任意形状の支配領域を考慮した粒子法の定式化と実践

摘要

連続体を基礎とする数値計算法は，支配領域の定義方法と言う視点から捉えると，大きく3つの手法に分類できる．1つ目は，節点と要素により支配領域を定義する有限要素法などの格子法である．支配領域を節点座標で定義することで，その境界形状が明確に定義される．境界値問題に対する適用性が高い手法である．境界が明確である故，物体が極度の大変形を起こした場合に，支配領域の不整合が発生しやすい．2つ目は，物理量を代表点に集約し，支配領域を円または球で定義する粒子法である．円または球を定義する際は，粒子の影響半径を設定する．代表的な手法として，Moving Particle Semi-implicit（MPS）法，Smooth Particle Hydro-dynamics（SPH）法がある．粒子の集合で物体を代表させる手法であり，粒子を多数配置することで境界形状を定義する．粒子法は，初期配置における境界形状が格子法ほど明確でなく，境界値問題の取り扱いは個別処理を要する．一方，大変形下において，初期に定義した影響半径を用い，物理量を補間するため，支配領域の不整合は発生しない．3つ目は，物理量を代表点に集約し，力の釣り合いを空間に固定した計算格子で解く，格子·粒子混成法である．流体解析ではParticle In Cell（PIC）法，Fluid Implicit Particle（FLIP）法，固体解析ではMaterial Point Method（MPM）に代表される手法である．格子·粒子混成法は，粒子の集合で物体を代表させる手法である．多数の粒子を配置することで，支配領域の解像度を上げることに労力を要する．この点は粒子法と同じである．初期配置における境界形状は計算格子に，その境界条件を付与することができるため，境界値問題の取り扱いは粒子法に比べ容易である．この点は格子法の機能を引き継いでいる．前述の通り，格子·粒子混成法は，物理量を粒子に集約し，運動を格子点で解く．粒子と格子点間で物理量の集約·分配には補間関数を用いる．