概漸近安定性に基づく確率Lyapunov安定論

摘要

確率システムに対するLyapunov 安定論は1960 年代に形作られた．特に,Hasminskii やKushner によって提案された確率Lyapunov 関数（SLF: Stochastic Lyapunov Function）は確定システムにおけるLyapunov 関数（DLF: Deterministic Lyapunov Function）に対応するものとして語り継がれ,1990 年代にはFlorchinger の確率漸近安定化問題へ,2000 年代にはDeng et al. やLiu et al. の確率ISS 性（Stochastic Input-to-State Stability）へと発展した．ところで,SLF は,その無限小作用に2 次の偏導関数を含むということ以外に,本当にDLF との違いはないのだろうか．Aubin and Prato やBardi and Cesaroniはこの点に着目し,概漸近安定性（Almost Sure Stability）に基づく概Lyapunov 関数（ALF: Almost Lyapunov Function）を提案した．ALF には従来のSLF に比べてより厳しい条件が課せられるが,Lyapunov 関数のサブレベル集合が不変集合になるという「通常の」Lyapunov 安定性を議論することが可能となる．本稿では,ALF を用いた確定システムの概漸近安定化問題について検討する．また,SLF との違いを明確に示すため,線形乗法ガウス型ホワイトノイズを含む線形確率システムの確率·概漸近安定性についての必要十分条件をそれぞれ導出し,漸近安定でない線形確定システムに線形乗法ノイズを加えた場合,確率漸近安定には成り得ても概漸近安定にはならないことを示す．