机器人分数阶PID控制器稳定性的形式化验证

摘要

本发明提出用高阶逻辑定理证明的形式化方法来验证机器人分数阶PID控制系统的稳定性。针对机器人分数阶PID控制器，首先建立分数阶拉普拉斯变换的高阶逻辑形式化模型和分数阶PID控制器的高阶逻辑形式化模型，在此基础上建立分数阶闭环控制系统的高阶逻辑形式化模型，利用该形式化模型和定理验证分数阶PID控制系统的稳定性。本发明采用高阶逻辑定理证明器的形式化验证为机器人分数阶PID控制系统的高可靠性提供了保障，为人机交互机器人的安全性提供坚实的基础。

说明书

技术领域

本发明是针对机器人分数阶PID控制系统的稳定性提出高阶逻辑的形式化验证，属于信息安全和数学领域。

背景技术

随着机器人由低级到高级的不断发展，机器人已渗入到人类生活的各个领域。对机器人的智能化水平和可靠性人们提出了更高的要求。发明人同时提出了采用分数阶PID控制器控制的机器人，使机器人能更加精准的完成各种动作。除了精准地控制，在设计机器人的过程中进行严密地验证也是目前对机器人可靠性研究的重要方向。传统的仿真验证方法，不能保证系统百分百的精确分析。对一些安全性能要求特别高尤其是人机交互作业机器人，不精确的应用会造成很大的威胁，甚至危害到生命。

形式化方法作为一种高可靠分析技术已经成功应用于软件和硬件的精确分析。定理证明是形式化技术的一种，它是以高阶逻辑和集合论等基础理论为工具，实现计算建模及逻辑推理的形式演算系统。定理证明方法可以用于任何能被数学模型表示的系统，不受状态数限制，是理想的验证方法。美国航空航天管理局采用定理证明器PVS（PrototypeVerification System）系统制定航天飞机中控制软件的规范，验证RockwellInternational在航空工业中使用的流水线处理器AAMP5，从中发现了四个设计错误，其中一个是用模拟和测试难以发现的(韩俊刚，杜慧敏.数字硬件的形式化验证[M].北京：北京大学出版社，2001.12)。德国Bremen的人工智能研究中心Holger Täubig等致力于机器人安全验证，在文献Guaranteeing Functional Safety: Design for Provability andComputer-Aided Verification (Autonomous Robots, Vol. 32, No. 3, April 2012,pp. 303–331.)中他们设计实现避免自主车辆和静态障碍碰撞的安全算法，并使用定理证明系统Isabella给出形式化验证自主移动机器人避免碰撞。

发明内容

本发明的目的是利用定理证明器HOL4（它是HOL（Higher Order Logical）的一个版本）验证机器人分数阶PID控制系统的稳定性。首先建立分数阶拉普拉斯变换的形式化模型和分数阶PID控制器的形式化模型，在此基础上建立分数阶闭环控制系统的形式化模型，最后利用建立的分数阶形式化的模型和定理验证分数阶控制系统的稳定性。基于高阶逻辑定理证明器的形式化验证为机器人分数阶控制系统的高可靠性提供了保障，为人机交互机器人的安全性提供坚实的基础。

本发明提出机器人分数阶PID控制系统稳定性的高阶逻辑验证，包括如下步骤：

（1）在高阶逻辑定理证明器中建立拉普拉斯变换的形式化模型。拉普拉斯变换是分数阶系统在时域与频域之间转换的基本工具。这里建立拉普拉斯变换的形式化模型：

|- !s f t. LAPLACE s f t =lim( .lim(. integral (1 / 2 pow n,&b) ( . ft * exp (-(s * t))) t))

拉普拉斯变换的定义描述的是区间上的一个积分，被积函数是f(t)与的乘积。其中，lim是求极限，integral是求积分。拉普拉斯变换是系统在时域和频域转换的工具。对应分数阶控制器构成的分数阶系统，在拉普拉斯变换形式化模型的基础上，引入分数阶拉普拉斯变换。

（2）在高阶逻辑定理证明器中建立分数阶拉普拉斯变换的高阶逻辑表达式。

|- FRAC_LAPLACE <=>!F s f t v.(F s = LAPLACE s f t) ==> (s rpow v * Fs = frac_cal f v 0 t t)

分数阶拉普拉斯变换可以使分数阶系统模型在时域上的与频域上相互转化。其中，蕴含条件F s = LAPLACE s f t要求分数阶拉普拉斯变换的函数f(t)必须满足常微分方程的拉普拉斯的相关条件。上述变换中，变换前函数用f(t)表示，变换后函数用F(s)表示，分数阶微积分的高阶逻辑定义用frac_cal表示。

（3）利用分数阶拉普拉斯变换的高阶逻辑模型得到的分数阶PID控制器的形式化模型。其数学模型如下所示：

在HOL4中建立并验证其形式化模型

Theorem：val FRAC_PID_TD_FD

|- 0 < s / 0 < E s / FRAC_LAPLACE / (LAPLACE s u t = U s) / (LAPLACEs e t = E s) / (u t= u_t Lambda Mu K_P K_I K_D e_t t) ==> (U s / E s = K_P +K_I * s rpow -Lambda + K_D * s rpow Mu)

这里要求用LAPLACE s u t = U s和LAPLACE s e t = E s使控制器的输入函数e(t)和控制器的输出函数u(t)满足拉普拉斯变换的条件，然后利用分数阶拉普拉斯变换的定义FRAC_LAPLACE推导出e(t)和u(t)的分数阶拉普拉斯变换。最后，推出输出为u(t)的分数阶PID控制器的传递函数为K_P + K_I * s rpow -Lambda + K_D * s rpow Mu。

（4）在高阶逻辑定理证明器中建立分数阶闭环系统的形式化模型。分数阶闭环控制系统是由分数阶PID控制器和被控系统组成的，也是个分数阶系统。在时域中，分数阶系统可由n项分数阶微分方程描述的，其方程如下：

其中，，为任意常量，为任意实数，而且。利用分数阶微积分的高阶逻辑定义frac_cal和求和函数sum对分数阶系统进行高阶逻辑建模，在HOL4中的表示如下

|- FRAC_ORDER_SYSTEM <=>!n p a y u t.0 <= p 0 / (!j. j < n ==> p j < p(SUC j)) ==>(sum (0,SUC n) (i. a i * frac_cal y (p i) 0 t t) = u t)

该形式化模型是以分数阶微分方程的数学模型为基础进行形式化表示。在形式化过程中，常量和阶数都是带有下标。其中，用a(i)表示a_i，其中a(i)是变量为i类型为num->real的函数。用p(j)表示，其中p(j)是变量为j类型为num->real的函数。前提条件!j. j < n==> p j < p (SUC j)使该形式满足了分数阶系统中分数阶微积分的阶数递增的要求。

分数阶系统的传递函数为：

分数阶系统的时域模型和频域模型是等价的并且可以相互转化，下面定理基于拉普拉斯变换验证了分数阶时域模型与频域模型的等价性。

Theorem：FRAC_ORDER_SYSTEM_TD_FD

|-0 < s / (!i. 0 < a i) / U s <> 0 /(LAPLACE s u t = U s) / (LAPLACEs y t = Y s) / FRAC_LAPLACE / FRAC_ORDER_SYSTEM ==>(Y s / U s = 1 / sum (0,SUC n) (i. a i * s rpow p i))

该定理证明了分数阶系统的时域模型经过拉普拉斯变换可以得到对应的频域模型。其中，LAPLACE s u t = U s和LAPLACE s y t = Y s要求输入函数u(t)和输出函数y(t)必须满足拉普拉斯变换的条件，从而可以利用分数阶拉普拉斯变换的定义FRAC_LAPLACE推导出u(t)和y(t)可以进行分数阶拉普拉斯变换。在实施过程中要求U(s)和sum (0,SUC n) (i.a i * s rpow p i))满足不等于零的条件，U s <> 0显然满足了U(s)不等于零，而sum (0,SUC n) (i. a i * s rpow p i))不等于零，由0 < s和!i. 0 < a i可以得出。在这些条件下，可得到分数阶系统FRAC_ORDER_SYSTEM的对应高阶逻辑形式化模型，可表示为1 /sum (0,SUC n) (i. a i * s rpow p i)。

（5）利用分数阶系统和分数阶PID控制器的高阶逻辑形式化建立分数阶闭环控制系统的形式化模型，其对应的数学模型如下

在高阶逻辑定理证明器中建立分数阶闭环控制系统的高阶逻辑模型如下

|- !a p n Lambda Mu K_P K_I K_D s.G_s a p n Lambda Mu K_P K_I K_D s =G_fa p s n * G_c Lambda Mu K_P K_I K_D s / (1 + G_f a p s n * G_c Lambda Mu K_PK_I K_D s)

其中G_f，G_c，G_s分别表示分数阶被控对象，分数阶PID控制器和分数阶闭环系统，并且G_s是通过G_f和G_c得到。为了方便应用，在高阶逻辑定理证明器中建立定理

Theorem：FRAC_ORDER_CLOSED_LOOP_SYSTEM_TRANSFER_GENERAL

|- !n a s p K_P K_D K_I Lambda Mu. 0 < s / (!i. 0 < a i) / u_t LambdaMu K_P K_I K_D e_t t <> 0 ==> (G_s a p n Lambda Mu K_P K_I K_D s = (K_D * srpow (Lambda + Mu) + K_P * s rpow Lambda + K_I) / (sum (0,SUC n) (i. a i * srpow (p i + Lambda)) + K_D * s rpow (Lambda + Mu) + K_P * s rpow Lambda + K_I))

其中，Lambda，Mu分别是积分和微分的阶数，K_P ，K_I， K_D分别是比例增益，积分系数和微分系数，s是该传递函数的变量。定理的证明通过s>0和(!i. 0 < a i)这两个前提条件，得出sum (0,SUC n) (i. a i * s rpow p i) 不等于零，然后根据s rpow Lambda 始终大于零，可推出s rpow Lambda * sum (0,SUC n) (i. a i * s rpow p i)不等于零，还有控制器的传递函数u_t Lambda Mu K_P K_I K_D e_t t不等于零的前提条件，可推出(1 + 1 / sum (0,SUC n) (i. a i * s rpow p i) * (K_P + K_I * s rpow -Lambda +K_D * s rpow Mu))不为零。这些式子不为零，满足了分母不等于零的条件，从而根据定理证明器中的相关理论推导出定理成立。在验证中可以直接应用定理，而简化验证过程。

附图说明

图1 本发明实施例中系统形式化验证过程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

针对五自由度机器人的一个底层系统，其传递函数为：

申请人同时提出设计的分数阶PID控制器：

已由仿真方法验证了该机器人在分数阶PID控制器控制下的稳定性。这里采用本发明提出的定理证明从逻辑上验证在分数阶PID控制器控制下系统的稳定性。分数阶系统的时域模型和频域模型是等价的，可以通过拉普拉斯变换进行相互转化。对于这个闭环控制系统，是否能达到稳态输出是最基本的要求，如系统不能达到稳态，机器人得不到合理的控制，就会引起机器人的发疯。这里用形式化的方法验证系统的稳态输出。其形式化验证过程如图1所示。

本发明验证了在输入为单位阶跃响应时机器人的分数阶控制系统的稳态输出。单位阶跃信号是指在t<0的时候，信号量恒为0，在t>0的时候，信号量恒为1。首先在高阶逻辑定理证明器中建立单位阶跃响应的形式化模型。在HOL4中的定义单位阶跃响应的形式化模型

|- !x. unit x = if 0 < x then 1 else 0

具有了单位阶跃响应的高阶逻辑形式化模型后，还需要分数阶微积分的一些基础定理，首先就是常数的分数阶微分。定义常数的分数阶微分同常数的整数阶微分一样，结果都为零。对其建立的高阶逻辑模型

|- FRAC_CAL_CONST <=> !v t c. 0 < v / (frac_cal ( . c) v 0 t t = 0)

根据建立的高阶逻辑模型，验证分数阶控制系统能够得到稳态值。在分数阶控制系统时域模型的基础上，建立高阶逻辑的形式化模型并验证：

Theorem：POSITION_SERVO_SYSTEM_UNIT

|- ?t.0<t / FRAC_CAL_CONST ==> ((6.58 * frac_cal ( . unit t) 0.8 0 t t+7.99 * frac_cal ( . unit t) 0.2 0 t t + 20.915) / (0.00001196 * frac_cal ( . unit t) 3.2 0 t t +0.002404 * frac_cal ( . unit t) 2.2 0 t t +0.7523 *frac_cal ( . unit t) 1.2 0 t t +6.58 * frac_cal ( . unit t) 0.8 0 t t +7.99 * frac_cal ( . unit t) 0.2 0 t t 20.915) =1)

定理中“?”代表逻辑中的存在，即存在一个时间使分数阶控制系统达到稳态。其中frac_cal是分数阶微积分GL定义的高阶逻辑形式化，分数阶微积分GL的定义如下：

利用重写策略可得：

单位阶跃响应在大于零的时刻才等于常数，根据常数的分数阶微分可得到单位阶跃响应的分数阶微分。在零时刻单位阶跃响应处于跳跃状态，此处不连续，无法得到分数阶微分，可以看出在(t-jh)大于零的时刻单位阶跃响应才为常数。此时刻是存在的。因为求和函数的变量j的最大值为t/h，那么jh小于等于t，又因为定理中给出前提条件0<t，故(t-jh)大于零。于是得出分数阶微积分的函数体unit(t-jh)为常数1，可得为零。最后推出定理成立。也就是说，分数阶位置伺服控制系统可以达到稳态输出。

该控制系统稳态性的验证说明了机器人在设计的分数阶PID控制器下是稳定有效的，这是一个基本条件。改验证也说明基于高阶逻辑的定理证明能形式化验证机器人的控制系统，为人机交互机器人的发展提供坚实的基础。