一种滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法

摘要

本发明公开了一种滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法，包括如下步骤：1）基于弹性流体动力润滑理论，将滚动体、油膜、滚道三者之间的接触区域进行细化；2）通过压力分布双线性逼近函数以及差分法，求出细化后各区域内的接触的弹性变形刚度、油膜压力以及油膜厚度，利用线性扰动方程求解细化后各区域内的油膜动刚度与油膜阻尼；进而计算滚动体与滚道相接触的接触刚度和接触阻尼；3）在步骤2）计算得到的滚动体与滚道相接触的接触刚度和接触阻尼的基础上，计算出滚动轴承的等效刚度与等效阻尼。本发明具有计算结果准确度高的优点，可为轴承转子系统的设计提供了技术支持，降低了设计的轴承转子系统的故障率。

说明书

技术领域

本发明涉及一种滚动轴承的等效刚度与等效阻尼的计算方法。

背景技术

轴承转子系统设计需要考虑轴承的刚度和阻尼。在进行滚动轴承如临界转速等动力学特性分析时必须给出滚动轴承的动态特性参数：等效刚度与等效阻尼。等效刚度与等效阻尼的不精确直接给滚动轴承转子系统的动力学特性分析带来很大的误差，造成轴承转子系统设计时误差大，严重时会造成临界转速与额定转速接近，造成机毁人亡的大事故。

现在，对滚动轴承进行动力学分析时，常将滚动轴承内部接触弹性刚度作为滚动轴承整体刚度而不考虑油膜的影响，同时忽略了阻尼对系统稳态下的实质影响，对于阻尼与刚度的获取主要依赖经验值，得到的等效刚度与等效阻尼的精确度低。方兵等对轴承特性进行分析时利用实验测量轴承的等效阻尼和等效刚度。何芝仙等对于轴承动力学分析时考虑了刚度而忽略阻尼的影响。Gupta的模型将阻尼的影响简化处理。Hagiu提出了一个动态理论分析模型，强调了高速滚动接触动态取决于机理Hertz接触的弹性刚度和触区入口处的润滑剂刚度与阻尼。刘秀海利用滚动体在流体中平移时所受的阻尼来模拟滚子所受的粘性阻尼,但忽略了阻尼挤压特性。Elsermans与Walford认为球轴承径向、轴向的刚度与阻尼实验测量结果均比预期值要大，这个结果可以通过外圈-滚动体-内圈-轴的分析来解释,但理论计算不够完善。Harsha与Kankar提出基于Hertz弹性变形的球轴承非线性模型，并引入了经验阻尼来分析其振动传递。陈斌等对油膜阻尼进行了理论计算，但缺乏有力的实验验证。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供一种滚动轴承等效刚度与等效阻尼计算结果精度高的滚动轴承等效刚度和等效阻尼计算方法，它为轴承转子系统的设计提供了技术支持，降低了设计的轴承转子系统的故障率。

本发明解决上述技术问题的技术方案是：一种滚动轴承的等效刚度与等效阻尼的计算方法，包括如下步骤：1)基于弹性流体动力润滑理论，将滚动体、油膜、滚道三者之间的接触区域进行细化；2)通过压力分布双线性逼近函数以及差分法，求出细化后各区域内的接触的弹性变形刚度、油膜压力以及油膜厚度，利用线性扰动方程求解局部油膜动刚度与油膜阻尼；3)根据滚动轴承动态载荷分布，并结合步骤2)计算得到的弹性变形刚度、油膜刚度以及油膜阻尼，计算出滚动轴承的等效刚度与等效阻尼。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法中，步骤1)中滚动体、油膜、滚道三 者之间的接触细化时，不考虑滚动体与内外滚道相对滑动，将滚动体、油膜、滚道三者之间的接触，根据接触弹性变形分为油膜入口区、弹性接触区和油膜出口区三个区。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法中，步骤2)中细化后各区域内的油膜动刚度与油膜阻尼求解方法为：联立弹性形变方程和Reynolds方程，并运用复合直接迭代法，求出油膜静态下的压力和厚度值，然后利用扰动方程建立扰动方程组并求解微动量和一阶微动量，求得线性近似油膜刚度值和油膜阻尼值。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法中，步骤2)中求解弹性变形时，在四节点矩形单元上使用双线性函数逼近压力分布求解弹性变形。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法中，在扰动方程组求解时，利用泰勒级数将油膜厚度与油膜压力展开，取坐标原点为静平衡位置。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法中，步骤2)中，忽略油膜出口区的油膜刚度和油膜阻尼，对油膜入口区的油膜刚度与油膜阻尼及弹性接触区滚动体与滚道的弹性接触刚度、油膜刚度以及油膜阻尼分别计算，然后在此基础上计算滚动体与滚道相接触的接触刚度和接触阻尼。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法，计算油膜入口区油膜阻尼和油膜刚度时，假设以下条件：

由于滚动轴承中滚动体与滚道接触面的形状是狭长的椭圆，因此滚动方向的短半轴远比长半轴小，所以接触面形状可以近似于同等椭圆长径与短径的矩形接触面，并忽略接触区域边缘上的漏油；

滚动体与滚道之间的间隙为抛物线；

轴承中油膜厚度大于滚动体、内外圈的表面粗糙度；

惯性力的值小于粘性力；

忽略重力影响；

考虑到Reynolds方程适用性，认为粘度是恒定的；

忽略接触过程中气穴现象产生的反压力。

上述的滚动轴承等效刚度与等效阻尼的计算方法中，计算轴承径向等效刚度与等效阻尼时，考虑滚动轴承中滚动体与滚道之间存在径向游隙及在轴承径向载荷下轴承的内外圈套之间产生相对位移。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

(1)本发明细化了滚动体、油膜、滚道三者之间的接触，根据接触弹性变形分为三个区， 油膜入口区、弹性接触区、和油膜出口区，并考虑了滚动轴承中滚动体与滚道之间存在径向游隙，在轴承径向载荷下，轴承的内外圈套产生的相对位移，这样更加符合实际情况，计算出的结果更加准确；为轴承转子系统的设计提供了技术支持，降低了设计的轴承转子系统的故障率。

(2)本发明在联立弹性形变方程和Reynolds方程的基础上，运用复合直接迭代法，求出油膜静态下的压力和厚度值，利用扰动方程求解方程组的微动量和一阶微动量，最终求得线性近似油膜刚度值和油膜阻尼值，具有计算速度快，计算精度高等优点。

(3)本发明的计算不需要对滚动轴承进行各种测试，获得相关参数，而是直接可以应用，具有简单实用的优点。

附图说明

图1为本发明的简化的弹性流体润滑接触模型。

图2为本发明的滚动轴承的油膜几何形状。

图3为本发明的滚动轴承载荷分布与形变。

图4为本发明的滚动轴承的单个滚动体接触的等效刚度与等效阻尼。

图5为本发明的滚动轴承的滚动体与径向的位置夹角时外圈与滚动体之间的油膜压力值。

图6为本发明的滚动轴承的滚动体与径向的位置夹角时内圈与滚动体接触的油膜压力值。

图7为本发明的滚动轴承的滚动体与径向的位置夹角时外圈与滚动体接触的油膜压力值。

图8为本发明的滚动轴承的滚动体与径向的位置夹角时内圈与滚动体接触的油膜压力值。

图9为本发明的用于实验验证的轴-轴承-基座系统的前四阶固有频率测量结果。

图10为本发明的用于实验验证的轴-轴承-基座系统基于Dyrobes转子-轴承简化分析结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的说明。

本发明包括如下步骤：

第一步：建立滚动体与滚道的EHL接触模型。

在不考虑滚动体与内外滚道相对滑动的情况下，滚动体、油膜、滚道三者之间的接触区域(如图1所示)，根据接触弹性变形分为三个区：油膜入口区A、弹性接触区B和油膜出口区C。k_ef、c_ef为油膜入口区A的油膜刚度与油膜阻尼。k_c、k_f、c_f分别为弹性接触区B滚动体与滚道的弹性接触刚度、油膜刚度以及油膜阻尼。由于其油膜出口区C的油膜开始拉伸其影响力弱化，相比整体的接触阻尼及刚度影响非常小，这里不考虑油膜出口区C的油膜刚度与油膜阻尼。这样主要的刚度与阻尼为k_ef、c_ef、k_c、k_f、c_f这五个参数，为了对滚动轴承等效刚度与等效阻尼进行计算，首先应分析计算出这五个参数。

(1)弹性变形接触刚度k_c

Hertz接触理论是根据完全弹性体的静态接触条件得出来的，通常被用来作为异向曲面接触副的弹性变形和应力场计算的依据，在滚动体与沟道接触时，其接触面的宽度远远小于接触表面的曲率半径，由于将接触视为点接触，则其接触面可认为是椭圆。

通过计算得出接触椭圆的长轴a与短轴b以及接触形变δ如下：

$>a=a^{*}{\left(\frac{3Q}{2{\mathrm{\Sigma \rho E}}^{\prime }}\right)}^{1/3}---\left(1\right)$>

$>b=b^{*}{\left(\frac{3Q}{2{\mathrm{\Sigma \rho E}}^{\prime }}\right)}^{1/3}---\left(2\right)$>

$>\delta ={\delta }^{*}{\left(\frac{3Q}{2{\mathrm{\Sigma \rho E}}^{\prime }}\right)}^{2/3}\frac{\Sigma \rho }{2}---\left(3\right)$>

$>a^{*}={\left(\frac{2E\left(e\right)}{\pi (1-e^2)}\right)}^{1/3},b^{*}={\left(\frac{2\sqrt{1-e^2}E\left(e\right)}{\pi }\right)}^{1/3},{\delta }^{*}=\frac{2k\left(e\right)}{\pi }{\left(\frac{(1-e^2)\pi }{2E\left(e\right)}\right)}^{1/3}$>

$>\frac{1}{E^{\prime }}=\frac{1}{2}(\frac{1-v_1^2}{E_1}+\frac{1-v_2^2}{E_2}),\Sigma \rho =\frac{1}{R_{1x}}+\frac{1}{R_{1y}}+\frac{1}{R_{2x}}+\frac{1}{R_{2y}},$>

$>\frac{1}{R_x}=\frac{1}{R_{x1}}+\frac{1}{R_{x2}},\frac{1}{R_y}=\frac{1}{R_{y1}}+\frac{1}{R_{y2}}$>

$>E\left(e\right)={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }d\theta ,k\left(e\right)={\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\theta }}d\theta ,$>

K(e)＝1.5277+0.6023ln(R_y/R_x)、E(e)＝1.0003+0.5968(R_x/R_y)

k＝1.0339(R_y/R_x)^0.6360、

曲率符号规定接触的两个面凸表面为正，凹表面为负。E(e)，k(e)分别是第一类和第二类完全椭圆积分函数，a为椭圆接触面的长轴半径，b为椭圆接触面的短轴半径，Q为接触面的相互压力，δ为弹性最大变化量，∑ρ为曲率和，ν是泊松比，E为弹性模量，e为椭圆参数。

利用(3)式可求出单个滚动体的Hertz理论弹性变形，将(3)式进行简化为：

δ＝GQ^2/3(4)

其中单个滚动体与内圈或外圈的Hertz接触刚度为：

$>k_c=\frac{dQ}{d\delta }=\frac{3}{2}{G}^{-1.5}{\delta }^{0.5}---\left(5\right)$>

从中可以看出，其刚度不是一个常量，它会随位移(或载荷)的变化而变化。

(2)弹性接触区的油膜刚度k_f和油膜阻尼c_f

如图2所示，两个弹性物体间的点接触问题可以视为具有当量主曲率半径R_z，R_y和当量弹性模量E'的弹性椭球体与刚性平面的接触。两个表面之间存在润滑油膜，且接触中心点o的实际油膜厚度为h_c，在油膜压力作用下，接触面产生的弹性变形为δ(x,y)，油膜厚度的表达式可以写成：

$>h(x,y)=h_c+\frac{x^2}{2R_x}+\frac{y^2}{2R_y}+\delta (x,y)-\delta (0,0)---\left(6\right)$>

h_c＝h₀+δ(0,0)，h₀为刚体中心油膜厚度。

基于等温条件下的Reynolds方程对油膜的参数计算，等温条件下的Reynolds方程普遍形式(假设u₂和v₂不随x和y变化)如下：

$>\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{{\mathrm{\rho h}}^3}{\eta }\frac{\partial p}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{{\mathrm{\rho h}}^3}{\eta }\frac{\partial p}{\partial y}\right)=6(u_1+u_2)\\ \times \frac{\partial \left(\rho h\right)}{\partial x}+6(v_1+v_2)\frac{\partial \left(\rho h\right)}{\partial y}+12\frac{\partial \left(\rho h\right)}{\partial t}\end{array}---\left(7\right)$>

联立式(6)、式(7)进行求解，在油膜厚度以及油膜力的相互关系的基础上，获得接触区的油膜刚度和油膜阻尼。一些学者在Hamrock和Dowson推导的点接触最小油膜厚度的公式上直接进行求导来获取刚度值，这样存在两个问题：①油膜刚度是指微量形变下的刚度值，②因为在弹性形变的影响下局部油膜厚度的变化不一致，油膜刚度不能直接求导获取，而且油 膜阻尼值无法直接获取。因此在联立弹性形变方程和Reynolds方程的基础上，运用复合直接迭代法，求出油膜静态下的压力和厚度值，利用扰动方程求解方程组的微动量和一阶微动量，最终求得线性近似油膜刚度值和油膜阻尼值。

在四节点矩形单元上使用双线性函数逼近压力分布求解弹性变形，在油膜压力作用下，两个接触表面的法向位移总和为：

$>\delta (x,y)=\frac{2}{{\mathrm{\pi E}}^{\prime }}\int {\int }_{\Omega }\frac{p(\xi ,\zeta )d\xi d\zeta }{\sqrt{{(x-\xi )}^2+{(y-\zeta )}^2}}---\left(8\right)$>

Ω为求解区域，e为单元区域，p_ij为单元区域e的中心压力值，λ(x,y)为系数值。

利用无量纲形式，将式(6)和式(7)化简为点接触润滑无量纲Reynolds方程：

$>\frac{\partial }{\partial X}\left(\frac{\bar{\rho }{H}^3}{\bar{\eta }}\frac{\partial P}{\partial X}\right)+\frac{1}{k^2}\frac{\partial }{\partial Y}\left(\frac{\bar{\rho }{H}^3}{\bar{\eta }}\frac{\partial P}{\partial Y}\right)=A_1\frac{\partial \left(\bar{\rho }H\right)}{\partial X}---\left(9\right)$>

油膜厚度方程：

$>H_{kl}=H_0+A_3{X}_k^2+A_4{Y}_l^2+\stackrel{i}{\Sigma }\stackrel{j}{\Sigma }{D}_{ij}^{kl}{P}_{ij}---\left(10\right)$>

膜厚参数载荷参数速度参数材料参数G＝αE¹α为粘压系数，为最大Hertz压力，这里w为载荷值。

$>A_1=\frac{12E^1{\mathrm{UR}}_x^3}{a^2{\mathrm{bp}}_H},A_3=\frac{1}{2k},A_4=\frac{{\mathrm{kR}}_x}{2R_y},A_5=\frac{12E^1{R}_x^2}{a^2{p}_H},D_{ij}^{kl}=\frac{C_{ij}^{kl}{R}_x{p}_H}{ab}$>

为无量纲Roelands粘压关系式。

为无量纲密度方程。

将式(9)与式(10)联立，并采用三点中心差分格式来替代偏导，经整理可得如下的差分方程组：

$>\begin{array}{c}{E}_{kl}^E{P}_{k+1,l}+E_{kl}^N{P}_{k,l+1}+E_{kl}^W{P}_{k-1,l}+E_{kl}^S{P}_{k,l-1}+E_{kl}^o{P}_{kl}\\ -\stackrel{i}{\Sigma }\stackrel{j}{\Sigma }\left\{A_1\left[{\left(\frac{\partial \bar{\rho }}{\partial X}\right)}_{kl}{D}_{ij}^{kl}+\overline{{\rho }_{kl}}{\mathrm{DX}}_{ij}^{kl}\right]\right\}{P}_{ij}=\\ A_1{\left(\frac{\partial \bar{\rho }}{\partial X}\right)}_{kl}(H_0+A_3{X}_k^2+A_4{Y}_l^2)+2A_1{A}_3{\bar{\rho }}_{kl}{X}_k\end{array}---\left(11\right)$>

求得静态油膜厚度和油膜压力值，在扰动方程基础上，用泰勒级数将油膜厚度与油膜压力展开，取坐标原点为静平衡位置，则油膜压力在静态值附近微动时，油膜压力和油膜厚度可由下列线性关系式表示：

$>p=p_0+k\Delta h+c\Delta \stackrel{·}{h}---\left(12\right)$>

h＝h₀+Δh(13)

式中：p₀为静平衡油膜压力，h₀为静平衡油膜厚度，k为油膜近似刚度，c为油膜近似阻尼，Δh，均为扰动参数，其量值很小。则等温条件下的Reynolds方程简化后的无量纲形式为：

$>\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial X}\left(\frac{\bar{\rho }{H}^3}{\bar{\eta }}\right)\frac{\partial P}{\partial X}+\frac{1}{k^2}\frac{\partial }{\partial Y}\left(\frac{\bar{\rho }{H}^3}{\bar{\eta }}\right)\frac{\partial P}{\partial Y}\\ +\left(\frac{\bar{\rho }{H}^3}{\bar{\eta }}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}P}{\partial X^2}+\frac{1}{k^2}\frac{{\partial }^{2}P}{\partial Y^2}\right)=A_1\frac{\partial \left(\bar{\rho }H\right)}{\partial X}+A_5\bar{\rho }\frac{\partial \left(\bar{\rho }H\right)}{\partial T}\end{array}---\left(14\right)$>

h₀与时间变量无关，将式(12)、式(13)无量纲式代入式(14)中，将Δh、二次方以及二次方以上的项略掉，并将同次项归一，得到如下三个等式：

$>\frac{\partial }{\partial X}\left(\frac{\bar{\rho }{H_0}^3}{\bar{\eta }}\frac{\partial P_0}{\partial X}\right)+\frac{1}{k^2}\frac{\partial k}{\partial Y}\left(\frac{\bar{\rho }{H_0}^3}{\bar{\eta }}\frac{\partial P_0}{\partial Y}\right)=A_1\frac{\partial \left(\bar{\rho }{H}_0\right)}{\partial X}---\left(15\right)$>

$>\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial X}\left(\frac{\bar{\rho }{H_0}^3}{\bar{\eta }}\left(\frac{\partial k}{\partial X}+\frac{3}{H_0}\frac{\partial P_0}{\partial X}\right)\right)\\ +\frac{1}{k^2}\frac{\partial }{\partial Y}\left(\frac{\bar{\rho }{H_0}^3}{\bar{\eta }}\left(\frac{\partial k}{\partial Y}+\frac{3}{H_0}\frac{\partial P_0}{\partial Y}\right)\right)=A_1\frac{\partial \bar{\rho }}{\partial X}\end{array}---\left(16\right)$>

$>\frac{\partial }{\partial X}\left(\frac{\bar{\rho }{H_0}^3}{\bar{\eta }}\frac{\partial c}{\partial X}\right)+\frac{1}{k^2}\frac{\partial }{\partial Y}\left(\frac{\bar{\rho }{H_0}^3}{\bar{\eta }}\frac{\partial c}{\partial Y}\right)=\frac{12E^1{R}_x^2}{P_H{a}^2}\bar{\rho }---\left(17\right)$>

利用直接复合迭代法计算式(16)和式(17)，得出油膜刚度k_f和油膜阻尼c_f。

(3)油膜入口区油膜刚度k_ef与油膜阻尼c_ef

简化分析入口区油膜阻尼和油膜刚度，假设以下条件：

①由于滚动轴承中滚动体与滚道接触面的形状是狭长的椭圆，因此滚动方向的短半轴b远比长半轴a小，所以接触面形状可以近似于同等椭圆长径与短径的矩形接触面，并忽略接触区域边缘上的漏油。

②滚动体与滚道之间的间隙为抛物线且x≥b，这里R为y方向的综合曲率半径。

③轴承中油膜厚度大于滚动体、内外圈的表面粗糙度。

④惯性力的值小于粘性力。

⑤忽略重力影响。

⑥考虑到Reynolds方程适用性，可认为粘度是恒定的。

⑦忽略接触过程中气穴现象产生的反压力。

根据上述假设，将Reynolds方程式(7)简化为：

$>\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{{\mathrm{\rho h}}^3}{\eta }\frac{\partial p}{\partial x}\right)=6u_s\frac{\partial \left(\rho h\right)}{\partial x}+12u_z---\left(18\right)$>

其中u_s＝u₁+u₂，u_z为法向挤压速度。η与ρ均为定值。对式(18)中的x积分，并考虑到sommerfeld条件和半sommerfeld条件可得：

$>Q_e=\frac{2\eta uRL}{h_0}+\frac{3}{\sqrt{2}}\frac{{\mathrm{\pi v\eta R}}^{1.5}L}{h_0^{1.5}}---\left(19\right)$>

η为油膜粘度、u滚动体圆周速度、L接触椭圆区域长轴、v油膜进入速度。这样可得入口区的油膜阻尼：

$>c_{ef}=\frac{{\mathrm{dQ}}_e}{dv}=\frac{3}{\sqrt{2}}\frac{{\mathrm{\pi \eta R}}^{1.5}L}{h_0^{1.5}}---\left(20\right)$>

通过数值仿真，发现油膜入口区的形变(包括接触面的弹性变形和油膜的厚度变化)相比弹性接触区的形变是十分小的，因此，在载荷微变的情况下，油膜入口区的刚度k_ef可以忽略不计。将计算得到的c_ef、c_f、k_c、k_f带入式(19)、式(20)最终获得滚动体与滚道相接触的>

$>k=\frac{k_c{k}_f}{K_c+k_f}---\left(21\right)$>

c＝c_ef+c_f(22)

第二步：计算滚动轴承等效阻尼与等效刚度。

通过计算得到的滚动体与滚道相接触的接触刚度k和接触阻尼c，计算轴承径向等效刚度k_rc与等效阻尼c_re。考虑滚动轴承中滚动体与滚道之间存在径向游隙，在轴承径向载荷F_r下，轴承的内外圈套产生的相对位移为δ_r，如图3所示。

在平衡条件下，内圈的径向载荷必须等于滚动体载荷的竖直分量之和：

这里为单个滚动体与径向的位置夹角，注意积分转换后的是连续，α为修正系数。

$>Q_{max}=\frac{F_r}{{\mathrm{ZJ}}_r\left(ϵ\right)}---\left(24\right)$>

联立式(24)、式(25)式即可获得滚动体2与滚道的载荷分布，从而求出单个滚动体2与内圈1、外圈3的接触刚度和阻尼，如图4所示，求出单个滚动体2与内圈1、外圈3相接触的接触刚度与接触阻尼：

$>k_e=\frac{k_1{k}_2}{(k_1+k_2)}---\left(26\right)$>

$>c_e=\frac{c_1{c}_2}{c_1+c_2}---\left(27\right)$>

将各个滚动体2与内圈1、外圈3相接触的接触刚度与接触阻尼联立，求得滚动轴承的径向等效刚度k_rc与等效阻尼c_re：

同理，这里的为单个滚动体与径向的位置夹角。

实验验证

使用B&K测试系统，在轴承部件模态的基础上，利用锤击法进行测量，获取其系统刚体固有频率，利用公式求得轴承等效阻尼。

考虑到轴承本身质量轻、体积小，属于部件模态测试，因此不利于传感器的布置，且传递函数计算困难等因素，将轴承外圈固定在轴承支座上，将一定质量的轴安装在轴承内圈并通过紧锁螺钉加以紧固，这样轴-轴承-基座成为系统。

采用单点拾振法，在轴的一段布置传感器，轴与轴承座上所标记的白点为锤击点。将测量得到的传递函数通过模态分析获得轴承系统部件刚体固有频率。该测试方法是在轴承以600rpm连续工作10分钟后进行，测量部件系统所得到的固有频率如图9所示。

从图9中我们可以得知：部件模态的前几阶固有频率值ω_n以及阻尼比ζ，这里取第2阶模态固有频率和阻尼比(部件刚体模态)代入c_b＝2ζmω_n中计算，计算得出的阻尼为483.2，这与我们理论计算的所得到的值c_re＝484.0255相差0.17％。

为对刚度进行验证，通过Dyrobes转子-轴承分析软模拟出双轴承-单转轴下的一阶临界转速57.97Hz，如图10所示，中间加入了0.82kg的质量块

这里对转轴进行了等效，分别获得等效质量m＝1.64kg，等效轴承刚度k_s＝219450，等效阻尼c_k＝121.3705。

$>k=\frac{2k_b{k}_s}{2k_b+k_s}---\left(30\right)$>

$>c=\frac{c_{re}{c}_s}{c_{re}+c_s}---\left(31\right)$>

$>2\pi f=\sqrt{1-{\left(\frac{c}{2\sqrt{mk}}\right)}^2}·\sqrt{\frac{k}{m}}---\left(32\right)$>

联立式(30)、(31)、(32)，求得轴承径向动态刚度为k_b＝5.4743×10⁷,这与我们理论计算>rc＝5.3067×10⁷的偏差为3.06％。