基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法

摘要

本发明公开了一种基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法，属于控制器技术领域，包括如下步骤：构建由分数阶微分方程描述的无控的分数阶对偶拥塞算法；对所述无控算法施加分数阶PID控制器，得到分数阶PID控制器作用下的受控的分数阶对偶拥塞算法；将受控算法等价变换，在平衡点处线性化，得到线性化后的受控算法的特征方程；选取时滞作为分岔参数，通过对线性化后的受控算法的特征方程进行稳定性分析与Hopf分岔分析，通过设置适当的控制器参数，使所述受控的分数阶对偶拥塞算法在平衡点附近局部渐近稳定，提高其稳定范围。本发明所设计的分数阶PID控制器可调节的参数多，实际操作简便易行，控制效果显著，具有较强的适用性。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法，属于控制器技术领域。

背景技术

近年来，尽管有线与无线通信网络处于快速发展之中，但由于网络负载有限，通信网络总是遇到性能瓶颈，并且在资源需求超过容量时，就会发生网络拥塞导致网络性能下降，甚至导致网络通信崩溃。因此探索新的网络拥塞算法以有效地利用所有可用容量，获得更高的带宽、更高的可靠性和更低的延迟是至关重要的。其中对偶拥塞算法受到了广泛的应用，然而该算法的适用性仍有待进一步完善研究。

分数阶计算在系统逼近、系统采样、控制器设计和实现等方面的巨大潜力近年来也引起了广泛的关注。一般来说，在拥塞控制系统中期望保持动力学系统的稳定，并能有更好的性能指标。为此，各种控制策略被采用以将网络拥塞算法的性能提高到期望水平，比如时滞反馈控制、PD控制、状态反馈控制和PI控制等等；又考虑到分数阶分析与PID控制结合的困难性，对于分数阶PID控制的研究更是少之又少。

发明内容

针对上述存在的问题，本发明提供了一种基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法，对分数阶对偶拥塞算法的稳定性与Hopf分岔进行控制，并在控制器作用下讨论保证稳定性及Hopf分岔产生的条件。

本发明为解决上述技术问题采用的技术方案如下：

一种基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

S1、构建由分数阶微分方程描述的无控的分数阶对偶拥塞算法；

S2、对所述无控的分数阶对偶拥塞算法施加分数阶PID控制器，得到分数阶PID控制器作用下的受控的分数阶对偶拥塞算法；

S3、将受控的分数阶对偶拥塞算法等价变换，在平衡点处线性化，得到线性化后的受控的分数阶对偶拥塞算法的特征方程；

S4、选取时滞作为分岔参数，通过对步骤S3得到的线性化后的受控的分数阶对偶拥塞算法的特征方程进行稳定性分析与Hopf分岔分析，通过设置适当的控制器参数，使所述受控的分数阶对偶拥塞算法在平衡点附近局部渐近稳定，提高其稳定范围。

步骤S1中，所述无控的分数阶对偶拥塞算法的数学表达为：

其中p(t)是t时刻链路的带宽使用的单位价格；κ是增益参数；c是瓶颈链路的容量；τ是系统交流时延(τ≥0)；α是分数阶阶次，且α∈(0,1]；x(t)＝D(p(t))＝1/p(t)代表需求函数，并满足D(p(t))≥0和D′(p(t))≤0；

步骤S2中，所述分数阶PID控制器如下：

其中控制器分数阶阶次α∈(0,1]，e(t)＝p(t)-p

将分数阶PID控制器施加到所述无控的分数阶对偶拥塞算法得到的所述受控的分数阶对偶拥塞算法如下：

所述受控的分数阶对偶拥塞算法存在唯一正平衡点p

所述步骤S3中，受控的分数阶对偶拥塞算法的特征方程的得出过程为：

对受控的分数阶对偶拥塞算法进行等价变换，得到等价受控算法为：

所述等价受控算法的平衡点E为(p

对上述等价受控算法在平衡点处进行线性化处理，得出受控算法的特征方程为：

即：

当受控算法无时滞，即τ＝0，且控制器参数满足不等式：-(k

当受控算法有时滞，即τ>0，将s＝iω带入所述受控算法的特征方程中，分离实部虚部可得：

B

B

其中

上式平方相加可得：

ω

其中

定义

令

h(z)＝z

当

其中k＝1,2，j＝0,1,2,…；定义

分岔点是算法从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点特征根对于分岔参数τ的导数在τ

对于所述受控算法的特征方程两边对于τ求导得出:

进一步可得导数的实部为：

即

显然，若满足h′(z

本发明的技术方案能产生以下的技术效果：

1.本发明中所设计的分数阶PID控制器可调节的参数多，具有较强的适用性，同样适用于其他的复杂动力学网络。

2.本发明中所提出的分数阶对偶拥塞算法相对于传统的整数阶算法具有遗传特性与记忆特性，所引入的分数阶对于对偶拥塞算法动力学研究具有重要指导意义。

3.本发明的控制器相较其他控制器，建模时无需算法当前状态值，控制参数可调域大，可调系数多，实际操作简便易行，控制效果显著。

附图说明

图1为本发明所述的方法流程图；

图2为本发明所述的无控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.99，κ＝0.1，c＝10，τ＝0时稳定的波形图；

图3为本发明所述的无控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.99，κ＝0.1，c＝10，τ＝1.5时稳定的波形图；

图4为本发明所述的无控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.99，κ＝0.1，c＝10，τ＝2.0时不稳定的波形图；

图5为本发明所述的受控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.99，κ＝0.1，c＝10，τ＝2.0，k

图6为本发明所述的受控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.8，κ＝0.5，c＝5,τ＝4.0，k

图7为本发明所述的受控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.8，κ＝0.5，c＝5，τ＝4.0，k

图8为本发明所述的受控的分数阶对偶拥塞算法参数为α＝0.8，k＝0.5，c＝5，τ＝4.0，k

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本申请具体实施例及对应的附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。

本实施例中，如图1所示为本发明的基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法的流程图，本实施例所述的基于分数阶对偶拥塞算法的分数阶PID控制器建立方法具体包括如下步骤：

步骤一：构建由分数阶微分方程描述的无控的分数阶对偶拥塞算法

所述无控的分数阶对偶拥塞算法的数学表达为：

其中p(t)是t时刻链路的带宽使用的单位价格；κ是增益参数；c是瓶颈链路的容量；τ是系统交流时延(τ≥0)；α是分数阶阶次，且α∈(0,1]；x(t)＝D(p(t))＝1/p(t)代表需求函数，并满足D(p(t))≥0和D′(p(t))≤0；

步骤二：对所述无控的分数阶对偶拥塞算法施加所设计的分数阶PID控制器，得到分数阶PID控制器作用下的受控的分数阶对偶拥塞算法

所述分数阶PID控制器的表达式为：

其中k

将所设计的分数阶PID控制器施加到上述无控的分数阶对偶拥塞算法得到如下分数阶PID控制器作用下的分数阶对偶拥塞算法：

所述受控的分数阶对偶拥塞算法存在唯一正平衡点p

步骤三：对步骤二所得到的受控的分数阶对偶拥塞算法进行等价变换，在平衡点处线性化，得到线性化后的受控的分数阶对偶拥塞算法的特征方程

对上述式(3)进行等价变换，得到等价受控算法：

该等价受控算法的平衡点为E(p

令y

得出算法(5)的特征方程为：

即

步骤四：选取时滞作为分岔参数，对受控算法进行稳定性分析和Hopf分岔分析

1.当受控算法无时滞(τ＝0)，特征方程(7)可改写为：

讨论上述方程的特征根是否具有负实部。

上述方程的根具有负实部的充要条件为如下的Routh-Hurwitz判据满足：

-(k

因此可得结论一：

a.当控制器参数满足上述这个不等式时，无时滞情况下的算法是稳定的。

2.当受控算法有时滞(τ>0)，将s＝iω带入特征方程(7)中，分离实部虚部可得：

B

B

(10)

其中

上式平方相加可得：

ω

(11)

其中

定义

令

h(z)＝z

(13)

当

其中k＝1,2，j＝0,1,2,…。定义

分岔点是算法从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点特征根对于分岔参数τ的导数在τ

对于特征方程(7)两边对于τ求导得出:

进一步可得导数的实部为：

即

显然，若满足h′(z

b.当时滞选取满足τ∈0,τ

c.当时滞满足τ＝τ

实施例1

下面运用Matlab仿真实例来验证以对本发明做进一步说明：

第一步：选取无控分数阶对偶拥塞算法，其具体数学表达如下：

由计算可得出，上述无控分数阶对偶拥塞算法的分岔点为τ

如图3所示，当选取时滞为τ＝1.5<τ

如图4所示，当选取时滞为τ＝1.6>τ

第二步：将分数阶PID控制器加入上述无控分数阶对偶拥塞算法得到受控算法，其中控制器参数为k

由计算程序可得出，该受控算法的分岔点为τ

如图5所示，当选取时滞为τ＝1.6<τ

控制参数k

因此，通过实施例1的仿真实例验证，证实本发明对于分岔阈值的计算与分析是正确的。通过合理设置控制器的控制参数k

需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者一个操作与另一个实体或者另一个操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或者操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。

上述仅为本发明的优选实施例，并不对本发明起到任何限制作用。任何所属技术领域的技术人员，在不脱离本发明的技术方案的范围内，对本发明揭露的技术方案和技术内容做任何形式的等同替换或修改等变动，均属未脱离本发明的技术方案的内容，仍属于本发明的保护范围之内。