一种双向中继网络增加安全能量效率的最优功率分配方法

摘要

本发明提供了一种双向中继网络增加安全能量效率的最优功率分配方法，首先对双向全双工中继网络的通信过程进行建模，然后考虑在总功率受限的条件下，设计最优化功率分配因子，使安全能量效率最大化，提高功率受限的全双工双向中继网络的安全能量效率。本发明考虑了能量效率，能够在总功率受限的条件下最大化安全能量效率，并尽量保护用户信息免受不可信中继节点的破译。此外，通过泰勒展开式简化了计算过程，且简化操作带来的估计误差不超过6％，可忽略不计。

说明书

技术领域

本发明涉及一种双向中继网络合作安全传输的最优功率分配方案。

背景技术

多跳中继被认定为一种能效传输方案，是解决无线通信安全的最优途径。物理层安全传输的方法具有低计算复杂度和节省资源的优势。近几年来，合作多样性技术由于可以提高物理层防窃听的安全性而吸引了很多学者的注意。

在物理层中，用户和干扰源之间存在功率分配的博弈问题。干扰源希望传输具有足够功率的干扰信号来避免窃听者偷听用户的发射信息，而用户也希望传输的信号具有充足的功率保证信号传输的速率。在总功率一定的条件下，如何找到最优的功率分配方案，使安全速率最大化，许多学者已经做出了相应的研究。

文献1“Xiang He,Aylin Yener.Cooperation with an untrusted relay:A secrecy perspective[J].IEEE Trans.Inf.Theory,2010,56(8):3807-3827”提出中继节点是不可信的，它可能会窃听、干扰转发的信息，但是，相比于与不使用该类中继节点，利用不可信的中继节点进行协作通信可以提高系统的安全容量。

文献2“Li Sun,Taiyi Zhang,Yubo Li and Hao Niu.Performance study of two-hop amplify-and-forward systems with untrustworthy relay nodes[J].IEEE Trans.Veh.Technol.,2012,61(8):3801-3807”通过基于目的地的干扰技术(Destination-based Jamming,DBJ)，获得单个不可信中继的遍历安全容量(Ergodic Secrecy Capacity,ESC)的下界，并将之扩展到多个不可信中继场景，提出一种安全中继选择方案，该方案可最大化可达的系统安全容量，实现不可信放大转发(Amplify Forwaed,AF)中继系统的安全通信。但并没有考虑安全能量效率，而安全能量效率是衡量系统性能的重要指标。

文献3“Lifeng Wang,Maged Elkashlan,Jing Huang,Nghi H.Tan,et al.Secure transmission with optimal power allocation in untrusted relaynetworks[J].IEEE Commun.Lett.,2014,3(3):289-292”将文献2的研究扩展两跳放大转发中继网络，并测试大规模天线阵列的影响。当大规模天线阵列在源节点时，ESC仅取决于中继和目的节点间的信道状态信息；当大规模天线阵列在目的节点时，ESC仅取决于中继和源节点间的信道状态信息。不过，文献3仅仅考虑了最大化安全容量，也并没有考虑能量效率。

以上文献研究了利用不可信中继节点进行安全通信时系统可达的最大安全容量，但并没有把系统的能量效率这一重要指标考虑进去。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明在文献3的基础上提出一种改进的最优功率分配方案，考虑在总功率受限的条件下，设计最优化功率分配因子，使安全能量效率最大化，提高功率受限的全双工双向中继网络的安全能量效率。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

步骤一，在一个具有三个节点的全双工双向中继网络中，第一阶段，中继节点R接收到的信号其中，P_A和P_B分别表示网络中用户A和B的发射功率，h_A-R和h_B-R分别为用户A和用户B到中继节点R的信道增益，信道增益是均值为0、方差为σ²的复高斯变量，中继节点R到用户A的信道增益h_R-A＝h_A-R，中继节点R到用户B的信道增益h_R-B＝h_B-R，n_R表示中继节点R处的加性高斯白噪声；用户A和用户B发送的总功率为P，α∈[0，1]表示功率分配因子，则用户A发送的加密信息功率为αP，用户B发送的功率为(1-α)P；用户A和用户B到中继节点R的等效信噪比SNR分别为γ_A-R＝||h_A-R||²P/N₀和γ_B-R＝||h_B-R||²P/N₀，用户A和用户B到中继节点R的等效信噪比的比值μ＝γ_A-R/γ_B-R；令λ＝1/γ_B-R，则中继节点R处接收用户A发送的数据速率中继节点R处接收用户发送的数据速率

步骤二，中继节点R将接收到的信号放大β倍后转发给用户A和B，从中继节点R发送给用户A和B的信号

两个阶段均以相同功率P传输信号，将z_R归一化为||z_R||²＝P，得到

$\beta =\sqrt{\frac{P}{\alpha P\left|\right|h_{A-R}|{|}^2+(1-\alpha )P|\left|h_{B-R}\right|{|}^2+N_0}};$

用户A和B接收到从中继节点R转发的信号分别为：

$y_A=\beta \sqrt{\alpha P}{h}_{A-R}{x}_A{h}_{R-A}+\beta \sqrt{(1-\alpha )P}{h}_{B-R}{x}_B{h}_{R-A}+{\mathrm{\beta n}}_r{h}_{R-A}+n_A$

$y_B=\beta \sqrt{\alpha P}{h}_{A-R}{x}_A{h}_{R-B}+\beta \sqrt{(1-\alpha )P}{h}_{B-R}{x}_B{h}_{R-B}+{\mathrm{\beta n}}_R{h}_{R-B}+n_B$

其中，n_A和n_B是用户A和B接收到的加性高斯白噪声；

用户A和B处的瞬时信干噪比SINR分别表示为

${\gamma }_A=\frac{{\beta }^2(1-\alpha )P\left|\right|h_{A-R}\left|{|}^2\right|\left|h_{B-R}\right|{|}^2}{{\beta }^2\left|\right|h_{A-R}|{|}^2{N}_0+N_0};$

${\gamma }_B=\frac{{\beta }^2\alpha P\left|\right|h_{A-r}\left|{|}^2\right|\left|h_{B-r}\right|{|}^2}{{\beta }^2\left|\right|h_{B-r}|{|}^2{N}_0+N_0};$

用户A和B的接收速率分别表示为：

$C_A\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left(\frac{(1-\alpha ){\mathrm{\mu \gamma }}_{B-R}}{\alpha (\mu -1)+(\mu +1)+\lambda }\right);$

$C_B\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left(\frac{{\mathrm{\alpha \mu \gamma }}_{B-R}}{\alpha \mu +(2-\alpha )+\lambda }\right);$

步骤3，计算用户A和B的总功耗其中，P_CA和P_CB分别表示用户A和B的电路功率，η_A和η_B分别表示用户A和B的功放效率；

从用户A到用户B的安全速率C_A-B(α)＝C_B(α)-C_A-R(α)，从用户B到用户A的安全速率C_B-A(α)＝C_A(α)-C_B-R(α)；

整个全双工双向中继网络的可达安全速率

C_S(α)＝C_A(α)+C_B(α)-C_A-R(α)-C_B-R(α)；

定义全双工双向中继网络的安全能量效率

步骤4，求解g₈α⁸+g₇α⁷+g₆α⁶+g₅α⁵+g₄α⁴+g₃α³+g₂α²+g₁α+g₀＝0的根，其中，

$g_8=({\eta }_B-{\eta }_A)(2{\lambda }_1^2{\lambda }_2^2{\lambda }_3-4{\lambda }_1{\lambda }_3^4+{\lambda }_1^8)$

$g_7=({\eta }_B-{\eta }_A)(15{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+10{\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+3{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2-5{\lambda }_1^2-{\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2+2{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2+7{\lambda }_3^2)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_6=({\eta }_B-{\eta }_A)(11{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3^2+17{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+12{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2)+(6{\eta }_B-13{\eta }_A)({\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-6{\lambda }_1^2{\lambda }_3)\\ +(3{\eta }_B-4{\eta }_A)({\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-3{\lambda }_1{\lambda }_2^3)-(3{\eta }_B-2{\eta }_A)\left(3{\lambda }_1^2{\lambda }_2{\lambda }_3^2\right)+{\eta }_A({\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2-2{\lambda }_2^4{\lambda }_3)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_5=\left({\eta }_B-{\eta }_A\right)(4{\lambda }_1+24{\lambda }_2+3{\lambda }_1{\lambda }_3^2+7{\lambda }_1^4{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+12{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2)-({\eta }_B+{\eta }_A)(2{\lambda }_1^2-{\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2)\\ -6{\eta }_B({\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3^2+3{\lambda }_2^3{\lambda }_3)+(3{\eta }_B-2{\eta }_A){\lambda }_1^2{\lambda }_2-(12{\eta }_B-17{\eta }_A){\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2\\ +(15{\eta }_B-20{\eta }_A){\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+{\eta }_A({\lambda }_1^2{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+3{\lambda }_1{\lambda }_2^3+4{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2-5{\lambda }_2)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_4=({\eta }_B-{\eta }_A)(14{\lambda }_1{\lambda }_2+8{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+12{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2)+(15{\eta }_B-13{\eta }_A)({\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-{\lambda }_2^2{\lambda }_3)\\ +(3{\eta }_B-4{\eta }_A)({\lambda }_1^2{\lambda }_2^2-3{\lambda }_1{\lambda }_2^3)-(3{\eta }_B-2{\eta }_A)(3{\lambda }_1^2{\lambda }_2+5{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3)\\ +{\eta }_A({\lambda }_1{\lambda }_2^4-2{\lambda }_2^4+{\lambda }_3^2)+{\eta }_B({\lambda }_1^2{\lambda }_2^2+3{\lambda }_1{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+4{\lambda }_2^4)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_3=({\eta }_B-{\eta }_A)(4{\lambda }_1+2{\lambda }_2-4{\lambda }_3)-({\eta }_B-{\eta }_A)2{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2-6{\eta }_B({\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3^2+{\lambda }_2^3)\\ +(6{\eta }_B-3{\eta }_A){\lambda }_1^2{\lambda }_2-(12{\eta }_B-17{\eta }_A){\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+(24{\eta }_B-20{\eta }_A){\lambda }_2^2{\lambda }_3^2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_2={\eta }_A(18{\lambda }_1{\lambda }_2+6{\lambda }_1{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2+18{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-12{\lambda }_1{\lambda }_3^2-9)+({\eta }_B+3{\eta }_A)2{\lambda }_1^2\\ -(5{\eta }_B+{\eta }_A)2{\lambda }_2^2{\lambda }_3+8{\eta }_B\end{array}\right)$

$g_1={\eta }_A(34{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2-2{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2)+{\eta }_B(24{\lambda }_1-8{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2)$

$g_0={\eta }_A(2{\lambda }_1^2{\lambda }_2^2-8{\lambda }_1{\lambda }_3^2+16{\lambda }_1{\lambda }_2^3{\lambda }_3)+{\eta }_B{\lambda }_2^4$

λ₁＝μ-1

λ₂＝μ+μγ_B-R-1

λ₃＝μ-μγ_B-R-1

得到最优功率分配因子α_opl，使安全能量效率EE(α)最大。

本发明的有益效果是：考虑了能量效率，能够在总功率受限的条件下最大化安全能量效率，并尽量保护用户信息免受不可信中继节点的破译。此外，通过泰勒展开式简化了计算过程，且简化操作带来的估计误差不超过6％，可忽略不计。

附图说明

图1是双向全双工中继网络的通信示意图；

图2是不同功放效率下精确的最优功率分配因子的变化示意图；

图3是在不同μ和不同功放效率的情况下，精确最优功率分配因子α_opt的变化示意图；

图4是当μ＝1时，在不同功率分配因子情况下网络达可达到的安全能量效率示意图；

图5是精确与近似功率分配因子α在不同μ值下的比较示意图；

图6是在场景1，3，4下精确与近似最优功率分配因子之间的误差示意图；

图7是在场景2下精确与近似最优功率分配因子之间的误差示意图；

图8是使用泰勒展开1项或多项得到的近似最优功率分配因子之间的对比示意图；

图9是场景1和4中不同μ下精确和近似最优功率分配下安全能量效率对比示意图；

图10是场景2，3，4中安全能量效率的相对误差示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。

本发明在总功率受限的条件下利用最优化功率分配因子，使安全能量效率最大化，尽量保护用户信息免受不可信中继节点的窃听和干扰。

本发明所使用的系统模型是具有三个节点的全双工双向中继网络，其原理框图如图1所示。该模型有一个用户A和用户B，A与B之间由于阴影衰落或者距离太远而不存在直接的通信链路，只能通过一个不可信的中继节点R进行通信。中继节点R不仅能够放大-发送接收到的信号，还有可能能够译码发送信号的加密信息。本发明中，基于用户A和用户B合作传输信息的方式，采用合成放大转发模式，来克服由于不信任中继节点窃听而导致的信息泄露。

用户A和用户B的通信需要在两个阶段完成。

在第一阶段，A和B同时向中继节点R发送各自的信息x_A和x_B。第二阶段，中继节点R将收到的合成信号经放大后重新发送给用户A和B，其中放大因子为β。所有接收端的噪声是假设为均值0，方差N₀的复高斯变量。

本发明分两部分进行描述：双向全双工中继网络的通信方案和最优功率分配方案。

I、双向全双工中继网络的通信方案

本发明使用的通信过程详细描述如下：

(1)第一阶段

中继节点R接收到的信号可以表示为

$y_R=\sqrt{P_A}{h}_{A-R}{x}_A+\sqrt{P_B}{h}_{B-R}{x}_B+n_R---\left(1\right)$

其中，P_A和P_B分别表示用户A和B的发射功率，h_A-R和h_B-R分别为用户A和用户B到中继节点R的信道增益，假设是均值为0，方差为σ²的复高斯变量。信道满足互易定理，即h_A-R＝h_R-A，h_B-R＝h_R-B。n_R表示中继R处的加性高斯白噪声。假设A和B发送的总功率为P，α∈[0，1]表示功率分配因子，则用户A发送的加密信息功率为αP，B发送的功率为(1-α)P。

在中继节点R处接收到从用户A端发送的数据速率C_A-R(α)可以表示为：

$C_{A-R}\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2(1+\frac{\left|\right|h_{A-R}|{|}^2\alpha P}{\left|\right|h_{B-R}|{|}^2(1-\alpha )P+N_0})---\left(2\right)$

用户A和B到中继节点R的等效信噪比(SNR)可以分别表示为：γ_A-R＝||h_A-R||²P/N₀，γ_B-R＝||h_B-R||²P/N₀，μ定义为用户A和B等效信噪比的比值，即：μ＝γ_A-R/γ_B-R；令λ＝1/γ_B-R。则公式(2)所示中继节点R处接收用户A的速率可以简化为：

$\begin{array}{c}{C}_{A-R}\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left(1+\frac{\frac{\left|\right|h_{A-R}|{|}^2\alpha P}{N_0}}{\frac{\left|\right|h_{B-r}|{|}^2(1-\alpha )P}{N_0}+1}\right)\\ =\frac{1}{2}{\log }_2\left(1+\frac{\alpha \mu }{(1-\alpha )+\lambda }\right)\end{array}---\left(3\right)$

类比上面的过程，我们可以得到中继节点R处接收用户B的速率C_B-R为：

$\begin{array}{c}{C}_{B-R}\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2(1+\frac{\left|\right|h_{B-R}|{|}^2(1-\alpha )P}{\left|\right|h_{A-R}|{|}^2\alpha P+N_0})\\ =\frac{1}{2}\log (1+\frac{(1-\alpha )}{\alpha \mu +\lambda })\end{array}---\left(4\right)$

(2)第二个阶段

中继节点R将接收到的信号放大β倍后转发给用户A和B，从中继节点R发送给用户A和B的信号可表示为

$z_R=\beta (\sqrt{\alpha P}{h}_{A-R}{x}_A+\sqrt{(1-\alpha )P}{h}_{B-R}{x}_B+n_R)---\left(5\right)$

将z_R归一化为||z_R||²＝P，得到

$\beta =\sqrt{\frac{P}{\alpha P\left|\right|h_{A-R}|{|}^2+(1-\alpha )P|\left|h_{B-R}\right|{|}^2+N_0}}---\left(6\right)$

用户A和B接收到从不信任的中继节点R转发的信号分别为：

$y_A=\beta \sqrt{\alpha P}{h}_{A-R}{x}_A{h}_{R-A}+\beta \sqrt{(1-\alpha )P}{h}_{B-R}{x}_B{h}_{R-A}+{\mathrm{\beta n}}_T{h}_{R-A}+n_A---\left(7\right)$

$y_B=\beta \sqrt{\alpha P}{h}_{A-R}{x}_A{h}_{R-B}+\beta \sqrt{(1-\alpha )P}{h}_{B-R}{x}_B{h}_{R-B}+{\mathrm{\beta n}}_R{h}_{R-B}+n_B---\left(8\right)$

其中，n_A和n_B是用户A和B接收到的加性高斯白噪声。由于x_A和x_B是用户A和B在上一阶段发送的，假设用户A和B具有完美的信道状态信息h_R-A和h_R-B，由于x_A和x_B是在用户A和B第一阶段发送的信息，对于用户A和B来说是已知的信号，接收时可以消除这部分信号的影响，则公式(7)的和公式(8)中的可以消去。用户A和B处的瞬时信干噪比(SINR)可表示为

${\gamma }_A=\frac{{\beta }^2(1-\alpha )P\left|\right|h_{A-R}\left|{|}^2\right|\left|h_{B-R}\right|{|}^2}{{\beta }^2\left|\right|h_{A-R}|{|}^2{N}_0+N_0}---\left(9\right)$

${\gamma }_B=\frac{{\beta }^2\alpha P\left|\right|h_{A-r}\left|{|}^2\right|\left|h_{B-r}\right|{|}^2}{{\beta }^2\left|\right|h_{B-r}|{|}^2{N}_0+N_0}---\left(10\right)$

经过数学运算简化后，用户A和B的接收速率可以表示为：

$C_A\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left(\frac{(1-\alpha ){\mathrm{\mu \gamma }}_{B-R}}{\alpha (\mu -1)+(\mu +1)+\lambda }\right)---\left(11\right)$

$C_B\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left(\frac{{\mathrm{\alpha \mu \gamma }}_{B-R}}{\alpha \mu +(2-\alpha )+\lambda }\right)---\left(12\right)$

II最优化功率分配方案

A.功率模型

本发明定义总功耗为两个用户和中继节点的功耗之和，为了简化，在本发明中只考虑两个用户的功耗，包括在放大电路的损耗和其他电路模块的损耗。因此，用户i的功耗E_i可以由下列公式计算：

$E_i=\frac{P_i}{{\eta }_i}+P_{c_i}---\left(13\right)$

其中表示电路功率，η_i代表功放效率，i∈{A，B}，因此两个用户的总功耗可表示为

$P_T\left(\alpha \right)=E_A+E_B=\frac{\alpha P}{{\eta }_A}+\frac{(1-\alpha )P}{{\eta }_B}+P_{c_A}+P_{c_B}---\left(14\right)$

B.问题建模

如果任何用户的信息被不信任的中继节点译码后，这样的数据传输被认为是不安全的。在本发明中，用户A和B的功率是受限的，物理层安全技术被用来保护加密信息不受窃听。因此，安全通信除了考虑能量受限外，还需要同时考虑安全需求和系统容量。从物理层安全性的绿色通信观点考虑，安全能量效率(EE，单位：bps/焦耳)定义为安全和速率与总功耗的比值，可有效度量能量利用效率。

从用户A到用户B的安全速率C_A-B(α)与从用户B到用户A的安全速率C_B-A(α)定义为：

$\begin{array}{c}{C}_{A-B}\left(\alpha \right)=C_B\left(\alpha \right)-C_{A-R}\left(\alpha \right)\\ C_{B-A}\left(\alpha \right)=C_A\left(\alpha \right)-C_{B-R}\left(\alpha \right)\end{array}---\left(15\right)$

整个网络的可达安全速率C_S(α)可以定义为：

C_S(α)＝C_A-B(α)+C_B-A(α)C_A(α)+C_B(α)-C_A-R(α)-C_B-R(α)(16)

本发明进一步定义双向中继网络安全能量效率EE(α)为整个网络的可达安全速率与总功耗之比，则安全能量效率可以表示为

$EE\left(\alpha \right)=\frac{C_S\left(\alpha \right)}{P_T\left(\alpha \right)}---\left(17\right)$

在有限总功率的前提下，为了实现安全传输和提高能量效率，可以通过设计最优化功率分配因子α_opt，合理给用户A和B分配功率，使安全能量效率EE(α)最大化。这一问题可以表示为

$\begin{array}{c}{\alpha }_{opt}=\arg \underset{\alpha }{\max }EE\left(\alpha \right)=\arg \underset{\alpha }{\max }\frac{C_S\left(\alpha \right)}{P_T\left(\alpha \right)}\\ \begin{array}{cc}s.t.& \alpha \in [0,1]\end{array}\end{array}---\left(18\right)$

通过(3)、(4)、(11)和(12)，我们可以得到C_S(α)的具体表示：

$C_S=\frac{1}{2\ln 2}ln\left(\frac{-\alpha (\alpha -1)({\lambda }_1+1)({\lambda }_2\alpha +2)({\lambda }_3\alpha +{\lambda }_2+2)}{{({\lambda }_1\alpha +1)}^2({\lambda }_1\alpha +2)\left({\lambda }_1\right(\alpha +1)+2)}\right)\stackrel{\Delta }{=}\frac{ln\left(k\right)}{2\ln 2}---\left(19\right)$

其中，λ₁＝μ-1,λ₂＝μ+μγ_B-R-1和λ₃＝μ-μγ_B-R-1。

C.最优化功率分配方案

高信噪比条件下，λ渐进等于0，且当λ＝0时，在中继节点处的窃听概率是最大的。因此，本发明设置λ＝0。在本发明中，我们的目的是最优化功率分配，也就是设计最优化功率分配因子，使安全能量效率最大化。

考虑公式(18)中目标函数，因为所以EE(α)的最大值是存在的。为了找到最大值和最优化功率分配因子，首先对EE(α)求导，并让其等于0。

公式(17)中的分母P_T(α)也是α的函数，所以直接对对EE(α)求导存在一定的困难。考虑到ln(x)函数是单调递增的，为了简化对目标函数的求导操作，可以转化公式(17)的形式如下：

ln EE(α)＝ln C_S(α)-ln>T(α)>

对ln EE(α)进行一阶求导，并让结果等于0，可以得到：

$\frac{{\mathrm{dC}}_S\left(\alpha \right)}{d\alpha }\frac{1}{C_S\left(\alpha \right)}-\frac{{\mathrm{dP}}_T\left(\alpha \right)}{d\alpha }\frac{1}{P_T\left(\alpha \right)}=0---\left(21\right)$

从公式(21)中可以看出，由于C_S(α)包含复杂的对数计算操作，使得对公式(21)的求解复杂度仍然很高，拟采用泰勒展开简化对数函数的运算。由于

$\begin{array}{c}\ln \left(k\right)=\ln \left(\frac{1+\frac{k-1}{k+1}}{1-\frac{k-1}{k+1}}\right)=2arcyanh\left(\frac{k-1}{k+1}\right)\\ \begin{array}{cc}=2\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\frac{1}{2n-1}{\left(\frac{k-1}{k+1}\right)}^{2n-1}& for\left|\frac{k-1}{k+1}\right|<1\end{array}\end{array}---\left(22\right)$

公式(22)中的第n项为由公式(19)可以得到因此随着n的增大，衰减的速度较快，在后续的分析和仿真中，可以发现采用泰勒展开的第一项来近似ln(k)，只产生较小的、可以接受的误差，所以我们可以对ln(k)做近似处理，即ln (k)≈2(k-1)/k+1，从而可以得到：

$C_S\left(\alpha \right)=\frac{(k-1)/(k+1)}{ln2}---\left(23\right)$

进一步假设用户A和用户B电路消耗功率很小，可忽略不计，即P_cA≈0，P_cB≈0。基于上述的分析和近似处理，可以得到公式(21)进一步的详细表示：

g₈α⁸+g₇α⁷+g₆α⁶+g₅α⁵+g₄α⁴+g₃α³+g₂α²+g₁α+g₀＝0(24)

其中：

$g_8=({\eta }_B-{\eta }_A)(2{\lambda }_1^2{\lambda }_2^2{\lambda }_3-4{\lambda }_1{\lambda }_3^4+{\lambda }_1^8)$

$g_7=({\eta }_B-{\eta }_A)(15{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+10{\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+3{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2-5{\lambda }_1^2-{\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2+2{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2+7{\lambda }_3^2)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_6=({\eta }_B-{\eta }_A)(11{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3^2+17{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+12{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2)+(6{\eta }_B-13{\eta }_A)({\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-6{\lambda }_1^2{\lambda }_3)\\ +(3{\eta }_B-4{\eta }_A)({\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-3{\lambda }_1{\lambda }_2^3)-(3{\eta }_B-2{\eta }_A)\left(3{\lambda }_1^2{\lambda }_2{\lambda }_3^2\right)+{\eta }_A({\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2-2{\lambda }_2^4{\lambda }_3)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_5=\left({\eta }_B-{\eta }_A\right)(4{\lambda }_1+24{\lambda }_2+3{\lambda }_1{\lambda }_3^2+7{\lambda }_1^4{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+12{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2)-({\eta }_B+{\eta }_A)(2{\lambda }_1^2-{\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2)\\ -6{\eta }_B({\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3^2+3{\lambda }_2^3{\lambda }_3)+(3{\eta }_B-2{\eta }_A){\lambda }_1^2{\lambda }_2-(12{\eta }_B-17{\eta }_A){\lambda }_1{\lambda }_2^4{\lambda }_3^2\\ +(15{\eta }_B-20{\eta }_A){\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+{\eta }_A({\lambda }_1^2{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+3{\lambda }_1{\lambda }_2^3+4{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2-5{\lambda }_2)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_4=({\eta }_B-{\eta }_A)(14{\lambda }_1{\lambda }_2+8{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+12{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2)+(15{\eta }_B-13{\eta }_A)({\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-{\lambda }_2^2{\lambda }_3)\\ +(3{\eta }_B-4{\eta }_A)({\lambda }_1^2{\lambda }_2^2-3{\lambda }_1{\lambda }_2^3)-(3{\eta }_B-2{\eta }_A)(3{\lambda }_1^2{\lambda }_2+5{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3)\\ +{\eta }_A({\lambda }_1{\lambda }_2^4-2{\lambda }_2^4+{\lambda }_3^2)+{\eta }_B({\lambda }_1^2{\lambda }_2^2+3{\lambda }_1{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2+4{\lambda }_2^4)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_3=({\eta }_B-{\eta }_A)(4{\lambda }_1+2{\lambda }_2-4{\lambda }_3)-({\eta }_B-{\eta }_A)2{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2-6{\eta }_B({\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3^2+{\lambda }_2^3)\\ +(6{\eta }_B-3{\eta }_A){\lambda }_1^2{\lambda }_2-(12{\eta }_B-17{\eta }_A){\lambda }_1{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2+(24{\eta }_B-20{\eta }_A){\lambda }_2^2{\lambda }_3^2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{g}_2={\eta }_A(18{\lambda }_1{\lambda }_2+6{\lambda }_1{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2+18{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2-12{\lambda }_1{\lambda }_3^2-9)+({\eta }_B+3{\eta }_A)2{\lambda }_1^2\\ -(5{\eta }_B+{\eta }_A)2{\lambda }_2^2{\lambda }_3+8{\eta }_B\end{array}\right)$

$g_1={\eta }_A(34{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2-2{\lambda }_1^2{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2)+{\eta }_B(24{\lambda }_1-8{\lambda }_2^3{\lambda }_3^2)$

$g_0={\eta }_A(2{\lambda }_1^2{\lambda }_2^2-8{\lambda }_1{\lambda }_3^2+16{\lambda }_1{\lambda }_2^3{\lambda }_3)+{\eta }_B{\lambda }_2^4$

利用Matlab求解公式(24)的根，得到最优功率分配因子α_opt，使安全能量效率EE(α)最大。

图2展示了用户A和B信噪比(SNR)比值μ＝1，到中继节点R的等效信噪比γ_A-R＝γ_B-R＝40dB时，不同功放效率下得到的精确最优功率分配因子α_opl。从图中可以看出，在η_B不变的前提下，α_opl随着η_A的增大而增大；在η_A不变的前提下，由于分配给用户A和B的功率分别为αPα_opl和(1-α_opt)P，α_opl随着η_B的增大而减小，(1-α_opt)随着η_B的增大而增大。在η_A＝η_B的情况下，α_opl为0.5，是一个定值，也就是说，对于用户A和B，中继节点R分配使用相同的功放效率。

图3展示了在不同μ和不同功放效率的情况下，精确最优功率分配因子α_opl的走向。从图3可以看出，α_opl随着μ的增大而增大，也就是表明，在低等效SNR下，会为传输链路分配更多的功率。还可以看出，当功放效率较大时，即η_A或者η_B较小时，也会给传输链路分配更多的功率。

下面的分析中，针对不同的功放效率考虑了4种情况，使η_A与η_B满足η_A＝ωη_B的关系，其中比例因子ω＝0.5，1，2，3，对应于场景1，场景2，场景3和场景4。

图4给出了当μ＝1时，在不同的功率分配因子情况下网络可达的安全能量效率。从图4可以看出，最优功率分配因子α_opl在场景1,2,3和场景4下分别为0.35，0.5，0.71，0.79，与由公式(18)计算得到的相一致。

图5展示了精确计算的功率分配因子α和使用本发明所提的仅用泰勒展开式第一项近似计算出功率分配因子α在不同μ值下的比较。由图可以看出在场景1，2，3下误差较小，而在场景4下误差相对较大。

为了进一步对误差进行分析，我们首先引入一个相对误差e，并有如下定义：

$e=\frac{|d-\hat{d}|}{d}\times 100\%---\left(25\right)$

其中，d和分别表示精确和近似的功率分配因子或者能效。在不同场景下的精确与近似最优功率分配因子之间的误差如图6和图7所示。

从图6和图7可以看出，随着μ的增大，相对误差也随之增大。在场景2下，如果功放效率相同，其相对误差就会比较小，但在其它场景下，相对误差则比较大。由图6和图7对误差的对比中可以看出在场景2下相对误差最小。

在图8中，主要关注的是在场景4下估计误差对最优功率分配的影响。估计误差的存在是由于舍弃了公式(22)中泰勒展开的其余项，只保留了第一项。随着保留项数的增多，从图8可以看出，估计的最优功率分配因子也就越来越接近精确的最优功率分配因子α_opl。

在图9和图10中，考虑到实现的复杂性和安全能量效率，我们仅使用泰勒展开的第一项，对于安全能量效率来说，这个估计误差是可以接受的。图9中，针对场景1和场景4，对于不同的μ，比较了精确和近似的最优功率分配下的安全能量效率。从图中可以看出，即使在最坏的场景4下，估计的α_opl对安全能量效率只有很小的影响。图10总结了在估计α_opl下安全能量效率的相对误差。这一结果证实了即使在最坏的场景4下，误差也少于6％，所以这些误差是可以被忽略的。权衡计算复杂度与相对误差，本发明所提的仅使用泰勒展开式第一项计算的功率分配因子可满足要求。