一种获取反应堆多群数据库中的多群Pn散射矩阵的方法

摘要

一种获取反应堆多群数据库中的多群Pn散射矩阵的方法，基于自由气体散射模型，通过公式推导并且在推导过程中利用了ENDF中所提供的温度为0K下的弹性散射角分布数据，得出了关于温度TK下的连续能量Pn散射矩阵的表达式σsn,T(E→E′)，并基于温度TK下的连续能量Pn散射矩阵求解中子慢化方程得到温度TK下的n阶中子通量密度，进而通过并群计算计算出温度TK下的多群Pn散射矩阵；本发明方法使并群计算后的多群Pn散射矩阵更加准确，并最终提高反应堆物理计算中共振计算的精度。

说明书

技术领域

本发明涉及核反应堆多群核数据库和反应堆物理计算领域，具体涉及一种获取多群核数据库中的多群P_n散射矩阵的方法。

背景技术

反应堆数值计算中，多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)起着至关重要的作用。目前针对多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)，传统采用的方法是由评价核数据库(以下简称ENDF)通过一系列处理得到，此方法最大缺陷在于针对弹性散射，在中子入射能量在200eV以下的能量范围的弹性散射反应，没有考虑到靶核的热运动情况。随着反应堆计算要求的逐渐提高，传统方法所给出多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)计算方法已不能满足要求。

传统方法计算某温度下的多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)分为以下几步：

1.对于某核素，从ENDF出发，经评价核数据处理程序得到该温度下关于能量相关的连续能量中子反应截面数据库(以下简称PENDF)。从PENDF中获得温度为TK下的连续能量弹性散射截面σ_s,T(E)和温度为TK下的连续能量总截面σ_t,T(E)，其中，s代表弹性散射反应，t代表总反应，T代表温度，E代表中子入射能量；再从ENDF中获得温度为0K下的弹性散射角余弦分布由f(E,μ)表示，其中，E代表入射能量，μ代表弹性散射角余弦。

2.计算多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)产生时所需要的温度为TK下的连续能量中子通量密度φ_n,T(E)(其中n＝0,1,2,…)，其中σ_s0,T(E′→E)(即令n＝0)是基于渐进散射模型，求解0维中子慢化方程所得出，即：

$\begin{array}{c}{\Sigma }_{t,T}\left(E\right){\phi }_{0,T}\left(E\right)={\int }_E^{E/\alpha }{\Sigma }_{s0,T}(E^{\prime }\to E){\phi }_{0,T}\left(E^{\prime }\right){\mathrm{dE}}^{\prime },\alpha ={\left(\frac{A-1}{A+1}\right)}^2\\ {\Sigma }_{t,T}\left(E\right)={\sigma }_{t,T}\left(E\right)·N;{\Sigma }_{s0}(E^{\prime }\to E)={\sigma }_{s0,T}(E^{\prime }\to E)·N\\ {\sigma }_{s0,T}(E^{\prime }\to E)=\frac{{\sigma }_{s,T}\left(E\right)}{(1-\alpha )E^{\prime }}\end{array}---\left(1\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

N——核子密度

A——靶核与中子质量比

φ_0,T(E)——温度TK下的0阶连续能量中子通量密度

σ_t,T(E)——温度为TK下的连续能量总截面

σ_s,T(E)——温度为TK下的连续能量弹性散射截面

高阶通量按如下公式计算：

${\phi }_{n,T}\left(E\right)=\frac{{\phi }_{n-1,T}\left(E\right)}{{\sigma }_{t,T}\left(E\right)}---\left(2\right)$

其中，σ_t,T(E)为温度为TK下的连续能量总反应截面，φ_n-1,T(E)为温度为TK下的n-1阶连续能量通量，φ_n,T(E)为温度为TK下的n阶连续能量通量。

3.由如下公式得到多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)：

$\begin{array}{c}{\sigma }_{sn,T}(g\to g^{\prime })=\frac{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}dE{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_{g^{\prime }}}{\phi }_{n,T}\left(E\right){\sigma }_{sn,T}(E\to E^{\prime }){\mathrm{dE}}^{\prime }}{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}{\phi }_{n,T}\left(E\right)dE}\\ =\frac{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}dE{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_{g^{\prime }}}{\phi }_{n,T}\left(E\right){\sigma }_{s,T}\left(E\right)f_n(E\to E^{\prime }){\mathrm{dE}}^{\prime }}{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}{\phi }_{n,T}\left(E\right)dE}\end{array}---\left(3\right)$

${\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_{g^{\prime }}}{f}_n(E\to E^{\prime }){\mathrm{dE}}^{\prime }={\int }_{{\mu }_1}^{{\mu }_2}f(E,\mu )P_n\left(\mu \right)d\mu ---\left(4\right)$

$\frac{E^{\prime }}{E}=\frac{A^2+2A\mu +1}{{(A+1)}^2}---\left(5\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

g——中子入射能群

g′——中子出射能群

ΔE_g——中子入射能群的能量间隔

ΔE_g′——中子出射能群的能量间隔

φ_n,T(E)——温度TK下的n阶中子通量密度

σ_s,T(E)——温度TK下的连续能量弹性散射截面

σ_sn,T(E→E′)——温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)

σ_sn,T(g→g′)——温度为TK下的多群P_n阶散射矩阵

μ——弹性散射角余弦

μ₁——对应出射能群下边界的散射角余弦

μ₂——对应出射能群上边界的散射角余弦

f(E,μ)——中子弹性散射角余弦分布

P_n(μ)——n阶勒让德多项式

A——靶核与中子的质量比

该方法被广泛使用，该方法仅对于连续能量弹性散射截面σ_s,T(E)作了关于靶核自由气体模型的处理，而在计算温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)σ_sn,T(E→E′)时，认为靶核是处于静止的，这与实际情况不符；同时，在推导自由气体模型的过程中，会使用到0K质心系下的弹性散射角分布，但是现有的推导方法对其做出了散射角严格各向同性假设(即认为f(E,μ)＝0.5)，这与ENDF中所给出的数据是不一致的。

因此，针对以上所存在的问题，需要发明一种准确、可行的多群P_n阶散射矩阵计算方法。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种获取反应堆多群数据库中的多群P_n散射矩阵的方法，为了得到准确的多群P_n阶散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)，本发明方法基于自由气体散射模型，通过公式推导并且在推导过程中利用了ENDF中所提供的温度为0K下的弹性散射角分布数据，得出了关于温度TK下的连续能量P_n散射矩阵表达式σ_sn,T(E→E′)，并基于温度TK下的连续能量P_n散射矩阵求解中子慢化方程得到温度TK下的n阶中子通量密度，进而通过并群计算计算出温度TK下的多群P_n散射矩阵。

为了实现上述目的，本发明采取了以下技术方案：

一种获取反应堆多群数据库中的多群P_n散射矩阵的方法，包括如下步骤：

步骤1：读取ENDF以及PENDF，获得温度为0K下的连续能量弹性散射截面σ_s,0(E)、温度为0K下弹性散射角余弦分布f(E,μ)和温度为TK下连续能量总反应截面σ_t,T(E)；其中，s代表弹性散射反应，t代表总反应，0代表温度为0K，T代表温度为TK，μ代表弹性散射角余弦；

步骤2：在中子入射能量在200eV以下的能量范围引入自由气体模型，以步骤1所获取的温度为0K下的连续能量弹性散射截面σ_s,0(E)和温度为0K下的弹性散射角余弦分布f(E,μ)为基础，结合0K下的弹性散射角余弦分布f(E,μ)，随后计算出各阶基于自由气体模型的温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵表达式σ_sn,T(E→E′)，其中n＝0,1,2,…；

基于自由气体模型的温度为TK下的连续能量多群P_n散射矩阵表达式为

$\begin{array}{c}{\sigma }_{sn,T}(E\to E^{\prime })=\frac{{\beta }^{5/2}}{4E}\exp (E/kT){\int }_0^{\infty }{\mathrm{t\sigma }}_{s,0}\left(\frac{kT}{A}{t}^2\right)\\ \begin{array}{cc}\times \exp (-t^2/A){\psi }_n\left(t\right)dt,& \beta =(A+1)/A\end{array}\end{array}---\left(6\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

A——靶核与中子的质量比

T——开氏温度

k——玻尔兹曼常数

$\begin{array}{c}{\psi }_n\left(t\right)=H(t_{+}-t)H(t-t_{-})\\ \times {\int }_{{ϵ}_{\max }-t}^{t+{ϵ}_{\min }}\exp (-x^2)Q_n(x,t)dx+H(t-t_{+})\\ \times {\int }_{t-{ϵ}_{\min }}^{t+{ϵ}_{\min }}\exp (-x^2)Q_n(x,t)dx\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{ϵ}_{\max }=\sqrt{(A+1)\max (E,E^{\prime })/kT}\\ {ϵ}_{\min }=\sqrt{(A+1)\min (E,E^{\prime })/kT}\end{array}---\left(8\right)$

$t_{\pm }=\frac{{ϵ}_{\max }\pm {ϵ}_{\min }}{2}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}A=({ϵ}_{\max }^2-x^2-t^2)({ϵ}_{\min }^2-x^2-t^2)\\ C=({ϵ}_{\max }^2+x^2-t^2)({ϵ}_{\min }^2+x^2-t^2)\\ B=[{(t+x)}^2-{ϵ}_{\max }^2][{(t+x)}^2-{ϵ}_{\min }^2]\\ \times [{ϵ}_{\max }^2-{(t-x)}^2][{ϵ}_{\min }^2-{(t-x)}^2]\end{array}---\left(11\right)$

其中，H为Heaviside阶跃函数，P_n(μ_lab)为n阶勒让德多项式，μ_lab为实验系下散射角，P(μ_CM)为在质心系下散射方位角为μ_CM的散射概率分布；

严格依照ENDF中所提供的温度为0K下弹性散射角余弦分布f(E,μ)，即将并带入式中，通过数值积分求解温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵；

步骤3：使用步骤2计算出的温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵，令n＝0得到温度为TK下的连续能量P₀散射矩阵σ_s0,T(E→E′)，并基于此温度为TK下的续能量P₀散射矩阵σ_s0,T(E→E′)，在中子入射能量在200eV以下的能量范围，获得温度为TK下的各阶中子通量密度φ_n,T(E)，其中n＝0,1,2,…。

为了得到温度为TK下的各阶中子通量密度φ_n,T(E)，其中n＝0,1,2,…，首先求解温度TK下的0阶连续能量中子通量密度φ_0,T(E)，即令φ_n,T(E)中的n＝0，建立温度TK下的0维中子慢化方程：

${\sigma }_{t,T}\left(E\right)·N·{\phi }_{0,T}\left(E\right)={\int }_0^{\infty }{\sigma }_{s0,T}(E^{\prime }\to E)·N·{\phi }_{0,T}\left(E^{\prime }\right){\mathrm{dE}}^{\prime }---\left(12\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

N——靶核核子密度

φ_0,T(E)——温度TK下的0阶连续能量中子通量密度

σ_s0,T(E′→E)——温度为TK下的连续能量P₀散射矩阵

σ_t,T(E)——温度为TK下的连续能量总截面

使用超细群方法求解该中子慢化方程，在超细群方法中，把共振能区分割成为非常精细的能量间隔，每一个这样的能量间隔称为一个超细群，认为每一个超细群宽度远小于中子与核素碰撞所获得的最大对数能降，即认为不可能发生超细群的自散射，这样只要给定最高能群的散射源后便能够依次由高能向低能逐群求解获得精细通量；在200eV以下，考虑自由气体模型，该模型会导致中子的上散射效应，在计算能谱时不能一次性由高能向低能逐群求解得到通量，需要通过迭代计算直至φ_0,T(E)收敛；

求得了温度TK下的0阶连续能量中子通量密度φ_0,T(E)后，温度TK下的n阶连续能量中子通量密度，其中n＝1,2,…，按公式(2)计算，即：

${\phi }_{n,T}\left(E\right)=\frac{{\phi }_{n-1,T}\left(E\right)}{{\sigma }_{t,T}\left(E\right)}---\left(2\right)$

其中，σ_t,T(E)为温度为TK下的连续能量总反应截面，φ_n-1,T(E)为温度为TK下的n-1阶连续能量通量，φ_n,T(E)为温度为TK下的n阶连续能量通量；

步骤4：获得了由步骤2所计算出的各阶基于自由气体模型的连续能量P_n散射矩阵表达式σ_sn,T(E→E′)和步骤3所计算出的各阶中子通量密度φ_n,T(E)，进行并群计算；

按下列并群公式计算出多群P_n散射矩阵：

${\sigma }_{sn,T}(g-g^{\prime })=\frac{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}dE{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_{g^{\prime }}}{\phi }_{n,T}\left(E\right){\sigma }_{sn,T}(E\to E^{\prime }){\mathrm{dE}}^{\prime }}{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}{\phi }_{n,T}\left(E\right)dE}---\left(13\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

g——中子入射能群

g′——中子出射能群

ΔE_g——中子入射能群的能量间隔

ΔE_g′——中子出射能群的能量间隔

φ_n,T(E)——温度TK下的n阶中子通量密度

σ_s,T(E)——温度TK下的连续能量弹性散射截面

σ_sn，T(E→E′)——温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵

σ_sn,T(g→g′)——温度为TK下的多群P_n散射矩阵。

与现有技术相比，本发明有如下突出优点：

1、考虑了靶核的热运动效应，能够基于自由气体模型计算出各阶连续能量P_n散射矩阵，有效的考虑了中子的共振上散射效应和共振吸收增加效应。

2、基于所计算出的连续能量P₀散射矩阵(即令连续能量P_n散射矩阵中的n＝0)，更加准确的描述中子与靶核碰撞后的运动并且能够得出更为真实的各阶中子通量密度，使并群计算后的多群P_n散射矩阵更加准确，并最终提高反应堆物理计算中共振计算的精度。

3、结合了ENDF中真实的质心系下的弹性散射角分布，提高了自由气体模型的精度，减少了对于质心系下的弹性散射角余弦分布假设。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

本发明一种获取反应堆多群数据库中的多群P_n散射矩阵的方法，包括如下步骤：

1.读取ENDF以及PENDF，获得温度为0K下的连续能量弹性散射截面σ_s,0(E)、温度为0K下弹性散射角余弦分布f(E,μ)和温度为TK下连续能量总反应截面σ_t,T(E)。其中，s代表弹性散射反应，t代表总反应，0代表温度为0K，T代表温度为TK，μ代表弹性散射角余弦。

2.在中子入射能量在200eV以下的能量范围引入自由气体模型，以步骤1所获取的温度为0K下的连续能量弹性散射截面σ_s,0(E)和温度为0K下的弹性散射角余弦分布f(E,μ)为基础，在公式推导中结合0K下的弹性散射角余弦分布f(E,μ)，随后通过公式计算出各阶基于自由气体模型的温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)表达式σ_sn,T(E→E′)。

经相关推导，基于自由气体模型的连续能量多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)表达式为

$\begin{array}{c}{\sigma }_{sn,T}(E\to E^{\prime })=\frac{{\beta }^{5/2}}{4E}\exp (E/kT){\int }_0^{\infty }{\mathrm{t\sigma }}_{s,0}\left(\frac{kT}{A}{t}^2\right)\\ \begin{array}{cc}\times \exp (-t^2/A){\psi }_n\left(t\right)dt,& \beta =(A+1)/A\end{array}\end{array}---\left(6\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

A——靶核与中子的质量比

T——开氏温度

k——玻尔兹曼常数

$\begin{array}{c}{\psi }_n\left(t\right)=H(t_{+}-t)H(t-t_{-})\\ \times {\int }_{{ϵ}_{\max }-t}^{t+{ϵ}_{\min }}\exp (-x^2)Q_n(x,t)dx+H(t-t_{+})\\ \times {\int }_{t-{ϵ}_{\min }}^{t+{ϵ}_{\min }}\exp (-x^2)Q_n(x,t)dx\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{ϵ}_{\max }=\sqrt{(A+1)\max (E,E^{\prime })/kT}\\ {ϵ}_{\min }=\sqrt{(A+1)\min (E,E^{\prime })/kT}\end{array}---\left(8\right)$

$t_{\pm }=\frac{{ϵ}_{\max }\pm {ϵ}_{\min }}{2}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}A=({ϵ}_{\max }^2-x^2-t^2)({ϵ}_{\min }^2-x^2-t^2)\\ C=({ϵ}_{\max }^2+x^2-t^2)({ϵ}_{\min }^2+x^2-t^2)\\ B=[{(t+x)}^2-{ϵ}_{\max }^2][{(t+x)}^2-{ϵ}_{\min }^2]\\ \times [{ϵ}_{\max }^2-{(t-x)}^2][{ϵ}_{\min }^2-{(t-x)}^2]\end{array}---\left(11\right)$

其中，H为Heaviside阶跃函数，P_n(μ_lab)为n阶勒让德多项式，μ_lab为实验系下散射角，P(μ_CM)为在质心系下散射方位角为μ_CM的散射概率分布。

本发明中，严格依照ENDF中所提供的温度为0K下弹性散射角余弦分布f(E,μ)，即将并带入式中，通过数值积分求解温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)。

3.使用步骤2计算出的温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)，令n＝0得到温度为TK下的连续能量P₀散射矩阵σ_s0,T(E→E′)，并基于此连温度为TK下的续能量P₀散射矩阵σ_s0,T(E→E′)，在中子入射能量在200eV以下的能量范围，获得温度为TK下的各阶中子通量密度φ_n,T(E)(其中n＝0,1,2,…)。

为了得到温度为TK下的各阶中子通量密度φ_n,T(E)(其中n＝0,1,2,…)，首先求解温度TK下的0阶连续能量中子通量密度φ_0,T(E)(即令φ_n,T(E)中的n＝0)，建立温度TK下的0维中子慢化方程：

${\sigma }_{t,T}\left(E\right)·N·{\phi }_{0,T}\left(E\right)={\int }_0^{\infty }{\sigma }_{s0,T}(E^{\prime }\to E)·N·{\phi }_{0,T}\left(E^{\prime }\right){\mathrm{dE}}^{\prime }---\left(12\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

N——靶核核子密度

φ_0,T(E)——温度TK下的0阶连续能量中子通量密度

σ_s0,T(E′→E)——温度为TK下的连续能量P₀散射矩阵

σ_t,T(E)——温度为TK下的连续能量总截面

使用超细群方法求解该中子慢化方程，在超细群方法中，把共振能区分割成为非常精细的能量间隔，每一个这样的能量间隔称为一个超细群，认为每一个超细群宽度远小于中子与核素碰撞所获得的最大对数能降，即认为不可能发生超细群的自散射，这样只要给定最高能群的散射源后便可以依次由高能向低能逐群求解获得精细通量。在200eV以下，考虑自由气体模型，该模型会导致中子的上散射效应，在计算能谱时不能一次性由高能向低能逐群求解得到通量，需要通过迭代计算直至φ_0,T(E)收敛。

求得了温度TK下的0阶连续能量中子通量密度φ_0,T(E)后，温度TK下的n阶连续能量中子通量密度(其中n＝1,2,…)按公式(2)计算，即：

${\phi }_{n,T}\left(E\right)=\frac{{\phi }_{n-1,T}\left(E\right)}{{\sigma }_{t,T}\left(E\right)}---\left(2\right)$

其中，σ_t,T(E)为温度为TK下的连续能量总反应截面，φ_n-1,T(E)为温度为TK下的n-1阶连续能量通量，φ_n,T(E)为温度为TK下的n阶连续能量通量。

4.获得了由步骤2所计算出的各阶基于自由气体模型的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)表达式σ_sn,T(E→E′)和步骤3所计算出的各阶中子通量密度φ_n,T(E)(其中n＝0,1,2,…)，进行并群计算。

按下列并群公式计算出多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)：

${\sigma }_{sn,T}(g-g^{\prime })=\frac{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}dE{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_{g^{\prime }}}{\phi }_{n,T}\left(E\right){\sigma }_{sn,T}(E\to E^{\prime }){\mathrm{dE}}^{\prime }}{{\int }_{{\mathrm{\Delta E}}_g}{\phi }_{n,T}\left(E\right)dE}---\left(13\right)$

其中，

E——中子入射能量

E′——中子出射能量

g——中子入射能群

g′——中子出射能群

ΔE_g——中子入射能群的能量间隔

ΔE_g′——中子出射能群的能量间隔

φ_n,T(E)——温度TK下的n阶中子通量密度

σ_s,T(E)——温度TK下的连续能量弹性散射截面

σ_sn,T(E→E′)——温度为TK下的连续能量P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)

σ_sn,T(g→g′)——温度为TK下的多群P_n散射矩阵(其中n＝0,1,2,…)。