一种基于双四元数的电磁矢量传感器阵列角度估计方法

摘要

本发明公开了一种基于双四元数的电磁矢量传感器阵列角度估计方法，在四元数模型的基础上引入双四元数，建立时域的三正交电偶极子传感器阵列模型。有效保留阵元电偶极子之间的正交信息，并且四元数之间的正交比矢量正交有着更强的约束性，能够实现更好的测角性能。通过双四元数多重信号分类法BQ‑MUSIC，进行波达角度估计，在极化参数先验的情况下，通过BQ‑MUSIC实现了比LV‑MUSIC更好的测角性能，降低了运算量的同时提高了相关噪声鲁棒性。此外，双四元数方法不仅仅是在二分量传感器四元数模型基础上扩展了一个分量，还具备解决四元数模型其他问题的潜力。

说明书

技术领域

本发明涉及矢量传感器信号处理领域，特别是一种基于双四元数的电磁矢量传感器阵列角度估计方法。

背景技术

一个完整的电磁矢量传感器由三个电偶极子和三个磁环组成，其中电偶极子之间、磁环之间在空间上是相互正交的。电磁矢量传感器阵列(又称极化敏感阵列)不仅能够像标量阵一样，通过阵元间的相位差获取空域信息，还能够获取包含在极化导向矢量中的方向信息。长矢量(long vector，LV)方法是一种经典的矢量传感器信号处理方法，该方法将每个传感器多个输出分量直接排列在一起，形成一个列向量，具备实现简单，意义明确等优点。但是这种排列方法只是简单的将输出分量‘堆砌’在一起，完全舍弃了阵元的各个分量之间内在的正交约束关系。四元数作为复数的延伸，因其本身具备严格的正交性，自然被引入了电磁矢量传感器阵列信号处理中，而且四元数方法还具备运算量小，噪声鲁棒性强等优点。Bulow和Sommer最早将超复数工具引入阵列的信号处理中。Bihan和Mirson等研究了总结和阐述了四元数的基本运算并应用同构性质解决了四元数矩阵的奇异值分解问题，扫除了四元数应用于阵列信号处理时的数学障碍。Bihan和Mirson等还建立了二分量电磁矢量传感器的均匀线阵频域模型，并论证了应用四元数进行矢量传感器DOA可行性。随后二人在该模型的基础上，利用四元数多重信号分类法(Quaternion MUSIC，Q-MUSIC)实现了空域和极化域的双重估计，并且着重说明了四元数正交比长矢量正交有着更加严格的约束条件，这也是四元数模型比长矢量模型估计性能优越的重要原因。Bihan和Mirson等还针对三分量的矢量传感器阵列建立了双四元数模型。但二人所创建的模型都是建立在频域之上，存在物理意义不明确的问题。相对的，四元数时域模型被广泛研究，并且得益于相对清晰的物理含义，其改进算法得到了很大发展。XIAOFENG等从麦克斯韦方程组的角度出发，推导出了完整的电磁矢量传感器的双四元数时域信号模型，但是由于没有利用传统的极化域导向矢量导致移植困难，难以推广。

发明内容

本发明的目的是要提供一种基于双四元数的电磁矢量传感器阵列角度估计方法，具有更好的测角性能，降低了运算量的同时提高了相关噪声鲁棒性。

为达到上述目的，本发明是按照以下技术方案实施的：

一种基于双四元数的电磁矢量传感器阵列角度估计方法，包括以下步骤：

S1、在四元数模型的基础上引入双四元数，建立时域的三正交电偶极子传感器阵列模型；

S2、通过双四元数多重信号分类法BQ-MUSIC进行波达角度估计。

进一步地，所述S1具体包括：

S101、以

双四元数

q

其中，i，j，k是四元数的三个虚单位，

四元数虚单位与复数虚单位可交换，即：

ij＝-ji＝k，jk＝-kj＝i，ki＝-ik＝j，ki＝-ik＝j，iI＝Ii，jI＝Ij，kI＝Ik (2)；

双四元数共轭定义为：

双四元数的模定义为：

双四元数矩阵

如果矩阵B为Hermitian矩阵，那么矩阵γ

其中，

其中，

以上得到双四元数Hermitian矩阵的特征分解结果D和U

S102、假设空间中存在L个独立的远场完全极化波，则矢量传感器接收到的第l个信源的极化域导向矢量为：

其中

为充分表征各个分量之间存在着的正交关系，将三个分量分别安排在四元数的i，j，k三个虚部中。该极化域导向矢量就可以用一个实部为0的纯双四元数表示为：

结合阵元之间的空间相移，得到整体极化敏感阵列的接收数据矢量为：

式中，

其中d为阵元间距，λ为电磁波波长；

式中，

其中n

由此得到极化敏感阵列双四元数形式的接收数据矢量X(t)，且其中每个元素的实部都是0。

进一步地，所述S2具体包括：

双四元数接收数据的协方差矩阵为：

其中，

其中，I

其中，∑s是由L个大特征值组成的对角阵，∑

通过有限次快拍数据对协方差矩阵R

其中，K为快拍次数；

由于信号的方向信息被包含在

进一步地，还包括S3，所述S3的具体包括：

在双四元数域内，利用式(14)将第m个阵元的噪声协方差R

式(22)中，实部部分保留了传感器噪声分量的自相关，虚部部分是噪声分量间的互相关差值；当传感器上的电偶极子接收到的噪声互不相关时，式(22)只保留标量部分，得到阵列的协方差矩阵为式(16)；当存在相关的噪声分量或复噪声的实部虚部相关时，三个虚部系数的减式在一定程度上减小噪声相关性的影响，降低相关噪声下的估计性能损失。

与现有技术相比，本发明在四元数模型的基础上引入双四元数，建立时域的三正交电偶极子传感器阵列模型。有效保留阵元电偶极子之间的正交信息，并且四元数之间的正交比矢量正交有着更强的约束性，能够实现更好的测角性能。通过双四元数多重信号分类法BQ-MUSIC，进行波达角度估计，在极化参数先验的情况下，通过BQ-MUSIC实现了比LV-MUSIC更好的测角性能，降低了运算量的同时提高了相关噪声鲁棒性。此外，双四元数方法不仅仅是在二分量传感器四元数模型基础上扩展了一个分量，还具备解决四元数模型其他问题的潜力。

附图说明

图1为仿真实例中仿真实验1中获得的时域BQ-MUSIC的谱峰搜索结果。

图2为仿真实例中仿真实验1中获得的时域LV-MUSIC的谱峰搜索结果。

图3为仿真实例中仿真实验2中相关噪声的BQ-MUSIC空间谱俯视图。

图4为仿真实例中仿真实验2中相关噪声的LV-MUSIC空间谱俯视图。

图5为仿真实例中仿真实验3中BQ-MUSIC算法与LV-MUSIC算法对信号空域估计的均方根误差和信噪比的关系图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步的详细说明。此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并不用于限定发明。

本实施例具体公开了一种基于双四元数的电磁矢量传感器阵列角度估计方法，包括以下步骤：

在四元数模型的基础上引入双四元数，建立时域的三正交电偶极子传感器阵列模型：

以

双四元数和四元数都是由Hamiltion发现的，不同的是双四元数虚部和实部的系数从实数域扩展到了复数域，因此双四元数

q

其中，i，j，k是四元数的三个虚单位，

在双四元数运算中，四元数虚单位之间的乘法同样不可交换，但四元数虚单位与复数虚单位可交换，即：

ij＝-ji＝k，jk＝-kj＝i，ki＝-ik＝j，ki＝-ik＝j，iI＝Ii，jI＝Ij，kI＝Ik (2)；

双四元数共轭定义为：

双四元数的模定义为：

四元数矩阵的特征值和特征向量一般通过同构的复数域伴随矩阵得到，双四元数矩阵的分解也遵循这一思路。双四元数矩阵

如果矩阵B为Hermitian矩阵，那么矩阵γ

其中，

其中，

以上得到双四元数Hermitian矩阵的特征分解结果D和U

假设空间中存在L个独立的远场完全极化波，则矢量传感器接收到的第l个信源的极化域导向矢量为：

其中

为充分表征各个分量之间存在着的正交关系，将三个分量分别安排在四元数的i，j，k三个虚部中。该极化域导向矢量就可以用一个实部为0的纯双四元数表示为：

这种表示方法既包含了方向和极化信息，同时保留了矢量传感器固有的，被长矢量方法丢弃掉的正交信息。结合阵元之间的空间相移，得到整体极化敏感阵列的接收数据矢量为：

式中，

其中d为阵元间距，λ为电磁波波长；

式中，

其中n

由此得到极化敏感阵列双四元数形式的接收数据矢量X(t)，且其中每个元素的实部都是0。

通过双四元数多重信号分类法BQ-MUSIC进行波达角度估计：

双四元数接收数据的协方差矩阵为：

其中，R

其中，I

其中，∑s是由L个大特征值组成的对角阵，∑

通过有限次快拍数据对协方差矩阵R

其中，K为快拍次数；

由于信号的方向信息被包含在

需要强调的是，相较于LV

长矢量算法中，接收数据矩阵被表示为：

X＝[X

其中，

在双四元数域内，利用式(14)将第m个阵元的噪声协方差R

式(22)中，实部部分保留了传感器噪声分量的自相关，虚部部分是噪声分量间的互相关差值；当传感器上的电偶极子接收到的噪声互不相关时，式(22)只保留标量部分，得到阵列的协方差矩阵为式(16)；当存在相关的噪声分量或复噪声的实部虚部相关时，三个虚部系数的减式在一定程度上减小噪声相关性的影响，降低相关噪声下的估计性能损失。

仿真实例

为了验证本发明的可行性，分别进行以下实验：

仿真实验1：为同时估计方位角和俯仰角，实验采用L型极化敏感阵列，阵元数为10，即在x轴和y轴上各放置5个三正交电偶极子阵元，阵元间距取半波长。将本文所提算法时域BQ-MUSIC算法与LV-MUSIC算法作比较。假设空间中存在两个独立不相干的信源，从远场以不同方向入射到阵列上，入射角度为

比较两者的空间谱，BQ-MUSIC的空间谱具有两个明显的谱峰，且两个主瓣的峰值都在20dB左右。在LV-MUSIC的空间谱中，谱峰1的峰值没有达到20dB，谱峰2不够明显。从以上的比较中可以发现，本文中提出的时域BQ-MUSIC算法能够更好地从空域中分辨两个信源，这种差距本质上是电偶极子之间的正交信息被充分表征的结果。

仿真实验2：保持实验1中的实验条件不变，只将矢量传感器内部噪声改变为相干噪声，同时保持信噪比不变，重复实验1得到两种算法的空间谱俯视图。如图3和图4所示，通过比较可以发现，虽然两种算法在相关噪声下的性能有所下降，但是BQ-MUSIC的效果仍然远好于LV-MUSIC。原因在于式(22)中虚部部分的减式降低了互相关，实现了类似噪声‘白化’的效果，减小了相关噪声场合下的估计性能损失。

仿真实验3：由于专用的双四元数电路尚未得到开发，仿真时要耗费大量的资源，导致实验耗时较长，不适合以二维谱峰搜索的方式进行蒙特卡洛仿真实验。故实验3采用6阵元的均匀线阵极化敏感阵列，进行一维谱峰搜索。信源入射角度θ＝15°，极化参数与实验1相同，设置快拍数为512，通过500次蒙特卡罗实验，给出了两种算法对信号空域估计的均方根误差和信噪比的关系如图5所示。均方根误差定义为

由图5可知，在较低的信噪比下，本文提出的时域BQ-MUSIC算法性能始终优于LV-MUSIC。伴随着信噪比增加，二者估计误差越来越小，最终十分接近信源的真实入射角度。

由上述仿真实例可知，在极化参数先验的情况下，通过BQ-MUSIC实现了比LV-MUSIC更好的测角性能，降低了运算量的同时提高了相关噪声鲁棒性。即验证了本发明的可行性。

本发明的技术方案不限于上述具体实施例的限制，凡是根据本发明的技术方案做出的技术变形，均落入本发明的保护范围之内。