变温场中FGM梁的动力学仿真模型、其建立方法及仿真方法

摘要

本案涉及一种变温场中FGM梁的动力学仿真模型、其建立方法及仿真方法，包括：设定FGM梁的几何参数、材料参数，建立变温场中中心刚体‑FGM梁系统；采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体‑FGM梁系统中的FGM梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场；采用无网格点插值法对FGM梁的大范围旋转变形进行离散；运用第二类Lagrange方程建立中心刚体‑FGM梁系统的一次近似刚‑柔耦合动力学方程，即得变温场中FGM梁的动力学仿真模型；采用Newmark法求解变温场中FGM梁的动力学仿真模型，得到大范围旋转运动的FGM梁的变形示意图。本案的仿真模型和仿真方法具有效率高、精度高的优点。

说明书

技术领域

本发明涉及系统动力学建模领域，具体涉及一种变温场中FGM梁的动力学仿真模型、其建立方法及仿真方法。

背景技术

在工业领域，结构的构件不仅是在常温环境、单一荷载环境下进行运动。众多的结构构件是在高温、高载荷的环境下经历大范围运动，如航空航天领域的航天机械臂。因此航天机械臂的设计时，需要考虑热环境因素及各种复杂荷载的作用。

功能梯度材料(functionally gradient materials，FGM)是两种或多种材料复合且成分和结构呈连续梯度变化的一种新型复合材料，是应现代航天航空工业等高技术领域的需要，为满足在极限环境下能反复地正常工作而发展起来的一种新型功能材料。

现有技术中对中心刚体-功能梯度材料梁系统进行动力学建模，建模时仅考虑横向弯曲变形量、轴向变形量及横向变形引起的轴向缩短量，忽略了温度对系统的影响。也有人采用假设模态法对该系统进行离散，运用第二类拉格朗日方程推到系统动力学方程。但假设模态法基于结构力学中梁小变形假设的振动振型，当柔性机械臂变形较大时，是存在理论缺陷的。

发明内容

本发明的目的是提供一种新的离散模型，以期解决传统离散模型假设模态法在处理大变形问题上的劣势。

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案为：

一种变温场中FGM梁的动力学仿真模型的建立方法，其至少包括：

设定FGM梁的几何参数、材料参数，建立变温场中中心刚体-FGM梁系统；

采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梁系统中的FGM梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场；

采用无网格点插值法对FGM梁的变形场进行离散；

运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梁系统的一次近似刚-柔耦合动力学方程，即得变温场中FGM梁的动力学仿真模型。

优选的是，所述的建立方法，其中，所述FGM梁的几何参数为：梁的长度为l，宽度为b，集中质量为m

其中，角标h表示陶瓷材料，角标t表示金属材料，h为FGM梁的厚度，N为功能梯度指数，y为FGM梁在厚度方向的位置。

优选的是，所述的建立方法，其中：FGM梁上任意一点P的变形后的矢径r及集中质量m

r＝Θ(R+ρ

r

式中，R为中心刚体质心至浮动基的基点的矢径，ρ

FGM梁整体的总动能的表达式为：

不计FGM梁的剪切和扭转效应，因此FGM梁整体的弹性势能表达式为：

式中，ε

优选的是，所述的建立方法，其中：采用无网格点插值法将FGM梁离散成若干个节点，积分背景网格只用于积分的计算，与形函数的形成过程无关。如图3所示，在FGM梁轴上沿x方向将问题域用N个场节点表示，即：

0＝x

FGM梁的轴向和横向位移函数表达式为：

式中，n为计算点支持域内的节点数，Φ

式中，u

式中，H(x)为耦合形函数，其表达式为：

式中，

优选的是，所述的建立方法，其中：运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梁系统的一次近似刚-柔耦合动力学方程，具体是，取广义坐标q＝(θ,A

式中，δε

外驱动力矩所做虚功的表达式为：

上式中，Q

得到：

式中：

M

上式中，双下划线为考虑耦合变形量的高阶项所得到的，单下划线为只考虑耦合变形量的一次项得到的；Sx、S

一种采用如上任一项建立方法所获得的变温场中FGM梁的动力学仿真模型。

一种如上所述的变温场中FGM梁的动力学仿真模型的仿真方法，其采用Newmark法求解变温场中FGM梁的动力学仿真模型，得到大范围旋转运动的FGM梁的变形示意图。

本发明的有益效果是：

1、本发明基于Newmark法对动力学方程进行数值求解，较传统显示积分法四阶龙格库塔法有明显的效率高的优点。

2、本发明采用无网格法进行离散，不依赖于小变形假设，较假设模态法具有更高的精度及更广的适用范围；在处理工程计算问题具有广泛的应用前景，能为相关工作者提供一定的技术支持。

附图说明

为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明基于变温场中FGM梁动力响应的仿真方法流程图。

图2为附加集中质量中心刚体-FGM梁系统的示意图。

图3为无网格法中FGM梁的离散示意图。

图4为不同解耦方法精度纵向变形对比示意图。

图5为不同离散方法求解梁横向弯曲变形示意图，其中，计算时间为20s，15s后进入匀速转动，温度场形式为T＝0-0K。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

此外，下面所描述的本发明不同实施方式中所涉及的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互结合。

结合图1-5，一种变温场中FGM梁的动力学仿真模型的建立方法，其至少包括：

设定FGM梁的几何参数、材料参数，建立变温场中中心刚体-FGM梁系统；

采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梁系统中的FGM梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场；

采用无网格点插值法对FGM梁的大范围旋转变形进行离散；

运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梁系统的一次近似刚-柔耦合动力学方程，即得变温场中FGM梁的动力学仿真模型。

FGM梁的几何参数为：梁的长度为l，宽度为b，集中质量为m

采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梁系统中的FGM梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场；FGM梁上任意一点P的变形后的矢径及集中质量m

r＝Θ(R+ρ

r

式中，Θ为浮动基相对于惯性坐标系的法向余弦矩阵，变形矢量u、变形矢量u

u＝(u

u

u

u

u

u

式中：w

J

功能梯度材料梁上任意一点的线应变ε

不计功能梯度材料梁的剪切和扭转效应，因此系统的弹性势能表达式为：

采用无网格点插值法对FGM梁的大范围旋转变形进行离散，取纵向和横向位移函数为：

式中，Φ

式中，H(x)为耦合形函数，其表达式为：

取广义坐标q＝(θ,A

式中，σ

外驱动力矩所做虚工的表达式为：

上式中，Q

式中：

M

相应的常系数矩阵如下：

Y＝∫

实施例1

本发明实施案例公开了一种基于变温场中FGM梁动力响应的计算方法，具体方法如下：

步骤1、设定中心刚体-刚柔耦合系统几何参数，建立如图2的变温场中附加集中质量中心刚体-FGM梁系统；本实施例的FGM以金属/陶瓷复合材料为例，陶瓷和金属的导热系数与热膨胀系数分别取K

表1

步骤2、采用混合坐标法在浮动坐标系中描述中心刚体-FGM梁系统中的FGM梁上任一点作大范围旋转运动变形的位移场；

步骤3、采用假设模态法(对比例)、无网格点插值法对FGM梁的大范围旋转变形进行离散；

步骤4、运用第二类Lagrange方程建立中心刚体-FGM梁系统的一次近似刚-柔耦合动力学方程；

步骤5、采用四阶龙格库塔法(对比例)、Newmark法求解一次近似-刚柔耦合动力学方程，比较不同求解方法的精度与计算效率，输出大范围旋转运动的FGM梁的变形示意图。

表2为不同数值方法时间对比示意图(T＝10-10K)，从表2可以看出，Newmark方法计算效率比4阶龙格库塔法高很多，这是由时间步长导致的，隐式方法如Newmark法等可以将时间步长取的远远大于显式方法，4阶龙格库塔法时间步只有小于其临界时间步长才能得到收敛解，而临界步长往往很小，因而计算效率较低。

表2

从图4可以看出，对于显式4阶龙格库塔法，时间步长应尽可能小才能获得收敛解，而隐式Newmark方法，时间步长较大时就可获得收敛解，且缩小时间步长并不会提高精度。

从图5可以看出，梁的最大变形超过了3m，对于长为5m的梁而言属于变形较大的情形，在同样的计算条件下，无网格点插值法仿真结果收敛，而假设模态法很快发散，说明源于结构力学中固有振型的假设模态法，适用范围仅局限于小变形情况，并不适用于变形较大的问题。

本案实施例1虽然以金属/陶瓷复合材料为例，但本案的仿真模型及仿真方法，完全可以适用于包括但不限于非金属/陶瓷复合材料、金属/非金属复合材料、陶瓷/陶瓷复合材料等等。

尽管本发明的实施方案已公开如上，但其并不仅仅限于说明书和实施方式中所列运用，它完全可以被适用于各种适合本发明的领域，对于熟悉本领域的人员而言，可容易地实现另外的修改，因此在不背离权利要求及等同范围所限定的一般概念下，本发明并不限于特定的细节和这里示出与描述的图例。