一种粘弹性非线性介电弹性体本构模型的数值模拟方法

摘要

本发明公开一种粘弹性非线性介电弹性体本构模型的数值模拟方法，构建考虑应变硬化效应的介电弹性体自由能函数；根据介电弹性体自由能函数获得介电弹性体超弹性本构模型；基于获得的超弹性本构模型，引入介电弹性体材料的粘弹性，构建介电弹性体的粘‑超弹性本构模型；基于构建的粘‑超弹性本构模型，对以介电弹性体为材料的驱动器或传感器结构进行有限元仿真进行数值模拟，得到介电弹性体结构的机电稳定性和动力学响应，为介电弹性体的结构设计奠定理论基础。本发明为精确计算复杂介电弹性体结构临界失稳电压提供了新的方法，同时也为精确模拟介电弹性体动力学行为提供了可能性。

说明书

技术领域

本发明涉及介电弹性体的本构模型构建和数值模拟领域，特别涉及考虑大变形下应变硬化效应和粘弹性时，基于有限元的粘弹性介电弹性体非线性本构模型的数值模拟方法，为介电弹性体材料的复杂结构设计及临界失稳电压的确定提供重要理论依据和工程应用价值。

背景技术

介电弹性体便是一种典型的电活性软材料，1990年以来被斯坦福研究所研究。介电弹性体因其变形大、重量轻、柔韧、化学和生物相容性能优异等特殊性能，在软材料领域已成为最受欢迎的驱动器。这些独特的特性促进了介质弹性体驱动器的应用，介质弹性体驱动器主要可应用于人工肌肉和软机器人、振动和噪声的主动控制、谐振器等领域。

尽管介电弹性体材料具有上述的众多优点，但是目前仍未进行大规模的实际应用。主要的限制条件为：低电压下电致变形过小难以满足实际需求以及高电压下复杂结构失稳的难以预测等等。那么如何使介电弹性体在满足机电稳定性的条件下拥有足够的变形便成为了目前研究的重点。但是介电弹性体在大变形的应变情况下，显现出非常明显的几何非线性和材料非线性。同时介电弹性体在大部分的工作环境下除了电场力的作用还需考虑到自身的应变以及外部的机械力，因此对于介电弹性体的分析还需考虑到多物理场的耦合。那么对于同时具有非线性和力电耦合的介电弹性体复杂结构计算出解析解将会非常困难。

近年来，随着有限元数值模拟的迅速发展，利用仿真软件解决实际问题的数值方法日渐成熟。对于复杂的力学问题，我们完全可以借助目前成熟的商业有限元分析软件，选用合适的材料，构建对应的模型和边界条件通过有限元的方式获得对应情况下的仿真解。得到仅凭直觉无法观测到的物理现象，增加对于复杂结构力学行为的认知。正是因为这个原因，有限元分析已是研发部门不可或缺的工具。所以如果可以对具有复杂机理的介电弹性体应用有限元分析将可以预测介电弹性体在失稳条件下的临界电压，对于介电弹性体的结构设计将有巨大的工程应用价值。

到目前为止，有限元软件中还没有考虑应变硬化效应和粘弹性的介电弹性体材料，不考虑应变硬化效应的情况下，无法准确计算出介电弹性体结构大变形下满足机电稳定性的临界失稳电压，从而失去有限元精确指导设计的应用价值。而不考虑粘弹性效应的情况下，则使得介电弹性体有限元动力学分析产生缺陷。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种粘弹性非线性介电弹性体本构模型的数值模拟方法，弥补和完善了考虑应变硬化效应和粘弹性介电弹性体材料有限元分析领域的空缺，为精确计算复杂介电弹性体结构临界失稳电压提供了新的方法，同时也为精确模拟介电弹性体动力学行为提供了可能性。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：

一种粘弹性非线性介电弹性体本构模型的数值模拟方法，用于以介电弹性体作为驱动器或传感器原材料的结构设计，实现步骤如下：

第一步：构建考虑应变硬化效应的介电弹性体自由能函数；

第二步：根据介电弹性体自由能函数获得介电弹性体超弹性本构模型；

第三步：基于第二步获得的超弹性本构模型，引入介电弹性体材料的粘弹性，构建介电弹性体的粘-超弹性本构模型；

第四步：基于第三步构建的粘-超弹性本构模型，对以介电弹性体为材料的驱动器或传感器结构进行有限元仿真进行数值模拟，得到介电弹性体结构的机电稳定性和动力学响应，为介电弹性体的结构设计奠定理论基础。

进一步，所述第一步中，构建考虑应变硬化效应的介电弹性体自由能函数为：

其中：F为材料的变形梯度张量，E

进一步，所述第二步中，超弹性本构模型包括如下超弹性应力应变关系和超弹性雅可比矩阵，

其中超弹性应力应变关系为：

其中：σ为应力张量，F为材料的变形梯度张量，J为变形梯度张量F的第三不变量即行列式满足J＝det(F)，

超弹性雅可比矩阵c为：

其中：

进一步，所述第三步中，构建粘-超弹性本构模型包括粘-超弹性应力应变关系和粘-超弹性雅可比矩阵，

粘-超弹性应力应变关系如下：

其中：

粘-超弹性介电弹性体本构的雅可比矩阵

其中：Δt为有限元分析步长，

进一步，所述第四步中，对以介电弹性体为材料的驱动器或传感器结构基于有限元软件的数值模拟过程具体为：

(1)确定粘弹性介电弹性体材料的输入参数，根据实际材料给定材料属性；

(2)为实现有限元分析，完成第三步中粘-超弹性本构模型的有限元离散；

(3)根据介电弹性体实际结构构建对应几何模型，设置边界条件和外部电场载荷；

(4)利用介电弹性体粘-超弹性本构模型，完成粘-超弹性雅可比矩阵更新、粘-超弹性雅可比矩阵应力关系更新，完成有限元仿真；

(5)根据有限元仿真结果获得外部条件下对应应力应变云图，应力-应变随外部电场变化曲线，依照云图和动力学曲线，得到介电弹性体结构的机电稳定性和动力学响应。

本发明和现有技术相比的优点在于：

(1)目前针对于介电弹性体驱动器的研究方法主要为实验和理论分析，实验需要耗费大量的时间和精力，而理论分析大多只能针对于简单构型而对于实际应用中的复杂结构难度较大。本发明解决了目前商用有限元软件中介电弹性体材料本构缺失的问题，弥补和完善了考虑应变硬化效应和粘弹性介电弹性体材料有限元分析领域的空缺。为有限元分析构造的介电弹性体本构模型，一方面考虑了材料粘弹性对本构关系的影响，另一方面考虑了其大变形下明显的应变硬化特性，可更精确的描述介电弹性体的材料特性，增加对于介电弹性体复杂结构行为的认知，对介电弹性体结构的精细化设计有巨大的工程应用价值。

(2)本发明构造了可以更加准确描述介电弹性体材料的自由能函数，考虑了实验中介电弹性体大变形时出现的明显应变硬化现象，选用具有明显应变硬化效应的Gent模型作为介电弹性体材料的拉伸应变能，在描述介电弹性体机电失稳等大变形情况下比其他超弹模型要更加准确。

(3)本发明构建了考虑应变硬化效应的介电弹性体超弹性本构模型。相比于目前已有的本构模型，可以更加准确的描述介电弹性体结构在大变形下的应力应变关系。

(4)本发明构建了介电弹性体的粘-超弹性本构模型。现有的超弹性本构模型无法刻画出介电弹性体实验中出现的蠕变、松弛等现象，在本发明技术方案中基于大变形粘弹性理论，通过张量分析等数学手段，构建了介电弹性体的粘-超弹性本构模型，为实现粘弹性介电弹性体材料的数值模拟提供了理论基础。

(5)本发明为通用有限元软件中的材料属性库提供粘弹性介电弹性体材料，目前通用有限元软件中尚未存在考虑介电弹性体应变硬化效应和粘弹性的材料属性，将导致无法准确计算介电弹性体结构的机电稳定性和动力学响应。

(6)本发明实现以介电弹性体为材料的驱动器或传感器结构的有限元分析。考虑到工程实际问题中介电弹性体驱动器的设计过程往往需要大量的实验，而介电弹性体的理论解大多又只针对于简单构型，无法对于工程实际的问题起到指导作用。通过有限元分析等方式对复杂结构进行数值仿真模拟就可以大大加速研究进程，缩小实验范畴，从而加速研发周期，工程适用性更强。

附图说明

图1为本发明方法的实现流程图；

图2为平面介电弹性体的初始状态示意图；

图3为平面介电弹性体的当前状态示意图；

图4介电弹性体的粘弹性模型；

图5为有预应力下临界状态x，y方向位移云图，左图为x方向位移云图，右图为y方向位移云图；

图6为有限元结果和理论结果对比；

图7为各频率下正弦电压作用下拉伸率随时间变化图，(a)为ωτ＝10下拉伸率随时间变化曲线图，(b)为ωτ＝1下拉伸率随时间变化曲线图，(c)为ωτ＝0.1下拉伸率随时间变化曲线图，其中ω为施加正弦电压频率，τ为介电弹性体松弛时间。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然，所描述的实施例仅为本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域的普通技术人员在不付出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明一种粘弹性非线性介电弹性体本构模型的数值模拟方法，包括以下步骤：

第一步：构建考虑应变硬化效应的介电弹性体自由能函数；

基于理想介电弹性体的假设来确定自由能函数。在理想介电弹性体模型中，介电弹性体的自由能函数

上式中F为材料的变形梯度张量，

其中，detF为材料的变形梯度张量F的行列式，

而材料的真实电场

其中有H

上式中i,m,l均为张量下指标，i,m,l可独立的取1,2,3中的任意数字。

为了描述介电弹性体材料的应变硬化效应，选用Gent模型作为介电弹性体材料的弹性能部分，Gent模型的应变能函数如下：

其中，μ为材料的初始切变模量，D

而J＝det(F)，

综上所述，考虑应变硬化效应的介电弹性体自由能函数可表示为：

第二步：根据介电弹性体自由能函数获得介电弹性体超弹性本构模型；

对于第一步中得到的介电弹性体自由能函数求导可得到，在实际电场

i,j,m均为张量下指标，i,j,m可独立的取1,2,3中的任意数字，其中δ

第2类Piola-Kirchhoff应力S和材料自由能函数W有以下关系：

C＝F

若I

若J

那么有：

则可得到第2类Piola-Kirchhoff应力S为：

进一步计算可得柯西应力σ为：

化简后有：

b＝FF

雅可比矩阵c与第2类Piola-Kirchhoff应力有以下关系：

其中：

综上所述，超弹性本构模型包括如下超弹性应力应变关系和超弹性雅可比矩阵，

其中超弹性应力应变关系为：

超弹性雅可比矩阵c为：

第三步：基于第二步获得的超弹性本构模型，引入介电弹性体材料的粘弹性，构建介电弹性体的粘-超弹性本构模型；

假设材料的瞬时响应服从超弹性本构方程：

对于可压缩材料，

在超弹性材料的参考构型下，利用遗传积分和标准的推前算子，得到了当前构型下的下列方程组：

其中：

i为第i条支路，其中g

超弹理论在时域推广后的本构方程有：

对于材料的雅可比矩阵，考虑到粘弹性的影响将对雅可比矩阵整体乘上一个粘弹性因子

即有考虑了粘弹性效应之后的本构模型材料的雅可比矩阵为：

其中：Δt为有限元分析步长，

综上所述，构建粘-超弹性本构模型包括粘-超弹性应力应变关系和粘-超弹性雅可比矩阵

粘-超弹性应力应变关系如下：

粘-超弹性介电弹性体本构的雅可比矩阵

第四步：基于第三步构建的粘-超弹性本构模型，对以介电弹性体为材料的驱动器或传感器结构进行有限元仿真进行数值模拟，得到介电弹性体结构的机电稳定性和动力学响应，为介电弹性体的结构设计奠定理论基础；

前三个材料参数为Gent模型本身的材料参数分别为初始切变模量，不可压缩参数和极限链限制值。第四个参数为介电弹性体的介电常数，都为材料本身的材料参数。同时由于在UMAT子程序中无法完成对模型施加电场，所以在编写过程中将温度场大小定义为总名义电场大小，将props(5)、props(6)、props(7)分别设为名义电场单位方向向量在x，y，z三个方向的投影大小。通过这种方式对介电弹性体施加名义电场。

同时在编写过程中考虑到预应变对于介电弹性体结构稳定性的影响，为了增加适用性，在材料参数输入中加入三个输入变量对应变形梯度张量中的三个主方向。即下式初始变形梯度张量F

对于介电弹性体材料粘弹性部分的编写，选择双分路的粘弹性本构模型所以粘弹性参数包含g

确定输入参数后，以材料输入参数以及材料的变形梯度张量等变形参数为自变量，根据本构模型中对应方程，可得到对应的应力矩阵和雅可比矩阵，编译用户子程序并完成子程序的正确性验证。

调用用户子程序，完成粘-超弹性雅可比矩阵更新、粘-超弹性雅可比矩阵应力关系更新，完成有限元仿真；根据有限元仿真结果获得外部条件下对应应力应变云图，应力-应变随外部电场变化曲线，依照云图和动力学曲线，得到介电弹性体结构的机电稳定性和动力学响应。

试验例

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对准静态问题中的机电稳定性和正弦电压下动力学响应，以ABAQUS与其UMAT子程序为例，对所提出的基于有限元的数值模拟方法进行验证。之后，为了验证所提出的基于有限元的介电弹性体数值模拟方法，本发明针对介电弹性体平板，做了两个数值仿真算例，一为准静态问题，二为动力学问题。

在准静态问题的实施例中，所有物理量都以归一化后参数表示，归一化名义电场强度为

在动力学问题的实施例中，本发明使用和准静态问题相同的参数。对于面内变形的介电弹性体，为了研究不同频率的正弦电压，本发明求解了具有不同频率值ωτ＝10，ωτ＝1，ωτ＝0.1的自由振动问题。动力学响应的结果如图7中的(a)、(b)、(c)所示，(a)为ωτ＝10下拉伸率随时间变化曲线图，(b)为ωτ＝1下拉伸率随时间变化曲线图，(c)为ωτ＝0.1下拉伸率随时间变化曲线图，其中ω为施加正弦电压频率，τ为介电弹性体松弛时间。从中可以看出，随着松弛时间的下降，阻尼对动力学响应的影响愈发显著。符合理论结果对于介电弹性体正弦电压下的动力学响应曲线，实施例验证了本发明应用于分析介电弹性体动力学响应的可行性和准确性，对介电弹性体结构的精细化设计有巨大的工程应用价值。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于含数值模拟粘弹性介电弹性体的准静态和动力学分析分析领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。