一种生成正演地震记录随机噪声的方法及系统

摘要

本发明属于地震勘探数据处理技术领域，公开了一种生成正演地震记录随机噪声的方法及系统，在正演模拟方面，以随机干扰典型分解方法为基础，快速构建具有复杂随机干扰背景的共中心点道集(CMP道集)；在CMP道集叠加处理方面，以随机干扰背景的概率统计性质为基础，而是采用概率统计特性对CMP道集进行叠加的思路，实现最优叠加处理。本发明通过对带干扰背景的模拟记录和野外实际采集的记录的对比，提高对复杂构造、复杂地表地区地震波场的认识程度；通过对带该干扰背景的低信噪比记录和不带干扰背景的记录的处理结果的对比分析，为各种处理方法的研究提供方法验证的数据，指导实际资料的采集、处理和解释。

说明书

技术领域

本发明属于地震勘探数据处理技术领域，尤其涉及一种生成正演地震记录随机噪声的方法及系统。

背景技术

山前复杂构造带，是我国西部地区尚有巨大油气勘探潜力的领域，该区以复杂构造油气藏为基本类型。当前勘探的关键是搞准构造形态，依靠的是地震准确的成像技术。但是地下地质结构的复杂性，形成了地下地震波场的复杂性。复杂地质条件与陆上复杂地表条件下，野外地震资料中包含着有关地下构造和岩性的信息，但这些信息是叠加在干扰背景上且被一些外界因素所扭曲，造成野外地震资料信噪比低、面貌复杂、有效信息难以分辨，这是地震资料难以准确成像的其中一个主要的原因。复杂随机干扰背景，包括处理过程中出现的计算误差的内部成因的影响及地形与构造形成杂乱干扰等外部成因的影响。再加上目前野外观测系统都用常规情况下的观测系统，很不适用该区的复杂的地表、构造形式，因此需要以正演模拟来指导地震数据的野外观测系统设计及采集数据的后期处理和解释。

现有技术存在的问题是：目前的正演模拟的记录基本上都是纯理论记录，一般不具有各种成因的随机干扰噪音背景，难以模拟复杂的随机干扰背景，所加的随机噪音是与理论记录没有相关性的白噪音，经过叠加处理后基本都能够消除，很难处理实际低信噪比的资料，因此，不能最大程度地指导野外数据的采集、处理和解释；另外，由于随机干扰比较严重，常规的CMP叠加方法已经不再适用这种复杂干扰背景的资料，本方案就是为了适应这种复杂构造、复杂地表地区的勘探技术要求，针对我国西部山地复杂构造区采集的低信噪比资料无法很好的成像。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供了一种生成正演地震记录随机噪声的方法及系统。本发明分析了基于典型分解法的可加性随机干扰，是在用有限元方法模拟了CMP道集记录的基础上，根据CMP道集的相干特性计算出可加性随机干扰，这种随机干扰因为与CMP道集记录具有类似的相干性而更接近于实际资料的干扰背景。

本发明是这样实现的，一种生成正演地震记录随机噪声的方法，所述生成正演地震记录随机噪声的方法包括：

以随机干扰典型分解方法为基础，结合基于GPU/CPU协同并行计算技术的有限元正演模拟，构建具有复杂随机干扰背景的共中心点道集CMP；所述随机干扰背景具有与CMP道集相干特性有关的面貌；同时利用有限元正演模拟方法适用于复杂构造介质模型的正演计算，得出高精度的更接近实际采集的正演模拟记录；

进行CMP道集叠加处理：以随机干扰背景的概率统计性质为基础，根据概率统计判断准则，采用概率统计特性对CMP道集进行最优叠加处理。

进一步，所述率统计判断准则包括：

1)χ2分布——CMP覆盖次数小于50时，采用适应于小子样的-分布准则；

2)正态分布——CMP覆盖次数大于50时，采用适应于大子样的Gauss正态分布准则；

3)统计假设检验——以CMP随机振幅包络与信噪比为参数，采用Rayleigh分布进行弃真与选误两类错误概率的统计判断准则。

进一步，所述随机干扰典型分解方法包括：

构建中心化随机函数求解的联立方程；

由该随机函数在N个时刻t₁、t₂、t₃…、t_N-1、t_N上的截口得N维随机变量

式中，中心化随机函数的函数形式虽未知，但其相关函数K_ξ(t，t_k)却已被指定；由于之数学期望m_ξ(t)＝0,故

各随机变量v_i之数值形式未知，方差D_i(t_k)为D_i(t_k)＝K_ξ(t，t_k)。

进一步，构建具有给定随机干扰背景的CMP道集的方法，包括：

1)ξ(t)为具有随机干扰背景的CMP道集；

式中，h为半炮检距，数学期m_ξ(t，h)为无干扰的CMP道集本身，由模型正演所产生，属于已知参数；

2)随机干扰背景为ξ(t，h)-m_ξ(t，h),即

干扰背景之数学期望为0，即

构建随机干扰背景时，计算出坐标函数与v_i(h)所相应的方差D_i(h)；

计算已知给定的有关干扰背景CMP道集ξ(t，h)涉及的相关函数K_ξ(t_i，t)为

给定统一的τ₀值与N个均方根σ_i，i＝1，2，…，N之值，计算出相关函数。

进一步，所述正态分布为大子样统计M≥50个样点数；特点有：单峰曲线，有极大值；有对称轴；对称轴两侧有拐点，即

ξ→-∞或∞时，概率分布F→0.；

数学期望：

方差：

σ²为波场本身固有方差(σ²不带函数)；

具体包括：

(A)M个变量正态分布的ξ_m之和与加权和的统计特征；

动校正后，叠加前的CMP道集的两种描述形式；

ξ＝ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξ_m；

加权之后服从正态分布：ξ＝a₁ξ₁+a₂ξ₂+a₃ξ₃+...+a_mξ_m

(B)地震CMP叠加和偏移：

叠加：

加权和：

偏移：

(C)CMP叠加s或平均值之概率分布：

i)随机波场ξ为正态分布，不论CMP覆盖次数大还是小，叠加波场s为正态分布；

ii)不是正态分布时，CMP覆盖次数M足够大，不小于50；

趋近于正态分布；

(D)速度分析利用F(s)进行判断：

ξ(t_n，v_j)，v_j→vopt(合理的速度)，F(s)→Max。

(E)标准正态常量：

概率：

ds＝σ_sdt；

(F)置信限：

s＝m_ξ±2σ_s，F(s)＝95.4％>

s＝m_ξ±3σ_s，F(s)＝99.7>

进一步，x²分布包括：

条件：x_i，i＝1，v独立的不相关的标准正态变量；方差等于1，均值等于0；

地震

χ²分布用在小子样情况，M＜50；

若χ为N(0,1)，则为χ²分布变量；

若x为N(0,1)，则为χ²分布变量；

式中，n为覆盖次数，统计出来的方差，母体的方差；

若U与v为独立变量，如U+v为χ²分布，自由变量为v₁+v₂；

若U为χ²分布，则v必为χ²分布，自由变量为v₂。

进一步，统计假设检验，包括：

统计假设

判断：

(a)计算

(b)设

(c)计算判断这两个值哪个大，大的作分子，小的作分母；

(d)若第一个大，作分子

(e)查表；

第一自由变量v₁；

第二自由变量v₂再结合信条，查若为真；若为假；

F分布判断σ，再叠加。

本发明另一目的在于提供一种生成正演地震记录随机噪声系统。

本发明的优点及积极效果为：本发明不仅指导该区地震勘探观测系统的设计、地震资料的处理和解释，而且为下一步地震数据的准确成像(不用速度模型直接成像的偏移方法)的研究提供可靠的数据。同时，这些理论和方法的成功研究，对该区，乃至于其它类似地区勘探的突破，无疑具有深刻且重大意义。通过本发明建立以概率统计方法为基础的正演模拟复杂构造及复杂地表地区具有随机干扰背景的CMP道集；以概率统计方法为基础的CMP道集叠加处理技术。通过对带干扰背景的模拟记录和野外实际采集的记录的对比，提高对复杂构造、复杂地表地区地震波场的认识程度；通过对带该干扰背景的低信噪比记录和不带干扰背景的记录的处理结果的对比分析，为各种处理方法的研究提供方法验证的数据，指导实际资料的采集、处理和解释。

附图说明

图1是本发明实施提供的生成正演地震记录随机噪声的方法流程图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明分析了基于典型分解法的可加性随机干扰，是在用有限元方法模拟了CMP道集记录的基础上，根据CMP道集的相干特性计算出可加性随机干扰，这种随机干扰因为与CMP道集记录具有类似的相干性而更接近于实际资料的干扰背景。

本发明建立以概率统计方法为基础的正演模拟复杂构造及复杂地表地区具有随机干扰背景的CMP道集；以概率统计方法为基础的CMP道集叠加处理技术；通过对带干扰背景的模拟记录和野外实际采集的记录的对比，提高对复杂构造、复杂地表地区地震波场的认识程度；通过对带该干扰背景的低信噪比记录和不带干扰背景的记录的处理结果的对比分析，为各种处理方法的分析提供方法验证的数据，指导实际资料的采集、处理和解释。

下面结合附图对本发明的应用原理作进一步描述。

如图1所示，本发明提供的生成正演地震记录随机噪声的方法包括以下步骤：

S101，正演模拟方面，以随机干扰典型分解方法为基础，结合基于GPU/CPU协同并行计算技术的有限元正演模拟，快速构建具有复杂随机干扰背景的共中心点道集(CMP道集)；

该项随机干扰背景具有与CMP道集相干特性有关的面貌。同时利用有限元正演模拟方法能够适用于复杂构造介质模型的正演计算，得出高精度的更接近实际采集的正演模拟记录，这也不仅可以指导野外观测系统的设计，而且为后续的各种处理方法的分析提供了数据；

S102，CMP道集叠加处理方面，以随机干扰背景的概率统计性质为基础，根据概率统计判断准则，突破常规叠加利用相干函数进行叠加的思维定势，而是采用概率统计特性对CMP道集进行叠加的思路，实现最优叠加处理。

本发明步骤S102中CMP进行最优叠加判断如下：

1)χ-分布——CMP覆盖次数小于50时，采用适应于小子样的-分布准则；

2)正态分布——CMP覆盖次数大于50时，采用适应于大子样的Gauss正态分布准则；

3)统计假设检验——一般情形下，以CMP随机振幅包络与信噪比为参数，采用Rayleigh分布进行“弃真”与“选误”两类错误概率的统计判断准则。

一、下面结合具体实施例对本发明作进一步描述。

概率论基本概念

<1>事件：实验结果中所有可能出现或可能不出现的事情。

<2>概率：在数量上比较事件之可能性程度，必须对每一事件给予一个数值，使可能性越大的事件有越大的数值，此数值即事件之概率。

*比较各事件可能性程度，需采用某种测量单位，可取必然事件之概率作此单位：

必然事件概率：P＝1；

不可能事件概率：Q＝1-P＝0；

所以：0≤P≤1；

其他可能但非必须的事件概率：P<1；

**P(A)表示事件A的概率，n为基本事件总数，m表示事件A出现之次数，则(以下是统计概率)：

(古典定义)；

0≤P(A)≤1，不可能事件为m＝0，必然事件为m＝n。

<3>随机变量：一个数量依实验结果而取各种数值，但不能事先知道为何数值。

离散型随机变量——取值在可预先列举的可列个数值中；

连续型随机变量——可能值充满一个区间；

<4>随机变量的分布律——确立随机变量的可能值与该可能值所对应的概率之间的对应关系。

事件z＜x的概率P(z＜x)，x为一变量，故该概率应是x的一个函数，记为F(x)：

F(x)＝P(z＜x)；

F(x)：分布函数；

分布函数F(x)即是随机点z落在点x左右的概率。

(i)分布函数F(x)是所有自变量x的非降函数，即x₂＞x₁时，则F(x₂)≥F(x₁)，增大x，即点x沿坐标向右移动时，随机点z落在点x左右的概率不会减小，分布函数F(x)不会因x增大而减小。

(ii)F(-∞)＝0,点x沿坐标无限向左移动时，随机点z落在x左右变成了不可能事件，即F(-∞)＝0。

(iii)F(+∞)＝1，点x沿坐标无限向右移动时，事件z<x在极限过程中变为必然事件，即F(+∞)＝1。

<5>随机变量的概率密度。

随机变量落入区间(x+Δx)的概率为P(x＜z＜x+Δx)。

P(x＜z＜x+Δx)＝F(x+Δx)-F(x)；

设F(x)为连续且有连续微商，当Δx趋向于0时，

落入区间长度Δx的平均密度。

以分布函数F(x)表示分布密度。

随机变量z落入区间(α，β)的概率；

以分布密度f(x)表示分布函数F(x)；

(i)概率密度(分布密度)是非负函数f(x)≥0；

(ii)概率密度从-∞至+∞之积分等于1；

F(-∞)＝0；F(∞)＝1；

分布函数F(x)作为概率是无量纲量，概率密度f(x)的量纲为随机变量之量纲的倒数1/Δx。

<6>随机变量的统计特征

实践中往往不需要完整的算出或者难以算出随机变量或函数的分布律，只需得出一些有关随机量的统计特征(数字特征)就足可解决问题，从而大为简化了处理过程。共有两类统计特征：

(i)位置特征——表现数据的集中性质或集中程度，如数学期望(平均数)、中位数、众数等。

数学期望：

(ii)离散程度、分散程度特征——表现数据的离散程度或分散程度

方差：

均方差：

<7>随机函数

在实验结果中能取某种确定但预先未知的形式(随机变量是未知数值)的函数，称为随机函数。

随机函数的实现——随机函数在实验结果中可取之具体形式。对随机函数z(t)进行n次独立实验，结果得n个实现,x_i(t)，i＝1，2，…，n。实现x_i(t)为通常的非随机函数。

x₁(t_j)，x₂(t_j)，…，x_n(t_j共n个随机变量，所以随机函数兼有随机变量与函数的特点。

<8>随机函数的统计特征

随机函数的各类统计特征不是确定的数值，而是函数。

(i)数学期望m_x(t)——在每个截口上的随机变量的数学期望m_x(t₁)，m_x(t₂)…它是t的某个函数。

随机函数z(t)在其平均值m_x(t)附近变动。

(ii)方差

方差表示随机函数的可能实现相对于平均值的离散情况。

(iii)相关函数——仅有数学期望与方差不足以描述其特征，

如随机函数z₁(t)与z₂(t)具相同之数学期望与方差，但随机函数与的构造特征完全不同，即平缓变化与急速变化之不同。

这类特征称为相关函数，表示随机函数对应于不同时间t的截口之间的相关程度。如z(t)与之间相关程度高，而z(t)与之间则完全不相关。

当时时，K_x(t，t)＝M[(z(t)-m_x(t))²]＝D_x(t)，所以时时相关函数即随机函数之方差。

<9>平稳随机函数

随机函数z(t)之数学期望m_x(t)＝const及即统计特征均与t无关，或在时间增长过程中基本无变化，称之为平稳随机函数，平稳随机过程之统计特征与所取时间起点(时间原点)无关，平稳过程为“无头无尾”的。

中心化随机函数之数学期望亦为零，但z(t)并不一定平稳，故仅有m_x(t)＝const尚不足以断定z(t)为平稳。平稳随机函数之相关函数其相关距离应与区间长度τ之位置无关而只与该区间之长度τ有关，即K_x(t，t+τ)＝k_x(τ)。

所以，除数学期望与t无关，尚须及之条件满足始为平稳。

<10>系集平稳与时间平稳

(i)系集平稳——数学期望运算是系集平稳，即对随机函数的实现进行平均，典型如CPM道集之迭加平均(每记录道为随机函数ξ(t)的一个实现)。

(ii)时间平均——如随机函数为平稳过程，则在足够长时间内的单个实现可包含于母体ξ(t)、σ_x(t)，且与时间坐标原点无关，故可取时间平均：

二、下面结合随机函数的典型分解对本发明作进一步描述。

<1>典型分解

v_i：通常指随机变量；通常指非随机变量；

m_ξ(t)：数学期望；坐标函数；

v_i：数学期望M[v_i]＝0之不相关随机变量M[v_iv_j]＝0,时分解系数

特点：ξ(t)之随机性仅与函数前之因子v_i有关，所以随机性与时间无关。

(ii)基本随机函数之相关函数；

D为随机变量ν的方差；

所以之相关函数与随机函数ξ(t)之相关函数有关；

优点：典型分解之优点为，随机函数ξ(t)受线性变换算子L之作用时，分解系数v_i保持不变，仅与m_ξ(t)受算子L之作用，从而处理过程大为简化；

<2>典型分解之用途

构建一个具有已知数学期望m_ξ(t)与已知相关函数之随机函数ξ(t)。

典型分解之求解就是根据m_ξ(t)与找出随机量v₁、v₂、…、v_N的方差D1、D2、D3…、DN与坐标函数分解系数本身，可由v_i任何随机数产生器产生。

<3>实际求解方法

(i)构建中心化随机函数求解的联立方程；

由该随机函数在N个时刻t₁、t₂、t₃…、t_N-1、t_N上的截口可得N维随机变量

式中，中心化随机函数的函数形式虽未知，但其相关函数K_ξ(t，t_k)却已被指定。由于之数学期望m_ξ(t)＝0,故

各随机变量v_i之数值形式虽未知，但其方差D_i(tk)却是已被指D_i(t_k)＝K_ξ(t，t_k)

由联立方程(2.1)求解坐标函数时，必须满足以下条件：

(A)在N个时间点t₁、t₂、t₃、…，t_N上，典型分解式(2.2)应是的最佳迫近。

(B)随机变量v₁、v₂、v₃、…，v_N必须是不相关的。

<ii>递归正交方法求解(2.1)

(a)利用正交化方法简化联立方程(2.1)

为满足约束条件(A)与(B)，对式(2.1)中第一个等式进行下列简化：在等式右端之引用一项随机变量v₁，并假设相应坐标函数为1；

其余假设为零，从而再令第二个等式具有最简单形式，但不能为“最简单”而假设因为随机变量v₁与v₂将通过与而变为相关，从而不满足约束条件(B)，所以仅可令：

即令

如此，则只有一个未知的坐标函数有待求解，可从随机变量v₁与v₂为互不相关的约束条件下，求出。

对式(2.1)中所有等式均作类似以上处理，可得；

即：

三、下面结合正演问题——构建具有给定随机干扰背景的CMP道集对本发明作进一步描述。

<1>ξ(t)为具有随机干扰背景的CMP道集；

式中，h为半炮检距，在上式中仅作为识别记录道的参数。数学期m_ξ(t，h)为无干扰的CMP道集本身，由模型正演所产生，属于已知参数。

<2>随机干扰背景为ξ(t，h)-m_ξ(t，h),即

干扰背景之数学期望为0，即

构建该随机干扰背景时，需计算出坐标函数与v_i(h)所相应的方差D_i(h)。这类计算均涉及已知给定的有关干扰背景CMP道集ξ(t，h)的相关函数K_ξ(t_i，t)。

<3>相关函数K_ξ(ti，t)的形式

先设随机干扰背景为平稳随机函数，其各项统计特征与空间域炮检距h无关而只与时间有关；此处，施行数学期望运算时，因其平稳而可以时间平均代替空间域之系集平均。

有不同形式的相关可供选择，如

(a)Gauss形式：

(b)指数形式：

(c)Von Karman形式：

式中，为时刻t_i点上的方差，τ₀为不规则性的尺度或曰：相关距离(例如τ₀＝2Δt或3Δt等。

K_q为第二类虚变量Bessl函数。

关于决定究竟何种形式的相关函数才最精确地代表特定的随机介质。不过，一般而言，这个正演问题所涉及的随机振幅取相同正振幅或负振幅的几率应当是相等的，所以，相关函数形式取Gauss形式应是妥当的，即

给定统一的τ₀值与N个均方根σ_i，i＝1,2，…，N之值，即可计算出上述相关函数。

可选时刻t₁、t₂、t₃、…t_N既须间隔稍大，又需能稠密分布；可取其间隔为：

3Δt＝12ms或4Δt＝16ms，τ₀取2Δt＝8ms或3Δt＝12ms。

记录道总长度为3sec＝3000ms，若时间间隔取12ms，则N＝250，若取16ms则N＝187。

设无干扰之CMP道集m_ξ(t，h)的振幅均方值为σ_m(t)可取干扰均方值σ_i＝σ_m(t_i)或σ_i＝0.5σ_m(t_i)。

<4>随机变量v_i的产生

典型分解方法中并未限定随机变量v_i所应服从的概率密度分布律，亦即任何概率分布律均可，只要v_i是具有指定方差与数学期望值的随机数。

先采用正态分布律形式，即

式中，R_K为0之1.0之间的均与分布随机数，K取值K＝12时，近似程度已相当好，故：

由求余公式产生均匀分布随机数R_K；

y_k＝MOD(2053y_k-1+13849,J)；

R_K＝y_k/J；

式中，J＝2¹⁶，亦即最多连续产生65536个随机数R_K；产生随机数R_K的函数子程序RN(R_K)：

Function RN(R_k)

S＝65536

U＝2053

v＝13849

M＝R_k/_S

R_k＝R_k-M*S

R_k＝U*R_k+v

M＝R_k/S

R_k＝R_k-M*S

R_N＝R_k+v

return

end

*R_k为给定的随机种子，一次可连续生成65536个随机数，超过2¹⁶个将出现循环重复。

**每改变一次随机种子R_k，即可生成新的65536个随机数。

计算工作量：

设整条测线共300个CMP点；

CMP覆盖次数M＝50；

时间间隔取4Δt＝16ms或3Δt＝12ms；

记录道集3sec＝3000ms；

*取16ms间隔时，每计算出2¹⁶个随机数，约占7个CMP道集；

整条测线约需采用41个随机种子；

**取12ms间隔时，每计算2¹⁶个随机数，约占5个CMP道集；

整条测线约需采用60个随机种子；

四、下面结合反演问题对本发明作进一步描述。

h——炮间距ξ(t，h，v)——h这一道的记录

假设CMP道集是平稳的，即每道方差不随h变化。

其中

v_i随机产生；

概率密度达到最大时的速度为最大速度，及达到最小。

叠加结果与期望的平均值有误差；

M——覆盖次数叠加结果的概率密度；

最小二乘法求出最佳速度。即W(s)最大时的速度。

相关函数计算：

速度扫描：

t＝3s，4ms，750个点，N＝50次，深度h＝

Δx＝50m，100道。

道间距

N为排列中的接收道数，n为覆盖次数；

s在一端激发时等于1，两端激发时等于2；

统计反演；

目的：已知有干扰背景的CMP道集：

式中，ξ(t)已知，m_ξ(t)为ξ的数学期望(即空间平均值)，未知，未知。

求相应具有速度v_i的反射m_ξ(t，h)t：双程时间h:半炮间距。

m_ξ(t，h，v)；

给定一个速度就有一个m_ξ(t，h，v)，给定20个速度就有20个m_ξ(t，h，v)，找出最好m，就是统计反演。单道：

1.随机函数的平均值的估计是无偏估计

ξ的统计数学期望m^*(t_n，h_m，v_j)；

m^*(t_n，v_j)为估计值，存在误差；

t_n零炮检距时间；

T动校正轨迹；

求s的数学期望运算；

统计的数学期望接近于无干扰的数学期望。

m^*(t_n，v_j)是对m^*(t_n，v_i)的无偏估计。

做NMO后进行的叠加就是对地震记录的无偏估计。

2.求叠加结果的方差(单道)；

均方差大说明振动范围大，误差就大

因为随机的时候不相关，所以

有偏σ²，需要校正。

无偏估计；

即

3.随机量之求s的统计特征(叠加结果)

叠加结果

要知道s的概率分布；

叠加结果的数学期望：

代数和的方差：

方差有偏。

无偏校正：

4.正态分布律中心极限定理

随机量的和只要ξ的误差比较微小，大小贡献都不突出，M数量足够大。M≥50。不小于50就认为足够大。M趋于无穷大，随机量s就趋于正态分布。

正态分布形式：

有干扰背景的叠加结果一定服从正态分布。随机性是平稳的。

平稳：统计时间与t的坐标原点无关。只与长度有关。

5.Stndent分布与χ²分布

假设叠加50次覆盖，服从正态分布。

用其他概率分布使之既不涉及方差，也不涉及数学期望。

1)参数估计

(A)已知数学期望估计σ^*2。

(B)已知方差σ^*2，估计

以上两种分布，只涉及叠加次数M和v_j。

因为s的数学期望为m_ξ，所以

均方差：

概率密度：

(i)χ²分布律

因为ξ函数是平稳随机的,所以

η为数学期望为0，方差为1的正态分布。

η的分布律：

当时，

η为正值时，要求一个随机点(n维平面上)(ξ₁，ξ₂，ξ₃，…，ξ_M)落在一个n维球里，小于n维球的半径，即

分布律：

考虑:φ(-∞)＝0，φ(+∞)＝1；

η≥0时，φ(η)就称为χ²分布。

φ(η)＝0.95M＝50时，η可求出。

β²为标准正态分布，η服从χ分布。

η只取正值，β从-∞到+∞，满足约束条件

Student分布；

在这里M称为自由变量。

Student分布可查表：

χ知道否χσ_s+m_s＝s；

χσ_s为误差，需要误差小，就需要χ小，从表中就可查出需多大覆盖次数和概率。

区间估计单点分布；

最终用Student分布；

若7点或5点，在一个时窗内的话，可能用χ²分布。

五、下面结合随机函数在地震学中应用对本发明作进一步描述。

(i)随机波场动力学

随机介质(反射系数)；

散射→随机相位变化；

(ii)几何地震学，随机波场

ξ(t)＝m_ξ+N；

N——为干扰，可加性随机函数；

ξ(t_n，h_m，v_ξ)后可简写为ξ(t_n)或ξ(t)，t_n为零炮检距。

五、下面结合概率的分布形成对本发明作进一步描述。

(A)对称形式

(B)非对称形式

有χ²分布，F分布；

ξ＝m_ξ+N，N＝ξ-m_ξ；

在一个道集，t_n时间，M个采样点

动校正以后，叠加以前概率分布形式，数量非常大时总结效应地震服从正态分布。叠加次数足够大，服从正态分布。

六、下面结合正态分布对本发明作进一步描述。

大子样统计M≥50个样点数；

特点是：①单峰曲线，有极大值；②有对称轴；③对称轴两侧有拐点，即

ξ→-∞或∞时，概率分布F→0.；

数学期望：

方差：

σ²为波场本身固有方差(σ²不带函数)；

(A)M个变量正态分布的ξ_m之和与加权和的统计特征；

CMP道集的两种描述形式(动校正后，叠加前)；

ξ＝ξ₁+ξ₂+ξ₃+...+ξm(也服从正态分布)

(平均表示)

(平均表示)

ξ＝a₁ξ₁+a₂ξ₂+a₃ξ₃+...+a_mξ_m；(加权之后服从正态分布)

(B)地震CMP叠加和偏移

叠加：

加权和：

(均方差)；

从中可看出叠加可降低均方差。

偏移：

(C)CMP叠加s或平均值之概率分布

i)随机波场ξ为正态分布，不论CMP覆盖次数大还是小，叠加波场s必定为正态分布。

ii)不是正态分布时，CMP覆盖次数M足够大，不小于50；

趋近于正态分布；

(D)速度分析利用F(s)进行判断

ξ(t_n，v_j)，v_j→v_opt(合理的速度)，F(s)→Max。

(E)标准正态常量

概率:

ds＝σ_sdt；

(F)置信限

信条

s＝m_ξ±σ_s，

s＝m_ξ±2σ_s，F(s)＝95.4％>

s＝m_ξ±2σ_s，F(s)＝99.7％>

统计判断论

s-σ_s＜m_ξ＜s+σ_s估计母体的均方差；

统计判断方法的步骤：

(i)求出平均数s；

(ii)求出平均数(叠加结果)s之标准误差

(iii)定义标准正态变量

(iv)设信条5％；

t＜2统计假设可信；

t＞2统计假设不可信；

(a)s信条10％以上，s不超过置信限：s，m_s不存在差异；

(b)s信条5％以内，但不在10％内：s，m_s可能有差异；

(c)s信条1％以内，但不在5％内：s，m_s有重大差异，不可信，需进一步作处理；(d)s信条1％以内：处理结果不可靠，重新处理

(a)m_ξ已知，s＝m_ξ+σ_s；

(b)m_ξ未知，s-σ_s＜m_ξ＜s+σ_s；

相应判断m_ξ，s，M。

七、下面结合χ²分布对本发明作进一步描述。

条件：x_i，i＝1，v独立的不相关的标准正态变量；方差等于1，均值等于0

地震

一般χ²分布用在小子样情况，M＜50

定理1：若χ为N(0,1)，则为χ²分布变量。

定理2：若x为N(0,1)，则为χ²分布变量。

式中，n为覆盖次数，统计出来的方差，母体的方差。

定理3：若U与v为独立变量，如U+v为χ²分布，自由变量为v₁+v₂

若U为χ²分布，则v必为χ²分布，自由变量为v₂。

χ²分布之应用：

(A)直接应用。

(B)间接应用：可导出Student分布，F分布。

(A)直接应用。

(i)统计判断CMP道集的概率分布(在地震中一般不用)。

(ii)估计母体(CMP道集)的方差利用v＝n-1

信条5％；

(iii)省时的处理。

八、下面结合Student分布对本发明作进一步描述。

数学家笔名Student

条件：ξ是标准正态变量N(0，1)，η是变量，则分布即Student分布。

ξ→(-∞，∞)，η→(0，∞)；

因为ξ和η不相关，相互独立

联合概率密度：f(ξ，η)＝f_ξ(ξ)·f_η(η)

概率：

正态分布，χ²分布，

概率密度：将u代入

以上在的条件下得出的，为有偏估计。

当为无偏估计，就可得出第(2)种形式。

九、下面结合Student分布的应用对本发明作进一步描述。

小子样分析：特点：不涉及数学期望和方差，之和覆盖次数M有关，M-1就是自由变量。

(i)估计母体的均方差σ_u

CMP迭加结果已知。

由5％，M-1，求查表得σ_s-()＜σ_u＜σ_s+()

(ii)设σ_u已知，判断m_ξ

由信条，M-1查

(iii)判断两组子样是否来自同一母体

看均方差和数学期望是否都一样，一样就是来自同一母体。

统计假设：设与相等，

与相等，

判断真伪：

若统计假设成立，E(z)＝0。

令

当信条5％，自由变量n₁+n₂-2，可查

若不行，两者不是来自同一母体；两者来自同一母体。

十、下面结合F分布对本发明作进一步描述。

自由变量v₁，v₂。

令

概率：

令

概率密度：

为母体的方差。

十一、下面结合F分布之应用对本发明作进一步描述。

统计假设

判断：

(a)计算

(b)设

(c)计算判断这两个值哪个大，大的作分子，小的作分母；

(d)若第一个大，作分子

(e)查表；

第一自由变量v₁；

第二自由变量v₂再结合信条，查若为真；若为假。

F分布判断σ，再叠加。

以上所述仅为本发明的较佳实施案例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。