基于非线性疲劳累积损伤机理退化-冲击模型的建模方法

摘要

本发明提供一种基于非线性疲劳累积损伤机理退化‑冲击模型的建模方法，步骤如下：一：恒幅载荷下的疲劳退化模型；二：冲击载荷模型；三：冲击过载条件下的迟滞效应模型；四：基于分段确定性马尔科夫过程(PDMP)的迟滞效应相关模型；通过以上步骤，本发明模拟实际使用环境，还考虑到了偶发情况下造成的偶然冲击过程，具有真实性；这对于实际工程应用中，对裂纹扩展会有新的认识和理解，有着实际意义；本发明应用了科学的方法将疲劳退化过程和随机冲击过程结合起来，给出了明确的数学表达，用以计算样件的可靠性，不仅有学术价值，同样对于工程上也为其提供了一条解决该问题的途径，具有推广应用价值。

说明书

技术领域

本发明提供一种基于非线性疲劳累积损伤机理退化-冲击模型的建模方法，它涉及一种随机退化过程和一种随机冲击过程共同作用时的疲劳累积损伤计算方法，它是一种非线性疲劳损伤叠加模型，针对冲击过大时对退化过程造成迟滞和退化过程同时会影响冲击损伤大小的问题，提出了退化和冲击相互作用的非线性疲劳损伤建模方法。这属于可靠性技术领域中的可靠性建模问题。

背景技术

机身是飞机最重要的部件之一，通常采用损伤容限的概念设计。在服役过程中，机身通常受到由气流引起的疲劳载荷和由湍流引起的偶发冲击而产生裂纹。这种现实载荷条件可以被转化为疲劳加载序列和一些尖峰过载组合的科学问题。研究人员通常用疲劳退化过程和随机冲击过程来模拟这种实际的物理过程。针对这样的现实问题，在国内外已有的研究中，出现了这样的两类方向：

1.将疲劳退化过程和随机冲击过程看成是两个相互独立的过程，并非考虑了两者相关。

2.一些研究者在某种程度上考虑了退化和冲击两个过程之间的相关性，但主要是针对冲击过大造成系统直接崩溃和冲击不大造成损伤增量进行建模研究。并非考虑了冲击和退化二者之间的相互作用。

因此，考虑随机退化过程和随机冲击过程的相互作用，并提出能够计算该种相互作用的建模方法，是亟待解决的问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于疲劳损伤机理随机退化和随机冲击模型的建模方法，它用以解决受到退化和冲击作用时的裂纹扩展问题，考虑冲击载荷过载时造成退化过程迟滞和退化过程影响冲击损伤大小，建立非线性疲劳损伤模型，建立起两者之间的相互作用模型，以解决裂纹扩展整个过程的算法问题。

本发明是采用以下技术方案实现的，本发明是一种基于疲劳损伤机理随机退化和随机冲击模型的建模方法，其步骤如下：

步骤一：恒幅载荷下的疲劳退化模型

在疲劳损伤阶段，采用巴黎(Paris)模型描述恒幅载荷下的裂纹扩展；Paris模型在当前的裂纹扩展研究中被广泛使用，其裂纹长度a的微分表达式内容如下：

Δσ＝σ_max-σ_min>

校正因子C受到材料的分散性影响，其被假定为一个服从正态分布的随机变量，即Y是几何因子，几何因子在特殊情况下得以简化，计算一块铝板、铁板中心孔裂纹时，几何因子Y等于1.12；计算一块铝板、铁板表面裂纹时，几何因子Y的值近似为

步骤二：冲击载荷模型

实际上，恒幅载荷伴随着随机冲击；裂纹增长在恒幅载荷和冲击载荷下示意图如图2所示；在图2中，T_N是第N个冲击的出现时间，K_N是冲击强度；在本发明中，所有用来计算迟滞效应的冲击称为过载；冲击出现的次数和冲击的大小均是需要给定某种随机分布；

在第一次冲击到达之前，裂纹的扩展只取决于恒幅载荷；当第N个冲击出现时，裂纹在过载引起的塑性区内增长，其增长速率很低，直至塑性区消失；后来，裂纹增长率恢复到正常在第(N+1)个冲击出现之前；冲击过程中相当于一个跳跃过程；恒幅载荷下的退化过程是一个随时间不断更新的确定过程；X(n)被假定为退化和冲击过程中裂纹扩展的状态，表达式如下：

X(n)＝X_n,n∈[T_N,T_N+1)>

步骤三：冲击过载条件下的迟滞效应模型

在实际中，冲击荷载没有理想的恒幅载荷，而是带有随机性的环境冲击；对于某些材料，如铝和铁，过载会延迟表面裂纹扩展，而不是加速其增长；这种延迟是由冲击过载造成的迟滞效应；

维林博格模型(即Willenborg模型)描述了这种过载迟滞现象；在冲击载荷作用下，裂纹尖端附近出现一个大的单调塑性区，裂纹扩展速率达到最小值；在下一个载荷周期中，当塑性区超过上边界值时，迟滞效应逐渐减小，然后完全消失；在迟滞区域中，疲劳裂纹扩展可以用一下一公式进行描述：

σ_comp＝σ_req-σ_max>

σ_req是无迟滞效应时的应力,σ_req的表达可通过欧文(Irwin)函数和几何准则推导：

ρ_req＝ρ_res>

ρ_res＝ρ_ol-(a(n)-a_ol)>

基于公式(9)～(12),σ_req的最终推导结果为：

ρ_req是由σ_req产生。α是Irwin函数的系数，对于平面板的裂纹扩展问题，其取值为1；

迟滞效应的持续时间取决于塑性区的相应大小；从公式(7)和(8)，可以找到持续时间，当其应力满足以下关系时，

σ_min＞σ_req-σ_max>

即，当满足等式(13)的条件时，过载迟滞效应结束；通过公式(12)和(13)中的应力强度来判断迟滞区域大小可以转换成通过裂纹长度来判断迟滞区域大小，其转换后的公式表达为：

从疲劳模型的公式(1)和(2)可知，未来的裂纹扩展速率取决于当前裂纹长度；因此，传统的线性累积损伤法则不再适用于计算该迟滞区域的裂缝长度；式中，r＝σ_min/σ_max；

推导出的公式(15)能够判定以下的两种情况：

能够判断每个冲击到来时，是否会发生迟滞效应；

当时发生迟滞效应；

能够判断迟滞效应的结束；当累积裂纹长度满足公式(15)时，迟滞效应结束；

步骤四：基于分段确定性马尔科夫过程(PDMP)的迟滞效应相关模型

该步骤建立了由过载引起的迟滞裂纹扩展模型；在迟滞过程中，裂纹扩展的路径受冲击过程中许多随机因素的影响，如冲击到达时间、冲击尺寸、累积裂纹长度以及材料的性能等；Willenborg模型是用来描述随机冲击载荷和裂纹扩展速率之间的关系，而Paris模型描述了不存在迟滞效应情况下的确定性过程，是恒幅载荷加载下的裂纹扩展；分段确定性马尔科夫过程是可以将随机冲击过程和确定性裂纹扩展模型联系在一起；一般来说，分段确定性马尔科夫过程很适合描述确定性过程加上随机时间：确定性过程是指疲劳退化，随机事件是随机冲击。因此，分段确定性马尔科夫过程被用来描述疲劳退化和随机冲击之间的相互作用关系。分段确定性马尔可夫过程具有三个特征：①确定性过程②跳跃过程(X_N,T_N,N)，N≥0；③状态转移，疲劳退化过程和随机冲击过程之间的状态转移；

分段确定性马尔科夫过程具体算法实施可以通过以下三步进行：

1.选择行为向量

构造了一个具有环境和应力变化的多维行为向量Z(n)来描述试样的裂纹状态：

2.推导流函数

这一步的目的是找出两个随机冲击之间的确定路径；假设两个随机冲击的发生时间是T_N和T_N+1，而流函数表示为：

式中，η(T_N)表示第N个冲击发生时已积累的裂纹长度，迟滞效应发生的边界条件是：

3.推导跳跃过程

这一步包括跳跃时间和冲击载荷大小的推导。冲击的大小服从正态分布其均值和标准方差为μ_ol和δ_ol；两个相邻随机冲击之间的间隔时间服从强度为λ的指数分布，

T_N+1-T_N～E(λ)>

若系统不失效，必须满足其最大应力强度因子K_max不能超过阈值K_threshold，并且累积的裂纹长度a(n)不能唱过最大阈值a_threshold。可靠度表达式为：

R(n)＝P{K_max(n)≤K_threshold∩a(n)≤a_threshold}>

通过以上步骤，首先，可以看出该模型考虑了横幅载荷下的疲劳退化和突发性的冲击载荷，全面分析了整个寿命周期经历过程；其次，通过考虑冲击过载情况下造成裂纹扩展发生迟滞效应，扩展速率减缓，推导出发生迟滞效应和结束迟滞效应的边界条件；最后，提出了分段确定性马尔科夫过程，来描述疲劳退化和随机冲击载荷相结合的过程，考虑到了两者之间的相互作用，建立了耦合模型，给出了可靠度的计算方法；基于以上三点明显的优势，本发明对于裂纹扩展相关实际工程问题有着很大的现实意义。

其中，在步骤一中所述的“恒幅载荷”，是指所承受的载荷幅值为确定的常数，不随时间变化而变化；所述的“巴黎(Paris)模型”，是指描述某些金属材料的疲劳断裂过程的数学模型。

其中，在步骤二中所述的“迟滞效应”，是指系统的状态发生了更缓慢的变化，相比于非迟滞效应时。

其中，在步骤三中所述的“维林博格(Willenborg)模型”，是指描述裂纹扩展在发生迟滞效应时，所使用的数学模型；所述的“欧文(Irwin)函数”，是疲劳与断裂力学中基本理论。

其中，在步骤四中所述的“马尔科夫过程”，是指一类随机过程，是研究离散事件动态系统状态空间的重要方法；所述的“分段确定性马尔科夫过程(PDMP)”，在本发明中指退化过程和冲击过程两个随机过程，退化过程为带随机参数的确定性过程，随机冲击过程为不确定性随机过程。

本发明具有以下优点：

1.本发明模拟实际使用环境，考虑到了本身随时间推移不断发生着疲劳退化的过程，还考虑到了偶发情况下造成的偶然冲击过程，具有真实性。

2.本发明考虑了冲击过载时会对裂纹扩展造成迟滞效应，并非是通常所认为的裂纹扩展速率会不断加大。这对于实际工程应用中，对裂纹扩展会有新的认识和理解，有着实际意义。

3.本发明应用了科学的方法将疲劳退化过程和随机冲击过程结合起来，给出了明确的数学表达，用以计算样件的可靠性，这在之前的研究和工程中，都还没有出现。因此，不仅有学术价值，同样对于工程上也为其提供了一条解决该问题的途径。

附图说明

图1本发明所述方法流程图

图2本发明裂纹增长在恒幅载荷和冲击载荷下的示意图；

图3本发明分段确定性马尔科夫建模过程；

图4本发明裂纹扩展算法实施流程图；

图5本发明可靠度曲线图

图6本发明首穿时概率密度函数图

图中符号代号说明如下：图1中，“PDMP”指分段确定性马尔科夫过程；图2中，a(n)为当前载荷下的裂纹长度，a_th表示裂纹长度的失效阈值，认为达到该阈值时系统发生失效；T₁表示第一次突发冲击的到来，T₂表示第二次突发冲击的到来，T₃表示第三次突发冲击的到来；n表示恒幅载荷循环数；图3中，φ表示流函数；图4中，符号的定义在下列表格2中已给出。

表2本发明中的符号说明表

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

以下实施例是以计算裂纹长度为研究对象按照如图1所示的流程进行实施的，首先确定疲劳退化下的裂纹扩展模型为Paris模型，并根据Paris模型推导出裂纹长度计算的数学显性表达式；其次确定在疲劳退化下伴随的偶发冲击模型，本发明中，确定冲击出现的次数服从泊松分布，冲击的大小服从正态分布，根据冲击出现的次数服从泊松分布可知，冲击出现的时间服从指数分布，通过出现的时间和大小计算每次冲击到来时的影响；然后考虑了冲击在过载情况下，造成的迟滞效应，使得裂纹扩展速率在塑性区域减缓，在每次冲击到来时刻通过条件判断，该次到来的冲击是否会造成迟滞，裂纹增长在恒幅载荷和冲击载荷下的示意图如图2所示；最后通过分段确定性马尔科夫过程将疲劳退化和冲击模型结合起来，对于分段确定性马尔科夫过程中的数学模型和说明如图3所示，其中，确定性过程是指疲劳退化过程，马尔科夫过程是指冲击载荷下裂纹的扩展状态，非线性叠加退化和冲击造成的裂纹扩展长度，运用模特卡罗仿真算法计算裂纹扩展可靠度随时间变化的曲线，达到评估可靠性的目的，本发明中的算法实施流程如图4所示。

本发明一种基于非线性疲劳累积损伤机理退化-冲击模型的建模方法，见图1所示，其具体实施步骤如下：

步骤一：横幅载荷下的疲劳退化模型

表1给出模型中参数的值，通过马尔科夫模特卡罗仿真算法对提出的算法进行验证。

表1模型中参数值

在以下情况用Paris模型计算：

(1)在第一次冲击发生之前；

(2)在第i次冲击到来之后，如果发生迟滞效应且结束迟滞效应的时间为T_en，在T_en和第(i+1)次冲击到来之间，用Paris模型计算裂纹扩展。

(3)在第i次冲击到来之后，不发生迟滞效应，直接用Paris模型计算该时间段内的裂纹扩展

以上三种情况的时段里，裂纹扩展的计算公式如下：

T₀为只有疲劳退化作用下的开始时间，T_i为只有疲劳退化作用时的结束时间。对于情况(1)中，T₀＝0，T_i＝T₁；对于情况(2)中,T₀＝T_en，T_i＝T_i+1；对于情况(3),T₀＝T_i，T_i＝T_i+1。

步骤二：冲击载荷模型

冲击出现的次数服从泊松分布，冲击的大小假定为正态分布。

本发明中假设冲击的数量服从泊松分布{N(n),n≥0}～Poisson(λ)，冲击的大小σ_ol服从正态分布，

步骤三：冲击过载条件下的迟滞效应模型

当冲击载荷过大时，会对裂纹扩展造成迟滞现象。根据Willenborg模型，判断在冲击到来时是否会发生迟滞效应的条件如下：

步骤四：基于分段确定性马尔科夫过程(PDMP)的迟滞效应相关模型

根据Willenborg模型，是很难通过其公式获得裂纹长度的显性数学表达式，因此通过向前欧拉公式用载荷间隔Δn＝1去获得裂纹扩展的表达，裂纹扩展可以用多维变量Z(n)来描述：

考虑了同一批次产品也会有材料的分散性，因此体现材料的几何参数C被随机化，C～N(μ_c,δ_c)。马尔科夫蒙特卡洛仿真算法以频率代替概率、以样本估计总体的思想，计算出裂纹扩展的可靠度曲线随时间变化如图5所示。图6所示为与可靠度曲线相对应的首次穿越破坏阈值的概率密度函数图。

通过图5可知，当可靠度为R＝0.9时，其载荷循环为10000cycles。