一种考虑分布参数不确定性的机械产品结构失效优化方法

摘要

本发明公开了一种考虑分布参数不确定性的机械产品结构失效优化方法。包括对分布参数和输入变量分别进行抽样；计算分布参数样本点的失效概率；建立初始的试验设计DOE样本和建立初始的kriging代理模型；对试验设计DOE样本和kriging代理模型不断进行迭代更新；判断是否达到停止条件；根据最终更新的kriging代理模型计算得到失效概率预测值的均值和方差，根据均值和方差对变异系数进行判断，并对机械产品结构进行判断和优化。本发明根据最终输出的失效概率的统计矩可以判断该机械产品结构是否失效，为机械产品的生产提供了有效的保障；可在有限的试验数据下，通过本发明的方法进行计算并判断机械产品结构是否失效，大大节省了计算时间和计算成本。

说明书

技术领域

本发明属于分布参数不确定性的失效优化方法，具体涉及一种考虑分布参数不确定性的机械产品结构失效优化方法。

技术背景

不确定性因素广泛存在工程问题中，如机械产品所处环境的变化引起的受力、材料特性变化，设备在加工过程中的加工精度、装配过程的形位公差等造成设备的尺寸变化等。不确定性因素的存在往往对机械产品的安全稳定运行造成威胁，影响设备的可靠性，甚至使设备发生故障。机械产品结构参数的不确定性可以通过实验测试或工程经验而明确给出其概率分布情况，一般采用概率模型来描述，该模型中基本随机变量的分布参数是确定值。利用概率方法，需要大量的不确定性信息来构造精确的随机分布。然而实际上由于试验数据的限制不能计算精确的概率模型的分布参数，因此将这种情况下的机械产品结构参数描述为分布参数不确定性变量。

机械产品中变量分布参数的不确定性将会导致计算失效概率的过程存在不确定性，从而对可靠性设计优化的结果有着重要的影响，为了实现分布参数不确定性变量的失效概率计算，提高机械的可靠性，人们提出了一系列的方法来解决分布参数不确定性变量的结构可靠性优化设计问题。其可靠性分析方法主要分为以下两类：解析法和仿真法。涉及解析法的研究主要有：吕震宙等人于 2011年在《机械强度》的论文“不确定性分布参数情况下可靠性特征值分析模型及其点估计求解方法”中建立了基于特征值分析的可靠性模型，并采用点估计法求解分布参数不确定情况下的可靠性指标。Noh等人于2011年在《StructMultidisc Optim》的论文“Reliability-based design optimization with confidencelevel under input model uncertainty due to limited test data”通过贝叶斯方法识别变量的累计概率密度函数，采用基于MPP的降维法来估计失效概率，大大提高了失效概率的估计精度。Moon等人于2018年在《Struct Multidisc Optim》的论文“Confidence-basedreliability assessment considering limited numbers of both input and outputtest data”中通过建立分层贝叶斯模型，得到了可靠性的不确定性分布。利用可靠性的不确定性分布确定目标置信度的可靠性值是基于置信度的可靠性。张卫红等人于2020年在《Struct Multidisc Optim》的论文"Bayes theorem-based and copula-basedestimation for failure probability function"中使用贝叶斯法进行了考虑分布参数不确定性的失效概率计算。

涉及仿真法的研究有：Cho等人于2016年在《Struct Multidisc Optim》的论文“Conservative reliability-based design optimization method with insufficientinput data”中通过蒙特卡洛仿真获得分布参数未知情况下POF的概率分布和计算用户指定的POF值的概率(POF是一种关于输入分布参数和分布类型的函数)。 McFarland等人于2020年在《Reliability Engineering&System Safety》的论文“A Monte Carlo frameworkfor probabilistic analysis and variance decomposition with distributionparameter uncertainty”中在MCS法的基础上进行了考虑分布参数不确定性的不确定性传播分析及敏感度计算。

现有的解析法和仿真法虽然能精确地计算分布参数不确定性情况下的失效概率，但是存在以下缺点：(1)在高度非线性和多个失效模式的情况下，FORM 和SORM虽然也能够进行近似计算，但对于非线性较大的结构，求解误差相对较大，有时会出现计算不收敛的现象，导致不准确的结果；(2)分布参数不确定的概率模型涉及双层采样，存在双层耦合的情况，采样这些方法计算复杂且耗时，效率低下；(3)这些方法很难应用于隐式的性能函数，虽然可利用蒙特卡罗法来求解此类问题，但由于需要成千上万次的模拟，计算效率很低。在实际工程应用中很难实现。

发明内容

本发明的技术方案是：方法包含以下步骤：

1)采用正态分布随机抽样函数对来源于传感器采集或者仪器检测获得的机械产品结构参数的分布参数进行抽样，获得服从正态分布的分布参数样本θ，θ＝{θ

所述的分布参数通常用于描述机械产品结构参数的分布参数，分布参数为输入变量X的概率模型中的分布参数，输入变量X为机械产品结构的不确定性参数。输入变量X可以是为机械产品的结构尺寸、结构外荷载和材料弹性模参数等。

2)根据蒙特卡洛方法计算获得S个分布参数样本点的失效概率P

3)从总样本数为S的分布参数样本θ中抽取M个分布参数样本点，把抽取的每个分布参数样本点以及各自的失效概率作为一组样本得到M组样本，把M 组样本作为初始的试验设计DOE样本，根据初始的试验设计DOE样本采用建模软件中的工具箱中的Dacefit函数建立初始的kriging代理模型；

4)根据kriging代理模型分别计算得到S个分布参数样本点的失效概率预测值，再根据S个分布参数样本点的失效概率预测值计算得到失效概率预测值的均值和方差，然后计算每个分布参数样本点的失效概率预测值与步骤2)得到的各自的失效概率P

5)根据得到的失效概率预测值、失效概率预测值的均值和方差，先采用学习函数得到抽取的M个分布参数样本点的学习函数值H(q)，并将学习函数值 H(q)最小值对应的分布参数样本点作为初始分布参数样本点q

6)判断是否满足停止条件：

若满足停止条件，则停止更新实验设计DOE样本，把步骤5)最后更新得到的kriging代理模型作为最终的kriging代理模型，并进行下一步；

若不满足停止条件，则根据更新的kriging代理模型计算得到S个分布参数样本点的失效概率预测值，得到S个分布参数样本点的失效概率预测值，再根据S个分布参数样本点的失效概率预测值计算得到失效概率预测值的均值和方差，然后重复步骤5)直至满足停止条件或达到最大迭代次数，即迭代次数的序数z最大为(S-M)，其中，当达到最大迭代次数(S-M)时，将(S-M)次迭代更新得到的kriging代理模型作为最终的kriging代理模型，然后进行下一步；

7)根据最终的kriging代理模型，计算每个分布参数样本点q＝q

8)根据步骤7)得到的失效概率预测值的均值计算失效概率的变异系数

若变异系数

若变异系数

9)根据最终得到的机械产品结构的失效概率预测值的均值和失效概率预测值的方差进行以下判断：

若失效概率预测值的均值和失效概率预测值的方差均小于等于各自设定的阈值，则说明机械产品结构可靠；

若失效概率预测值的均值和失效概率预测值的方差至少其中一个大于各自设定的阈值，则说明机械产品结构失效，不符合设计要求，需要重新设计。

所述步骤2)，具体为：

将输入变量样本X的样本点

式中，I(·)是一个指示函数，

所述步骤5)中，采用以下公式计算学习函数值H(θ

式中，P

所述步骤6)，停止条件的判断具体为：

以相邻两次迭代的最优分布参数样本点之间的欧式距离ε判断更新后的 kriging代理模型在第z次迭代时的预测精度是否满足设定的精度要求，采用以下公式计算相邻两次迭代的最优分布参数样本点之间的欧式距离ε：

ε＝||θ

式中，q

计算得到欧式距离ε后，对欧式距离ε进行以下判断：

当欧式距离ε≤0.05时，满足停止条件；

当欧式距离ε＞0.05时，不满足停止条件。

所述步骤8)中，变异系数采用以下公式计算：

式中，

本发明的有益效果：

本发明考虑机械产品结构参数的分布参数的不确定性，建立了一个基于 FP-DP代理模型的失效概率计算框架，该计算框架的输入为分布参数，输出为失效概率预测值的统计矩(均值和方差)，根据最终输出的失效概率的统计矩可以判断该机械产品结构是否失效，为机械产品的生产提供了有效的保障；在实际生产中，若每生产一个机械产品进行一次失效判断，所花费的时间成本和金钱成本巨大，本发明可在有限的试验数据下，通过建立FP-DP代理模型，获得机械产品结构的失效概率预测值的统计矩，从而判断该机械产品结构是否失效，大大节省了计算时间和计算成本。

附图说明

图1是初始代理模型中分布参数与失效概率的映射关系；

图2是本发明的流程图；

图3是蒙特卡洛法得到的等高线图；

图4是增加15个更新点后的预测模型等高线图；

图5是更新完成后预测模型的等高线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施例对本发明做进一步的说明。以下实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应该理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

实施例：

本实施例以齿轮机构为例，已知齿轮机构受到外力载荷A和外力载荷B的作用，外力载荷A与外力载荷B均服从正态分布，即X

G(X)＝4-X

本实施例设定的齿轮机构失效概率的均值阈值为0.9，齿轮机构失效概率的均值阈值为0.5。本实施例涉及两个独立的输入变量，且输入变量服从正态分布，其中输入变量的分布参数为不确定性随机变量，也是服从正态分布的。表1给出了输入数据的信息。

表1输入数据的分布信息

根据以上输入信息，采用本发明的计算方法，该实例的失效概率计算步骤如下：

(1)分布参数θ

本实例中两个输入变量的分布参数θ

在分布参数样本矩阵A和B的条件下，输入变量X

(2)计算分布参数样本θ的失效概率；

将输入变量X

式中，I(·)是一个指示函数，

(3)定义初始试验设计(design of experience)(DOE)，并建立初始kriging 代理模型；

分别从分布参数样本矩阵A

(4)对kriging代理模型进行预测估计，得到失效概率预测值和失效概率预测值的均值和方差；

根据建立的初始kriging模型，采用建模软件工具箱中的predictor函数计算 S个分布参数样本点对应的失效概率预测值

(5)计算学习函数并找到最优分布参数样本点q

先采用学习函数得到抽取的M个分布参数样本点的学习函数值H(q

式中，P

(6)判断是否满足停止准则；

若满足停止条件，则停止更新实验设计DOE样本，把步骤5)最后更新得到的kriging代理模型作为最终的kriging代理模型，并进行下一步；

若不满足停止条件，则根据更新的kriging代理模型计算得到S个分布参数样本点的失效概率预测值，得到S个分布参数样本点的失效概率预测值，再根据S个分布参数样本点的失效概率预测值计算得到失效概率预测值的均值和方差，然后重复步骤5)直至满足停止条件或达到最大迭代次数，即迭代次数的序数z最大为(S-M)，其中，当达到最大迭代次数(S-M)时，将(S-M)次迭代更新得到的kriging代理模型作为最终的kriging代理模型，然后进行下一步；

具体是：以相邻两次迭代的最优分布参数样本点之间的欧式距离ε判断更新后的kriging代理模型在第z次迭代时的预测精度是否满足设定的精度要求，采用以下公式计算相邻两次迭代的最优分布参数样本点之间的欧式距离ε：

ε＝||q

式中，q

计算得到欧式距离ε后，对欧式距离ε进行以下判断：

当欧式距离ε≤0.05时，满足停止条件；

当欧式距离ε＞0.05时，不满足停止条件。

(7)计算分布参数不确定性下输入变量X的失效概率预测值的均值和方差；

利用最终更新的kriging代理模型获得不同分布参数

(8)失效概率变异系数的计算；

根据步骤7)得到的失效概率预测值的均值计算失效概率的变异系数，并对变异系数进行判断：

若变异系数，则回到步骤3)从分布参数样本的总样本数S中重新抽取M 个分布参数样本点，重复步骤3)-步骤7)直至满足；

若变异系数，则结束计算，说明步骤7)中的计算结果准确，并将步骤7) 计算得到的失效概率预测值的均值和方差分别作为机械产品结构的失效概率预测值的均值和失效概率预测值的方差。

变异系数采用以下公式计算：

式中，

(9)判断齿轮机构是否失效；

若失效概率预测值的均值和失效概率预测值的方差均小于等于各自设定的阈值，则说明齿轮机构可靠；

若失效概率预测值的均值和失效概率预测值的方差至少其中一个大于各自设定的阈值，则说明齿轮机构失效，不符合设计要求，需要重新设计。

本发明一种考虑分布参数不确定性的机械产品结构失效优化方法，该方法首先建立了一个失效概率关于分布参数的kriging代理模型(FP-DP模型)，用于替代失效概率的计算函数，并针对该模型提出了一个新的学习准则，在每次迭代时自适应地添加最佳的新训练样本，还提出了相应的停止条件来终止该算法，这使得所提出的方法能够有效地计算分布参数不确定情况下的失效概率的均值和方差。

通过对分布参数不确定情况下失效概率的分析计算发现，失效概率的计算公式是关于分布参数的一个表达式，该表达式很难直接计算得出，因此本发明建立了一种替代失效概率计算函数的代理模型(A model of failure probability with respect todistribution parameters，简称为FP-DP模型)，大大提高了可靠性分析的速度。FP-DP代理模型中分布参数与失效概率的映射关系如图1。

步骤5)的更新准则，具体公式推导如下：

针对本发明提出的FP-DP模型，考虑到了失效概率在目标失效概率处的分类特征，在优化设计中只需要判断失效概率是否大于目标失效概率。结合这一特点，本发明提出了一种针对FP-DP模型的更新准则。更新过程中所增加的训练样本点更新样本点的位置要求有(1)在目标失效概率附近进行采样，提高kriging代理模型在目标失效概率附近的精度；(2)对失效概率计算贡献很大的位置进行加点，即在失效概率预测值

a(q)表示局部发掘项，在a(q)的最小值处进行加点，使得新增样本点靠近目标失效概率P

其中，P

综上所述，本文提出的学习函数具体表达式如下：

q

其中，最佳新增样本点q

该实例的计算结果如表2。表2对蒙特卡洛法和所提出的方法的结果进行了比较，总结了每种方法得到的失效概率的均值

表2失效概率的均值和方差

为了更加清晰地说明代理模型的构建过程中更新准则选取更新点的过程。利用蒙特卡洛法大量采样得到的分布参数与失效概率函数的等高线图，作为准确的对比结果，如图3。所提出的方法的采样过程如图4、图5所示，图4为增加15个更新点后的预测模型等高线图，图5为模型更新完成后预测模型的等高线图，“星星”表示增加的新的训练样本。可以看出大量新的训练样本点落在目标失效概率的等高线附近，通过对比构建完成后的模型等高线图，如图5所示，和蒙特卡洛法得到的等高线图如图3所示，可以看出二者的等高线图基本拟合，说明所提出方法构建的代理模型精度较高，可以有效提高计算的精度和效率。