一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法

摘要

本发明是一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法，属于变换材料和光学分数阶傅里叶变换信号处理领域。本装置主要基于传统GRIN透镜扩大输入面，保持输出面不变或缩小，通过保角变换等方法获得其与传统GRIN透镜的变换关系，再利用变换材料的方法获得本装置的折射率的共形变换装置；本方法的步骤为：1在传统GRIN透镜的基础上保证透镜输出面和透镜厚度不变，弯曲透镜且角度在0度和360度之间；2保持透镜输出面不变，拉伸透镜至各点各向同性；3利用变换材料的方法计算本装置的材料参数。本装置在输入低调频率chirp信号的情况下具有低测量误差和高分辨率；本装置为各向同性材料，有利于工程制备。

说明书

技术领域

本发明是一种基于变换材料(Transformation Material)的光学分数阶傅里叶变换 (Fractional Fourier Optics Transformation)的装置和设计方法，属于变换材料以及光学分数阶 傅里叶变换信号处理领域。

背景技术

变换材料的雏形在2003年已经出现，当目前学术界公认是在2006年由J.B.Pendry和 U.Leonhardt分别独立提出的变换光学理论。Pendry和Leonhardt分别独立提出的这一理论，可 以从已知的参数通过“变换”而得来的参数通常用来表示材料性质，所以这种通过变换方法获 得其参数的材料，被称为“变换材料”。在电磁波、光学领域，这一方法被称为“变换光学”。

早在1937年，Condon在他的论文中就提出了分数阶傅里叶变换的初步概念。自此之后， 分数阶傅里叶变换在各个领域得到了广泛的应用。1980年分数阶傅里叶变换首次作为一种数 学手段应用于光学，之后分数阶傅里叶变换在光学中一直没有得到重视，直到1993年Ozaktas 和Mendlovic首先提出了将分数阶傅里叶变换应用于将光束通过二次折射率介质中。分数阶傅 里叶变换成为一种解释光学现象的新方法。在光学中比较常见的chirp信号主要是牛顿环，对 牛顿环的调频率检测在工程中有很多应用，比如检测球形期间表面光滑度、薄膜材料厚度等。 因此精确、方便、快速地测定其厚度十分必要，本发明主要是利用光学分数阶傅里叶变换透 镜快速精确定测量信号的调频率。

利用二次折射率透镜检测chirp信号调频率的文献目前还没有检索到，本发明对传统二次 折射率进行了改进，降低了低调频率chirp信号的测量误差，提高了装置的性能。

发明内容

本发明的目的是为了改善传统的二次折射率(Graded Index，GRIN)透镜在输入调频率 较低的chirp信号情况下测量误差大和输入多个相同幅度chirp信号检测精度低的问题，提出了 一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法。

本发明的核心思想是：以介质的特性作为手段完成对光场的控制，具体主要是基于光波 在介质中的传播的性质，当预先知道输入chirp信号在分数阶傅里叶变换装置中的处理效果， 即明确其光场分布，则可以利用变换材料的方法确定装置的介质参数，从而达到预期的光场 分布；

一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法，包括分数阶傅里叶变换 透镜的装置和装置的设计方法，其中，基于变换材料的分数阶傅里叶变换透镜的装置，简称 本装置，本装置的设计方法，简称本方法；

其中，本装置主要包括输入面、基于变换材料设计的二次折射率透镜和输出面；

本装置中基于变换材料设计的二次折射率透镜，简称透镜；

输入面是输入信号进入二次折射率透镜的入射面，由于本装置是基于变换材料的原则， 虽然本装置的输入面与原始的GRIN透镜输入面相比，形状发生了拉伸与改变，但在数学意义 与物理意义上，本装置的输入面的点与原始的GRIN透镜输入面为一一对应的关系；

本装置中透镜与传统的GRIN透镜相比，通过变换材料的方法，改变传统的GRIN透镜中 原有的轴向与径向梯度折射率的分布，使透镜的折射率呈类似于环状分布，主要表现为从输 入面到输出面，透镜折射率依次呈环状增大，并在此过程中透镜的环状折射率分布所形成的 环形半径逐渐减小；透镜折射率的改变导致了光在透镜的传播路径的改变；本装置在满足折 射率分布的情况下，其形状可以不受本装置示出形状的限制；在信号输入到本装置的输入面， 进入透镜后，在透镜中是一个分数阶傅里叶变换的过程，最终在输出面形成一个阶次为1的输 入信号的分数阶傅里叶变换，即为普通的傅里叶变换，在透镜内部则形成了阶次不同的输入 信号分数阶傅里叶变换；本装置是在传统的GRIN透镜的基础上扩大输入面，保持输出面不变 或缩小的共形变换，本装置可以通过复变函数的保角变换等方法获得本装置和传统二次折射 率透镜的变换关系，再利用变换材料的方法获得本装置的折射率；

输出面：即频谱面，输入光学信号经过二次折射率透镜之后，出射波为输入波的一个傅 里叶变换信号；

本方法，通过以下步骤实现：

步骤1：在二维平面下，以传统的GRIN透镜为基础，保证透镜输出面和透镜的厚度不变， 弯曲透镜；

其中，透镜的高度所指方向z方向，且步骤1假设z方向是无限延伸的；步骤1中的透镜弯 曲角度为γ，γ弯曲程度可为0度到360度；

步骤1中透镜在二维平面主伸长表示为公式(1)：

其中，h为透镜的厚度，θ和r为步骤1透镜弯曲后透镜中的点的极坐标，分别为 传统的GRIN透镜在步骤1弯曲后在极坐标下θ和r的主伸长；

步骤2：透镜在步骤1的基础上，沿透镜中心到坐标r的方向拉伸，拉伸至透镜中的各点 各向同性；

经过步骤2后透镜在二维平面的主伸长表示为公式(2)：

其中，二维平面是r和θ组成的二维平面；θ′和r′为步骤2拉伸后透镜中的点的极坐标， 分别为步骤1中的透镜在步骤2拉伸后在二维平面的主伸长，表示θ′对θ求偏导， 表示r′对r求偏导，；

其中，步骤2要拉伸至各点各向同性，主伸长要满足公式(3)：

其中，λ为分别经过步骤1弯曲和步骤2拉伸后透镜中各点在各个方向上的主伸长；

由于步骤1弯曲和步骤2拉伸过程中始终保持透镜输出面不变，则GRIN透镜和经过步骤1 和步骤2后的透镜的变换关系满足公式(4)和(5)：

其中，R₁为输出面所在圆弧的半径，f(r)为步骤1弯曲和步骤2拉伸后透镜中的各点与传>-1(r')为f(r)函数的逆函数，ln为以e>表示以e为底，对取对数；公式(4)也体现了本装置中输入面与原始 的GRIN透镜输入面上的点是一一对应的对应关系；

步骤3：通过变换材料的方法，基于步骤2计算出变换后新的透镜的介电常数和磁导率；

其中，变换材料的方法中材料介电常数和磁导率变化前后关系为公式(6)和公式(7)：

其中，ε′和μ′为变换后材料的介电常数和磁导率，ε₀和μ₀为变换前材料的介电常数和>1,λ₂,λ₃为三维坐标系下的主伸长；

由于步骤1中假设z方向上无限延伸，即假设在z方向没有任何变形，则在z方向上的主伸 长λ_z＝1，通过公式(6)和(7)，可以得出经过步骤1弯曲和步骤2拉伸后透镜的介电常数、>

其中，变形主要指弯曲和拉伸，也可以指压缩公式(8)中的ε₀、μ₀、n₀为变换前透>r′ε_θ′ε_z′为r，θ和z方向的介电常数，μ_r′,μ_θ′,μ_z′为r，θ和>r′,n′_θ为r，θ方向的折射率；

至此，经过步骤1到步骤3，完成了本方法。

有益效果

本发明一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法，与传统GRIN傅里 叶透镜装置相比，具有如下有益效果：

1.在输入低调频率chirp信号的情况下具有较低测量误差；

2.当输入为多个同幅值不同调频率的chirp信号尤其是调频率较低的chirp信号，较传统的 GRIN透镜，能够测出调频率较接近的chirp信号，具有更高的分辨率；

3.本发明采用了共形映射的方法，保证了材料的各向同性，有利于工程上的制备。

附图说明

图1为本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法”在实施例 1中的本装置组成的示意图；

图2为本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法”在实施例 2中的本装置设计方法图；

图3为本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法”在实施例 3中的本装置应用于检测低调频率chirp信号与传统GRIN透镜的仿真结果对比图；

图4为本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法”在实施例4 中的本装置应用于检测多个同幅chirp信号与传统GRIN透镜仿真结果对比图；

图示说明：

图2中(a)原始的GRIN透镜(b)经过步骤1变换后的透镜(c)经过步骤2变换后的 透镜

图3中(a)GRIN透镜场图(b)本装置仿真场图(c)GRIN透镜横轴在y＝0截线的电场图(d)本装置横轴在y＝0截线的电场图；

图4中(a)输入面点场图(b)GRIN透镜场图(c)本装置仿真场图(d)GRIN透镜横轴在y＝0截线的电场图(e)本装置横轴在y＝0截线的电场图。

具体实施方式

下面根据附图及实施例对本发明进行详细说明，但本发明的具体实施形式并不局限于此。

实施例1

本实施例阐述了将本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方 法”中本装置的组成和具体实施。

从图1中所示，图1是本装置的组成图。

从图1中可以看出，CD是输入面，ABCD是本装置在传统GRIN透镜保持输出面不变，弯 曲角度为45度的保形映射条件下经变换材料方法得到的透镜的折射率分布，AB是输出面。

具体到本实施例中，光波从CD入射，在输入面的光学信号与传统的二次折射率透镜相比， 当chirp信号输入到本装置中，由于本装置的输入面的点与原始的GRIN透镜输入面为一一对 应，所以与同一chirp信号输入到传统的GRIN透镜相比，表面上该信号进入本装置的入射面与 信号进入传统的GRIN透镜的入射面信号是一样的，实际上，信号在输入面空间被压缩，信号 实际进入到透镜的调频率增大，相当于一个更高频率的信号进入到透镜中，这样改善了传统 的GRIN透镜在输入调频率较低的chirp信号情况下测量误差大的问题；信号从CD进入二次折 射率透镜，最终在AB面输出，在AB面输出的光学信号是CD面输出的光学信号的一个傅里叶 变换。

实施例2

本实施例阐述了将本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方 法”中本方法的流程和具体实施。

从图2为本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装置和设计方法”中本方 法的流程和具体实施。

从图2中可以看出，本方法包含如下步骤：

步骤A：保持透镜厚度和输出面不变，弯曲透镜；

具体到本实施例中，如图2(a)所示x，y坐标系二维下笛卡尔坐标系，传统的GRIN透镜 的高度为h，厚度为L，输入面CD距离y轴的距离为R2，输出面AB距离y轴的距离为R1，将图(a)中透镜弯曲到如图(b)所示极坐标系下，变换后的透镜输出面A′B′为h，厚度为L， 输入面CD距离圆心O的距离为R2，输出面AB距离圆心O的距离为R1，透镜的弯曲角度为γ；

其中，步骤A中透镜在二维平面主伸长表示为公式(9)：

步骤B：透镜输出面不变，沿坐标r方向拉伸透镜至各点各向同性；

具体到本实施例中，如图(c)所示极坐标系，变换后的透镜输出面A″B″保持不变，仍 为h，厚度为L′，输入面CD距离圆心O的距离为R2′，输出面AB距离圆心O的距离为R1，透镜的弯曲角度为γ；

其中，经过步骤A和步骤B中变换后透镜中各点的主伸长为公式(10)：

其中，图(a)GRIN透镜与图(c)透镜中的各点关系如下：

步骤C：经过步骤B得出变换后的透镜与原始透镜的关系，根据变换材料的方法，可以得 出新的透镜的材料参数为：ε_r′＝ε_θ′＝ε₀，μ_r′＝μ_θ′＝μ₀，ε_z′＝(1/λ)²ε₀，μ_z′＝(1/λ)²μ₀，>r′＝n′_θ＝(1/λ)n₀；

至此，从步骤A到步骤C，完成了本实施例中一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换 装置设计的方法。

实施例3

本实施例阐述了将本发明“一种基于变换材料的光学分数阶傅里叶变换的装本置和设计 方法”中本装置应用于检测低调频率chirp信号与传统GRIN透镜的仿真结果对比图。本实施例 利用COMSOL Multiphysics进行计算机仿真，本实施例输入信号为cos(5y²)，传统的GRIN透>

本施例中的参数设置为：输出信号的波长0.09cm，按照实施例2中的参数为h＝3.5m， L＝3.0377m，GRIN透镜的折射率为n(y)＝1.5[1-(1/2)η²y²]且η＝0.5171，L＝π/(2η)，>1＝3.5m，R₂＝8.3368m，此时，本装置输入面与传统GRIN透镜输入面的压缩比为2.3819。

假设特殊的chirp输入信号为公式(12)：

其中exp()为指数函数，f(x)为关于x的函数，i为复数，m为chirp信号的调频率，m₀为>

则调频率与阶次的关系为公式(14)：

其中，s²＝λξ/n₁，λ为波长，ξ，n₁为GRIN透镜的参数，p为chirp信号的阶次；在传>

其中，l为透镜内部某一平面距离输入面的距离，L为透镜的厚度；

由施例2，可以看出本装置与传统GRIN透镜输入面的压缩率为公式(16)：

则输入公式(12)的chirp信号，本装置与传统GRIN透镜之间输入信号调频率的关系为公 式(17)：

其中为本装置中输入公式(12)信号实际的调频率；

则本装置中调频率与阶次的关系为公式(18)：

在传统的GRIN透镜输入面z方向输入信号cos(5y²)，仿真结果如图3(a)(c)所示：其中>

在本装置z方向输入信号cos(5y²)，仿真结果如图3(b)(d)所示：其中图(b)为输入该信号在本装置中的场图，X轴、Y轴为透镜所在二维笛卡尔坐标系下的坐标轴，可以看出在本装置的扇形区域内，入射波在本装置中弯曲，并且在其所对应的阶次聚焦，即为透镜区域电场的最大值，通过聚焦位置可以看到本装置与传统的GRIN透镜相比聚焦位置在透镜的中部；图(d)X轴为图(b)中的X轴，Y轴为的电场的绝对值，图中曲线表示的是在y＝0时所>

表1 GRIN透镜和本装置在输入低调频率chirp信号仿真结果对比

从表1中，可以看出本装置测量输入信号的调频率相对误差未0.91％，比传统的GRIN透镜 检测的调频率的相对误差22.31％要低很多，所以本装置在检测低调频率信号的调频率较传统 的GRIN透镜更精确。

实施例4

本实施例按照实施例3中所述的参数设置，利用利用COMSOL Multiphysics进行计算机仿 真。

本施例的输入信号为f(y)＝cos(8y²)+cos(6y²)，如图4(a)所示，其中X轴为输入平面>

表2输入信号为f(y)＝cos(8y²)+cos(6y²)时GRIN透镜和本装置仿真结果对比

从表2可以看出本装置可以测量出输入信号的两个调频率，而传统的GRIN透镜只能测量 出一个调频率，在分辨同幅的低调频率chirp信号上，本装置具有更大的优势。

以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明 的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之 内。