一种OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法

摘要

本发明公开了一种基于子载波排序和XOR运算的OFDM系统物理层安全传输方法，利用已知的信道状态信息，将各个子载波按照其信道质量的大小进行排序，将子载波分为两部分，前一半信道质量较好的子载波信道与后一半信道质量较差的子载波信道，之后对原始发送数据比特符号按照对应关系进行处理，分别发送原始信号和异或运算处理后的信号，接收端进行联合接收译码恢复原始数据符号。仿真结果表明该方案实现了很好的防窃听效果，达到了很好的安全传输要求，并通过功率分配达到系统误比特率性能的提升，具有一定的稳定性和实用性。

说明书

技术领域

本发明属于无线通信物理层安全技术领域，特别涉及一种物理层安全传输方法，适用于多种通信网络。

背景技术

物理层安全本质在于利用各用户信道特征的差异性和噪声干扰的不确定性加密发送信息，使得窃听者难以获得发送信息的信息量，相较于在应用层加密的传统安全方法，物理层安全算法可在物理层通过调制对发送信息加密来确保信息的完全安全。物理层安全通常分为两种实现方式：一种是干扰发送方法，发送端利用与合法接收端之间的信道特性，通过使用自干扰的方法干扰发送信号，从而破坏窃听者对信息的解码能力，降低窃听者接收端信噪比而加强合法接收者的保密能力，使合法接收者能够根据发送信息解码发送信号；另一种是信道加密方法，通过对合法信道的信道特征提取量化，利用信道的互易性和不确定性，进行密钥协商和保密增强，从而达到绝对安全传输的效果。

OFDM系统由于其多载波独特性，各子载波信道会经过不同的衰落，使得各子载波传输能力不同，载波和功率的选取影响通信双方的信道特征，而无线信道特征的差异性恰是物理层安全能够实施的本质，因此考虑OFDM系统下的物理层安全技术是很有必要的。与OFDM调制方式相结合的物理层安全算法近年来引起众多学者的广泛关注。分析发现现有的安全编码算法的研究存在以下不足：1)物理层安全编码大多要求合法接收者的信道状况要高于窃听信道，而在实际的无线通信传输中，难以保证此要求；2)安全算法的实施需要获得窃听者实时的信道状态信息，从信息论角度优化分配多载波资源，而在实际中很难获得窃听者信道状态信息；3)大多数的窃听者是被动窃听，没有考虑到主动窃听的窃听者情况。

发明内容

本发明的目的在于提供种OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法，使得合法用户能够正确接收恢复各子载波数据信息，而窃听者无法正确还原各子载波的数据信息，满足物理层保密要求。并在考虑到误码率性能方面，对该方法做出基于误比特率最优化准则的功率分配优化，提高了该方法的误比特率性能。该方法无需获得窃听者的信道状态信息，且不需要合法用户信道状况优于窃听信道。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法，包括下述步骤：

(1)确定合法接收者与发送者之间的信道状态信息，发送端将信道特征量化，根据信道质量的好坏对各子载波进行排序，将子载波分为两部分，前一半信道质量较好的子载波信道与后一半信道质量较差的子载波信道；

(2)将前一半的原始数据放入到前一半信道质量较好的子载波信道中进行发送，将后一半的原始数据与前一半一一对应进行异或运算后放入到后一半信道质量较差的子载波信道中进行发送，得到需要发送信息矢量X；

(3)在接收端进行数据解调时，同样根据信道状态信息对收到的数据信息根据信道质量的好坏排序，将子载波信道质量较好的前一半数据放入到接收数据序列的前一半中，将子载波信道质量较差的后一半数据与前一半数据进行异或运算放入到接收数据序列的后一半中，无噪条件下收到完整的发送端数据比特信息D；

(4)通过误比特率最优化准则对子载波进行功率分配，优化系统误比特率性能；针对OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法设计最优功率分配算法函数组；

(5)针对最优功率分配算法设计次优功率分配算法并提供操作步骤；

(6)给出由经验函数表达的误码率功率分配函数组，并验证可通过计算得到各子载波功率分配。

进一步的，步骤(1)中在发送端将主信道质量系数H_b＝[h_b1,h_b2,…,h_bK]按照各矢量元素模值平方|h_bk|²,k＝1,2,…,K由大到小排序，得到排序后的信道质量矢量为其中设输入信号的比特符号矢量为D＝[d₁,d₂,…,d_K]，根据不同的调制方式D＝[d₁,d₂,…,d_K]具有不同比特位的符号表达形式。

进一步的，步骤(2)中根据排序后的信道质量矢量得到各子载波对应信息符号矢量X＝[x₁,x₂,…,x_K]；具体通过以下步骤实现：

(3a)将根据排序后的信道质量矢量得到搭载的各信道对应信息符号矢量分为两部分，和其中均为维度为K/2的矢量；

(3b)将中的元素映射到发送信息符号X＝[x₁,x2,…,x_K]的前K/2维度中，再将中元素一一对应地与进行异或运算后映射到发送信息符号X＝[x₁,x2,…,x_K]的后K/2维度中；

(3c)则有

进一步的，步骤(3)中在接收端，假设发射功率均分，合法接收者第k个子载波上的接收的频域信号表示为：y_k＝h_bkx_k+n_bk，接收到完整的发送端数据比特信息D，通过以下步骤实现：

(4a)在译码时，两路传输信号在接收端乘以各自的信道系数的共轭，理论分析中假设信道无噪条件下，合法接收者与窃听者能够完全得到发送端的发送信息矢量X；

(4b)合法接收者根据主信道H_b信道质量模值平方大小排序得到矢量的前半部分即为D的前半部分，的后半部分与前半部分异或运算处理即可得到D的后半部分，则有：

到此合法接收者可完全解出输入信号数据矢量D。

进一步的，步骤(4)中，针对OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法设计最优功率分配算法函数组，具体通过以下步骤实现：

(5a)输入数据经过串并变换后分成K路并行的子数据，第k路子信道上的发射功率用P_k来表示，p_k是第k个子载波上的发射功率，且满足如下式子：

步骤(2)至步骤(4)中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法使用的功率分配方法即为等功率分配方案，上式给出了该功率分配方式，即每个子载波的发射功率p_k均为且每个子载波上对应的信噪比为

(5b)对于一般的MPSK，MQAM调制方式，第k个子载波的误比特率表示成该信道信噪比的函数，所以在给定该子载波的信道状态信息α_k的条件下，该信道的误比特率函数表示为：

ber(e|α_k)＝f(α_kp_k),k＝1,2,…,K

这里f()是由调制方式决定的函数，看做该子载波对应的误比特率函数；假设每个子载波搭载同样多的比特流数据，且每个子载波都通过其对应的信道发送接收数据，则系统的总误比特率可以由给定信道状态信息α_k的各信道的误比特率的算术平均值得到：

(5c)受步骤(5a)设定的总发射功率限制的约束下，引入Lagrange乘子求极值，Lagrange函数为：

其中，λ为Lagrange乘法因子；

(5d)对上式中p_k求偏导并设为0，得到K个等式：

根据上式和步骤(5a)中的等式共K+1个等式同时求解λ和最优的功率分配{p_k}系数，得到最优功率分配算法下各载波功率分配系数；

(5e)对于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法，按照信道传输质量对子载波进行排序后，发送端的信道状态信息α_k没有变，但α_k对应的子载波上搭载的数据信息发生了改变；设定：{β_k,k＝1,2,…,K}＝rank{α_k,k＝1,2,…,K}，rank{}是按照数值大小排序的函数，因此有β₁≥β₂≥…≥β_k；于是对于发送端，该系统的各个子载波的误比特率函数为；

(5f)由于在发送端较好的信道传输质量对应的前K/2个子载波携带的比特符号未改变，而信道传输质量较差的后K/2个子载波的比特符号为其原始符号与对应的前K/2个子载波上符号的异或运算，因此在接收端解码时，前K/2个子载波的误比特率未改变，而后K/2个子载波的误比特率一一对应地受到前K/2个子载波的误比特率的影响；设定接收端的误比特率函数为g(β_kp_k)，则有K个表达式：

(5g)则总的误比特率函数为：

对应的Lagrange函数为：

(5h)得到K个等式：

结合上式和步骤(5a)的K+1个等式解出λ和最优的功率分配系数{p_k}，即为基于误比特率最优化准则的最优功率分配方案。

进一步的，步骤(5)中设计次优功率分配算法并提供操作步骤，具体步骤为：

(6a)忽略f(β_kp_k)f(β_k+K/2p_k+K/2)对系统总误比特率的影响，则系统的总误比特率函数变更为：

(6b)得到次优功率分配方案的方程组为：

(6c)针对{p_k}中会出现负值的问题，将出现负值的p_k置为处理，为等功率分配方法中的平均发射功率；再通过迭代运算求得功率分配系数，该方法步骤如下：1)初始化，确定信噪比SNR，得到能量归一化情况下的总发射功率P，设定迭代次数i，设定步长μ(0)＝μ₀；2)生成初始功率分配数值，满足步骤(5a)限制条件下生成一组{p_k(0)}，并计算λ(0)；为减小迭代运算，对应着{β_k}按大小分配{p_k(0)}；3)步长逼近，更新{p_k}，λ(i)：

4)负值功率处理，若{p_k(i+1)}中出现负值，则将其置为并在迭代运算中始终保持该子载波功率分配系数p_k为式{p_k}中不再计算更新该子载波功率系数；更新μ(i+1)，并返回3)迭代运算；5)循环迭代运算，了逼近步骤(6a)中最小值进行步骤3)、4)循环迭代，否则结束运算。

进一步的，步骤(6)中由经验函数表达的误码率功率分配函数组，由以下步骤得到：

(7a)当采用MPSK或MQAM调制方式时，使用经验公式给出的误比特率表达式满足信噪比0≤β_k≤30dB，调制方式为4阶以上的MQAM调制时，子载波对应的信道误比特率函数表示为：b_i由MQAM调制方式决定，对于BPSK调制方式有：f_BPSK(β_kp_k)≈0.2exp(-1.1β_kp_k)，误比特率经验公式统一表示为：

对于BPSK调制c取1.1，对于4阶及以上的MQAM调制c取1.5；根据步骤(5a)、步骤(6b)中K+1个闭合函数表达式等式，解出该功率分配方案的λ和功率分配系数{p_k}，有：

(7b)如果在求解的过程中如果出现p_k为负值的情况，依照次优化功率分配方案中步骤(6c)将出现负值的p_k置为代入步骤(7a)功率分配公式中再次求解λ，直至满足所有p_k均为正值。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

1.系统模型简单，适用于多种通信结构网络；

2.无需获得窃听者的信道状态信息，且不需要合法用户信道状况优于窃听信道；

3.设计方案有效使用了OFDM系统各子载波的全部频谱资源，并有效地起到物理层加密的作用；

4.充分利用OFDM子载波特性，有效的对窃听者达到强干扰的目的；

5.充分分析了优化误码率性能的方法，并通过功率分配优化算法对系统误码率性能进行优化，进一步证明了我们方案的实用性。

本发明完全利用OFDM系统的空间频谱资源，充分利用合法接收者信道使得编码方式与合法信道强耦合，并使得编码方式与窃听信道强无关，从而使得当合法接收信道与窃听者信道不同时，能够实现安全与可靠的差异化传输，使得窃听者无法正确解码数据，从而完成物理层加密传输。

附图说明

图1为三节点物理层安全编码模型；

图2为OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法原理框图；

图3为基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法功率分配模型；

图4为合法接收者与窃听者误比特率性能对比图；

图5为统信噪比为1dB时的功率分配图；

图6为改变系统信噪比对功率分配的影响示意图；

图7为具有功率分配的基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法的误比特率与信噪比的关系示意图。

具体实施方式

本发明针对三节点的物理层安全模型采用OFDM调制技术的无线传输系统，设计了基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输算法。考虑一个TDD系统，则上、下行信道具有互异性。信息传输前，发送端和合法用户分时段互相发送训练序列，两端分别进行信道估计，以获得主信道信息。

在信息传输阶段，发送端将根据信道估计的获得的主信道特征对发送信息进行加密处理。具体做法是，根据各子载波信道质量的好坏对各子载波进行排序，将子载波分为两部分，前一半信道质量较好的子载波与后一半信道质量较差的子载波；之后对待发送的原始数据比特进行处理，首先分配一半的原始数据比特调制到前一半信道质量较好的子载波上进行发送，而另一半原始数据比特将与前一半数据比特一一对应进行异或运算后，调制到后一半信道质量较差的子载波上进行发送。

在接收端进行数据译码时，首先根据信道估计获得的主信道信息对子载波按照信道质量好坏排序，对信道质量较好的前一半子载波接收数据直接进行解调以期获得原始发送数据比特，而对于信道质量较差的后一半子载波的接收数据，在解调后还需与前一半解调比特逐一进行异或运算后，才能获得安全译码后的数据比特信息，两部分比特合并后对应于一个OFDM符号上的发送比特序列。

由于窃听者与合法接收者所处位置不同，可认为主信道与窃听信道相互独立，窃听者根据发送端及合法用户端发送的导频符号所估计得到的信道信息与主信道信息互不相关，窃听者无法获得主信道信息。因此，窃听端在接收时无法对子载波进行与发送端相同的排序，进而无法确定哪些子载波上发送的是原始数据比特，哪些载波上发送的是异或运算后的数据比特，从而无法正确解调数据信息，该方案可实现完美安全。

本发明考虑一个三个节点的物理层安全传输模型，如图1所示，各节点采用半双工单天线模式。该模型参考Wyner提出的Wiretap Channel II模型，发送端通过安全编码方法将输入符号d_k映射为x_k进行发送，经信道传输分别到达合法接收端与窃听接收端，解调后分别得到y_k与z_k，然后合法用户和窃听端根据物理层安全编码方法进行译码，分别得到译码比特b_k和e_k。在后续的分析研究中，均以该模型为研究对象，并假设合法信道与窃听信道均为二进制单符号离散输入输出的可N次扩展的无记忆信道模型。

一、基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输算法

针对OFDM多载波调制特点，设计了基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法。进行OFDM通信时采用文献(3GPP TSG RAN WG1Meeting#55bis R1-090298.Effectiveness of Discontinuous Resource Allocation for LTE-A Uplinkwithin 20MHz[S].Ljubljana,Slovenia,2009.)的方法，即合法用户首先向发送端发送训练序列请求信息，发送端收到请求信息后根据训练序列进行信道估计。根据信道互异性原理，当信道处于慢时变状态中，系统的上、下行信道具有相同的信道特征，因此可以认为合法收发信道的信道特征相同，发送端可以根据信道估计的信道特征对发送信息加密处理。在提取了信道特征之后，发送端将信道特征量化，根据信道质量的好坏对各子载波进行排序，将子载波分为两部分，前一半信道质量较好的子载波信道与后一半信道质量较差的子载波信道，之后对原始发送数据比特符号进行处理，按照排序后的子载波顺序，将前一半的原始数据放入到前一半信道质量较好的子载波信道中进行发送，将后一半的原始数据与前一半一一对应进行异或运算后放入到后一半信道质量较差的子载波信道中进行发送。在接收端进行数据解调时，对收到的数据信息根据信道质量的好坏排序，将子载波信道质量较好的前一半数据放入到接收数据序列的前一半中，将子载波信道质量较差的后一半数据与前一半数据进行异或运算放入到接收数据序列的后一半中，无噪条件下即可收到完整的发送端数据比特信息。由于窃听者与合法接收者所处位置不同，可认为两者与发送端的信道特征不同，窃听者无法正确解调数据信息。另一方面即使窃听者已知子载波排序方案，由于信道特征的随机性，窃听者信道的排序结果与合法接收者的排序结果是不同的，更有窃听者无法得知后一半数据信息与哪些数据信息进行异或处理，因此窃听者更加无法正确获取发送信息，从而发送端发送的信息对窃听者起到双重加密的效果。

在采用K个子载波传输的OFDM系统中，不考虑系统中的符号间干扰和载波间干扰，可以认为系统具有K个相互独立的子载波信道。设定各载波输入信号独立且同分布，设输入信号的比特符号矢量为D＝[d₁,d₂,…,d_K]，根据不同的调制方式D＝[d₁,d₂,…,d_K]具有不同比特位的符号表达形式。设定发送端与合法接收者之间的信道为主信道，其频率信道质量系数矢量为H_b＝[h_b1,h_b2,…,h_bK]，发送端与窃听者之间的信道为窃听信道，其频率信道衰落系数矢量为H_e＝[h_e1,h_e2,…,h_eK]。N_b＝[n_b1,n_b2,…,n_bK]和N_e＝[n_e1,n_e2,…,n_eK]分别为主信道与窃听信道上的加性高斯白噪声矢量，其中n_bk、n_ek表示第k个载波上均值为零方差为的加性高斯白噪声(AWGN)。在发送端将主信道质量系数H_b＝[h_b1,h_b2,…,h_bK]按照各矢量元素模值平方|h_bk|²,k＝1,2,…,K由大到小排序，得到排序后的信道质量矢量为其中由于发送的信息符号搭载在其对应的子载波上，可根据排序后的信道质量矢量得到搭载的各信道对应信息符号矢量之后将排序后的信息符号矢量分为两部分，和其中均为维度为K/2的矢量。将中的元素映射到发送信息符号X＝[x₁,x₂,…,x_K]的前K/2维度中，再将中元素一一对应地与进行异或运算后映射到发送信息符号X＝[x₁,x₂,…,x_K]的后K/2维度中，则有：

即子载波配对与异或运算处理的加密方法。通过该处理方法，将输入信号的符号矢量D映射为发送端发送的符号矢量X，通过主信道H_b加密发送。

在接收端，假设发射功率均分，合法接收者第k个子载波上的接收的频域信号可以表示为：

y_k＝h_bkx_k+n_bk(1.2)

窃听者第k个子载波上的接收的频域信号表示为：

z_k＝h_ekx_k+n_ek(1.3)

在译码时，两路传输信号在接收端乘以各自的信道系数的共轭，理论分析中假设信道无噪条件下，合法接收者与窃听者可完全得到发送端的发送信息矢量X，合法接收者可根据主信道H_b信道质量模值平方大小排序得到矢量的前半部分即为D的前半部分，的后半部分与前半部分异或运算处理即可得到D的后半部分，则有：

到此合法接收者可完全解出输入信号数据矢量D。

由于窃听者与合法接收者所处位置不同，且未知子载波排序和XOR运算的物理层安全算法方案，解码时仅可得到加密的发送信息矢量X，因此该方案对窃听者起到加密作用。即使窃听者已知子载波XOR配对方案，由于H_b≠H_e，窃听者对H_e排序后无法得到H_b的排序序列因此不能得知X的排序方案，无法解码原输入信号D。假如窃听者与合法接收者信道质量相近时，由于发送端对子载波配对处理并进行异或运算，窃听者对前半部分信息译码错误会导致后半部分信息的译码错误，即弱化了窃听者的误比特率性能，该方案对窃听者起到双重加密的效果。

基于上述方法分析思想，设计了OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层加密传输方法，嵌入安全编码和译码模块的OFDM系统结构示意图如图2所示。方法的具体实现过程主要包括信道估计，信道排序以及符号映射三个关键环节，在根据信道排序方案得到符号映射对输入信息进行加密实现物理层加密安全。其中符号映射即为子载波XOR配对算法，位于图2中IFFT变换前的步骤，其余环节与OFDM调制流程保持一致，例如IFFT变换前的星座映射以及IFFT变换后的添加循环前缀并串变换等。

基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输算法实现步骤归纳如下：

1、信道估计。信息传输前，首先由合法接收者上行发送导频序列，发送端估计上行主信道，随后由发送端下行发送导频序列，合法接收端估计下行主信道。利用信道互异性，可假设上下行信道信息相同，均为H_b。

2、安全编码。将原始发送比特序列的前一半与后一半比特逐一进行XOR运算，所得到的比特序列替换掉后一半比特序列，得到新的待发送比特序列。

3、星座映射与子载波排序。对安全编码后的比特序列进行星座映射，得到的符号序列。随后进行子载波排序，根据估计得到的主信道信息矢量H_b，按照元素模值平方|h_bk|²,k＝1,2,…,K由大到小排序。而映射后得到的符号序列中的各符号将逐一放到排序后的个子载波上发送。

4、接收端将执行发送端的逆处理。信道均衡和解映射之后，首先按照子载波排序后的结果按顺序提取各子载波的接收比特，得到比特序列X。随后用前一半比特与后一半比特的逐一异或运算结果替换后一半比特，得到最终的译码输出比特序列D。

二、提升合法接收者误码率性能的功率优化方案

上述设计的基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输算法，在实现安全传输的同时，必然地带来了合法接收者误码性能的损失。这一点可以通过对子载波功率进行最优分配来进行补偿。这里通过对单用户OFDM系统分析，无需考虑多用户子载波分配问题，提出在OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输算法的功率分配方法。

OFDM系统中，输入数据经过串并变换后分成K路并行的子数据，第k路子信道上的发射功率用P_k来表示，之后经IFFT变换、并串变换将子数据流通过各个正交的子载波发送出去形成OFDM发射信号。假设接收信号都是经过各个相互独立的瑞利衰落信道到达接收端的，在接收端，经过IFFT处理后的第k个子载波上的信号可以表示为：

式中H_k是第k个子载波上的信道乘性衰落因子，假设H_k是相互独立且同分布的均值为0，方差为1的复高斯随机变量，它的模值代表了该信道上信道质量的好坏。d_k指的是系统调制后的符号。W_k是均值为0，方差为σ²的加性高斯白噪声。p_k就是第k个子载波上的发射功率，且满足如下式子：

式中，是总发射功率平均分配到每个子载波上时，每个子载波的平均发射功率，系统中子载波个数为K，因此为总发射功率。第k个子载波上的信噪比可以表示为：

γ_k＝α_kp_k(2.3)

式中α_k＝|H_k|²/σ²是第k个子信道增益与噪声功率的比值，它代表了第k个子信道的信道状态信息，算法研究重点就是根据信道状态信息来合理的分配各个子载波上的发射功率。接下来分析几种系统中可以用到的功率分配方式。

1.相等功率分配

基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法使用的功率分配方法即为等功率分配方案，式(2.2)给出了该功率分配方式，即每个子载波的发射功率p_k均为且每个子载波上对应的信噪比为

2.基于误比特率最优化准则的最优功率分配

该准则的约束条件为发射总功率与传输速率是确定的，通过分配每个子载波上的功率p_k，使得总误比特率最小。为了使得总误比特率最小，首先我们把总误比特率BER表示成K个子载波上发射功率{p_k，k＝1,2,...,K}的函数，然后找到一组{p_k}使得BER最小即可。对于一般的MPSK，MQAM调制方式，第k个子载波的误比特率可以表示成该信道信噪比的函数，所以在给定该子载波的信道状态信息α_k的条件下，该信道的误比特率函数表示为：

ber(e|α_k)＝f(α_kp_k),k＝1,2,…,K(2.4)

这里f()是由某种调制方式决定的函数，可以看做该子载波对应的误比特率函数。假设每个子载波搭载同样多的比特流数据，且每个子载波都通过其对应的信道发送接收数据，则系统的总误比特率可以由给定信道状态信息α_k的各信道的误比特率的算术平均值得到：

为使系统总误比特率BER最小，在式(2.2)设定的总发射功率限制的约束下，引入Lagrange乘子求极值，Lagrange函数为：

其中，λ为Lagrange乘法因子，对式(2.6)中p_k求偏导并设为0，可得到K个等式：

式(2.6)中对λ求偏导为式(2.2)，根据式(2.2)和(2.7)中K+1个等式同时求解λ和最优的功率分配{p_k}系数。

对于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法，最优功率分配方法系统框图如图3所示，按照信道传输质量对子载波进行排序后，发送端的信道状态信息α_k没有变，但α_k对应的子载波上搭载的数据信息发生了改变。

设定：

{β_k,k＝1,2,…,K}＝rank{α_k,k＝1,2,…,K}(2.8)

rank{}是按照数值大小排序的函数，因此有β₁≥β₂≥…≥β_k。于是对于发送端，该系统的各个子载波的误比特率函数为f(β_kp_k)。由于在发送端较好的信道传输质量对应的前K/2个子载波携带的比特符号未改变，而信道传输质量较差的后K/2个子载波的比特符号为其原始符号与对应的前K/2个子载波上符号的异或运算，因此在接收端解码时，前K/2个子载波的误比特率未改变，而后K/2个子载波的误比特率一一对应地受到前K/2个子载波的误比特率的影响。设定接收端的误比特率函数为g(β_kp_k)，则有K个表达式：

综合式(2.5)，则总的误比特率函数为：

对应的Lagrange函数为：

对(2.11)右侧各p_k求偏导并设为0，得到K个等式：

结合式(2.2)和(2.12)的K+1个等式解出λ和最优的功率分配系数{p_k}，即为基于误比特率最优化准则的最优功率分配方案。

由于式(2.12)中为了求得功率分配系数{p_k}及Lagrange乘子λ需要消耗大量的时间进行迭代运算，并且求得{p_k}后可能会出现一些负值，在实际系统中功率分配因数为负值是不现实的，因此需要找到一种算法解决上述问题。

3.基于误比特率最优化准则的次优功率分配

众所周知，对于常见的OFDM系统，选择MPSK或MQAM调制方式时，系统的误码率数值随系统信噪比的增加减小。对于基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输系统，在上一章仿真分析中得到，当系统信噪比为1dB时，系统的平均误码率约为0.15，系统信噪比为10dB时，误码率可达0.015。分析式(2.10)可以看出，系统的总误比特率函数是由各载波独立的误比特率函数f(β_kp_k)和配对处理的两个子载波误比特率函数的乘积f(β_kp_k)f(β_k+K/2p_k+K/2)两部分决定的，对于子载波排序和XOR运算的物理层安全系统，可以把子信道误比特率函数看成两部分，前K/2信道质量较好的误比特率函数f(β_kp_k)，和后K/2信道质量较差的误比特率函数f(β_k+K/2p_k+K/2)，由于信道质量较差的信道的误比特率较信道质量较好的信道的误比特率会高出一个数量级，在工程领域中，a，b相差一个数量级即可认为a是b的极小量，因此可以认为f(β_kp_k)f(β_k+K/2p_k+K/2)是f(β_kp_k)的极小量，且f(β_kp_k)f(β_k+K/2p_k+K/2)远小于f(β_k+K/2p_k+K/2)，对于求和运算式(2.10)，f(β_kp_k)f(β_k+K/2p_k+K/2)对系统总误比特率影响很小。由于信道质量较差的深衰落信道对系统的误比特率数值影响很大，因此式(2.10)是由f(β_k+K/2p_k+K/2)的数值决定的。为了减小迭代计算，可以忽略f(β_kp_k)f(β_k+K/2p_k+K/2)对系统总误比特率的影响。则系统的总误比特率函数变更为：

得到次优功率分配方案的方程组为：

之后结合式(2.2)和(2.14)的K+1个等式解出λ和功率分配系数{p_k}，

针对{p_k}中会出现负值的问题，相关文献中将出现负值的p_k置为0[4]，即该对应的子载波不参与发送信号，并去除式(2.14)中对应的该等式，之后重新分配p_k，以一种循环的方式进行求解。为了配合基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法系统中充分利用OFDM系统频谱资源的要求，将出现负值的p_k置为处理，为等功率分配方法中的平均发射功率，再通过迭代运算求得功率分配系数，该方法步骤如下：(1)初始化。确定信噪比SNR，得到能量归一化情况下的总发射功率P，设定迭代次数i，设定步长μ(0)＝μ₀。(2)生成初始功率分配数值。满足式(2.2)限制条件下生成一组{p_k(0)}，并计算λ(0)。为减小迭代运算，对应着{β_k}按大小分配{p_k(0)}。(3)步长逼近。更新{p_k}，λ(i)：

(4)负值功率处理。若{p_k(i+1)}中出现负值，则将其置为并在迭代运算中始终保持该子载波功率分配系数p_k为式(2.15)中不再计算更新该子载波功率系数。更新μ(i+1)，并返回(3)迭代运算。(5)循环迭代运算。为了逼近式(2.13)最小值进行步骤(3)(4)循环迭代，否则结束运算。

4.基于误比特率最优化准则的经验函数功率分配

上述次优功率分配方案由于无法得到确切的误比特率表达式，在自适应迭代运算中仍然需要大量的计算找到该方案的最优解，实际运用中计算复杂度较高，因此可以通过使用误比特率近似值求解该问题。由于式(2.4)所表示的误比特率函数是由某种特定的调制方式决定的，当采用MPSK或MQAM调制方式时，其误比特率函数是由误差函数表示的，对于MQAM调制，

其误比特率函数近似为：

为了方便起见，使用文献(Goldsmith A.J.and Chua S.G.,“Variable-ratevariable-power MQAM for fading channels,"IEEE Transactions on Communications,1997,45(10),pp.1218-1230.)给出的误比特率表达式。满足信噪比0≤β_k≤30dB，调制方式为4阶以上的MQAM调制时，子载波对应的信道误比特率函数可以近似表示为：

b_i由MQAM调制方式决定，对于BPSK调制方式有：

f_BPSK(β_kp_k)≈0.2exp(-1.1β_kp_k)(2.19)

误比特率经验公式可以统一表示为：

在式(2.20)中，对于BPSK调制c取1.1，对于4阶及以上的MQAM调制c取1.5。将式(2.20)代入(2.2)和(2.14)的得到K+1个闭合函数表达式等式，解出该功率分配方案的λ和功率分配系数{p_k}，有：

式中M由M-QAM调制方式决定，对于BPSK有M＝2。λ可由(2.21)和功率限制条件(2.2)求得，之后将λ带入(2.21)得到由误比特率经验函数确定的功率分配系数{p_k}。如果在求解的过程中如果出现p_k为负值的情况，依照次优化功率分配方案中将出现负值的p_k置为代入式(2.21)中再次求解λ，直至满足所有p_k均为正值。

三、仿真分析

由于窃听端接收情况并不能完全得知，准确求解系统的保密容量有些困难。因此通过对合法接收者、窃听者两者误比特率的分析得到算法的安全性能。OFDM系统中信道建模为复高斯瑞利信道，噪声模型为加性高斯白噪声，采用的调制方式为BPSK调制，子载波个数K为16。仿真在不同信噪比下对发送端发出的OFDM符号分别进行1e5次独立实验，统计合法接收者和窃听者的误比特率(BER，bit error rate)情况。

图4为应用了OFDM系统中子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法，合法接收者与窃听者误比特率性能对比图。可以看出，应用本发明所提出的安全加密算法的合法接收者误比特率性能随着信噪比SNR的增加而逐渐提升，约每降低10dB时误比特率数值降低一个数量级。图4也给出了窃听者的平均误比特率随SNR的曲线变化图，可以看出无论SNR怎样变化，窃听者误码率的值都是接近0.5，几近于“瞎猜”的情况。该仿真有效地证明了方案对窃听者的干扰作用，达到了很好的防窃听作用。

图4也给出了未做安全处理的BPSK调制方式下原始的OFDM系统误码率合法接收者与窃听者曲线。相较于未做安全处理的合法接收者，本发明的加密算法在各信噪比情况下，误比特率性能稍有下降但差别很小，原因在于，出于对系统总体安全性能考虑，对后一半子载波进行XOR运算处理时，其误比特率性能受到前一半子载波的影响，从而会降低后一半子载波的误比特率性能，使系统总体误比特率性能下降；在多径衰落信道中，信道质量较差的信道中信号更容易被恶化，而信道质量较好的信号受多径效应影响较小，因此对子载波符号配对进行XOR运算处理时，后一半子载波的误比特率性能受前一半子载波影响较小，使得系统总体误比特率性能与未做安全处理的OFDM系统误比特率性能有所下降但差别很小。

从图4仿真结果可以看出，本发明所提出的安全算法较文献(高宝建,王少迪,胡云,曹艳军.基于OFDM调制特点的物理层并行插值加密算法[J/OL].计算机应用:1-5[2018-04-16].http://kns.cnki.net/kcms/detail/51.1307.TP.20180319.1346.004.html.)中并行插值加密算法误码率性能有所提升。该文献的处理方法是在IFFT后的并行数据上，采用混沌序列生成伪随机插入位置，在对应的子载波间插入与插入位置对应的符号进行加密，通过改变OFDM系统子载波之间原有的正交性使非法用户很难正确解调信号，从而达到系统物理层安全，当发送同样多的有用信息时，其算法较原有OFDM调制解调系统会增加系统的发射功率。在等功率条件下，发送同样多的有用比特信息时，本发明方案的误比特率性能较优于并行差值算法的性能，该算法的计算复杂度为o(N+2L)，L为插入符号个数，一般L较载波个数N数量很小，而本发明算法的计算复杂度为o(N+N/2)，本发明算法的计算复杂度较高，安全保密性能更加可靠。由于本发明计算复杂度建立在载波间运算，不会增添新的数据信息符号，对原有OFDM调制解调系统性能影响较小，通过利用载波间计算关系增加复杂度，计算处理起来更为容易实现。

当信噪比较低约为0至5dB时，本发明算法合法接收者的误比特率竟达到约0.1的水平，当信噪比提升至20dB时，误比特率仍未达到0.001的水平。基于此本发明对子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方案通过功率分配的方式，有效地优化了合法接收者的误码率性能。

考虑简单的BPSK调制方式对经验函数功率分配方法进行分析。假设子载波个数K＝1024，每个子载波调制方式均为BPSK调制，信道模型为瑞利衰落信道，噪声模型为加性高斯白噪声。归一化平均功率即总功率P＝1024。系统信噪比为1dB时，重复1000次仿真运算后，各子载波信道质量状态信息均值为系统信噪比1dB，各子载波信道质量状态信息为β_k，对应的功率分配系数p_k关系如图5所示。由于系统信噪比为1dB，各子载波信道状态信息β_k数值分布在1周围。对于基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法系统有β₁≥β₂≥…≥β_k，可以认为前一半信道质量较好的β_k数值分布在1的右侧，而后一半信道质量较差的β_k数值分布在1的左侧。可以看出图3中曲线存在极值，前一半子载波对应的功率分配曲线极值约在β_k＝0.6时取得，而大多数的信道状态信息β_k＞1，即功率分配方法将更多的发射功率分配到信道特性较差的子信道上；反之后一半子载波对应的功率分配曲线极值约位于β_k＝1.3，大多数的后半部分的信道状态信息β_k＜1，即功率分配方法将更多的发射功率分配到信道特性较好的子信道上。仿真结果表明，前一半信道质量较好的子载波将会分配更多的功率。经验函数功率分配方法类似于“注水”与“反注水”算法的结合。

由图5可知，前一半信道质量较好的子载波功率分配系数总是高于后一半信道质量较差的功率分配系数。取前一半信道质量较好的子载波功率分配进行分析。由图6可以看出，随着平均信噪比的增加，各个子载波对应的功率分配系数趋于平稳。若出现较严重的深衰落信道，随着系统信噪比的增加，可分配更多的发射功率使得该信道误比特率降低，从而使系统的总误比特率降低。

将在OFDM系统中基于子载波排序和XOR运算的物理层安全传输方法加入功率分配算法，仿真分析如图7所示。仿真采用瑞利衰落信道模型，噪声模型为加性高斯白噪声，取子载波数为K＝16，系统调制方式为BPSK调制。可以看出低信噪比状态下，功率优化分配效果较功率平均分配误码率性能相近，误码率性能优化10％至20％；随着信噪比的增加达到10dB以上时，功率优化后的误码率性能大幅降低，这是由于高信噪比条件下将更多的功率分配给信道特性较差的信道，提高了信道特性相对较差子信道的接收信噪比，而降低了信道特性较好的子信道信噪比，在高信噪比条件下信道特性较好的信道不易受到噪声干扰，而信道特性较差的信道提高了误码率性能，从而提高了系统总误码率性能；当系统信噪比提升至20dB附近时，其功率分配曲线图呈现“回升”的趋势，这是由于高信噪比条件下误码率性能趋于极限稳定，功率分配优化误比特率性能效果逐渐下降，但仍比平均功率分配方案的误比特率数值高出一个数量级。