B：“设M是一个具有正截面曲率的闭流形，环群T<'k>(k≥1)等距地作用于M上，φ是M上的一个等距映射，且与T<'k>可交换，则φ保持一个T<'k>的圆轨道．”该定理是戎小春教授关于等距环群作用于正曲率流形研究中的一个重要结果。此结果建立了交换李群作用与正曲率流形基本群的关系．在文章[12]中，戎小春教授证明了流形维数是奇数的情形，并指出了维数是偶数的情形定理亦成立。本文中将给出该定理的一个统—证明．定理C,D和E也是讲义[11]和文章[12]中关于正曲率流形基本群的重要结果。作为研究报告，我们也将给出这三个定理的详细证明。

目录

文摘

英文文摘

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Chapter 0 Introduction

Chapter 1 Proof of Theorem A

1.1 Some algebraic preparations

1.2 Proof of Theorem A

Chapter 2 Proof of Theorem B

2.1 The rank theorem

2.2 Proof of theorem B in a special case

2.3 Proof of theorem B

2.4 A useful corollary

Chapter 3 Proof of Theorem C,D and E

3.1 The Proof of Theorem C

3.2 The Proof of Theorem D

3.3 The Proof of Theorem E

Bibliography

致谢