采用分区插值多项式描述类桁架的结构优化方法

摘要

本发明公开了一种采用分区插值多项式描述类桁架的结构优化方法，首先将设计域划分为若干个子域，在每个子域内根据域边界控制点分别构造多项式插值函数。以控制点的位置以及材料在控制点的密度作为设计变量。各个子域内部按照插值多项式计算材料分布密度和方向。通将这些子域统一划分有限单元。进行有限元分析和优化分析。过优化控制点的位置和材料在控制点的密度实现类桁架材料的优化分布。此基础上，选择离散几个参数就可以简化得到桁架，或选择几个分段连续区间的参数就可以得到均匀各向同性带孔板。通过优化分区边界线形状以及材料在分区边界线上的分布实现类桁架结构优化，用于解决非均匀各向异性材料的结构拓扑优化设计问题。

说明书

技术领域

本发明涉及一种采用分区插值多项式描述类桁架的结构优化方法，属于结构优化设计领域，可以应用于桁架和带孔匀质各向同性连续体拓扑优化设计方法。

背景技术

在航天航空、材料、机械、土木以及船舶和水利等许多领域经常需要对各种材料和结构进行优化设计。这些材料和结构不仅需要满足使用功能的要求，而且希望使用的材料尽可能少。如何优化设计各种材料和结构是这些领域至关重要的问题。而解决这些问题并不是一件容易的事情。由于材料科学和制造技术的发展，使得我们能够制造材料范围不断扩展，但是如何科学合理地设计材料和结构确没有能够很好解决。这属于材料与结构的拓扑优化设计问题。

目前各种结构拓扑优化方法都是采用各向同性材料模型，直接得到均匀各向同性带孔连续体。拓扑优化结果用单元表示，这类方法有锯齿边界、灰色密度以及棋盘格现象等数值计算不稳定问题，需要进一步的处理。更重要的是，拓扑优化结构理论上应该是非均匀各向异性类桁架连续体。这些方法距理论上的最优解相差较远。基于类桁架材料模型的优化方法可以直接得到十分接近理论解的优化结构。

传统的基于类桁架材料模型的优化方法以有限元结点位置的材料密度和方向为优化设计变量。对于应力约束体积最小问题，采用满应力准则优化材料在结点位置的密度和方向，通过插值得到材料在单元内任意位置的密度和方向，从而形成优化的材料分布场。为了有限元分析足够精确，一般需要较多的单元和结点。由于设计变量定义在结点位置，结点过多意味着设计变量过多，这导致优化效率降低。特别是当采用基于敏度的数学规划方法研究一般结构拓扑优化问题时，由于敏度分析相对结构分析的精度低，导致优化的精度也不高。在优化过程中，材料在各结点位置的方向经常出现剧烈变化，难以形成合理的连续光滑曲线，误差较大。进一步，由于最终优化目标是材料分布场，以材料在结点位置的方向作为优化设计变量，再合成分布场函数是间接方法，增加了工作量和误差。直接优化分布函数会更合理。

发明内容

本发明提供了一种采用分区插值多项式描述类桁架的结构优化方法，解决非均匀各向异性类桁架连续体的优化设计，寻找拓扑优化的杆系结构和均质各向同性带孔连续体。本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

采用分区插值多项式描述类桁架的结构优化方法，包括：

第一步：以荷载作用点O为原点，建立近似斜交坐标系Oαβ；曲线坐标轴由多段直线段近似表示；Oα轴第1段线段与x轴夹角为α₁₀，长度为l₁₁；Oα轴从第2段线段开始，以与前一段线段的方向夹角α_i0(i＝2,3,…,n)定义，每段线段的长度为l_1i(i＝1,2,…,n-1)，形成控制点P_i0(i＝1,2,…,n)，n为Oα轴划分的份数；当坐标轴与边界相交时，如P_n0点，该线段的长度不作为设计变量，线段终点选在边界上；Oα轴第1段线段逆时针旋转90度和β₁₀为Oβ轴第1段线段的方向，长度为l₂₁；Oβ轴从第2段线段开始，以与前一段线段的方向夹角β_0i(i＝2,3,…,m)定义，每段线段的长度为l_2i(i＝1,2,3,…,m)，形成控制点P_0i(i＝1,2,3,…,m)，m为Oβ轴划分的份数；两个坐标轴划分的份数n和m事先设定，这两个参数决定了计算精度；当所有角度初始取作零时，Oαβ就是直角坐标系；

第二步：建立坐标网格，将设计域划分为若干个四边形；具体过程是：以 P₁₀和P₀₁为起点，沿P₁₀前后两段线段的平均方向再逆时针转动β₁₁做直线；沿P₀₁前后两段线段的平均方向再逆时针转动α₁₁做直线，这两条直线交于P₁₁，形成四边形OP₁₀P₁₁P₀₁；再以P₁₁和P₀₂为起点形成下一个四边形P₀₁P₁₁P₁₂P₀₂；以P₀₂和P₁₁为起点形成下一个四边形P₁₀P₂₀P₂₁P₁₁；以此类推，将设计域划分为相交的网格区域，形成若干个四边形；当所有角度初始取作零时，该网格是直线正交规则网格，四边形都是矩形。

第三步：以上述四边形组成的设计域划分有限单元；以形成网格的基本参数，α_ij(i＝1,2,…,n；j＝0,1,2,…,m),β_ij(i＝0,1,2,…,n-1；j＝0,1,2,…,m),l_ij(i＝1,2；j＝1,2,…,m-1)以及控制点位置的材料密度t_ij(i＝0,1,2,…,n；j＝0,1,2,…,m)作为设计变量；网格线及其中的插值函数就是材料的方向，实际计算时，取控制点前后两段线的方向平均值；有了这样一个网格，实际上就得到了材料的分布场；结点位置的材料密度由有限元的形函数根据控制点位置的材料密度和方向插值得到，

式中(x_i,y_i)表示四边形四个角点的坐标，(ξ,η)可以理解为参数；

式(1)构成了材料分布场函数；也就是，当ξ＝c常数，η作为参数在[-1,1]之间变化时，式(1)代表的曲线表示了曲线经过的点的材料方向；同理，当η＝c常数，ξ作为参数在[-1,1]之间变化时，式(1)代表的曲线表示了另一个材料方向。材料密度也采用类似式(1)的插值方式

式中t_bi表示在四边形四个控制点位置的材料密度，由此可以确定有限元结点位置的材料密度；

第四步：有限元分析，求解结点位移、应力和应变；由差分法计算目标函数关于设计变量的敏度；

第五步：计算KKT条件，满足则停止计算；否则进入下一步；

第六步：将目标函数和约束函数线性展开，采用拟二次规划方法优化设计变量；控制设计变量α_ij,β_ij的变化范围在一个较小的范围内，返回第二步。

本技术方案与背景技术相比，它具有如下优点：

本发明将设计变量与有限元的结点分离，将设计域划分为若干四边形子域。每个子域包含若干有限单元。用较大的网格分区插值多项式近似分区内的材料分布函数场。四边形两组对边方向就作为两组材料的分布方向，四边形内部材料密度和方向借助插值多项式计算得到。

通过优化分区边界线形状以及材料在分区边界线上的分布实现类桁架结构优化，用于解决非均匀各向异性材料的结构拓扑优化设计问题。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

图1类桁架优化变量和结构拓扑

图2是本发明优化方法的流程图。

图3是实施例一个矩形板结构的初始设计域和荷载。

图4是采用本发明方法获得的实施例的最佳材料分布。

具体实施方式

请参照图1至图4，采用分区插值多项式描述类桁架的结构优化方法，进行悬臂矩形梁的拓扑优化设计

一个长L＝1.6米，高H＝1米，厚0.01米的矩形设计域如图2所示。左下角位置作用一个100kN竖直向下的集中力，右边固定。最后的材料优化分布可视化图形为图3所示。两个方向划分份数为n＝m＝3，取荷载作用点为坐标原点O。

优化步骤如下：

1.初步选择控制参数：两个方向的初始长度为l_1j＝L/n,l_2j＝H/m和方向角α_ij＝0,β_ij＝0,t_ij＝0.2。

2.按照控制参数形成网格。其中右边第3列网格线的长度不作为设计变量，而是以与固定边界相交为准。

3.将所有子域组合构成的设计域划分单元。在每个四边形子域内，选择形函数作为插值函数。根据控制点的材料密度和方向插值得到结点位置的材料密度和方向，形成结构刚度矩阵。

4.进行有限元分析，得到结点位移列向量。由结点位置的应变和弹性矩阵计算得到结点位置的主应力方向和主应力方向的应变。

5.采用差分方法计算目标函数关于设计变量的导数。如果满足KKT优化条件则优化结束，否则进入下一步。

6.将目标函数和约束函数线性展开，采用拟二次规划方法优化设计变量。返回步骤2。

以上所述，仅为本发明较佳实施例而已，故不能依此限定本发明实施的范围，即依本发明专利范围及说明书内容所作的等效变化与修饰，皆应仍属本发明涵盖的范围内。