偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法

摘要

本发明公开了一种偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。本发明的主动轮是偏心圆同步带轮；从动轮是傅里叶非圆同步带轮；张紧轮是非圆同步带轮，它起到实时补偿主动轮、从动轮传动过程中带来的同步带松弛量变化。本发明首先建立同步带主从动轮的节曲线方程，并利用切极坐标理论计算主从动同步带轮传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代方法计算非圆张紧同步带轮节曲线的各项参数。本发明为实现大中心距的非匀速直接精确传动提供一种新传动机构和新方法，同时满足非匀速传动和实时张紧的要求。

说明书

技术领域

本发明涉及一种非圆同步带传动的设计方法，具体涉及一种变松弛量自补偿的偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。

背景技术

传动机构改变了输入输出构件的运动形式和速度，以满足不同工作环境要求，其中非匀速传动机构占据非常重要地位，常见的有连杆机构、凸轮机构、非圆齿轮机构等。相对于连杆机构和凸轮机构，非圆齿轮机构具有结构紧凑、传动平稳、传递功率较大、容易实现动平衡等优点，因此已成功应用于加工机床、自动机械、运输、仪器仪表、泵类、流量计、纺织机械和农业机械上。但是非圆齿轮传动只适合用于中心距较小、润滑方便的非匀速传动场合，因此适合于大中心距、润滑不方便和低制造成本场合的非圆挠性件(带/链)传动应运而生。其中非圆链传动的多边形效应明显，因此在对非匀速传动比变化规律有严格要求时就受到限制；同时普通的摩擦式带传动由于弹性滑动而不能保证准确的传动比规律。

目前的非圆带(链)传动，都只有2个非圆的带(链)轮——主动轮和从动轮，在传动过程中由于其节曲线是非圆，带(链)的松弛量是实时变化的，因此就不能同时保证工作所要求的非匀速传动比变化规律和带(链)的实时张紧。实际应用中为了补偿在传动中带(链)的松弛量变化，通过附加弹簧以实现张紧，由于在一个运动周期中其张紧力是变化的，而且随着非匀速特性的加剧张紧力的变化幅度越大，这样反过来会影响非匀速传动的精度，并且动力学特性变差；因此在实际工程中，非圆带(链)传动很少应用于精确的负载高速传动场合。

发明内容

本发明的目的是针对以上问题，提出一种变松弛量自补偿的偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，为非圆同步带轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。该设计方法首先建立同步带主从动轮的节曲线方程，并利用切极坐标理论计算主从动同步带轮传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代方法计算非圆张紧同步带轮节曲线的各项参数。

为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：

本发明的具体步骤如下：

步骤一、根据传动规律确定偏心圆主动同步带轮节曲线与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线方程；

偏心圆主动同步带轮轮为匀速转动的输入构件，其切极坐标方程：

p₁＝r₁+e₁×cos(θ₁)>

s₁＝2π×r₁>

式中，p₁为偏心圆主动同步带轮节曲线的切径，θ₁为p₁到动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴的切角，e₁为偏心圆主动同步带轮节曲线的偏心距，r₁为偏心圆主动同步带轮节曲线半径，s₁为偏心圆主动同步带轮节曲线周长。

傅里叶非圆从动同步带轮为输出轮，傅里叶非圆从动同步带轮节曲线切极坐标方程为：

式中，r₂₁,r₂₂分别为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线第一段曲线与第二段曲线的极径，n₂₁为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的阶数，m₂₁为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线第一段曲线的变形系数，a₀,a₁,a₂,b₁,b₂为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的参数，为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角。

式中，p₂为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的切径，θ₂为p₂到动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴的切角。

步骤二、计算偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮初始位置的传动比；

初始位置，偏心圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角根据切极坐标理论得：

式中，p₁(θ₁₂)和p₂(θ₂₁)分别为偏心圆主动同步带轮节曲线与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C₁、C₂对应的切径，p₁(θ₁₃)和p₃(θ₃₁)分别为偏心圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C₆、C₅对应的切径，p₂(θ₂₃)和p₃(θ₃₂)分别为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C₃、C₄对应的切径，θ₁₂₀为偏心圆主动同步带轮节曲线切径p₁(θ₁₂)与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线切径p₂(θ₂₁)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₁₃₀为偏心圆主动同步带轮节曲线切径p₁(θ₁₃)与张紧同步带轮节曲线切径p₃(θ₃₁)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₂₃₀为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线切径p₂(θ₂₃)与张紧同步带轮节曲线切径p₃(θ₃₂)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₁₂、θ₁₃分别为偏心圆主动同步带轮节曲线上切点C₁、C₆对应切径到动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴的切角，θ₂₁、θ₂₃分别为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线上切点C₂、C₃对应切径到动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴的切角，θ₃₁、θ₃₂为张紧同步带轮节曲线上切点C₄、C₅对应切径到动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴的切角，L₁为偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮中心距，L₂为傅里叶非圆从动同步带轮与张紧同步带轮中心距，L₃为张紧同步带轮与偏心圆主动同步带轮中心距；

初始位置偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮传动比为：

步骤三、计算偏心圆主动同步带轮、傅里叶非圆从动同步带轮和张紧同步带轮中每两轮之间的公切线段长度。

初始时刻，设定张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T₀、傅里叶非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁、偏心圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₂分别为：

式中，p’₁(θ₁₂₀)、p’₁(θ₁₃₀)分别为p₁(θ₁₂₀)、p₁(θ₁₃₀)的一阶微分，p'₂(θ₁₂₀)、p'₂(θ₂₃₀)分别为p₂(θ₁₂₀)、p₂(θ₂₃₀)的一阶微分，p'₃(θ₁₃₀)、p'₃(θ₂₃₀)分别为p₃(θ₁₃₀)、p₃(θ₂₃₀)的一阶微分。

当偏心圆主动同步带轮转过角度傅里叶非圆从动同步带轮相应转过角度偏心圆主动同步带轮节曲线上切点C₁、C₆对应的弧长变化量为s₁、s₆，傅里叶非圆从动同步带轮节曲线上切点C₂、C₃对应的弧长变化量为s₂、s₃，张紧同步带轮节曲线上切点C₄、C₅对应的弧长变化量为s₄、s₅。则有：

式中，p₁"(θ₁)为p₁(θ₁)的二阶微分，p₂"(θ₂)为p₂(θ₂)的二阶微分，p₃"(θ₃)为p₃(θ₃)的二阶微分，θ₃为张紧同步带轮切径p₃到动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴的切角。

任意时刻，偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁₂、傅里叶非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₂₃、偏心圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁₃分别为：

式中，p’₁(θ₁₂)、p’₁(θ₁₃)分别为p₁(θ₁₂)、p₁(θ₁₃)的一阶微分，p'₂(θ₂₁)、p'₂(θ₂₃)分别为p₂(θ₂₁)、p₂(θ₂₃)的一阶微分，p'₃(θ₃₂)、p'₃(θ₃₁)分别为p₃(θ₃₂)、p₃(θ₃₁)的一阶微分，为张紧同步带轮节曲线动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角。

步骤四、计算任意时刻偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮的传动比；

偏心圆主动同步带轮匀速转动，根据式(1)，(4)解得p₁，p₂，则瞬时传动比为：

步骤五、计算任意时刻同步带周长；

偏心圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C₆，任意时刻C₁与C₆间的弧长为c₁₁，傅里叶非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C₃，任意时刻C₂与C₃间的弧长为c₂₂，张紧同步带轮节曲线与从动轮节曲线公切线上切点记为C₄，张紧同步带轮节曲线与主动轮节曲线公切线上切点记为C₅，任意时刻C₄与C₅间的弧长为c₃₃。

任意时刻，同步带周长为：

C＝T₁₂+T₁₃+T₂₃+c₁₁+c₂₂+c₃₃>

步骤六、张紧同步带轮自由节曲线计算；

迭代算法如下：

(a)设定张紧同步带轮转动中心，张紧同步带轮的半径设置为变量，张紧同步带轮半径初始值给定，记为r_3-0，根据式(14)计算带长初始值记为C₀。

(b)偏心圆主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算傅里叶非圆从动同步带轮转过相应的角度，张紧同步带轮的转角与偏心圆主动同步带轮相同。在保证C不变的前提下，根据式(14)反求偏心圆主动同步带轮转过1°时对应的张紧同步带轮半径r_3-1，即对应时刻的p₃。

(c)重复(b)358次，得到偏心圆主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的张紧同步带轮半径分别为r_3-2，r_3-3，……，r_3-359。

(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。

(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与偏心圆主动同步带轮及傅里叶非圆从动同步带轮的周长均相等。

(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(14)计算各个时刻的带长。

(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。

(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮。

(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与偏心圆主动同步带轮及巴斯噶非圆从动轮的周长均相等。

(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(14)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。

(k)建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧同步带轮节曲线方程。

本发明具有的有益效果：

1、本发明为变松弛量自补偿的偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动机构，促进了偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动的推广使用。

2、本发明中主动轮节曲线为偏心圆，从动轮节曲线为傅里叶曲线，偏心圆主动同步带轮节曲线的半径、偏心距是可调量，傅里叶非圆从动同步带轮节曲线可调参数更多，有a₀,a₁,a₂,b₁,b₂以及变性系数和阶数，调整这七个参数，可以满足更多的特定非匀速要求的传动。

3、本发明中的张紧同步带轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿偏心圆主动同步带轮和傅里叶非圆从动同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。

4、本发明采用切极坐标理论计算传动比的精确值，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。

附图说明

图1是本发明的传动原理图；

图2是本发明实施例中偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮传动比变化曲线图；

图3是采用本发明实施例中的非圆张紧同步带轮的节曲线时同步带带长变化曲线图；

图4是本发明实施例中傅里叶非圆从动同步带轮节曲线图；

图5是本发明实施例中非圆张紧同步带轮节曲线图。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明作进一步说明。

偏心圆—傅里叶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，具体步骤如下：

步骤一、如图1，给定偏心圆主动同步带轮节曲线半径r₁＝30mm，偏心距e₁＝15，根据下面公式计算偏心圆主动同步带轮的周长s₁＝188.4956mm。

s₁＝2π×r₁>

偏心圆主动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：

p₁＝r₁+e₁×cos(θ₁)>

傅里叶非圆从动轮节曲线方程系数为a₁＝3.05，a₂＝1.32，b₁＝-3.78，b₂＝2.65，根据偏心圆主动同步带轮节曲线与傅里叶非圆从动轮节曲线周长相等的原则，计算傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的参数a₀＝22.55；傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的阶数n₂₁＝1，变性系数m₂₁＝1，将以上参数代入公式(3)计算傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的极径r₂₁、r₂₂：

在区间内通过数值求解，得到r₂₁的数值解。

式中，u₂为正弦非偏心圆主动同步带轮节曲线上切线与极径r₂₁的夹角；

转角切角θ₂，夹角u₂之间存在下面的关系：

确定傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：

傅里叶非圆从动同步带轮节曲线如图4。

步骤二、计算偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮初始位置的传动比；

初始位置，偏心圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角傅里叶非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角根据切极坐标理论得：

式中，p₁(θ₁₂)和p₂(θ₂₁)分别为偏心圆主动同步带轮节曲线与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C₁、C₂对应的切径，p₁(θ₁₃)和p₃(θ₃₁)分别为偏心圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C₆、C₅对应的切径，p₂(θ₂₃)和p₃(θ₃₂)分别为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C₃、C₄对应的切径，θ₁₂₀为偏心圆主动同步带轮节曲线切径p₁(θ₁₂)与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线切径p₂(θ₂₁)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₁₃₀为偏心圆主动同步带轮节曲线切径p₁(θ₁₃)与张紧同步带轮节曲线切径p₃(θ₃₁)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₂₃₀为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线切径p₂(θ₂₃)与张紧同步带轮节曲线切径p₃(θ₃₂)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₁₂、θ₁₃分别为偏心圆主动同步带轮节曲线上切点C₁、C₆对应切径到动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴的切角，θ₂₁、θ₂₃分别为傅里叶非圆从动同步带轮节曲线上切点C₂、C₃对应切径到动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴的切角，θ₃₁、θ₃₂为张紧同步带轮节曲线上切点C₄、C₅对应切径到动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴的切角，L₁为偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮中心距，L₂为傅里叶非圆从动同步带轮与张紧同步带轮中心距，L₃为张紧同步带轮与偏心圆主动同步带轮中心距；

根据公式(8)计算初始位置的传动比为i₁₂₀＝0.6730。

步骤三、计算偏心圆主动同步带轮、傅里叶非圆从动同步带轮和张紧同步带轮中每两轮之间的公切线段长度。

初始时刻，设定张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T₀、傅里叶非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁、偏心圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₂分别为：

根据公式(9)计算得T₀＝108.3370mm，T₁＝110.6045mm，T₂＝107.3296mm。

当偏心圆主动同步带轮转过角度傅里叶非圆从动同步带轮相应转过角度偏心圆主动同步带轮节曲线上切点C₁、C₆对应的弧长变化量为s₁、s₆，傅里叶非圆从动同步带轮节曲线上切点C₂、C₃对应的弧长变化量为s₂、s₃，张紧同步带轮节曲线上切点C₄、C₅对应的弧长变化量为s₄、s₅。则有：

式中，p₁"(θ₁)为p₁(θ₁)的二阶微分，p₂"(θ₂)为p₂(θ₂)的二阶微分，p₃"(θ₃)为p₃(θ₃)的二阶微分，θ₃为张紧同步带轮切径p₃到动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴的转角。

任意时刻，偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁₂、傅里叶非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₂₃、偏心圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁₃分别为：

式中，p’₁(θ₁₂)、p’₁(θ₁₃)分别为p₁(θ₁₂)、p₁(θ₁₃)的一阶微分，p'₂(θ₂₁)、p'₂(θ₂₃)分别为p₂(θ₂₁)、p₂(θ₂₃)的一阶微分，p'₃(θ₃₂)、p'₃(θ₃₁)分别为p₃(θ₃₂)、p₃(θ₃₁)的一阶微分，为张紧同步带轮节曲线动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角。

步骤四、计算任意时刻偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动轮的传动比；

偏心圆主动同步带轮为匀速转动，进而根据式(2)，(6)解得p₁，p₂，则计算得偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动轮瞬时传动比：

根据式(12)、(13)、(14)，计算圆主动轮旋转一周时，偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮传动比的关系如图2。

步骤五、计算同步带周长；

偏心圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C₆，任意时刻C₁与C₆间的弧长为c₁₁，偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C₂，傅里叶非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C₃，任意时刻C₂与C₃间的弧长为c₂₂，张紧同步带轮节曲线与傅里叶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C₄，张紧同步带轮节曲线与偏心圆主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C₅，任意时刻C₄与C₅间的弧长为c₃₃。

任意时刻，同步带周长为：

C＝T₁₂+T₁₃+T₂₃+c₁₁+c₂₂+c₃₃>

在初始时刻，根据公式(16)计算同步带的初始周长为C₀＝563.98mm；

依据上面的方法顺次计算主动轮转动一周时各个时刻同步带带长，各个时刻同步带带长变化曲线如图3。

步骤六、张紧同步带轮自由节曲线计算。

迭代算法如下：

(a)已知张紧同步带轮转动中心，张紧同步带轮的半径设置为变量r₃，张紧同步带轮半径初始值记为r_3-0＝30mm，同步带初始周长记为C₀＝563.98mm。

(b)偏心圆主动同步带轮转过根据偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮传动比关系如图2，计算傅里叶非圆从动同步带轮转过相应的角度张紧同步带轮的转角与偏心圆主动同步带轮相同在保证同步带周长C不变的前提下，计算r_3-1＝30.0562mm。

(c)重复(b)358次，得到r_3-2，r_3-3，……，r_3-359。

(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。

(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与偏心圆主动同步带轮及傅里叶非圆从动同步带轮的周长均相等。

(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(16)计算各个时刻的带长。

(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。

(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮。

(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与偏心圆主动同步带轮及傅里叶非圆从动同步带轮的周长均相等。

(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(16)计算得到各点对应同步带带长，若各点对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。

(k)建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧同步带轮节曲线方程。三个轮的节曲线及相位角、转动中心都确定，计算张紧同步带轮和偏心圆主动同步带轮与傅里叶非圆从动同步带轮对应的转角关系。

计算后的张紧同步带轮节曲线如图5。

该实施例中同步带理论带长变化量为25.78mm，为同步带总长度的4.8％，因为带需要张紧，可以满足实际使用要求。