一种立轧轧件狗骨形状预测方法

摘要

本发明提供一种立轧轧件狗骨形状预测方法，包括：获取立轧某道次工艺规程数据，包括立轧轧件的入口厚度，入口宽度，出口宽度以及出口温度；检测轧件入口速度和立辊速度，获取立辊半径以及立辊与轧件的摩擦系数；根据立轧变形区的狗骨形状数学模型预测立轧轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线及出口处狗骨形状参数，包括：骨峰值高度、与辊面接触的狗骨高度、狗骨骨峰位置和狗骨影响区长度。本发明建立狗骨形状数学模型，综合考虑立轧过程中工艺规程和设备参数的基础上，精确预测立轧后轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线，解决在不同生产条件下预测立轧后轧件横断面形状的问题，在线计算得到立轧后狗骨形状，应用于立轧控制过程中，提高轧件形状的控制精度。

说明书

技术领域

本发明属于轧制技术领域，特别是一种立轧轧件狗骨形状预测方法。

背景技术

随着日趋激烈的市场竞争，连铸-连轧技术得到了迅速发展。为了提高连铸机生产率和连铸轧件质量，改善热轧和连铸的衔接性，实现板带大批量连续化生产，热轧立辊轧机需要完成大量的轧件宽度调整任务。立轧控宽是以一个相对轧件宽度非常小的压下量轧制厚件的过程，属于典型的超高件塑性变形问题。横向压缩变形不能穿透到整个轧件宽度的中央，轧后会出现明显的双鼓形，使轧件横断面呈现狗骨形状。大量的生产实践表明，立轧引起的这种轧件不均匀变形是影响成品宽度精度和成材率的主要因素。因此采用数学模型精确地预测立轧后的狗骨形状越来越具有实际意义和应用价值。

目前立辊控宽中狗骨形状的研究大多通过有限元和物理实验模拟的方法。有限元法通过有限元软件模拟来研究狗骨形成过程的变形特点、金属流动规律以及轧后的形状。物理实验模拟法通过等比例缩小实际生产中立辊轧机和轧件的尺寸，在实验室小型轧机上采用轧制铅或者塑形泥的方法模拟立轧。这两种方法根据测得的数据用计算机回归拟合，得到出口狗骨四参数：骨峰值高度2h_b，与辊面接触的狗骨高度2h_r，狗骨骨峰位置l_p和狗骨影响区长度l_p(如图1所示的立轧变形区)与立辊和轧件尺寸等工艺参数之间的近似数学模型。然而，由于各个模拟条件或实验条件不同，并且与现场条件的差距非常大，因此，得到的各个模型之间也存在较大的差异，模型精度仍然受到一定的限制。因此迫切需要得到一种能够预测不同生产条件下立轧后的狗骨形状的方法。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明提供一种立轧轧件狗骨形状预测方法。

本发明的技术方案是：

一种立轧轧件狗骨形状预测方法，包括：

步骤1、获取立轧某道次工艺规程数据，包括立轧轧件的入口厚度，入口宽度，出口宽度以及出口温度；

步骤2、检测轧件入口速度和立辊速度，获取立辊半径以及立辊与轧件的摩擦系数；

步骤3、根据立轧变形区的狗骨形状数学模型预测立轧轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线及出口处狗骨形状参数，包括：骨峰值高度、与辊面接触的狗骨高度、狗骨骨峰位置和狗骨影响区长度；

所述立轧变形区的狗骨形状数学模型描述立轧变形区轧件横断面的狗骨形状轮廓。

所述立轧变形区的狗骨形状数学模型的建立方法如下：

步骤3.1、建立立轧变形区的狗骨形状数学模型：根据立轧变形区狗骨形状截面在宽度方向的变化将立轧变形区划分区域，分别建立各区域轧制方向上描述狗骨形状的数学模型；

步骤3.2、根据立轧变形区的狗骨形状数学模型和流函数性质，建立立轧变形区的速度场和应变速度场；

步骤3.3、根据出口温度T和现场实际立轧材料及工艺规程，计算立轧时轧件的变形抗力；

步骤3.4、根据立轧变形区的狗骨形状数学模型以及立轧变形区的速度场和应变速度场，计算轧件内部变形功率、剪切功率和摩擦功率，得到总功率泛函；

步骤3.5、总功率泛函取得最小值时获得狗骨形状数学模型最佳，即得到最终的立轧变形区的狗骨形状数学模型。

所述步骤3.1根据立轧变形区任意一点的狗骨形状截面在宽度方向的变化将立轧变形区划分区域，分别建立描述各区域狗骨形状的数学模型，具体如下：

以轧件入口宽度与厚度中心为原点、轧件长度方向为x轴、轧件厚度方向为y轴、轧件宽度方向为z轴建立坐标系，根据立轧变形区狗骨形状截面在宽度方向的变化将立轧变形区划分为：

I区，0＜z＜W_x-3A_x；

II区，W_x-3A_x＜z＜W_x-A_x；

III区，W_x-A_x＜z＜W_x；

其中，z为立轧变形区任意一点到轧件宽度中心的垂直距离；立轧变形区任意一点到坐标系原点的水平距离x处的轧件宽度的一半R为立辊半径，W_E为立轧轧件出口宽度的一半，立轧变形区任意一点到立轧入口的水平距离x处的狗骨形状截面宽度参数A_x＝(W_x-W_E+3A)/3，A是随立轧工艺参数变化的待定常数；

I区狗骨形状数学模型：

h_I＝h₀

其中，h_I为I区轧件厚度的一半，h₀为轧件入口厚度的一半；

II区狗骨形状数学模型：

$h_{II}=h_0+\frac{3{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^3}{(z-W_x+3A_x)}^2-\frac{{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^4}{(z-W_x+3A_x)}^3$

其中，h_II为II区轧件厚度的一半，β是随立轧工艺参数变化的待定常数；

III区狗骨形状数学模型：

$h_{III}=h_0+\frac{2{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{A_x}-\frac{3{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^3}{(z-W_x+A_x)}^2+\frac{{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^4}{(z-W_x+A_x)}^3$

其中，h_III为III区轧件厚度的一半；

I区狗骨形状数学模型、II区狗骨形状数学模型、III区狗骨形状数学模型即为立轧变形区的狗骨形状数学模型，该模型中含有待定常数A和β。

根据所述立轧变形区的狗骨形状数学模型和流函数性质，建立立轧变形区的速度场和应变速度场，具体如下：

I区的速度场和应变速度场：

$v_{xI}=v_0,v_{yI}=v_{zI}=0,{\stackrel{·}{ϵ}}_{xI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{yI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{zI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{xyI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{xzI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{yzI}=0$

II区的速度场和应变速度场：

$\left(\begin{array}{c}{v}_{xII}=\frac{U}{3A_x{h}_{II}}\\ v_{yII}=-\frac{Uy}{3A_x}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{h_{II}}\right)+\frac{U(z-W_x+3A_x)y}{3}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{h_{II}}\right)\\ v_{zII}=-\frac{U(z-W_x+3A_x)}{3h_{II}}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{ϵ}}_{xII}=\frac{\partial v_{xII}}{\partial x},{\stackrel{·}{ϵ}}_{yII}=\frac{\partial v_{yII}}{\partial y},{\stackrel{·}{ϵ}}_{zII}=\frac{\partial v_{zII}}{\partial z}\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{xyII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xII}}{\partial y}+\frac{\partial v_{yII}}{\partial x}),{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zII}}{\partial x})\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{yzII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{yII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zII}}{\partial y})\end{array}\right)$

III区的速度场和应变速度场：

$\left(\begin{array}{c}{v}_{xIII}=\frac{U}{3A_x{h}_{III}}\\ v_{yIII}=-\frac{Uy}{3A_x}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{h_{III}}\right)+\frac{U(z-W_E+3A)y}{3}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{h_{III}}\right)\\ v_{zIII}=-\frac{U(z-W_E+3A)}{3h_{III}}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{ϵ}}_{xIII}=\frac{\partial v_{xIII}}{\partial x},{\stackrel{·}{ϵ}}_{yIII}=\frac{\partial v_{yIII}}{\partial y},{\stackrel{·}{ϵ}}_{zIII}=\frac{\partial v_{zIII}}{\partial z}\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{xyIII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xIII}}{\partial y}+\frac{\partial v_{yIII}}{\partial x}),{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzIII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xIII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zIII}}{\partial x})\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{yzIII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{yIII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zIII}}{\partial y})\end{array}\right)$

其中，U＝3v₀h₀A₀为入口截面的单位秒流量，v₀为入口速度，A₀为入口处的狗骨形状截面宽度参数(A_x中x＝0时)；v_xi、v_yi和v_zi分别为立轧轧件的长度方向的速度分量、厚度方向的速度分量和宽度方向的速度分量；和分别为立轧轧件的长度方向的应变速度分量、厚度方向的应变速度分量和宽度方向的应变速度分量；为立轧轧件宽度与厚度截面上，指向厚度方向的切应变速度分量；为立轧轧件宽度与厚度截面上指向宽度方向的切应变速度分量；为立轧轧件长度与宽度截面上，指向宽度方向的切应变速度分量；下标i为I、II和III，分别代表I区、II区和III区。

根据立轧变形区的狗骨形状数学模型以及立轧变形区的速度场和应变速度场，计算轧件内部变形功率剪切功率和摩擦功率得到如下总功率泛函J^*：

$\left(\begin{array}{c}{J}^{*}={\stackrel{·}{W}}_i+{\stackrel{·}{W}}_s+{\stackrel{·}{W}}_f=4\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s{\int }_0^l{\int }_{W_x-3A_x}^{W_x-A_x}{\int }_0^{h_{II}}\sqrt{{\stackrel{·}{ϵ}}_{xII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{yII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{zII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xyII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{yzII}^2}dydzdx+\\ 4\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s{\int }_0^l{\int }_{W_x-A_x}^{W_x}{\int }_0^{h_{III}}\sqrt{{\stackrel{·}{ϵ}}_{xIII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{yIII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{zIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xyIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{yzIII}^2}dydzdx+\frac{4{\sigma }_s}{\sqrt{3}}{\int }_{W_0-3A_0}^{W_0-A_0}{\int }_0^{h_0}\sqrt{{\left(v_{yII}{|}_{x=0}\right)}^2+{\left(v_{zII}{|}_{x=0}\right)}^2}dydz+\\ \frac{4{\sigma }_s}{\sqrt{3}}{\int }_{W_0-A_0}^{W_0}{\int }_0^{h_0}\sqrt{{\left(v_{yIII}{|}_{x=0}\right)}^2+{\left(v_{zIII}{|}_{x=0}\right)}^2}dydz+\frac{8{\mathrm{\mu \sigma }}_s}{\sqrt{3}}{\int }_0^l{\int }_0^{h_{rx}}\sqrt{{\left(v_{yIII}{|}_{z=W_x}\right)}^2+{\left[(v_R-\frac{v_{xIII}}{\cos \alpha }){|}_{z=h_x}\right]}^2}\frac{dydx}{\cos \alpha }\end{array}\right)$

其中，σ_s为立轧时轧件的变形抗力，α为接触角。

获得所述总功率泛函J^*取得最小值时随立轧工艺参数变化的待定常数A和β，进而确定最佳的狗骨形状截面宽度参数A_x，确定最终的立轧变形区的狗骨形状数学模型。

根据最终的立轧变形区的狗骨形状数学模型预测立轧轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线及出口处狗骨形状参数，狗骨形状参数包括：骨峰值高度2h_b＝2h₀+4βh₀ΔW/A、与辊面接触的狗骨高度2h_r＝2h₀+2βh₀ΔW/A、狗骨骨峰位置l_p＝A和狗骨影响区长度l_c＝3A。

有益效果：

本发明建立了狗骨形状数学模型，综合考虑立轧过程中工艺规程和设备参数的基础上，采用能量法精确预测了立轧后轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线，解决了在不同生产条件下预测立轧后轧件横断面形状的问题。本发明安全可靠，计算准确，能够在线计算得到立轧后狗骨形状，应用于立轧控制过程中，提高轧件形状的控制精度。

附图说明

图1是本发明具体实施方式的立轧变形区三维示意图；

图2是本发明具体实施方式的立轧变形区压下变形四分之一示意图；

图3是本发明具体实施方式的立轧变形区厚度变形四分之一示意图；

图4为本发明具体实施方式的立轧轧件狗骨形状预测方法的流程图；

图5为本发明具体实施方式的距立轧入口不同水平距离处轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细说明。

本实施方式中，以某厂2050mm热连轧粗轧机组为例，进行Q195钢板轧制，以某道次为例，实施本发明的立轧轧件狗骨形状预测方法，如图4所示，包括：

步骤1、获取立轧某道次工艺规程数据，包括立轧轧件的入口厚度2h₀＝0.22m、入口宽度2W₀＝1.4m、出口宽度2W_E＝1.35m以及出口温度T＝1152.13℃，板坯钢种为：Q195；

步骤2、检测轧件入口速度v₀＝1.42m/s和立辊速度v_R＝1.5m/s，获取立辊半径R＝0.51m以及立辊与轧件的摩擦系数μ＝0.4；

步骤3、根据立轧变形区的狗骨形状数学模型预测立轧轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线及出口处狗骨形状参数，包括：骨峰值高度、与辊面接触的狗骨高度、狗骨骨峰位置和狗骨影响区长度；

描述立轧变形区轧件横断面的狗骨形状轮廓的立轧变形区的狗骨形状数学模型的建立方法如下：

步骤3.1、建立含有待定常数A和β的立轧变形区的狗骨形状数学模型：根据立轧变形区狗骨形状截面在宽度方向的变化将立轧变形区划分区域，分别建立各区域轧制方向上描述狗骨形状的数学模型；

根据立轧变形区任意一点的狗骨形状截面在宽度方向的变化将立轧变形区划分区域，分别建立描述各区域狗骨形状的数学模型：

以轧件入口宽度与厚度中心为原点、轧件长度方向(立轧方向)为x轴、轧件厚度方向为y轴、轧件宽度方向为z轴建立坐标系，立轧变形区如图1所示。因为立轧过程为一个对称过程，所以取轧件的四分之一为研究对象，如图2所示的立轧变形区压下变形四分之一示意图，如图3所示的立轧变形区厚度变形四分之一示意图。根据立轧变形区狗骨形状截面在宽度方向的变化将立轧变形区划分为：

I区，0＜z＜W_x-3A_x；

II区，W_x-3A_x＜z＜W_x-A_x；

III区，W_x-A_x＜z＜W_x；

其中，z为立轧变形区任意一点到轧件宽度中心的垂直距离；

立轧变形区任意一点到坐标系原点的水平距离x处的轧件宽度的一半R为立辊半径，W_E为立轧轧件出口宽度的一半，立轧变形区任意一点到立轧入口的水平距离x处的狗骨形状截面宽度参数A_x＝(W_x-W_E+3A)/3，A是随立轧工艺参数变化的待定常数，l为变形区接触弧在立轧方向上的投影长度，θ为咬入角，则θ＝sin^-1(l/R)，α为接触角，W_x的导数为：立轧变形区内任意一点到立轧入口水平距离x处轧件宽度的绝对压下量的一半为：ΔW_x＝W₀-W_x；

I区狗骨形状数学模型：

h_I＝h₀

其中，h_I为I区轧件厚度的一半，h₀为轧件入口厚度的一半；

II区狗骨形状数学模型：

$h_{II}=h_0+\frac{3{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^3}{(z-W_x+3A_x)}^2-\frac{{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^4}{(z-W_x+3A_x)}^3$

其中，h_II为II区轧件厚度的一半，β是随立轧工艺参数变化的待定常数；

III区狗骨形状数学模型：

$h_{III}=h_0+\frac{2{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{A_x}-\frac{3{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^3}{(z-W_x+A_x)}^2+\frac{{\mathrm{\beta h}}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^4}{(z-W_x+A_x)}^3$

其中，h_III为III区轧件厚度的一半；

I区狗骨形状数学模型、II区狗骨形状数学模型、III区狗骨形状数学模型即为立轧变形区的狗骨形状数学模型，该模型中含有待定常数A和β。

步骤3.2、根据立轧变形区的狗骨形状数学模型和流函数性质，建立立轧变形区的速度场和应变速度场；

I区的速度场和应变速度场：

$v_{xI}=v_0,v_{yI}=v_{zI}=0,{\stackrel{·}{ϵ}}_{xI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{yI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{zI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{xyI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{xzI}={\stackrel{·}{ϵ}}_{yzI}=0$

II区的速度场和应变速度场：

$\left(\begin{array}{c}{v}_{xII}=\frac{U}{3A_x{h}_{II}}\\ v_{yII}=-\frac{Uy}{3A_x}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{h_{II}}\right)+\frac{U(z-W_x+3A_x)y}{3}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{h_{II}}\right)\\ v_{zII}=-\frac{U(z-W_x+3A_x)}{3h_{II}}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{ϵ}}_{xII}=\frac{\partial v_{xII}}{\partial x},{\stackrel{·}{ϵ}}_{yII}=\frac{\partial v_{yII}}{\partial y},{\stackrel{·}{ϵ}}_{zII}=\frac{\partial v_{zII}}{\partial z}\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{xyII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xII}}{\partial y}+\frac{\partial v_{yII}}{\partial x}),{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zII}}{\partial x})\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{yzII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{yII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zII}}{\partial y})\end{array}\right)$

III区的速度场和应变速度场：

$\left(\begin{array}{c}{v}_{xII}=\frac{U}{3A_x{h}_{III}}\\ v_{yIII}=-\frac{Uy}{3A_x}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{h_{III}}\right)+\frac{U(z-W_E+3A)y}{3}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{h_{III}}\right)\\ v_{zIII}=-\frac{U(z-W_E+3A)}{3h_{III}}\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{A_x}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{ϵ}}_{xIII}=\frac{\partial v_{xIII}}{\partial x},{\stackrel{·}{ϵ}}_{yIII}=\frac{\partial v_{yIII}}{\partial y},{\stackrel{·}{ϵ}}_{zIII}=\frac{\partial v_{zIII}}{\partial z}\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{xyIII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xIII}}{\partial y}+\frac{\partial v_{yIII}}{\partial x}),{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzIII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{xIII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zIII}}{\partial x})\\ {\stackrel{·}{ϵ}}_{yzIII}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_{yIII}}{\partial z}+\frac{\partial v_{zIII}}{\partial y})\end{array}\right)$

其中，U＝3v₀h₀A₀为入口截面的单位秒流量，v₀为入口速度，A₀为入口处的狗骨形状截面宽度参数(A_x中x＝0时)；v_xi、v_yi和v_zi分别为立轧轧件的长度方向的速度分量、厚度方向的速度分量和宽度方向的速度分量；和分别为立轧轧件的长度方向的应变速度分量、厚度方向的应变速度分量和宽度方向的应变速度分量；为立轧轧件宽度与厚度截面上，指向厚度方向的切应变速度分量；为立轧轧件宽度与厚度截面上指向宽度方向的切应变速度分量；为立轧轧件长度与宽度截面上，指向宽度方向的切应变速度分量；下标i为I、II和III，分别代表I区、II区和III区。

步骤3.3、根据出口温度T和现场实际立轧材料及工艺规程，计算立轧时轧件的变形抗力；

Q195的变形抗力模型为：

${\sigma }_s=6.1398{ϵ}^{0.1657}{\stackrel{·}{ϵ}}^{0.0943}{e}^{\frac{4059.5}{273.15+T}}\left(MPa\right)$

式中应变应变速率根据Q195的变形抗力模型，代入本道次规程数据得到：

应变：

应变速率：

得到该道次轧件立轧时的变形抗力为

${\sigma }_s=6.1398*{0.03637}^{0.1657}*{0.3479}^{0.0943}{e}^{\frac{4059.5}{273.15+1152.13}}=55.385MPa.$

步骤3.4、根据立轧变形区的狗骨形状数学模型以及立轧变形区的速度场和应变速度场，计算轧件内部变形功率、剪切功率和摩擦功率，得到总功率泛函；

步骤3.5、总功率泛函取得最小值时获得狗骨形状数学模型最佳，即得到最终的立轧变形区的狗骨形状数学模型。

根据立轧变形区的狗骨形状数学模型以及立轧变形区的速度场和应变速度场，计算轧件内部变形功率剪切功率和摩擦功率

内部变形功率

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{W}}_i=4\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s{\int }_0^l{\int }_{W_x-3A_x}^{W_x-A_x}{\int }_0^{h_{II}}\sqrt{{\stackrel{·}{ϵ}}_{xII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{yII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{zII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xyII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{yzII}^2}dydzdx+\\ 4\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s{\int }_0^l{\int }_{W_x-A_x}^{W_x}{\int }_0^{h_{III}}\sqrt{{\stackrel{·}{ϵ}}_{xIII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{yIII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{zIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xyIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{yzIII}^2}dydzdx\end{array}\right)$

剪切功率

${\stackrel{·}{W}}_s=\frac{4{\sigma }_s}{\sqrt{3}}{\int }_{W_0-3A_0}^{W_0-A_0}{\int }_0^{h_0}\sqrt{{\left(v_{yII}{|}_{x=0}\right)}^2+{\left(v_{zII}{|}_{x=0}\right)}^2}dydz+\frac{4{\sigma }_s}{\sqrt{3}}{\int }_{W_0-A_0}^{W_0}{\int }_0^{h_0}\sqrt{{\left(v_{yIII}{|}_{x=0}\right)}^2+{\left(v_{zIII}{|}_{x=0}\right)}^2}dydz$

摩擦功率

${\stackrel{·}{W}}_f=\frac{8{\mathrm{\mu \sigma }}_s}{\sqrt{3}}{\int }_0^l{\int }_0^{h_{rx}}\sqrt{{\left(v_{yIII}{|}_{z=W_x}\right)}^2+{\left[(v_R-\frac{v_{xIII}}{\cos \alpha }){|}_{z=h_x}\right]}^2}\frac{dydx}{\cos \alpha }$

得到如下总功率泛函J^*：

$\left(\begin{array}{c}{J}^{*}={\stackrel{·}{W}}_i+{\stackrel{·}{W}}_s+{\stackrel{·}{W}}_f=4\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s{\int }_0^l{\int }_{W_x-3A_x}^{W_x-A_x}{\int }_0^{h_{II}}\sqrt{{\stackrel{·}{ϵ}}_{xII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{yII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{zII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xyII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{yzII}^2}dydzdx+\\ 4\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_s{\int }_0^l{\int }_{W_x-A_x}^{W_x}{\int }_0^{h_{III}}\sqrt{{\stackrel{·}{ϵ}}_{xIII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{yIII}^2+{\stackrel{·}{ϵ}}_{zIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xyIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{xzIII}^2+2{\stackrel{·}{ϵ}}_{yzIII}^2}dydzdx+\frac{4{\sigma }_s}{\sqrt{3}}{\int }_{W_0-3A_0}^{W_0-A_0}{\int }_0^{h_0}\sqrt{{\left(v_{yII}{|}_{x=0}\right)}^2+{\left(v_{zII}{|}_{x=0}\right)}^2}dydz+\\ \frac{4{\sigma }_s}{\sqrt{3}}{\int }_{W_0-A_0}^{W_0}{\int }_0^{h_0}\sqrt{{\left(v_{yIII}{|}_{x=0}\right)}^2+{\left(v_{zIII}{|}_{x=0}\right)}^2}dydz+\frac{8{\mathrm{\mu \sigma }}_s}{\sqrt{3}}{\int }_0^l{\int }_0^{h_{rx}}\sqrt{{\left(v_{yIII}{|}_{z=W_x}\right)}^2+{\left[(v_R-\frac{v_{xIII}}{\cos \alpha }){|}_{z=h_x}\right]}^2}\frac{dydx}{\cos \alpha }\end{array}\right)$

其中，σ_s为立轧时轧件的变形抗力，α为接触角。

使用Matlab最优化工具箱获得所述总功率泛函J^*最小值时，随立轧工艺参数变化的待定常数A和β即最佳的待定常数A_opt＝0.03595，β_opt＝0.03616，进而确定最佳的狗骨形状截面宽度参数A_x＝(W_x-W_E+3A_opt)/3，确定最终的立轧变形区的狗骨形状数学模型。

$\left(\begin{array}{cc}{h}_I=h_0& 0<z<W_x-3A_x\\ h_{II}=h_0+\frac{3{\beta }_{opt}{h}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^3}{(z-W_x+3A_x)}^2-\frac{{\beta }_{opt}{h}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^4}{(z-W_x+3A_x)}^3& W_x-3A_x<z<W_x-A_x\\ h_{III}=h_0+\frac{3{\beta }_{opt}{h}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{A_x}-\frac{3{\beta }_{opt}{h}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^3}{(z-W_x+3A_x)}^2+\frac{{\beta }_{opt}{h}_0{\mathrm{\Delta W}}_x}{2A_x^4}{(z-W_x+A_x)}^3& W_x-A_x<z<W_x\end{array}\right)$

根据最终的立轧变形区的狗骨形状数学模型预测立轧轧件横断面狗骨形状的轮廓曲线及出口处狗骨形状参数，狗骨形状参数，包括：骨峰值高度2h_b＝2h₀+4βh₀ΔW/A、与辊面接触的狗骨高度2h_r＝2h₀+2βh₀ΔW/A、狗骨骨峰位置l_p＝A和狗骨影响区长度l_c＝3A。

图5给出立轧变形区中距立轧入口水平距离x处分别为l/8、l/4、l/2、3l/4和l时(l为变形区接触弧在立轧方向上的投影长度，Q195板坯横断面狗骨形状的轮廓曲线图。

立轧出口处狗骨形状参数：

2h_b＝2h₀+4β_opth₀ΔW/A_opt＝0.22+4*0.03616*0.11*(1.4-1.35)/2/0.03595＝0.23106m；

2h_r＝2h₀+2β_opth₀ΔW/A_opt＝0.22+2*0.03616*0.11*(1.4-1.35)/2/0.03595＝0.22553m；

l_p＝A_opt＝0.03595m；

l_c＝3A_opt＝3*0.03595＝0.107850m。