基于量化的集值卡尔曼滤波算法

摘要

本发明公开了一种基于量化的集值卡尔曼滤波算法，与现有技术相比，本发明在带宽受限的无线传感器中动态随机系统的远程状态估计问题。原始的测量值被量化成消息从局部传感器传送到远程估计器。通过利用量化策略所包含的信息表示了原始测量值的集合区域，并给出了该区域的最紧椭球近似方法。进而，提出了基于量化的集值卡尔曼滤波算法。在计算机仿真中，对三种算法进行了比较和分析，说明了本文所提算法的有效性。

说明书

技术领域

本发明涉及微电子技术领域，尤其涉及一种基于量化的集值卡尔曼滤波算法。

背景技术

随着微电子技术、无线通信技术和嵌入式技术的发展，无线传感器网络得到了快速的发展。无线传感器网络是一种分布式传感网络，因所布置的传感器价格低廉，位置移动灵活，网络设置可变，容错能力强，因此大量应用在国防军事、智能家居、生物医疗、环境监测、空间探索、工业商业等众多领域。

由于无线传感器网络的传感器的能量是有限的，而且传感器的能量是由电池提供的，更换电池耗费很大，有时是很困难的，由于传感器工作环境的原因更换电池有时甚至是不可能的，也就是电池的耗尽意味着传感器寿命的结束。现有技术的相关文献指出发送一个比特数据的能耗是处理器执行一条指令所消耗的能量800倍。因此，量化测量信息是一个有效的方法，测量的数据可以在网内处理，减少了数据传输量，可以有效地节省能量。通信资源的受限也是无线传感器网络所面临的一个主要问题，传感器端获得的数据往往不能直接通过无线通信网络传到估计端，每个传感器每次只能传输有限个比特，这就使得观测值在传输之前必须进行量化。因此量化问题一直以来都是一个研究热点。另一文献提出了一种随机参数的最优分布式估计器，并给出了传感器节点分配比特数的调度方法。另一文献也提出了一种多维观测下的自适应量化策略，从而设计了带宽受限条件下的集中式多传感器融合估计算法。另一文献采用均匀量化的策略，通过减少数据包的长度来减少通信量。

目前所有基于量化的估计最终给出的估计值都是点值，然而由于量化误差的存在，实际的观测值是不确定的，用量化后的单点值进行估计显然是不合理的。另一文献针对初始状态估计分布为一个凸集合时，首次提出了集值卡尔曼滤波算法，但是该算法仍然仅仅考虑的是单个点值的测量。另一文献考虑测量值为集值时，通过放松后验概率分布的唯一性假给出了状态估计算法，另一文献进一步将该算法推广到多传感器融合问题中。最近一文献假设测量集合可以用椭球体表示，利用椭球体之间的和运算性质给出了状态估计均值集合的计算方法，也就是集值卡尔曼滤波算法。作者详细证明了融合算法跟传感器数据融合顺序无关，并且证明了估计均值集合大小的渐进性。

发明内容

本发明的目的就在于为了解决上述问题而提供一种基于量化的集值卡尔曼滤波算法。

本发明通过以下技术方案来实现上述目的：

本发明包括量化策略和集值卡尔曼滤波算法；

量化策略：

假设量化器i的量化比特数已经分配好且为l_i位，也就是消息m_i(k)具有l_i位，根据假设2，得到

$>\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{l}_i=L---\left(3\right)$>

并且，量化器i在区间上共有个量化点这些量化点均匀的或者非均匀的分布在量化区间内，即满足

$>{\underset{‾}{U}}_i=a_i^1\left(k\right)<a_i^2\left(k\right)<\mathrm{...}<a_i^{T_i}\left(k\right)={\bar{U}}_i---\left(4\right)$>

$>a_i^{j+1}\left(k\right)-a_i^j\left(k\right)={\Delta }_i^j\left(k\right)---\left(5\right)$>

常用的量化方式一般是基于概率的，假设测量分量则y_i(k)根据如下公式被量化到或者

$>P\{m_i\left(k\right)=a_i^j\left(k\right)\}=\frac{[a_i^{j+1}\left(k\right)-y_i\left(k\right)]}{{\Delta }_i^j\left(k\right)}---\left(6\right)$>

$>P\{m_i\left(k\right)=a_i^{j+1}\left(k\right)\}=\frac{[y_i\left(k\right)-a_i^j\left(k\right)]}{{\Delta }_i^j\left(k\right)}---\left(7\right)$>

集值卡尔曼滤波：

由于原始的测量值经过量化后，远程的估计端并不知道原始的观测值y(k)，但是可以根据量化规则式(5)部分的知道每个测量分量所在的区间范围，通过探索利用每个量化器的量化规则信息，给出集值卡尔曼滤波算法：

假设测量集合Yd(k)为椭圆集合且可以参数化为：

Yd(k):＝ε(c(k),Y(k)) (8)

其中c(k)是椭圆中心，Y(k)为表示椭圆的矩阵；用矩阵Y(k)的迹Tr(Y(k))表示椭圆集Yd(k)的大小；

引理1：ε(c₁,X₁)，ε(c₂,X₂)表示两个椭圆集合，则

$>ϵ(c_1,X_1)\oplus ϵ(c_2,X_2)\subseteq ϵ(c_1+c_2,(1+p^{-1})X_1+(1+p\left)X_2\right)---\left(9\right)$>

其中，p＞0且p＝(Tr>1)^1/2/(Tr>2)^1/2，使得矩阵(1+p^-1)X₁+(1+p)X₂)的迹最小；

假设在k时刻传感器测得原始的测量值y(k)＝[y₁(k),y₂(k),...,y_m(k)]^T，它的每个分量y_i(k)经过量化器i的量化规则后形成量化消息m_i(k)，再经过无线通信信道传送到远程估计端，而量化规则在估计端是可以预先知道的，所以根据接收到的消息和量化规则可以判断实际测量值所在的区间范围；

若远程端接收到的消息i＝1,2,...,m，j∈{1,2，...,T_i}则可利用量化器的量化规则信息判断实际的测量分量y_i(k)位于区间内，该区间以为中心点，以为区间半径；由于量化点可由量化规则事先知道，因此各个测量分量y_i(k)所在的区间中心点c_i(k)和区间半径r_i(k)可实时在线计算；

当估计端接收到所有量化器量化后的消息m_i(k)时，通过利用量化规则的信息，可以计算出各个实际测量分量所在的区间范围，现假设c_i(k)和r_i(k)，i＝1,2,...,m都已计算完毕，而对于集值卡尔曼滤波算法，重要的一步是给出观测集合的椭球体描述，下面给出测量值y(k)的椭球体描述方法；

上述内容给出了在估计端各个测量分量y_i(k)实际所在的区间范围，而实际测量值y(k)的集合区域并未给出，定义

Ω:＝{y(k)∈R^m|||y_i(k)-c_i(k)||≤r_i(k),i＝1,2,...,m}，

是一个m维长方体，各个边的长为2r_i(k)，这个区域也就是实际观测值的集合区域，现在的目标是找到一个最紧的外部椭球体包含Ω；定义为包含Ω的最小椭球体，并且满足

$>\bar{\Omega }:=\{y\left(k\right)\in R^m|{\left(y\right(k)-c(k\left)\right)}^T{Y}^{-1}\left(k\right)\left(y\right(k)-c(k\left)\right)\le {\delta }^2\left(k\right)\},$>

其中，c(k)＝[c₁(k),c₂(k),...,c_m(k)]，diag表示取对角矩阵操作；

对于m＝2的情况，Ω与之间的关系如图3所示，实际上，椭圆中心就是矩形的中心点，也就是各个区间的中心值，椭圆矩阵跟区间半径紧密相关；

由于凸性，m维长方体至少有2个顶点在椭球体的边界上，其它顶点或者包含在内或者在的边界上；所以δ(k)的值可以按下式计算

$>\delta \left(k\right)=\underset{y_i\left(k\right)\in \{{\delta }_i^1\left(k\right),{\delta }_i^2\left(k\right)\},i\in \{1,2,\mathrm{...},m\}}{\max }\sqrt{{\left(y\right(k)-c(k\left)\right)}^T{Y}^{-1}\left(k\right)\left(y\right(k)-c\left(k\right))}---\left(10\right)$>

其中，

因此，在每个采样时刻，观测值被包含的最紧椭球集合区域为ε(c(k),δ²(k)Y(k))。

本发明的有益效果在于：

本发明是一种基于量化的集值卡尔曼滤波算法，与现有技术相比，本发明在带宽受限的无线传感器中动态随机系统的远程状态估计问题。原始的测量值被量化成消息从局部传感器传送到远程估计器。通过利用量化策略所包含的信息表示了原始测量值的集合区域，并给出了该区域的最紧椭球近似方法。进而，提出了基于量化的集值卡尔曼滤波算法。在计算机仿真中，对三种算法进行了比较和分析，说明了本文所提算法的有效性。

附图说明

图1是本发明的量化器的分布结构图；

图2是本发明的量化区间图

图3是本发明中，当m＝2时，为包含Ω的最小椭圆图；

图4是本发明的状态估计区间曲线图；

图5是本发明的状态估计误差区间曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

问题描述：

系统描述：

考虑下面的一类线性时不变系统

x(k+1)＝Ax(k)+w(k) (1)

y(k)＝Cx(k)+v(k) (2)

其中，k是时间指数，是系统状态向量，是对状态x(k)的观测向量，和分别是系统过程噪声和观测噪声，状态传输矩阵A和观测矩阵C都具有适当的维数。

下面是一些合理的必要假设：

假设1：w(k)、v(k)是相互独立的零均值高斯白噪声，方差分别为Q(k)和R(k)，并且满足

$>E\left\{\left(\begin{array}{c}w\left(k\right)\\ v\left(k\right)\end{array}\right)\left(w^T\right(l\left)v^T\right(l\left)\right)\right\}=\left(\begin{array}{cc}Q\left(k\right)& 0\\ 0& R\left(k\right)\end{array}\right){\delta }_{kl}$>

初始状态x(0)的均值为x₀，方差为P₀，并且独立于w(k)、v(k)。

假设2：假设在带宽约束下无线通信信道的带宽为L个比特，并且从传感器到融合中心的无线通信信道是理想的，没有比特错误。

假设3：1≤i≤m，其中y_i(k)是观测向量y(k)的第i个元素，U_i和是观测值y_i(k)的上界和下界并且为已知常数。

问题建立：

考虑如图1所示的估计问题，由于通信资源有限，网络环境复杂，我们常常面临无线传感器网络带宽受限的问题。在过程端，传感器只能传输有限的比特数据到远程估计端，所以测量值在传输前必须进行量化。测量分量y_i(k)被对应的量化器i量化成一个量化消息m_i(k)后通过无线通信网络传输到远程估计端。最后估计器根据接收到的量化消息在最优准则下给出状态的估计。

由于实际的观测值y_i(k)经过量化器时，量化器按照相应的量化规则将落在一定区间内的观测值都近似的量化成固定值m_i(k)，也就是接收到的量化消息m(k)m(k)＝[m₁(k),m₂(k),...,m_m(k)]^T并不是原始的观测值y(k)。如果我们知道量化规则，就可以结合量化消息m(k)确定实际观测值的集合范围，而实际中量化规则是往往事先就可以获得的。若远程估计器在接受到消息后单单给出一个估计值显然是不合理的，因为观测值是不确定的，它是在一个集合范围内而不是单点值，特别的，如果量化误差较大，单个估计值可能产生更大的估计误差。因此一个自然而然的想法就是当观测值为一个集合时，估计器给出的估计值也是一个集合。

本文的目标就是探索量化器的的量化规则信息，给出集值卡尔曼滤波算法。

本发明包括量化策略和集值卡尔曼滤波算法；

量化策略：

每个测量分量都要经过对应的量化器被量化成消息，在总信道带宽比特数L一定的条件下，给每个量化器分配不同的比特数会有不同的估计性能。证明利用测量方程(2)中信号与噪声的比(信噪比)来给每个量化器分配比特数可以提高估计器的性能。本文不对带宽的分配策略进行研究，这里假设量化器i的量化比特数已经分配好且为l_i位，也就是消息m_i(k)具有l_i位，根据假设2，得到

$>\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}{l}_i=L---\left(3\right)$>

并且，单个量化器的量化区间如图2所示，量化器i在区间上共有个量化点这些量化点均匀的或者非均匀的分布在量化区间内，即满足

$>{\underset{‾}{U}}_i=a_i^1\left(k\right)<a_i^2\left(k\right)<\mathrm{...}<a_i^{T_i}\left(k\right)={\bar{U}}_i---\left(4\right)$>

$>a_i^{j+1}\left(k\right)-a_i^j\left(k\right)={\Delta }_i^j\left(k\right)---\left(5\right)$>

常用的量化方式一般是基于概率的，假设测量分量则y_i(k)根据如下公式被量化到或者

$>P\{m_i\left(k\right)=a_i^j\left(k\right)\}=\frac{[a_i^{j+1}\left(k\right)-y_i\left(k\right)]}{{\Delta }_i^j\left(k\right)}---\left(6\right)$>

$>P\{m_i\left(k\right)=a_i^{j+1}\left(k\right)\}=\frac{[y_i\left(k\right)-a_i^j\left(k\right)]}{{\Delta }_i^j\left(k\right)}---\left(7\right)$>

注释1：公式(4)所示的这些量化点可以通过某些规则任意的分布在区间内。当时，量化策略退化到常见的均匀量化。本文基于的是更一般的量化策略如公式(4)，(5)，(6)，(7)所示。

集值卡尔曼滤波：

由于原始的测量值经过量化后，远程的估计端并不知道原始的观测值y(k)，但是可以根据量化规则式(5)部分的知道每个测量分量所在的区间范围，通过探索利用每个量化器的量化规则信息，给出集值卡尔曼滤波算法：

假设测量集合Yd(k)为椭圆集合且可以参数化为

Yd(k):＝ε(c(k),Y(k)) (8)

其中c(k)是椭圆中心，Y(k)为表示椭圆的矩阵。用矩阵Y(k)的迹Tr(Y(k))表示椭圆集Yd(k)的大小；

引理1：ε(c₁,X₁)，ε(c₂,X₂)表示两个椭圆集合，则

$>ϵ(c_1,X_1)\oplus ϵ(c_2,X_2)\subseteq ϵ(c_1+c_2,(1+p^{-1})X_1+(1+p\left)X_2\right)---\left(9\right)$>

其中，p＞0且p＝(Tr>1)^1/2/(Tr>2)^1/2，使得矩阵(1+p^-1)X₁+(1+p)X₂)的迹最小；

注释2：由于两个椭圆集合经过和运算后可能不再是椭圆集，所以精确的椭圆集和操作的解析表达式不能保持。利用引理1用近似的外部椭圆来计算椭圆的和。式(9)中椭圆集ε(c₁+c₂,(1+p^-1)X₁+(1+p)X₂)是包含椭圆集ε(c₁,X₁)和ε(c₂,X₂)的最紧椭圆。

假设在k时刻传感器测得原始的测量值y(k)＝[y₁(k),y₂(k),...,y_m(k)]^T，它的每个分量y_i(k)经过量化器i的量化规则后形成量化消息m_i(k)，再经过无线通信信道传送到远程估计端，而量化规则在估计端是可以预先知道的，所以根据接收到的消息和量化规则可以判断实际测量值所在的区间范围；

若远程端接收到的消息i＝1，2，…，m，j∈{1，2，…，T_i}则可利用量化器的量化规则信息判断实际的测量分量y_i(k)位于区间内，该区间以为中心点，以为区间半径。由于量化点可由量化规则事先知道，因此各个测量分量y_i(k)所在的区间中心点c_i(k)和区间半径r_i(k)可实时在线计算。

注释3：当量化器i的量化策略为均匀量化时，即那么区间中心点区间半径也就是区间中心点就为接收到的量化消息值，区间半径为固定常数，无需进行重复计算。

当估计端接收到所有量化器量化后的消息m_i(k)时，通过利用量化规则的信息，可以计算出各个实际测量分量所在的区间范围，现假设c_i(k)和r_i(k)，i＝1,2,...,m都已计算完毕，而对于集值卡尔曼滤波算法，重要的一步是给出观测集合的椭球体描述，下面给出测量值y(k)的椭球体描述方法。

上述内容给出了在估计端各个测量分量y_i(k)实际所在的区间范围，而实际测量值y(k)的集合区域并未给出，定义

Ω:＝{y(k)∈R^m|||y_i(k)-c_i(k)||≤r_i(k),i＝1,2,...,m}，

它是一个m维长方体，各个边的长为2r_i(k)，这个区域也就是实际观测值的集合区域，现在的目标是找到一个最紧的外部椭球体包含Ω。定义为包含Ω的最小椭球体，并且满足

$>\bar{\Omega }:=\{y\left(k\right)\in R^m|{\left(y\right(k)-c(k\left)\right)}^T{Y}^{-1}\left(k\right)\left(y\right(k)-c(k\left)\right)\le {\delta }^2\left(k\right)\},$>

其中，c(k)＝[c₁(k),c₂(k),...,c_m(k)]，diag表示取对角矩阵操作。

对于m＝2的情况，Ω与之间的关系如图3所示，实际上，椭圆中心就是矩形的中心点，也就是各个区间的中心值，椭圆矩阵跟区间半径紧密相关。

由于凸性，m维长方体至少有2个顶点在椭球体的边界上，其它顶点或者包含在内或者在的边界上。所以δ(k)的值可以按下式计算

$>\delta \left(k\right)=\underset{y_i\left(k\right)\in \{{\delta }_i^1\left(k\right),{\delta }_i^2\left(k\right)\},i\in \{1,2,\mathrm{...},m\}}{\max }\sqrt{{\left(y\right(k)-c(k\left)\right)}^T{Y}^{-1}\left(k\right)\left(y\right(k)-c\left(k\right))}---\left(10\right)$>

其中，

因此，在每个采样时刻，观测值被包含的最紧椭球集合区域为ε(c(k),δ²(k)Y(k))。

注释4：通过探索量化规则里的信息，获得测量值集合的m维长方体区域Ω，进而利用公式(10)获得最紧包含区域Ω的外部椭球体，最后利用集值卡尔曼滤波算法得到状态的估计集。事实上，状态估计集是非常有用的，它不仅给出实际状态的变化范围，而且对量化器的设计也提供了参考信息。比如，当有量化误差影响时，用户可以知道实际状态变化的上下界，同时可以根据实际需要通过参考状态集的大小来分配每个测量分量的比特数。

具体详细的集值卡尔曼滤波算法如表1所示：

表1

仿真例：

在这一节中，一个目标跟踪的仿真例子被用来验证本文所提算法的有效性。基于伪测量噪声的卡尔曼滤波算法和基于原始测量值的卡尔曼滤波算法被用来与本文所提算法进行比较。在统计意义下，用平均估计误差的二范数来表示状态的估计精度。t表示仿真步数，x(k)是实际的状态，是估计的状态。

为了描述的方便，对下面的滤波算法进行简单标记：

算法1：基于量化的集值卡尔曼滤波算法

算法2：基于伪测量噪声的卡尔曼滤波算法

算法3：利用原始测量值的卡尔曼滤波算法

考虑如下线性二阶系统：

$>\left(\begin{array}{c}{x}_1(k+1)\\ x_2(k+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.5& 0.3\\ -0.1& 0.8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right)+w\left(k\right)---\left(11\right)$>

$>y\left(k\right)=\left(\begin{array}{cc}1.5& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\left(k\right)\\ x_2\left(k\right)\end{array}\right)+v\left(k\right)---\left(12\right)$>

过程噪声和观测噪声的协方差矩阵分别为R(k)＝0.2。初始值x₀＝[0.01>T，初始协方差矩阵无线通信信道的带宽L＝16，为仿真简便该例子采用的是均匀量化策略。仿真结果如图4，图5及表2所示。

表2

估计误差的统计结果

由于测量分量值被量化器量化之后估计器不能获得原始测量值，但是在每个采样时刻可以通过利用量化策略所包含的信息计算原始测量值所在的区间。在这种情况下，我们不能说在估计均值集中的哪个点具有最小的估计误差，但是我们可以用集值估计器的中心值作为点值估计结果。从图4状态的估计曲线来看，算法1的估计区间值在任意时刻都覆盖了实际状态，三种算法基本上都能跟踪上目标实际的状态1和状态2，从图5状态估计误差区间曲线图和表2看，算法3平均估计误差最小，这主要是由于算法3中用到的测量值是原始测量值，而原始测量值在带宽受限条件下是不可能得到的，主要用在本文中作算法对比。算法2的估计误差明显大于算法1，这主要是因为算法2假设量化噪声不相关的高斯白噪声并且把伪噪声协方差的上界作为测量噪声协方差，这种过高要求的假设和过于保守的噪声处理必然会影响算法的精度，而算法1不仅用到了接收到的消息值，同时用到了包含在量化策略里的额外信息，这些也正是我们采用集值卡尔曼滤波算法的优势和动机。

结论：

本发明首次讨论了在具有带宽约束无线传感器网络条件下，基于量化的集值卡尔曼状态估计问题。对于给定各测量分量的量化器比特数及量化规则后，利用量化的消息，探索量化规则的信息给出实际测量值的超长方体集合区域。用近似外部椭球体包含该超长方体集合区域，并给出最紧椭球体的求解方法，进而给出了基于量化的集值Kalman滤波算法。最后用计算机仿真例子对比了基于协方差矩阵的Kalman滤波算法状态估计区间，基于蒙特卡洛的Kalman滤波统计状态估计区间及集值Kalman滤波算法状态估计区间大小。证明了所提算法的有效性。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征及本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。