时间尺度函数法求解无阻尼达芬方程

摘要

提出了求解无阻尼达芬方程自由振动的新方法一时间尺度函数法.基于高斯-切比雪夫求积公式得到了达芬方程自由振动频率的精确解,消除了后续求解过程中振动频率未知的问题.将自由振动解表述为关于时间尺度函数的简谐函数,代入相轨迹方程导出了时间尺度微分方程,改变了达芬方程的求解途径.应用分离变量法和幂级数展开进行分析,发现达芬方程的时间尺度函数应当包含时间的线性项和周期函数项,进而提出了恰当的时间尺度函数表达式.通过引入求解条件确定了待定系数,得到了无阻尼达芬方程自由振动新解,并证明了该解在平衡点和极限位移点上没有误差.由于没有引入任何与弱非线性相关的近似假设,本方法在强非线性条件下具有高精度,当a=1、ε=100、A=10000时,自由振动位移的最大相对误差仅为0.011％左右.