基于最小多面体模型的LDPC码线性规划译码方法

摘要

本发明公开了一种基于最小多面体模型的LDPC码线性规划译码方法，主要解决现有LDPC码线性规划译码中译码速度慢和信息传递类译码中存在错误平层的问题。其实现方案是：首先通过分解校验节点的方法将LDPC码的最大似然译码松弛为基于最小多面体的线性规划LP模型，然后利用基于最小多面体的LP模型中矩阵的稀疏性和正交性，建立增广拉格朗日函数并采用交替方向乘子法ADMM算法进行迭代求解得到译码的码字。本发明与现有基于ADMM算法的LP译码方法相比，在不降低LP误码性能的前提下，提高了译码速度，与置信传播BP译码方法比较，在高信噪比下没有出现错误平台，可用于通信技术领域，以提高通信系统译码模块的效率。

说明书

技术领域

本发明属于通信领域，特别涉及一种对低密度奇偶校验LDPC码的译码方法，可用于磁存储、光纤通信和卫星数字视频等领域。

背景技术

低密度奇偶校验码LDPC是目前一种能够逼近香农信道容量限的最佳编码方案之一，受到国内外学者研究的关注，并被广泛应用在各种通信领域中。通常采用置信传播BP算法对LDPC码进行译码。由于BP算法会受到码字结构图中存在的许多有害特性的影响，包括伪码字、瞬子、陷阱集合等，因而在高信噪比区域，往往受到错误平层的影响，误码率随着信噪比的增加几乎不再下降。受困于此，在误码性能要求较高的系统中，例如磁存储和光纤通信中，LDPC码的性能仍不足以满足系统的需求。

为了解决上述问题，随后Feldman等首次将最大似然ML译码模型松弛为线性规划LP译码模型，成功应用于二元线性分组码的译码，奠定了LP译码强大的数学理论支撑。同时，Feldman还证明了LP译码具有ML特性，码字独立特性和全零假设等良好特性；同时可通过伪码字图、最小分式距离等分析译码性能；对于校验矩阵中存在短环的LDPC码，LP译码算法可通过增加冗余校验节点，消除短环影响，提高译码性能。LP译码优点很多，但是译码复杂度很高，求解困难，严重阻碍了它在实际场景中的应用。

为了解决这一难题，Taghavi和Siegel通过向LP模型中增加有效约束，研究出一种自适应的线性规划ALP译码方法。Xiaojie Zhang等基于这一算法，融合更好的有效割生成和搜索算法，提出了迭代形式的自适应的线性规划ALP译码算法，不仅降低了复杂度，还提升了译码性能。另外，Kai Yang等通过精心的度分解设计，研究出一种全新的线性规划译码模型，相比于Feldman的基本多面体模型，复杂度大大降低，被称为最小多面体MP。

以上模型大都通过标准的线性规划工具，如CVX、CPLEX等，通过调用单纯形法或内点法等方法求解线性规划模型。Barman等将传统的线性规划译码模型与交替方向乘子法ADMM相结合所提出的迭代式投影译码算法，是目前最好的LP译码方法之一，但其不足是译码速度较慢。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术的不足，提出一种基于最小多面体模型的LDPC码线性规划译码方法，以在不降低LP译码性能的前提下，进一步提高LDPC码译码速率，满足现代无线通信系统的需求。

本发明的基本思路是：将LDPC码的最大似然译码通过校验节点分解的方法松弛为基于最小多面体的LP模型；利用基于最小多面体的LP模型具有稀疏性和正交性特性，采用分布式并行快速算法ADMM对基于最小多面体的LP模型进行求解，以提高LDPC码译码速率。其技术方案包括如下：

(1)将最大似然ML译码模型转化为线性规划LP译码：

根据线性规划的定义，利用对数似然将最大似然ML译码模型转化为如下线性规划LP译码：

目标函数：minγ^Tx

约束条件：

x∈{0,1}ⁿ

其中，γ表示对数似然比向量，x_i表示发送的第i个码元，i＝1,2,...,n，n表示码元的总个数，j＝1,2,...,m表示第j个校验节点，m表示校验节点的总个数，x表示译码的码字，(h_ji)_m×n表示m×n的校验矩阵第j行第i列的数，表示校验方程，“”表示模2运算。

(2)分解校验节点，使每个子校验节点的度为3，对每个子校验节点利用奇偶校验方程构造最小多面体，得到如下最小多面体C：

C＝{(x₁,x₂,x₃)}<2>

约束条件：x₁+x₂+x₃≤2,

-x₁-x₂+x₃≤0,

x₁-x₂-x₃≤0，

-x₁+x₂-x₃≤0,

x_i∈[0,1],i＝1,2,3

其中，x₁表示最小多面体的第1个码元变量，x₂表示最小多面体的第2个码元变量，x₃表示最小多面体的第3个码元变量。

(3)建立最小多面体的LP译码模型并建立增广拉格朗日函数

(3a)根据步骤(2)构造的最小多面体，将模型<1>松驰为如下基于最小多面体的LP译码模型：

其中，q表示扩展后对数似然比向量，T表示矩阵的转置，d表示扩展后的码字，A表示系数矩阵，b表示系数向量；

(3b)对基于最小多面体的LP译码模型进行变形，即对式<3>的不等式约束条件增加辅助变量w将其转化成等式约束：

目标函数：min q^Td

约束条件：Ad+w＝b,<4>

0≤d≤1,

w≥0

(3c)对式<4>建立增广拉格朗日函数：

$L_{\mu }(d,w,\lambda )=q^{T}d+{\lambda }^T(Ad+w-b)+\frac{\mu }{2}\left|\right|Ad+w-b|{|}_2^2---<5>$

其中，L_μ(d,w,λ)表示拉格朗日函数，λ表示拉格朗日对偶变量，μ表示惩罚参数，表示Ad+w-b的2-范数平方。

(4)利用ADMM算法对式<5>中扩展后的码字d，辅助变量w，拉格朗日对偶变量λ进行循环迭代求解，直到满足迭代终止条件，得到最优的扩展码字d^*，并从中提取出译码的码字x^*。

本方法与现有技术相比具有以下优点：

1.降低了误码率。

常用的BP译码由于受到码字结构图中伪码字、陷阱集合等有害特性的影响，在高信噪比下会出现误码平台，误码率不再降低；本发明与BP译码相比，利用凸优化理论，使码字具有最大似然ML特性、独立特性和全零特性，减少了码字固有特性的影响，在高信噪比下不会出现误码平台，保持着较好的瀑区性能，极大地降低了误码率。

2.提高了译码速度。

传统的基于ADMM算法的线性规划LP译码是线性规划LP译码，比常用的BP译码误码率性能好，但是译码过程中需要调用投影算法，大大降低了译码速度；本方法相比调用投影算法的ADMM算法译码，减少了投影算法的操作，且充分利用了矩阵的稀疏性和正交性，因而在不降低误码性能的前提下，极大地提高了译码速度。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是本发明中进行最小多面体分解原理图；

图3是用本发明与现有译码方法对不同规则LDPC码译码的误比特率比较图；

图4是用本发明与现有译码方法对不同规则LDPC码译码的平均译码时间比较图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例及效果作进一步详细描述。

本实施例是对规则的LDPC码进行信道译码。

参照图1，本实例的实现步骤如下：

步骤1：根据线性规划的标准型，利用对数似然比向量将最大似然ML译码模型转化为线性规划LP译码。

(1a)假设发送端发送的二进制低密度奇偶校验码LDPC码字为x＝{x₁,…,x_i,…,x_n}，该码字对应的奇偶检验矩阵为H＝(h_ji)_m×n，经过噪声为n＝{n₁,…,n_i,…,n_n}的加性高斯白噪声AWGN信道后，接收的码字为r＝{r₁,…,r_i,…,r_n}，其中x_i表示发送的第i个码元，r_i表示接收的第i个码元，i＝1,2,...,n，n表示码元的总个数，j＝1,2,...,m表示第j个校验节点，m表示校验节点的总个数，(h_ji)_m×n表示m×n的校验矩阵第j行第i列的数；

(1b)计算对数似然比向量：γ＝[γ₁,...,γ_i,...,γ_n]^T：

其中第i个对数似然γ_i为：

${\gamma }_i=log\frac{P\left(r_i\right|x_i=0)}{P\left(r_i\right|x_i=1)},$

在加性高斯白噪声AWGN信道中，噪声是均值为0，方差为的高斯随机变量，服从正态分布，所以有

$P\left(r_i\right|x_i=0)=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\pi N}}_0}}{e}^{-\frac{{(r_i+1)}^2}{N_0}}---<6>$

$P\left(r_i\right|x_i=1)=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\pi N}}_0}}{e}^{-\frac{{(r_i-1)}^2}{N_0}}---<7>$

其中，e表示指数，N₀表示高斯白噪声功率谱密度；

根据式<6>、式<7>得到：

${\gamma }_i=log\frac{P\left(r_i\right|x_i=0)}{P\left(r_i\right|x_i=1)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\pi N}}_0}}{e}^{-\frac{{(r_i+1)}^2}{N_0}}}{\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\pi N}}_0}}{e}^{-\frac{{(r_i-1)}^2}{N_0}}}=\frac{-4r_i}{N_0}$

最终得到对数似然比向量如下：

$\left(\begin{array}{c}\gamma ={[{\gamma }_1,\mathrm{...},{\gamma }_i,\mathrm{...},{\gamma }_n]}^T\\ ={[\log \frac{P\left(r_1\right|x_1=0)}{P\left(r_1\right|x_1=1)},\mathrm{...},\log \frac{P\left(r_i\right|x_i=0)}{P\left(r_i\right|x_i=1)},\mathrm{...},\log \frac{P\left(r_n\right|x_n=0)}{P\left(r_n\right|x_n=1)}]}^T\\ ={[\frac{-4r_1}{N_0},\mathrm{...},\frac{-4r_i}{N_0},\mathrm{...},\frac{-4r_n}{N_0}]}^T\end{array}\right)$

其中，T表示转置；

(1c)利用二进制低密度奇偶校验码LDPC的码字x∈{0,1}ⁿ满足奇偶校验方程的条件，得到码字满足每一行奇偶校验的约束条件为：

$\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{h}_{ji}{x}_i\oplus 2=0$

j＝1,2,...,m

其中，x∈{0,1}ⁿ表示n维向量x中的元素等于0或1，表示校验方程，“”表示模2运算，∑表示求和；

得到线性规划LP模型：

目标函数：minγ^Tx

约束条件：

x∈{0,1}ⁿ

步骤2：分解校验节点，使每个子校验节点的度为3，对每个度为3的子校验节点利用奇偶校验方程构造最小多面体。

(2a)对于每个度为3的子校验节点，利用奇偶校验方程将一个码字集合E表示为：

E＝{(x₁,x₂,x₃)}

约束条件：x₁+x₂+x₃≤2,

-x₁-x₂+x₃≤0,

x₁-x₂-x₃≤0，

-x₁+x₂-x₃≤0,

x_i∈{0,1},i＝1,2,3

其中，x₁表示最小多面体的第1个码元变量，x₂表示最小多面体的第2个码元变量，x₃表示最小多面体的第3个码元变量。

(2b)对于度大于3的校验节点进行分解使每个子校验节点的度为3，本步骤的具体实现如下：

(2b1)假设第j个校验节点的度为λ_j≥3，则第j个约束条件为

$(h_{j1}{x}_1+...+h_{ji}{x}_i+...+h_{jn}{x}_n)\oplus 2=0;---<9>$

根据h_ji的取值为0或1，将式<9>化简为：

$(x_{j_1}+...+x_{j_{{\lambda }_p}}+...+x_{j_{{\lambda }_j}})\oplus 2=0$

其中，表示与第j个校验节点相连的第λ_p个码元，λ_p＝1,2,...,λ_j，表示序列号；

(2b2)对于与第j个校验节点相连的λ_j个码元，增加辅助码元以分解校验节点：

令分解之前码元的个数l⁽⁰⁾＝λ_j，对于第v次分解，令增加的辅助码元个数

当l^(v)为奇数时，满足如下条件：

$\left(\begin{array}{cc}(x_{2g-1}^{(v-1)}+x_{2g}^{(v-1)}+x_g^{\left(v\right)})\oplus 2=0,& g=1,2,...,l^{\left(v\right)}-1,\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}{x}_{2g-1}^{(v-1)}=x_g^{\left(v\right)},& g=l^{\left(v\right)}\end{array},$

$\underset{g=1}{\overset{l^{\left(v\right)}}{\Sigma }}{x}_g^{\left(v\right)}\oplus 2=0;$

当l^(v)为偶数时，满足如下条件：

$\begin{array}{cc}(x_{2g-1}^{(v-1)}+x_{2g}^{(v-1)}+x_g^{\left(v\right)})\oplus 2=0,& g=1,2,\mathrm{...},l^{\left(v\right)}\end{array},$

$\underset{g=1}{\overset{l^{\left(v\right)}}{\Sigma }}{x}_g^{\left(v\right)}\oplus 2=0;$

则每次分解后子校验节点的度都为3，其中与子校验节点相连的码元集合为其中，表示上界，log₂表示以2为底的对数，g表示序列号；

根据因子图中节点和边的关系，对度为λ_j≥3的校验节点，增加λ_j-3个辅助变量，通过分解得到λ_j-2个度为3的子校验节点；

参照图2，校验节点的度为6，与校验节点相连的原始码元分别为分解校验节点使每个子校验节点的度为3，则需要增加3个辅助码元，分别为将相邻的两个原始码元和与增加的辅助码元相结合，构成一个码元集合使子校验节点的度为3；将相邻的两个原始码元和与增加的辅助码元相结合，构成一个码元集合使子校验节点的度为3；将相邻的两个原始码元和与增加的辅助码元相结合，构成一个码元集合使子校验节点的度为3；将增加的3个辅助码元相结合，构成一个码元集合使子校验节点的度为3；对于度为6的校验节点，通过分解得到4个度为3的子校验节点；

(2c)将变量的取值范围x_i∈{0,1}松弛为线性约束x_i∈[0,1]，得到如下最小多面体C：

C＝{(x₁,x₂,x₃)}<10>

约束条件：x₁+x₂+x₃≤2,

-x₁-x₂+x₃≤0,

x₁-x₂-x₃≤0，

-x₁+x₂-x₃≤0,

x_i∈[0,1],i＝1,2,3，

其中，[0,1]表示0到1。

步骤3：建立最小多面体的LP译码模型并建立增广拉格朗日函数。

(3a)根据步骤2构造的最小多面体，建立最小多面体的LP译码模型：

(3a1)定义为辅助变量的总个数，为分解出的最小多面体的总个数，将原始变量x和辅助变量合并扩展为将对数似然比向量扩展为则式<8>中的目标函数转化为min q^Td，其中，表示1行Γ_a列的向量，表示1行Γ_c列的向量全为0；

(3a2)对于第γ_c个最小多面体，假设与扩展后的码字d相连的码元变量为则定义其相对应的矩阵为根据式<10>利用线性方程组的矩阵形式，令不等式右侧的值用向量表示,即不等式左侧的系数用矩阵F表示，即则第γ_c个最小多面体的矩阵形式为对于Γ_c个最小多面体，令系数矩阵系数向量则式<8>中的约束条件转化为Ad≤b，0≤d≤1，其中，表示第γ_c个最小多面体中与扩展后的码字d相连的第一个码元，表示第γ_c个最小多面体中与扩展后的码字d相连的第二个码元，表示第γ_c个最小多面体中与扩展后的码字d相连的第三个码元，矩阵中只有对应位置的元素为1，其他元素为零，“”表示笛卡尔积，表示长度为Γ_c的元素全为1，表示第γ_c个最小多面体的系数矩阵，由于系数矩阵F中有12个非零元素且任意两列是相互正交的，且系数矩阵与系数矩阵F相比，只是增加了(n+Γ_a-3)个全零列向量，所以中只有12个非零元素且任意两列也是相互正交的；由于系数矩阵A是由Γ_c个最小多面体直接级联得到的，无需改变中任意两列的正交关系，所以系数矩阵A具有正交性；由于系数矩阵A有4Γ_c×(n+Γ_a)个元素，其中只有12Γ_c个非零元素，所以系数矩阵A具有稀疏性；

(3a3)根据(3a1)和(3a2)，得到最小多面体的LP译码模型：

(3b)对最小多面体LP译码模型进行变形，即对式<11>的不等式约束条件增加辅助变量w将其转化成等式约束：

目标函数：min q^Td

约束条件：Ad+w＝b,<12>

0≤d≤1,

w≥0

(3c)对式<12>建立增广拉格朗日函数：

$L_{\mu }(d,w,\lambda )=q^{T}d+{\lambda }^T(Ad+w-b)+\frac{\mu }{2}\left|\right|Ad+w-b|{|}_2^2$

其中，L_μ(d,w,λ)表示拉格朗日函数，λ表示拉格朗日对偶变量，μ表示惩罚参数，表示Ad+w-b的2-范数平方。

步骤4：利用ADMM算法对扩展后的码字d，辅助变量w，拉格朗日对偶变量λ进行循环迭代求解，直到满足迭代终止条件，得到最优的扩展码字d^*，并从中提取出译码的码字x^*。

(4a)利用ADMM算法的如下迭代更新公式，求解第k+1次迭代后的扩展后的码字d^k+1，辅助变量w^k+1，拉格朗日对偶变量λ^k+1：

$d^{k+1}=\underset{0\le d\le 1}{\arg \min }{L}_{\mu }(d,w^k,{\lambda }^k)---<13>$

$w^{k+1}=\underset{w\ge 0}{\arg \min }{L}_{\mu }(d^{k+1},w,{\lambda }^k)---<14>$

λ^k+1＝λ^k+μ(Ad^k+1+w^k+1-b)<15>

(4a1)对扩展后的码字d进行更新，即固定辅助变量w^k和拉格朗日对偶变量λ^k，对式<13>中扩展后的码字d求导，并令导数等于零，得到更新后的码字d^k+1：

$d^{k+1}={\Pi }_{{[0,1]}^{n+{\gamma }_a}}{\left(A^{T}A\right)}^{-1}\times \left(A^T\right(b-w^k-\frac{{\lambda }^k}{\mu })-\frac{q}{\mu })---<16>$

其中，表示在超立方体上的投影操作，在求解式<16>时，利用系数矩阵A的稀疏性和正交性大大降低了计算复杂度，提高了译码速度；

(4a2)对辅助变量w进行更新，即固定更新后的码字d^k+1和拉格朗日对偶变量λ^k，对式<14>中的辅助变量w求导，并令导数等于零，得到更新后的辅助变量w^k+1：

$w^{k+1}={\Pi }_{w>0}(b-{\mathrm{Ad}}^{k+1})-\frac{{\lambda }^k}{\mu }---<17>$

其中，∏_w>0表示在w>0上的投影操作；

(4a3)根据式<15>利用(4a1)更新后的码字d^k+1和(4a2)更新后的辅助变量w^k+1得到更新后的拉格朗日对偶变量λ^k+1；

(4b)定义第k+1次迭代后原始残差R^k+1＝Ad^k+1+w^k+1-b，对偶残差S^k+1＝w^k+1-w^k，在迭代求解过程中，当原始残差2-范数的平方和对偶残差2-范数的平方同时小于阈值10^-5时停止迭代，得到最优的扩展码字d^*，并从中提取出译码的码字x^*。

本发明的效果通过以下仿真结果进一步说明：

仿真方法：本发明、现有基于ADMM算法的线性规划LP译码方法、置信传播BP译码方法。

仿真1：用本发明和现有的两种方法分别对不同的规则LDPC码进行译码，比较其误比特率BER，其结果如图3所示；

由图3可见，采用本发明和现有基于ADMM算法的LP译码方法对(160，80)规则LDPC码进行译码，得到的误比特率BER曲线基本吻合；同样，采用这两种译码方式对(512，256)规则LDPC码进行译码，得到的误比特率BER曲线也基本重合；说明本发明在误码性能方面可以到达和现有基于ADMM算法的LP译码方法一样的效果；同样，对(160，80)、(512，256)规则LDPC码分别采用BP译码方法，都会出现了错误平层，而本发明仍保持较好的瀑区性能，没有出现错误平层，说明本发明保持了LP译码低错误平层的优点；

仿真2：用本发明和现有的两种方法分别对不同的规则LDPC码进行译码，比较其平均译码时间，其结果如图4所示；

由图4可见，采用本发明和现有基于ADMM算法的LP译码方法对(160，80)规则LDPC码进行译码，得到本发明的平均译码时间短；同样，采用这两种译码方式对(512，256)规则LDPC码进行译码，得到本发明的平均译码时间短；说明本发明的平均译码速度比现有基于ADMM算法的LP译码方法的平均译码速度快；同样，对(160，80)、(512，256)规则LDPC码分别采用BP译码方法，得到本发明的平均译码时间比BP译码方法的平均译码时间短，说明本发明是快速的有效译码方法。