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多阶段任务系统可修备件需求预测方法

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本发明公开了一种多阶段任务系统可修备件需求预测方法，用于解决现有方法备件需求预测效果差的技术问题。技术方案是首先分析不同阶段任务所要求的装备部件组成，确定部件及系统状态，包括运行状态及失效状态；其次，对每个部件(组)进行其失效模式建模，计算出其在整个阶段任务的可用度。当有备件且备件可修时，将系统中的不同部件及其相应备件作为一个部件组整体考虑；然后，在一定排序规则的前提下生成该多阶段任务系统的BDD模型；最后，基于所建立的BDD模型和部件(组)的马尔科夫链，计算出相应备件数量下该阶段任务系统的可靠性，与所要求的任务系统可靠性进行比较，从而预测该可修系统的可修备件需求量，可修备件需求预测精确。

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公开/公告号CN105825045A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-08-03

原文格式PDF
申请/专利权人西北工业大学;
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申请/专利号CN201610140031.6
发明设计人蔡志强;郭鹏;司书宾;司伟涛;李洋;张帅;赵江滨;
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申请日2016-03-11
分类号G06F19/00(20110101);
代理机构61204 西北工业大学专利中心;
代理人王鲜凯
地址 710072 陕西省西安市友谊西路127号
入库时间 2023-06-19 00:11:02

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2018-02-02

授权

授权
2016-08-31

实质审查的生效 IPC(主分类):G06F19/00 申请日:20160311

实质审查的生效
2016-08-03

公开

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说明书

技术领域

本发明涉及一种备件需求预测方法，特别涉及一种多阶段任务系统可修备件需求预测方法。

背景技术

文献“公开号是CN101320455A的中国发明专利”公开了一种基于在役寿命评估的备件需求预测方法”。首先利用设备运行过程中零部件更换的历史记录，建立统计模型，评估备件在当前服役条件下的寿命。然后，根据在役寿命的估计值以及实际服役时间，定义备件需求函数，并进一步预测多台设备在一定时间范围内的备件需求总量。但是这种方法计算的任务系统可靠度是在部件和备件都不可修的情况下，部件只可更换而不可修，而实际中的部件及其备件往往是可修的，无法得到满意的备件需求预测结果，影响装备系统维护保障。

发明内容

为了克服现有方法备件需求预测效果差的不足，本发明提供一种多阶段任务系统可修备件需求预测方法。该方法首先分析不同阶段任务所要求的装备部件组成，确定部件及系统状态，包括运行状态及失效状态；其次，对每个部件(组)进行其失效模式建模，计算出其在整个阶段任务的可用度。当有备件且备件可修时，将系统中的不同部件及其相应备件作为一个部件组整体考虑；然后，在一定排序规则的前提下生成该多阶段任务系统的BDD 模型；最后，基于所建立的BDD模型和部件(组)的马尔科夫链，计算出相应备件数量下该阶段任务系统的可靠性，与所要求的任务系统可靠性进行比较，从而预测该可修系统的可修备件需求量。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种多阶段任务系统可修备件需求预测方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、利用马尔科夫链建立携带可修备件的任务系统中每个部件或部件组在多阶段任务中的失效模型，将装备系统中的不同部件及其相应备件作为一个部件组整体。

参与演习任务的装备系统包含三类部件c₁,c₂,c₃，演习任务包含目标搜索和目标跟踪两个阶段，两个阶段的持续时间分别为T1和T2。在执行目标搜索任务时，要求部件c₁工作，且部件c₂,c₃至少有一个工作，此时的任务结构函数为F₁＝c₁c₂+c₁c₃。在执行目标跟踪任务时，要求部件c₁,c₂,c₃同时工作，此时的任务结构函数为F₂＝c₁c₂c₃。要求装备系统成功完成该演习任务的可靠性R_s＝0.95，携带0个备件时该任务成功的系统可靠性为R₀，携带c₁, c₂,c₃各一个备件的情况下，该任务成功的系统可靠性为R₁，预测此时需要携带的备件量。

部件c₁及其备件的失效时间均服从参数为λ^(a)的指数分布，修复时间服从参数为 μ^(a)的指数分布。部件c₂及其备件的失效时间均服从参数为λ^(b)的指数分布，修复时间服从参数为μ^(b)的指数分布；部件c₃及其备件的失效时间服从参数为λ^(c)的指数分布，修复时间服从参数为μ^(c)的指数分布。

将部件c₁及其备件作为部件组A，将部件c₂及其备件作为部件组B，将部件c₃及其备件作为部件组C。若用a₁代表部件组A在阶段1的状态，则该两阶段任务的结构函数写为：

Φ＝(a₁b₁+a₁c₁)·(a₂b₂c₂)

其中，b₁,c₁,a₂,b₂和c₂与a₁的含义相同。

根据马尔科夫过程得到在Δt时间内各有一个备件时系统部件组的状态转移图。图中，2表示部件组中部件和其备件均正常，1表示部件组中部件和其备件有一个正常，0表示部件和备件都失效。同时得到无备件时系统部件的状态转移图。

步骤二、根据任务系统的失效模型利用故障树方法建立任务系统的BDD模型。

建立BDD模型需要合理确定BDD的生成顺序排序规则如下：

先按照阶段任务的先后顺序排序，即1,2,…,n；

对于同阶段任务的布尔变量，长度L小的变量在前，长度L大的在后，其中，变量的长度L为该变量在各个乘积项之和形式中乘积项的最小长度，结构函数F＝AB+AED+CEB+CD 中各变量A、B、C、D和E的长度分别为L(A)＝2,L(B)＝2,L(C)＝2,L(D)＝2,L(E)＝2；

当长度L相等时，取在阶段任务结构函数的项中出现次数最多的布尔变量在前。

步骤三、根据深度优先搜索的方法列举出BDD模型中从根节点到终节点1的路径，构成一个不交路径集。

从根节点到终节点1的每条路径Π都用布尔变量的乘积表示出来。在生成的任务系统的BDD中搜索从根节点到终节点1的路径，总共有两条：Π₁＝a₁b₁a₂b₂c₂，其中，1是边在这条路径上的布尔变量。

步骤四、计算出步骤三中列出的所有路径的概率，对于每条路径不同阶段代表同一部件/部件组的相互关联的布尔变量，先计算出每一组关联变量的联合概率，然后将不同部件/部件组的关联概率相乘得到相应路径的概率。

备件数不同。将部件及其相应可修备件作为一个部件组C去考虑，令Q^(C)表示部件组C可用度模型的生成矩阵，P^(C)表示部件组C可靠度模型的生成矩阵，表示部件组C在阶段i的概率转移矩阵，表示部件组C在阶段i保持正常运行状态的概率转移矩阵，表示部件组C在阶段i期间某时刻处于失效状态的概率转移矩阵；

Q^(C)写成分割的形式：

$Q^{(C)} = {(\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & Q_{22} \end{matrix})}_{(n + 2) \times (n + 2)}$

其中，n表示部件相应的备件数，Q₁₁是一个由运行状态向运行状态转移的转移率组成的(n+1)×(n+1)矩阵。Q₂₁,Q₁₂,Q₂₂包含的转移率分别为失效状态向运行状态转移、运行状态向失效状态转移和失效状态向失效状态转移。

P^(C)写成分割的形式：

$P^{(C)} = {(\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ 0 & 0 \end{matrix})}_{(n + 2) \times (n + 2)}$

相比于Q^(C)，在P^(C)中没有从失效状态出来的转移，即C一旦失效则不允许修理。

将写成：

$E_{i}^{(C)} = e^{Q^{(C)} T_{i}},$

$U_{i}^{(C)} = e^{P^{(C)} T_{i}} \cdot (\begin{matrix} I_{(n + 1) \times (n + 1)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

$D_{i}^{(C)} = E_{i}^{(C)} - U_{i}^{(C)},$

矩阵中的(j,k)元表示在给定阶段i开始时部件组C处于状态j的条件下，阶段i 结束时部件组C处于状态k的概率；矩阵中的(j,k)元表示在给定阶段i开始时部件组C处于状态j的条件下，阶段i结束时组件C处于状态k并且整个阶段i过程中保持运行状态的概率；矩阵中的(j,k)元表示在给定阶段i开始时部件组C处于状态j的条件下，阶段i结束时部件组C处于状态k并且在阶段i过程中的某一时刻失效了的概率。这些指数矩阵使用归一化方法进行计算。

为了计算该阶段任务系统的任务成功性，首先计算多阶段任务中单个部件的失效情况。

其中，表示部件组C在阶段i的状态。

鉴于上述定义，导出关联概率的公式

$\Pr {b_{1}^{(C)} = s_{1}, b_{2}^{(C)} = s_{2}, ..., b_{p}^{(C)} = s_{p}}$

如果部件组C在阶段i开始时刻的概率矢量为则部件组C在阶段i结束时刻的概率矢量为：

其中，T_i是阶段i的持续时间。部件组C在阶段i期间保持运行状态的概率矢量由部件组C的可靠度模型获得：

$u_{i}^{(C)} = v_{i - 1}^{(C)} \cdot e^{P^{(C)} T_{i}} . (\begin{matrix} I_{(n + 1) \times (n + 1)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = v_{i - 1}^{(C)} \cdot U_{i}^{(C)} - - - (1)$

其中，的第k元表示部件组C在阶段i的整个任务过程中保持运行状态，并且在第i阶段结束时处于状态k的概率。处于失效状态的概率通过乘以概率矢量获得。部件组C在阶段i的可靠度通过(2)式计算得到：

$R_{i}^{(C)} = u_{i}^{(C)} \cdot 1^{T} - - - (2)$

其中，1^T是一个(n+1)×1的单位列向量。

根据和得到部件组C在阶段i某时刻失效的状态概率矢量

$d_{i}^{(C)} = v_{i}^{(C)} - u_{i}^{(C)} = v_{i - 1}^{(C)} \cdot D_{i}^{(C)} - - - (3)$

由于齐次马尔科夫链无记忆的特性，部件组C在阶段i的运行状况仅仅取决于其在阶段i刚开始阶段的初始概率矢量，亦是阶段i-1结束时刻的概率矢量。所以，给定s₁,s₂,…, s_p,部件组C的联合概率矢量P为：

$\begin{matrix} p (b_{1}^{(C)} = s_{1}, b_{2}^{(C)} = s_{2}, ..., b_{p}^{(C)} = s_{p}) \\ = p (b_{1}^{(C)} = s_{1}, b_{2}^{(C)} = s_{2}, ..., b_{p - 1}^{(C)} = s_{p - 1}) \cdot X_{p}^{(C)} \\ = v_{0}^{(C)} \cdot Π_{i = 1}^{p} X_{i}^{(C)} \end{matrix} - - - (4)$

其中，矩阵p的第k(1≤k≤n+2)元是部件组C在阶段任务p的结束时刻处于状态k的概率。定义为：

则的联合概率为：

$\begin{matrix} \Pr {b_{1}^{(C)} = s_{1}, b_{2}^{(C)} = s_{2}, ..., b_{p}^{(C)} = s_{p}} \\ = p {b_{1}^{(C)} = s_{1}, b_{2}^{(C)} = s_{2}, ..., b_{p}^{(C)} = s_{p}} \cdot 1^{T} \end{matrix} - - - (5)$

步骤三中两条不交路径的发生概率：

$(\begin{matrix} \Pr {Π_{1} = 1} = \Pr {a_{1} = 1, a_{2} = 1} \cdot \Pr {b_{1} = 1, b_{2} = 1} \cdot \Pr {c_{1} = x, c_{2} = 1} \\ = (v_{0}^{(A)} \cdot U_{1}^{(A)} \cdot U_{2}^{(A)} \cdot 1^{T}) \times (v_{0}^{(B)} \cdot U_{1}^{(B)} \cdot U_{2}^{(B)} \cdot 1^{T}) \times (v_{0}^{(C)} \cdot E_{1}^{(C)} \cdot U_{2}^{(C)} \cdot 1^{T}) \end{matrix})$

$(\begin{matrix} \Pr {Π_{2} = 1} = \Pr {a_{1} = 1, a_{2} = 1} \cdot \Pr {b_{1} = 0, b_{2} = 1} \cdot \Pr {c_{1} = x, c_{2} = 1} \\ = (v_{0}^{(A)} \cdot U_{1}^{(A)} \cdot U_{2}^{(A)} \cdot 1^{T}) \times (v_{0}^{(B)} \cdot D_{1}^{(B)} \cdot U_{2}^{(B)} \cdot 1^{T}) \times (v_{0}^{(C)} \cdot U_{1}^{(C)} \cdot U_{2}^{(C)} \cdot 1^{T}) \end{matrix})$

步骤五、将步骤四列出的不交路径集中的不同备件数下对应的决策图中所有不交路径的概率相加，得到相应备件数量下该系统完成任务的可靠性，分别计算出对应0个备件时的系统可靠性R₀，对应1个备件的系统可靠性R₁，对应2个备件的系统可靠性R₂，对应3个备件的系统可靠性R₃。给定系统要求可靠性R_s小于R₀时需要0个备件，R₀<R_s≤R₁时需要1个备件，R₁<R_s≤R₂时需要2个备件，完成装备系统可修备件需求预测。

本发明的有益效果是：该方法首先分析不同阶段任务所要求的装备部件组成，确定部件及系统状态，包括运行状态及失效状态；其次，对每个部件(组)进行其失效模式建模，计算出其在整个阶段任务的可用度。当有备件且备件可修时，将系统中的不同部件及其相应备件作为一个部件组整体考虑；然后，在一定排序规则的前提下生成该多阶段任务系统的BDD模型；最后，基于所建立的BDD模型和部件(组)的马尔科夫链，计算出相应备件数量下该阶段任务系统的可靠性，与所要求的任务系统可靠性进行比较，从而预测该可修系统的可修备件需求量。由于采用了BDD的建模分析方法，建立了多阶段任务系统可修备件需求预测模型，弥补了现有可修系统备件需求预测中只考虑部件及备件可换而不可修的不足，解决了在部件及备件可换且备件可修情况下的可修系统中对任务备件需求的预测问题。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明多阶段任务系统可修备件需求预测方法的流程图。

图2是本发明多阶段任务系统可修备件需求预测方法中，各有一个备件时系统部件组的状态转移图。

图3是本发明多阶段任务系统可修备件需求预测方法中，无备件时系统部件的状态转移图。

图4是本发明多阶段任务系统可修备件需求预测方法中生成的BDD模型。

具体实施方式

参照图1-4。本发明多阶段任务系统可修备件需求预测方法具体步骤如下：

1、利用马尔科夫链建立携带可修备件的任务系统中每个部件或部件组在多阶段任务中的失效模型，将装备系统中的不同部件及其相应备件作为一个部件组整体考虑，其具体方式如下：

参与演习任务的雷达系统包含三类部件c₁,c₂,c₃，演习任务包含目标搜索和目标跟踪两个阶段，两个阶段的持续时间分别为T1和T2。在执行目标搜索任务时，要求部件c₁工作，且部件c₂,c₃至少有一个工作，此时的任务结构函数为F₁＝c₁c₂+c₁c₃。在执行目标跟踪任务时，要求部件c₁,c₂,c₃同时工作，此时的任务结构函数为F₂＝c₁c₂c₃。要求该雷达系统成功完成该演习任务的可靠性R_s＝0.95，携带0个备件时该任务成功的系统可靠性为R₀，携带c₁, c₂,c₃各一个备件的情况下，该任务成功的系统可靠性为R₁，预测此时需要携带的备件量。

部件c₁及其备件的失效时间均服从参数为λ^(a)的指数分布，修复时间服从参数为 μ^(a)的指数分布。相似的，部件c₂及其备件的失效时间均服从参数为λ^(b)的指数分布，修复时间服从参数为μ^(b)的指数分布；部件c₃及其备件的失效时间服从参数为λ^(c)的指数分布，修复时间服从参数为μ^(c)的指数分布。

将部件c₁及其备件作为部件组A，将部件c₂及其备件作为部件组B，将部件c₃及其备件作为部件组C。若用a₁代表部件组A在阶段1的状态，则该两阶段任务的结构函数可写为：

Φ＝(a₁b₁+a₁c₁)·(a₂b₂c₂)

其中b₁,c₁,a₂,b₂和c₂与a₁的含义相同。

根据马尔科夫过程得到在Δt时间内各有一个备件时系统部件组的状态转移图。其中2表示部件组中部件和其备件均正常，1表示部件组中部件和其备件有一个正常，0表示部件和备件都失效。类似得到无备件时系统部件的状态转移图。

2、根据任务系统的失效模型利用故障树方法建立任务系统的BDD模型。其具体方式如下：

建立BDD模型需要合理确定BDD的生成顺序，生成顺序如果选择不当，决策图的规模可能会以指数增长。该预测方法中使用的排序规则如下：

(1).先按照阶段任务的先后顺序排序，即1,2,…,n；

(2).对于同阶段任务的布尔变量，长度L小的变量在前，大的在后，其中变量的长度L为该变量在各个乘积项之和形式中乘积项的最小长度，例如：结构函数F＝AB+AED+CEB+ CD中各变量A，B，C，D，E的长度分别为L(A)＝2,L(B)＝2,L(C)＝2,L(D)＝2,L(E)＝2；

(3).当长度L相等时，取在阶段任务结构函数的项中出现次数最多的布尔变量在前。

根据上述排序规则得到任务系统的BDD。

3、根据深度优先搜索的方法列举出BDD模型中从根节点到终节点1的路径，其构成一个不交路径集，其具体方式如下：

从根节点到终节点1的每条路径Π都用布尔变量(1-边在这条路径上的布尔变量) 的乘积表示出来。在生成的任务系统的BDD中搜索从根节点到终节点1的路径，总共有两条： Π₁＝a₁b₁a₂b₂c₂，

4、计算出步骤3中列出的所有路径的概率，对于每条路径不同阶段代表同一部件/ 部件组的相互关联的布尔变量，先计算出每一组关联变量的联合概率，然后将不同部件/部件组的关联概率相乘得到相应路径的概率，其具体方式如下：

备件数不同，决策图中相应节点所代表的布尔变量的状态转移矩阵就不同，因此最后求得的每条路径的概率就不同。将部件及其相应可修备件作为一个部件组C去考虑，令 Q^(C)表示部件组C可用度模型的生成矩阵，P^(C)表示部件组C可靠度模型的生成矩阵，表示部件组C在阶段i的概率转移矩阵，表示部件组C在阶段i保持正常运行状态的概率转移矩阵，表示部件组C在阶段i期间某时刻处于失效状态的概率转移矩阵；

Q^(C)写成分割的形式：

$Q^{(C)} = {(\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & Q_{22} \end{matrix})}_{(n + 2) \times (n + 2)}$

其中n表示部件相应的备件数，Q₁₁是一个由运行状态向运行状态转移的转移率组成的(n+1)×(n+1)矩阵。类似，Q₂₁,Q₁₂,Q₂₂包含的转移率分别为失效状态向运行状态转移、运行状态向失效状态转移和失效状态向失效状态转移。

P^(C)也写成分割的形式：

$P^{(C)} = {(\begin{matrix} Q_{11} & Q_{12} \\ 0 & 0 \end{matrix})}_{(n + 2) \times (n + 2)}$

相比于Q^(C)，在P^(C)中没有从失效状态出来的转移，即C一旦失效则不允许修理。

将写成：

$E_{i}^{(C)} = e^{Q^{(C)} T_{i}},$

$U_{i}^{(C)} = e^{P^{(C)} T_{i}} \cdot (\begin{matrix} I_{(n + 1) \times (n + 1)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}),$

$D_{i}^{(C)} = E_{i}^{(C)} - U_{i}^{(C)},$

为了计算该阶段任务系统的任务成功性，首先讨论多阶段任务中单个部件(组)的失效情况。

其中，表示部件组C在阶段i的状态。

鉴于上述定义，导出关联概率的公式

$\Pr {b_{1}^{(C)} = s_{1}, b_{2}^{(C)} = s_{2}, ..., b_{p}^{(C)} = s_{p}}$

其中s_i(1≤i≤p)的值为0,1或x。

如果部件组C在阶段i开始时刻的概率矢量为(是最初的概率矢量)，则部件组C在阶段i结束时刻的概率矢量为：

$v_{i}^{(C)} = v_{i - 1}^{(C)} \cdot e^{Q^{(C)} T_{i}} = v_{i - 1}^{(C)} \cdot E_{i}^{(C)}$

其中T_i是阶段i的持续时间。同理，部件组C在阶段i期间保持运行状态的概率矢量由部件组C的可靠度模型获得：

$u_{i}^{(C)} = v_{i - 1}^{(C)} \cdot e^{P^{(C)} T_{i}} . (\begin{matrix} I_{(n + 1) \times (n + 1)} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = v_{i - 1}^{(C)} \cdot U_{i}^{(C)} - - - (1)$

其中的第k元表示部件组C在阶段i的整个任务过程中保持运行状态，并且在第 i阶段结束时处于状态k的概率。处于失效状态的概率通过乘以概率矢量获得。部件组C在阶段i的可靠度通过(2)式计算得到：

$R_{i}^{(C)} = u_{i}^{(C)} \cdot 1^{T} - - - (2)$

其中1^T是一个(n+1)×1的单位列向量。

根据和得到部件组C在阶段i某时刻失效的状态概率矢量

$d_{i}^{(C)} = v_{i}^{(C)} - u_{i}^{(C)} = v_{i - 1}^{(C)} \cdot D_{i}^{(C)} - - - (3)$

其中矩阵p的第k(1≤k≤n+2)元是部件组C在阶段任务p的结束时刻处于状态k的概率。定义为：

则的联合概率为：

表1各参数取值

参数 λ^(a)μ^(a)λ^(b)μ^(b)λ^(c)μ^(c)T₁＝T₂取值(h^-1) 0.01 1 0.05 0.5 0.04 2 1h

假设三个阶段任务的时间相同。参照表1，得到部件组A,B，C在各阶段的转移矩阵 E、D、U如下：

$E_{1}^{(A)} = E_{2}^{(A)} = (\begin{matrix} 0.993697161386277 & 0.006276555688319 & 2.628292540396303 e - 05 \\ 0.627655568831865 & 0.368669885094809 & 0.003674546073326 \\ 0.262829254039630 & 0.367454607332631 & 0.369716138627739 \end{matrix})$

$U_{1}^{(A)} = U_{2}^{(A)} = (\begin{matrix} 0.993694844337700 & 0.006268574347593 & 0 \\ 0.626857434759345 & 0.366837409578355 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

$D_{1}^{(A)} = D_{2}^{(A)} = (\begin{matrix} 2.317048577005210 e - 06 & 7.981340726000152 e - 06 & 2.628292540396303 e - 05 \\ 7.981340725200514 e - 04 & 0.001832475516454 & 0.003674546073326 \\ 0.262829254039630 & 0.367454607332631 & 0.369716138627739 \end{matrix})$

$E_{1}^{(B)} = E_{2}^{(B)} = (\begin{matrix} 0.961402002795603 & 0.037722528252451 & 8.754689519453807 e - 04 \\ 0.377225282524512 & 0.592931409790545 & 0.029843307684943 \\ 0.087546895194538 & 0.298433076849428 & 0.614020027956034 \end{matrix})$

$U_{1}^{(B)} = U_{2}^{(B)} = (\begin{matrix} 0.961383332953302 & 0.037583459203462 & 0 \\ 0.375834592034622 & 0.585548740918679 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

$D_{1}^{(B)} = D_{2}^{(B)} = (\begin{matrix} 1.866984230092239 e - 05 & 1.390690489890059 e - 04 & 8.754689519453807 e - 04 \\ 0.001390690489890 & 0.007382668871866 & 0.029843307684943 \\ 0.087546895194538 & 0.298433096849428 & 0.614020027956034 \end{matrix})$

$E_{1}^{(C)} = E_{2}^{(C)} = (\begin{matrix} 0.982815380120790 & 0.016951015077745 & 2.336048014652978 e - 04 \\ 0.847550753887254 & 0.146944866306800 & 0.005504379805946 \\ 0.584012003663244 & 0.275218990297275 & 0.140769006039481 \end{matrix})$

$U_{1}^{(C)} = U_{2}^{(C)} = (\begin{matrix} 0.982730368680796 & 0.016824071437852 & 0 \\ 0.841203571892596 & 0.141526796788200 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

从而得到第3步中两条不交路径的发生概率：

$(\begin{matrix} \Pr {Π_{2} = 1} = \Pr {a_{1} = 1, a_{2} = 1} \cdot \Pr {b_{1} = 0, b_{2} = 1} \cdot \Pr {c_{1} = 1, c_{2} = 1} \\ = (v_{0}^{(A)} \cdot U_{1}^{(A)} \cdot U_{2}^{(A)} \cdot 1^{T}) \times (v_{0}^{(B)} \cdot D_{1}^{(B)} \cdot U_{2}^{(B)} \cdot 1^{T}) \times (v_{0}^{(C)} \cdot U_{1}^{(C)} \cdot U_{2}^{(C)} \cdot 1^{T}) \\ = 0.999887543684429 \times 1.523492183015252 e - 04 \times 0.998826029381158 \\ = 1.521532522768717 e - 04 \end{matrix})$

5、将步骤4中列出的不交路径集中的不同备件数下对应的决策图中所有不交路径的概率相加，就得到了相应备件数量下该系统完成任务的可靠性，分别计算出对应0个备件时的系统可靠性R₀，对应1个备件的系统可靠性R₁，对应2个备件的系统可靠性R₂，对应3个备件的系统可靠性R₃。给定系统要求可靠性R_s小于R₀时需要0个备件，R₀<R_s≤R₁时需要1个备件，R₁<R_s≤R₂时需要2个备件，完成装备系统可修备件需求预测。

该雷达系统部件各有1个备件时任务成功的系统可靠性R₁为：

$R_{1} = Σ_{j = 1}^{2} \Pr {Π_{j} = 1} = 0.995601436106348$

不同备件量的情况下，步骤4中各部件(组)各阶段的转移矩阵E、D、U不同，但步骤3 中的决策图和步骤4中的不交路径集相同，只用计算步骤4便可方便的得到不同备件量情况下的系统可靠性。计算得到0备件时任务成功的系统可靠性R₀为：

$R_{0} = Σ_{j = 1}^{2} \Pr {Π_{j} = 1} = 0.846482860368620$

由于R₀<R_s<R₁，故各关键部件只需要一个备件就能达到任务完成所要求的系统可靠性，从而完成了可修备件需求预测。

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