全周期无波形对称特点的选择性谐波消除脉宽调制方法

摘要

本发明涉及一种全周期无波形对称特点的选择性谐波消除脉宽调制方法，该方法包括以下步骤：产生逆变器输出理想波形并对其进行傅里叶分析，确定该理想波形的直流分量和傅里叶系数；令双极性SHEPWM波与逆变器输出理想波形的基波及各次受控谐波的傅里叶系数和直流分量分别相等得到的非线性方程组，利用该非线性方程组求解即得到一组开关角度；利用得到开关角度控制逆变器功率器件的导通与关断，便可实现逆变器输出信号的直流分量、基波及各次受控谐波幅值及相位的精确控制。本发明取消了逆变器相电压输出波形为1/2周期或1/4周期对称约束条件，通过精确控制逆变器输出波形直流分量、基波及各次受控谐波的幅值和相位，能够获得满足输出分量要求的波形。

说明书

技术领域

本发明属于电力电子设备的逆变器技术领域，具体地说，是一种关于全周期无波形对称特点的选择性谐波消除脉宽调制(Selective Harmonic Eliminated Pulse WidthModulation，SHEPWM)方法。

背景技术

随着电力电子技术的发展，逆变器在各种电力电子装置中得到了广泛的应用。PWM控制方法是逆变器研究中的关键技术，直接决定了功率变换目标能否实现，而且对输出电压、电流的波形质量、系统开关损耗的降低和系统效率的提高等有着直接和重要的影响。

在电力电子技术飞速发展的今天，应用于逆变器中的各种PWM控制策略不断涌现，归纳起来，主要可以分为三大类：(1)载波脉宽调制(SPWM)；(2)空间矢量脉宽调制(SVPWM)；(3)选择性谐波消除脉宽调制(SHEPWM)。本质上，各种PWM控制方法都是要控制逆变器的各逆变单元的电力电子开关的开通、关断时间和次序，输出可调宽度的脉冲序来拟合输出波形。

选择性谐波消除脉宽调制(以下简称SHEPWM)自1960年代初以来一直是学者研究的课题，发展成一个成熟的形式是在1970。不同于传统的脉宽调制技术，SHEPWM通过对逆变器输出电压波形进行傅里叶分解，得到求解电力电子开关所需的开关角的非线性方程组，利用迭代计算方法进行非线性方程组求解，即通过数学计算得到精确控制电力电子开关的动作时刻即开关角，使得逆变器输出波形满足理想的谐波分布。与其他PWM控制方法相比，SHEPWM方法具有一系列显著的优点，包括在同样的开关频率下，可以产生最优的输出电压波形，能从整体上提高变换性能；在同样波形质量的情况下，SHEPWM方法的开关频率下降约1/3，降低开关损耗，提高转换效率，使功率器件在高功率场合的应用成为可能；同时，SHEPWM方法能够避开三倍次谐波，在三相控制系统采取该技术具有很大优势。

理论上，用SHEPWM方法分析的逆变器输出波形可以为任意的，而实际上，为了控制谐波和简化方程组，通常人们假设逆变器相电压输出波形具有1/4周期对称特点，这一限定条件简化了非线性方程组的建立方法和求解过程，但同时它也限制了解决方案的适用空间，例如无法实现偶次谐波幅度和各次谐波相角的控制。后来研究者们放宽了对称约束，取逆变器电压输出波形为1/2周期对称，得到了比1/4周期对称条件下更宽广的解空间，但也只是实现了奇次谐波的相角控制，无法实现偶次谐波幅度及相角的控制。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种全周期无波形对称特点的谐波消除脉宽调制方法，该方法取消了逆变器输出波形为1/2周期对称或1/4周期对称的约束条件，选用全周期无波形对称特点的输出波形，通过求解非线性方程组得到控制电力电子开关的开关角度，从而实现了逆变器输出波形直流分量、基波及各次受控谐波幅值及相位的精确控制。

为了解决上述技术问题，本发明的全周期无波形对称特点的选择性谐波消除脉宽调制方法包括以下步骤：

步骤1：产生逆变器输出理想波形y(t)，并对其进行傅里叶分析，得到傅立叶级数F(ωt)；

$>F\left(\omega t\right)=b_0+\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\left(a_i\sin \right(i\omega t)+b_i\cos (i\omega t\left)\right)=b_0+\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{A}_i\sin \left(i\omega t+{\theta }_i\right),(i=1,2,3,...)---\left(1\right)$>

其中，i表示基波及各次受控谐波次数；b₀表示直流分量；A_i表示基波及各次受控谐波幅值；θ_i表示基波及各次受控谐波的相位；a_i、b_i、A_i、θ_i有如下关系：

$>\left(\begin{array}{c}{A}_i=\sqrt{a_i^2+b_i^2}\\ {\theta }_i=\arctan \frac{b_i}{a_i}\end{array}\right),(i=1,2,3,...)---\left(2\right)$>

其中a_i、b_i分别为逆变器输出的理想波形y(t)的傅里叶系数；

步骤2：根据式(3)确定逆变器输出的理想波形y(t)的直流分量b₀；

$>b_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt---\left(3\right)$>

其中T为逆变器输出理想波形y(t)的周期；

步骤3：根据式(4)确定逆变器输出理想波形y(t)的基波及各次受控谐波的幅值A_i；

$>A_i=\sqrt{{\left(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\right(t\left)sin\right(i\omega t\left)dt\right)}^2+{\left(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\right(t\left)cos\right(i\omega t\left)dt\right)}^2},(i=1,2,3,...)---\left(4\right)$>

步骤4：根据式(5)确定逆变器输出理想波形y(t)的基波及各次受控谐波的相位θ_i；

$>{\theta }_i=\arctan \left(\frac{\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)cos\left(i\omega t\right)dt}{\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)sin\left(i\omega t\right)dt}\right),(i=1,2,3,...)---\left(5\right)$>

步骤5：利用A_i、θ_i计算逆变器输出理想波形y(t)的傅里叶系数a_i和b_i，a_i＝A_i>i＝A_i>i；

步骤6：令双极性SHEPWM波的基波及各次受控谐波的傅里叶系数a_j、b_j和直流分量b₀'分别与逆变器输出理想波形的傅里叶系数a_i、b_i和直流分量b₀相等，得到非线性方程组(9)；

其中，双极性SHEPWM波y(ωt)的基波及各次受控谐波的傅里叶系数a_j、b_j和直流分量b₀'如下：

$>a_j=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)sin\left(j\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{j\pi }\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k}cos\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right),(j=1,2,3,...N/2)---\left(6\right)$>

$>b_j=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)cos\left(j\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{j\pi }\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right),(j=1,2,3,...N/2-1)---\left(7\right)$>

$>{b_0}^{\prime }=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left(-1\right)}^{k+1}{\alpha }_k)---\left(8\right)$>

式中，U_d为逆变器输入直流电压；N为全周期内开关角度的个数；α_k(k＝1,2,…N)为开关角度；

令双极性SHEPWM波的基波及各次受控谐波的傅里叶系数a_j、b_j和直流分量b₀'分别与逆变器输出理想波形的傅里叶系数a_i、b_i和直流分量b₀相等，得到非线性方程组(9)：

$>\left(\begin{array}{c}\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}{\alpha }_k)=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt\\ \underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left({\mathrm{j\alpha }}_k\right)=\frac{{\mathrm{i\pi A}}_i{\mathrm{cos\theta }}_i}{2U_d}\\ \underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right)=\frac{{\mathrm{i\pi A}}_i{\mathrm{sin\theta }}_i}{2U_d}\end{array}\right),(i=j=1,2,3,...N/2)---\left(9\right)$>

0＜α₁＜α₂＜…＜α_N-2＜α_N-1＜α_N＜2π

步骤7：变换非线性方程组(9)得到非线性方程组(10)：

$>\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(\alpha \right)=\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}{\alpha }_k)-\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt=0\\ f_2\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left({\alpha }_k\right)-\frac{{\mathrm{i\pi A}}_1{\mathrm{cos\theta }}_1}{2U_d}=0\\ f_3\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\alpha }_k\right)-\frac{{\mathrm{\pi A}}_1{\mathrm{sin\theta }}_1}{2U_d}=0\\ f_4\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left(2{\alpha }_k\right)-\frac{2{\mathrm{\pi A}}_2{\mathrm{cos\theta }}_2}{2U_d}=0\\ f_5\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}\sin \left(2{\alpha }_k\right)-\frac{2{\mathrm{\pi A}}_2{\mathrm{cos\theta }}_2}{2U_d}=0\\ ·\\ ·\\ ·\\ f_{N-2}\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left(\right(N/2-1\left){\alpha }_k\right)-\frac{(N/2-1){\mathrm{\pi A}}_{(N/2-1)}{\mathrm{cos\theta }}_{(N/2-1)}}{2U_d}=0\\ f_{N-1}\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}\sin \left(\right(N/2-1\left){\alpha }_k\right)-\frac{(N/2-1){\mathrm{\pi A}}_{(N/2-1)}{\mathrm{sin\theta }}_{(N/2-1)}}{2U_d}=0\\ f_N\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left(\right(N/2\left){\alpha }_k\right)-\frac{(N/2){\mathrm{\pi A}}_{(N/2)}{\mathrm{cos\theta }}_{(N/2)}}{2U_d}=0\end{array}\right)---\left(\mathrm{10}\right)$>

令：f(α)＝[f₁(α)>2(α) …>N(α)]^T；α＝[α₁>2 …>N]^T

步骤8：求解非线性方程组(10)的Jacobi矩阵；

$>\frac{\partial f\left(\alpha \right)}{\partial \alpha }=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_N}\\ \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_N}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \frac{\partial f_N\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_N\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_N\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_N}\end{array}\right)---\left(11\right)$>

步骤9：初始化参数λ：λ∈[0,1]；

步骤10：根据式(12)、(13)、(14)、(15)进行迭代运算，获得开关角度α^m+2：

α^m+1＝α^m+λdα^m(12)

$>{\alpha }^m={\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^m& {\alpha }_2^m& ...& {\alpha }_N^m\end{array}\right)}^T---\left(13\right)$>

$>{\mathrm{d\alpha }}^{m+1}=-f\left({\alpha }^{m+1}\right)\times \frac{\partial {\alpha }^{m+1}}{\partial f\left({\alpha }^{m+1}\right)}---\left(14\right)$>

f(α^m+1)＝[f₁(α^m+1)>2(α^m+1) …>N(α^m+1)]^T(15)

$>\frac{\partial f\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }^{m+1}}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_1^{m+1}}& \frac{\partial f_1\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_2^{m+1}}& ...& \frac{\partial f_1\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_N^{m+1}}\\ \frac{\partial f_2\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_1^{m+1}}& \frac{\partial f_2\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_2^{m+1}}& ...& \frac{\partial f_2\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_N^{m+1}}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \frac{\partial f_N\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_1^{m+1}}& \frac{\partial f_N\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_2^{m+1}}& ...& \frac{\partial f_N\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_N^{m+1}}\end{array}\right)---\left(16\right)$>

变器输出理想波形y(t)与三角波比较得到一组时间点，把该组时间点转换为一组角度值得到α^m的初始值α⁰，即

每迭代一次判断dα^m+1是否收敛到规定值，是则根据式(12)计算α^m+2，将其中的作为双极性SHEPWM波的开关角度输出，否则将m加1后再进行下一次迭代运算，直至dα^m+1收敛到规定值。

利用本发明获得的一组开关角度控制逆变器功率器件的导通与关断，便可实现逆变器输出信号的直流分量、基波及各次受控谐波幅值及相位的精确控制。

本发明研究了取消波形对称条件的一个周期内无对称特点的SHEPWM问题，实现了基波及各次受控谐波幅度和相角的控制。

本发明的主要优点在于：

(1)与其他PWM控制方法相比，SHEPWM方法在同样的开关频率下，可以产生最优的输出波形，能从整体上提高变换性能；在同样波形质量的情况下，SHEPWM方法的开关频率下降约1/3，降低开关损耗，提高转换效率，使功率器件在高功率场合的应用成为可能；

(2)与现有的SHEPWM方法相比，取消逆变器相电压输出波形为1/2周期对称或1/4周期对称约束条件，通过精确控制逆变器输出波形直流分量、基波及各次受控谐波的幅值和相位，获得满足输出分量要求的波形。

附图说明

图1是具体实施例硬件系统结构示意图；

图2是本发明的全周期无波形对称特点的选择性谐波消除脉宽调制方法流程图；

图3是SHEPWM双极性波形示意图；

图4是逆变器输出阶梯波形图；

图5是比较法求初始角度示意图。

具体实施方式

下面结合附图、具体实施方式及一个具体实施例对本发明作进一步详细说明。

如图1，具体实施例硬件系统结构包括：输入直流电压Ei、主控模块、驱动电路、单项全桥电路、负载五部分组成，其中主控模块计算产生四路SHEPWM控制脉冲；驱动电路用于产生四路驱动信号；单项全桥电路由VT1、VT2、VT3、VT4四个IGBT功率器件组成，用于将直流电压变换为交流电压，VT1的发射极与VT2的集电极相连，VT2的发射极与VT4的发射极相连，VT4的集电极与VT3的发射极相连，VT3的集电极与VT1的集电极相连。

如图1，具体实施例硬件系统结构示意图的连接方式为：输入直流电压Ei的正极与单项全桥电路中VT1的集电极相连，输入直流电压Ei的负极与单项全桥电路中VT4的发射极相连；负载两端分别与单项全桥电路中VT2的集电极和VT3的发射极相连；主控模块的4个输出端与驱动电路的4个输入端相连；驱动电路的4个输出端与单项全桥电路中VT1、VT2、VT3、VT4的门极相连。

本发明的全周期无波形对称特点的选择性谐波消除脉宽调制方法通过主控模块内编写的软件实现。具体流程如下：

步骤1：逆变器输出波形的傅里叶分析：

$>F\left(\omega t\right)=b_0+\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}\left(a_i\sin \right(i\omega t)+b_i\cos (i\omega t\left)\right)=b_0+\underset{i=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}{A}_i\sin \left(i\omega t+{\theta }_i\right),(i=1,2,3,...)---\left(1\right)$>

其中，i表示基波(i＝1)及各次受控谐波次数；b₀表示直流分量；A_i表示基波幅值(A_i＝A₁)及各次受控谐波幅值；θ_i表示基波相位(θ_i＝θ₁)及各次受控谐波相位。a_i、b_i、A_i、θ_i有如下关系：

$>\left(\begin{array}{c}{A}_i=\sqrt{a_i^2+b_i^2}\\ {\theta }_i=\arctan \frac{b_i}{a_i}\end{array}\right),(i=1,2,3,...)---\left(2\right)$>

步骤1对逆变器输出的理想波形y(t)进行傅里叶分析，确定逆变器输出波形y(t)的傅里叶表达式，用于步骤2、3、4的计算。

步骤2：确定逆变器输出的理想波形y(t)的直流分量b₀：

$>b_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt---\left(3\right)$>

步骤3：确定逆变器输出理想波形y(t)的基波及各次受控谐波的幅值A_i：

$>A_i=\sqrt{{\left(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\right(t\left)sin\right(i\omega t\left)dt\right)}^2+{\left(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\right(t\left)cos\right(i\omega t\left)dt\right)}^2},(i=1,2,3,...)---\left(4\right)$>

A₁为基波的幅值，当i＞1时A_i为谐波的幅值。

步骤4，确定逆变器输出波形的基波及各次受控谐波的相位：

$>{\theta }_i=\arctan \left(\frac{\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)cos\left(i\omega t\right)dt}{\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)sin\left(i\omega t\right)dt}\right),(i=1,2,3,...)---\left(5\right)$>

步骤5：利用A_i、θ_i计算逆变器输出理想波形y(t)的傅里叶系数a_i和b_i，a_i＝A_i>i＝A_i>i；

步骤6：列写双极性SHEPWM波的基波及各次受控谐波傅立叶系数的表达式：

$>a_j=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)sin\left(j\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{j\pi }\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k}cos\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right),(j=1,2,3,...N/2)---\left(6\right)$>

$>b_j=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)cos\left(j\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{j\pi }\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right),(j=1,2,3,...N/2-1)---\left(7\right)$>

a_j、b_j分别是双极性SHEPWM波y(ωt)的基波及各次受控谐波的傅里叶系数；

列写双极性SHEPWM波的直流分量b₀'的表达式：

$>{b_0}^{\prime }=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left(-1\right)}^{k+1}{\alpha }_k)---\left(8\right)$>

其中，U_d为逆变器输入直流电压；N为全周期内开关角度的个数；α_k(k＝1,2,…N)为开关角度。

令双极性SHEPWM波的基波及各次受控谐波的傅里叶系数a_j、b_j和直流分量b₀'分别与逆变器输出理想波形的傅里叶系数a_i、b_i和直流分量b₀相等，得到非线性方程组(9)：

$>\left(\begin{array}{c}\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}{\alpha }_k)=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt\\ \underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left({\mathrm{j\alpha }}_k\right)=\frac{{\mathrm{i\pi A}}_i{\mathrm{cos\theta }}_i}{2U_d}\\ \underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right)=\frac{{\mathrm{i\pi A}}_i{\mathrm{sin\theta }}_i}{2U_d}\end{array}\right),(i=j=1,2,3,...N/2)---\left(9\right)$>

0＜α₁＜α₂＜…＜α_N-2＜α_N-1＜α_N＜2π

步骤7：变换非线性方程组(9)得到非线性方程组(10)：

$>\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(\alpha \right)=\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}{\alpha }_k)-\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt=0\\ f_2\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left({\alpha }_k\right)-\frac{{\mathrm{i\pi A}}_1{\mathrm{cos\theta }}_1}{2U_d}=0\\ f_3\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\alpha }_k\right)-\frac{{\mathrm{\pi A}}_1{\mathrm{sin\theta }}_1}{2U_d}=0\\ f_4\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left(2{\alpha }_k\right)-\frac{2{\mathrm{\pi A}}_2{\mathrm{cos\theta }}_2}{2U_d}=0\\ f_5\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}\sin \left(2{\alpha }_k\right)-\frac{2{\mathrm{\pi A}}_2{\mathrm{cos\theta }}_2}{2U_d}=0\\ ·\\ ·\\ ·\\ f_{N-2}\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left(\right(N/2-1\left){\alpha }_k\right)-\frac{(N/2-1){\mathrm{\pi A}}_{(N/2-1)}{\mathrm{cos\theta }}_{(N/2-1)}}{2U_d}=0\\ f_{N-1}\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}\sin \left(\right(N/2-1\left){\alpha }_k\right)-\frac{(N/2-1){\mathrm{\pi A}}_{(N/2-1)}{\mathrm{sin\theta }}_{(N/2-1)}}{2U_d}=0\\ f_N\left(\alpha \right)=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left(\right(N/2\left){\alpha }_k\right)-\frac{(N/2){\mathrm{\pi A}}_{(N/2)}{\mathrm{cos\theta }}_{(N/2)}}{2U_d}=0\end{array}\right)---\left(\mathrm{10}\right)$>

0＜α₁＜α₂＜…＜α_N-2＜α_N-1＜α_N＜2π

f(α)＝[f₁(α)>2(α) …>N(α)]^T

α＝[α₁>2 …>N]^T

步骤8：求解非线性方程组(10)的Jacobi矩阵：

$>\frac{\partial f\left(\alpha \right)}{\partial \alpha }=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_N}\\ \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_N}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \frac{\partial f_N\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_N\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_N\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_N}\end{array}\right)---\left(11\right)$>

步骤9：初始化参数λ；

λ∈[0,1]，影响非线性方程组的收敛性，λ越小，收敛性很好，但迭代过程会有所增加。本发明选取λ＝1。

步骤10：根据式(12)、(13)、(14)、(15)、(16)进行迭代运算，获得开关角度α^m+2

α^m+1＝α^m+λdα^m(12)

$>{\alpha }^m={\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^m& {\alpha }_2^m& ...& {\alpha }_N^m\end{array}\right)}^T---\left(13\right)$>

$>{\mathrm{d\alpha }}^{m+1}=-f\left({\alpha }^{m+1}\right)\times \frac{\partial {\alpha }^{m+1}}{\partial f\left({\alpha }^{m+1}\right)}---\left(14\right)$>

f(α^m+1)＝[f₁(α^m+1)>2(α^m+1) …>N(α^m+1)]^T(15)

$>\frac{\partial f\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }^{m+1}}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_1^{m+1}}& \frac{\partial f_1\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_2^{m+1}}& ...& \frac{\partial f_1\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_N^{m+1}}\\ \frac{\partial f_2\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_1^{m+1}}& \frac{\partial f_2\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_2^{m+1}}& ...& \frac{\partial f_2\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_N^{m+1}}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \frac{\partial f_N\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_1^{m+1}}& \frac{\partial f_N\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_2^{m+1}}& ...& \frac{\partial f_N\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }_N^{m+1}}\end{array}\right)---\left(16\right)$>

迭代初始条件如下：

通过一个周期的逆变器输出理想波形y(t)与三角波比较得到一组时间点，把该组时间点转换为一组角度值得到α^m的初始值α⁰，即

每迭代一次判断dα^m+1是否收敛到规定值，是则根据式(12)计算α^m+2，将其中的作为双极性SHEPWM波的开关角度输出，否则将m加1后再进行下一次迭代运算，直至dα^m+1收敛到规定值。

如图2，具体实施例：逆变器输出波形为如图3所示的阶梯波，为了实现对其直流分量、基波、2次谐波、3次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波、8次谐波、9次谐波、10次谐波、11次谐波幅值及相位的精确控制，取开关角个数N＝24。

本发明的全周期无波形对称特点SHEPWM逆变器开关角度的求解方法，具体包括以下步骤：

步骤1：逆变器输出阶梯波的傅里叶分析；

步骤2：确定逆变器输出阶梯波的直流分量；

步骤3：确定逆变器输出阶梯波的基波及各次受控谐波的幅值；

步骤4：确定逆变器输出阶梯波的基波及各次受控谐波的相位；

步骤5：确定逆变器输出阶梯波的傅里叶系数a_i和b_i；

步骤6：列写双极性SHEPWM波的基波及各次受控谐波傅立叶系数和直流分量的表达式，获得非线性方程组(9)；

步骤7：变换非线性方程组(9)得到非线性方程组(10)；

步骤8：求解非线性方程组(10)的Jacobi矩阵；

步骤9：初始化参数λ：

步骤10：迭代运算获得开关角度。

所述步骤1，逆变器输出阶梯波的傅里叶分析：

$>F\left(\omega t\right)=b_0+\underset{i=1}{\overset{12}{\Sigma }}\left(a_i\sin \right(i\omega t)+b_i\cos (i\omega t\left)\right)=b_0+\underset{i=1}{\overset{12}{\Sigma }}{A}_i\sin \left(i\omega t+{\theta }_i\right),(i=1,2,3,...\mathrm{12})---\left(1\right)$>

其中，i表示基波(i＝1)及各次受控谐波次数；b₀表示直流分量；A_i表示基波幅值(A_i＝A₁)及各次受控谐波幅值；θ_i表示基波相位(θ_i＝θ₁)及各次受控谐波相位。a_i、b_i、A_i、θ_i有如下关系：

$>\left(\begin{array}{c}{A}_i=\sqrt{a_i^2+b_i^2}\\ {\theta }_i=\arctan \frac{b_i}{a_i}\end{array}\right),(i=1,2,3,...\mathrm{12})---\left(2\right)$>

所述步骤2，如图3，确定逆变器输出阶梯波的直流分量b₀：

$>b_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt=0.0342---\left(3\right)$>

所述步骤3，如图3，确定逆变器输出阶梯波的基波及各次受控谐波的幅值A_i：

$>\begin{array}{c}{A}_i=\sqrt{{\left(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\right(t\left)sin\right(i\omega t\left)dt\right)}^2+{\left(\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\right(t\left)cos\right(i\omega t\left)dt\right)}^2}\\ =\sqrt{\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{i\pi }\right(0.41\cos 0.38i\pi -0.35\cos 0.78i\pi -1.06\cos i\pi +\cos 1.143i\pi \left)\right)}^2\\ +{\left(\frac{1}{i\pi }\right(-0.41\sin 0.38i\pi +0.35\sin 0.78i\pi +1.06\sin i\pi -\sin 1.143i\pi \left)\right)}^2\end{array}}\end{array},(i=1,2,3,...12)---\left(4\right)$>

逆变器输出阶梯波基波及各次受控谐波的幅值(A₁…A₁₂)如表1所示。

表1：逆变器输出阶梯波基波及各次受控谐波的幅值

所述步骤4，如图3，确定逆变器输出阶梯波的基波及各次受控谐波的相位：

$>\begin{array}{c}{\theta }_i=\arctan \left(\frac{\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)cos\left(i\omega t\right)dt}{\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)sin\left(i\omega t\right)dt}\right)\\ =\arctan \left(\frac{\frac{1}{i\pi }(-0.41\sin 0.38i\pi +0.35\sin 0.78i\pi +1.06\sin i\pi -\sin 1.143i\pi )}{\frac{1}{i\pi }(0.41\cos 0.38i\pi -0.35\cos 0.78i\pi -1.06\cos i\pi +\cos 1.143i\pi )}\right)\end{array},(i=1,2,...12)---\left(5\right)$>

逆变器输出阶梯波基波及各次受控谐波的相位(θ₁…θ₁₂)如表2所示。

表2：逆变器输出阶梯波基波及各次受控谐波的相位

所述步骤5：利用A_i、θ_i计算逆变器输出理想波形y(t)的傅里叶系数a_i和b_i，a_i＝A_icosθ，b_i＝A_i>i；

所述步骤6：如图4，列写双极性SHEPWM波的基波及各次受控谐波傅立叶系数的表达式：

$>a_j=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)sin\left(j\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{j\pi }\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k}cos\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right),(j=1,2,3,...12)---\left(6\right)$>

$>b_j=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)cos\left(j\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{j\pi }\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right),(j=1,2,3,...11)---\left(7\right)$>

列写双极性SHEPWM波的直流分量的表达式：

$>b_0^{\prime }=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y\left(\omega t\right)d\left(\omega t\right)=\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left(-1\right)}^{k+1}{\alpha }_k)---\left(8\right)$>

其中，U_d为逆变器输入直流电压；α_k(k＝1,2,…24)为开关角度。

列写非线性方程组：

$>\left(\begin{array}{c}\frac{2U_d}{\pi }(\pi +\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}{\alpha }_k)=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}y\left(t\right)dt\\ \underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^k\cos \left({\mathrm{j\alpha }}_k\right)=\frac{{\mathrm{i\pi A}}_i{\mathrm{cos\theta }}_i}{2U_d}\\ \underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{(-1)}^{k+1}sin\left({\mathrm{j\alpha }}_k\right)=\frac{{\mathrm{i\pi A}}_i{\mathrm{sin\theta }}_i}{2U_d}\end{array}\right),(i=j=1,2,3,...N/2)---\left(9\right)$>

其中，取逆变器输入直流电压U_d＝1.2V，非线性方程组(9)可表示为：

$>\left(\begin{array}{c}\pi +{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3-...+{\alpha }_{23}-{\alpha }_{24}=0.044745\\ -\cos \left({\alpha }_1\right)+\cos \left({\alpha }_2\right)-\cos \left({\alpha }_3\right)+...-\cos \left({\alpha }_{23}\right)+\cos \left({\alpha }_{24}\right)=0.2416\\ \sin \left({\alpha }_1\right)-\sin \left({\alpha }_2\right)+\sin \left({\alpha }_3\right)-...+\sin \left({\alpha }_{23}\right)-\sin \left({\alpha }_{24}\right)=0.1151\\ -\cos \left(2{\alpha }_1\right)+\cos \left(2{\alpha }_2\right)-\cos \left(2{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(2{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(2{\alpha }_{24}\right)=-0.334\\ \sin \left(2{\alpha }_1\right)-\sin \left(2{\alpha }_2\right)+\sin \left(2{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(2{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(2{\alpha }_{24}\right)=-0.5862\\ -\cos \left(3{\alpha }_1\right)+\cos \left(3{\alpha }_2\right)-\cos \left(3{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(3{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(3{\alpha }_{24}\right)=0.1247\\ \sin \left(3{\alpha }_1\right)-\sin \left(3{\alpha }_2\right)+\sin \left(3{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(3{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(3{\alpha }_{24}\right)=0.6069\\ -\cos \left(4{\alpha }_1\right)+\cos \left(4{\alpha }_2\right)-\cos \left(4{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(4{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(4{\alpha }_{24}\right)=-0.3888\\ \sin \left(4{\alpha }_1\right)-\sin \left(4{\alpha }_2\right)+\sin \left(4{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(4{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(4{\alpha }_{24}\right)=-0.2892\\ -\cos \left(5{\alpha }_1\right)+\cos \left(5{\alpha }_2\right)-\cos \left(5{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(5{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(5{\alpha }_{24}\right)=0.726\\ \sin \left(5{\alpha }_1\right)-\sin \left(5{\alpha }_2\right)+\sin \left(5{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(5{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(5{\alpha }_{24}\right)=0.3329\\ -\cos \left(6{\alpha }_1\right)+\cos \left(6{\alpha }_2\right)-\cos \left(6{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(6{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(6{\alpha }_{24}\right)=-0.6305\\ \sin \left(6{\alpha }_1\right)-\sin \left(6{\alpha }_2\right)+\sin \left(6{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(6{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(6{\alpha }_{24}\right)=-0.1833\\ -\cos \left(7{\alpha }_1\right)+\cos \left(7{\alpha }_2\right)-\cos \left(7{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(7{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(7{\alpha }_{24}\right)=0.7943\\ \sin \left(7{\alpha }_1\right)-\sin \left(7{\alpha }_2\right)+\sin \left(7{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(7{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(7{\alpha }_{24}\right)=-0.2957\\ -\cos \left(8{\alpha }_1\right)+\cos \left(8{\alpha }_2\right)-\cos \left(8{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(8{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(8{\alpha }_{24}\right)=-1.092\\ \sin \left(8{\alpha }_1\right)-\sin \left(8{\alpha }_2\right)+\sin \left(8{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(8{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(8{\alpha }_{24}\right)=0.3034\\ -\cos \left(9{\alpha }_1\right)+\cos \left(9{\alpha }_2\right)-\cos \left(9{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(9{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(9{\alpha }_{24}\right)=0.8032\\ \sin \left(9{\alpha }_1\right)-\sin \left(9{\alpha }_2\right)+\sin \left(9{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(9{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(9{\alpha }_{24}\right)=-0.1705\\ -\cos \left(10{\alpha }_1\right)+\cos \left(10{\alpha }_2\right)-\cos \left(10{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(10{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(10{\alpha }_{24}\right)=-0.5123\\ \sin \left(10{\alpha }_1\right)-\sin \left(10{\alpha }_2\right)+\sin \left(10{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(10{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(10{\alpha }_{24}\right)=0.4213\\ -\cos \left(11{\alpha }_1\right)+\cos \left(11{\alpha }_2\right)-\cos \left(11{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(11{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(11{\alpha }_{24}\right)=0.5275\\ \sin \left(11{\alpha }_1\right)-\sin \left(11{\alpha }_2\right)+\sin \left(11{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(11{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(11{\alpha }_{24}\right)=-0.356\\ -\cos \left(12{\alpha }_1\right)+\cos \left(12{\alpha }_2\right)-\cos \left(12{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(12{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(12{\alpha }_{24}\right)=-0.15\end{array}\right)---\left(9\right)$>

所述步骤7：变换非线性方程组(9)得到非线性方程组(10)：

$>\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(\alpha \right)=\pi +{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3-...+{\alpha }_{23}-{\alpha }_{24}-0.044745=0\\ f_2\left(\alpha \right)=-\cos \left({\alpha }_1\right)+\cos \left({\alpha }_2\right)-\cos \left({\alpha }_3\right)+...-\cos \left({\alpha }_{23}\right)+\cos \left({\alpha }_{24}\right)-0.2416=0\\ f_3\left(\alpha \right)=\sin \left({\alpha }_1\right)-\sin \left({\alpha }_2\right)+\sin \left({\alpha }_3\right)-...+\sin \left({\alpha }_{23}\right)-\sin \left({\alpha }_{24}\right)-0.1151=0\\ f_4\left(\alpha \right)=-\cos \left(2{\alpha }_1\right)+\cos \left(2{\alpha }_2\right)-\cos \left(2{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(2{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(2{\alpha }_{24}\right)+0.334=0\\ f_5\left(\alpha \right)=\sin \left(2{\alpha }_1\right)-\sin \left(2{\alpha }_2\right)+\sin \left(2{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(2{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(2{\alpha }_{24}\right)+0.5862=0\\ ·\\ ·\\ ·\\ f_{22}\left(\alpha \right)=-\cos \left(11{\alpha }_1\right)+\cos \left(11{\alpha }_2\right)-\cos \left(11{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(11{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(11{\alpha }_{24}\right)-0.5275=0\\ f_{23}\left(\alpha \right)=\sin \left(11{\alpha }_1\right)-\sin \left(11{\alpha }_2\right)+\sin \left(11{\alpha }_3\right)-...+\sin \left(11{\alpha }_{23}\right)-\sin \left(11{\alpha }_{24}\right)+0.356=0\\ f_{24}\left(\alpha \right)=-\cos \left(12{\alpha }_1\right)+\cos \left(12{\alpha }_2\right)-\cos \left(12{\alpha }_3\right)+...-\cos \left(12{\alpha }_{23}\right)+\cos \left(12{\alpha }_{24}\right)+0.15=0\end{array}\right)---\left(10\right)$>

0＜α₁＜α₂＜…＜α₂₂＜α₂₃＜α₂₄＜2π

f(α)＝[f₁(α)>2(α) …>24(α)]^T

α＝[α₁>2 ...>24]^T

所述步骤8：求解非线性方程(11)的Jacobi矩阵：

$>\frac{\partial f\left(\alpha \right)}{\partial \alpha }=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_1\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_{24}}\\ \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_2\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_{24}}\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ \frac{\partial f_{24}\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_1}& \frac{\partial f_{24}\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_2}& ...& \frac{\partial f_{24}\left(\alpha \right)}{\partial {\alpha }_{24}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& ...& -1\\ \sin \left({\alpha }_1\right)& -\sin \left({\alpha }_1\right)& ...& -\sin \left({\alpha }_{24}\right)\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ ·& ·& ·& ·\\ 12\sin \left({\alpha }_1\right)& -12\sin \left({\alpha }_2\right)& ...& -12\sin \left({\alpha }_{24}\right)\end{array}\right)---\left(12\right)$>

所述步骤9：初始化参数λ；

λ∈[0,1]，影响非线性方程组的收敛性，λ越小，收敛性很好，但迭代过程会有所增加。本方案选取λ＝1。

所述步骤10，计算α^m+1：

α^m+1＝α^m+λdα^m(13)

$>{\alpha }^{m+1}={\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^{m+1}& {\alpha }_2^{m+1}& ...& {\alpha }_{24}^{m+1}\end{array}\right)}^T---\left(14\right)$>

$>{\mathrm{d\alpha }}^m={\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{d\alpha }}_1^m& {\mathrm{d\alpha }}_2^m& ...& {\mathrm{d\alpha }}_{24}^m\end{array}\right)}^T---\left(15\right)$>

$>{\alpha }^m={\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^m& {\alpha }_2^m& ...& {\alpha }_{24}^m\end{array}\right)}^T---\left(16\right)$>

其中，m等于经过本步骤7-4的次数再减1，即第一次经过本步骤时m＝0，此时第二次经过本步骤时m＝1，此时dα^m＝dα¹的值由步骤7-6得到，以此类推；第一次经过本步骤的值是通过比较法得到的，利用一个周期的逆变器输出阶梯波与三角波比较得到一组时间点，把该组时间点转换为一组角度值即为第一组α⁰；第二次经过本步骤α^m＝α¹，以此类推。

如图5，比较法得到α⁰的值如表3所示。

表3：比较法得到α⁰

计算f(α^m+1)：

f(α^m+1)＝[f₁(α^m+1)>2(α^m+1) …>24(α^m+1)]^T(17)

第一次经过本步骤f(α^m+1)＝f(α¹)的值如表4所示。

表4：第一次经过步骤7-5得到f(α^m+1)＝f(α¹)

计算dα^m+1：

结合α^m+1值以及f(α^m+1)值求dα^m+1：

$>\frac{\partial f\left({\alpha }^{m+1}\right)}{\partial {\alpha }^{m+1}}*{\mathrm{d\alpha }}^{m+1}=-f\left({\alpha }^{m+1}\right)---\left(18\right)$>

$>{\mathrm{d\alpha }}^{m+1}={\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{d\alpha }}_1^{m+1}& {\mathrm{d\alpha }}_2^{m+1}& ...& {\mathrm{d\alpha }}_{24}^{m+1}\end{array}\right)}^T---\left(19\right)$>

第一次经过本步骤dα^m+1＝dα¹的值如表5所示。

表5：第一次经过步骤7-6得到dα^m+1＝dα¹

判断dα^m+1是否收敛到规定值1e-8：

第一次经过本步骤dα¹＞1e-8，执行下一次迭代运算；

第五次经过本步骤dα⁵≤1e-8，结束迭代运算，进行下一步计算开关角度α^m+2。

获得开关角度α^m+2：

α^m+2＝α^m+1+λdα^m+1(20)

$>{\alpha }^{m+2}={\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_1^{m+2}& {\alpha }_2^{m+2}& ...& {\alpha }_{24}^{m+2}\end{array}\right)}^T---\left(21\right)$>

当迭代到第5次时dα⁵收敛到1e-8，符合设计要求，所以非线性方程组的解为所求的开关角度α⁶如表6所示。

表6：所求开关角度α⁶

根据非线性方程组，求得双极性SHEPWM波的开关角度，利用该组开关角控制逆变器功率器件的导通与关断，便可实现控制逆变器输出信号的直流分量、基波、2次谐波、3次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波、8次谐波、9次谐波、10次谐波、11次谐波幅值及相位的精确控制。

如表7，为不同脉宽调制技术下输出信号的各次谐波谱分布对比表。可以看出，应用SHEPWM(300Hz)方法与SPWM(900Hz)方法得到的输出信号质量比较相近。SHEPWM(300Hz)方法输出信号的直流分量、2次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波、8次谐波、9次谐波幅值更接近于标准阶梯波，为总被控量的66.7％；SPWM(300Hz)方法输出信号的3次谐波、10次谐波、11次谐波幅值更接近于标准阶梯波，为总被控量的25％；其余8.3％为相同。SHEPWM(300Hz)方法输出信号的基波、3次谐波、4次谐波、6次谐波、9次谐波的相位更接近于标准阶梯波，为总被控量的41.7％；SPWM(300Hz)方法输出信号的2次谐波、5次谐波、8次谐波、10次谐波的相位更接近于标准阶梯波，为总被控量的33.3％；其余25％为相同。仿真验证SHEPWM方法在同样波形质量的情况下，开关频率下降约1/3，降低开关损耗。

表7：不同脉宽调制技术下输出信号的各次谐波谱分布对比表

最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，凡在本发明精神和原则之内的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。