Hilbert级数对一类三维系统规范形计算的研究

摘要

规范形理论是研究非线性动力系统简化的重要工具。目前，人们已经发展了多种研究规范形的方法，其中利用Hilbert级数的收敛性研究规范形是一个非常优美的方法。2003年Sanders运用谱序列的方法研究了不含参数向量场的唯一规范形问题，极大地减少了规范形的计算量，并说明了该方法的有效性。本文利用Hilbert级数的收敛性，运用同调代数理论与Hilbert级数相结合的方法及新次数函数与多重李括号，研究一类具有三零特征值的三维非线性动力系统的化简及其唯一规范形问题，给出计算规范形的总体框架。首先根据同调代数的理论将同调空间过渡到上同调空间；其次在新次数函数定义下，通过多重李括号作用判断Hilbert级数的收敛性，从而获得系统的唯一规范形。论文还验证当三维非线性动力系统退化为Bogdanov-Takens规范形时与文献结论相一致。这对于深入研究高维规范形的进一步化简及这类系统的周期解分岔、混沌理论有重要的指导意义。