一种快速自适应地生成激励无关特征基函数的方法

摘要

本发明公开一种快速自适应地生成激励无关特征基函数的方法，首先对已分块的电磁目标做分块扩展，针对各个分块，利用快速自适应交叉近似算法自适应地选择一定数量的具有不同极化方式的入射平面波，生成激励矩阵并表示成三个矩阵相乘的形式；接着由扩展块上的自阻抗矩阵和激励矩阵的左矩阵计算出感应电流，并利用该感应电流矩阵生成初始特征基函数；然后，利用正交分解算法和截断奇异值分解算法去掉特征基函数中的冗余部分，得到初始特征基函数的截断奇异值分解形式；最后由该截断奇异值分解形式而得到最终的特征基函数。本发明针对不同电磁目标和分块情况可以自适应地选取不同极化方式不同入射角度的平面波数量，有效地提升生成特征基函数的效率。

说明书

技术领域：

本发明涉及一种快速分析电大尺寸导体目标电磁散射的方法，尤其涉及一种快速自适应 地生成激励无关特征基函数的方法。

背景技术：

电大目标的电磁散射问题一直受到国内外学者的广泛关注。矩量法(MethodofMoments, MoM)将电磁积分方程转化成矩阵方程，是计算目标散射特性的有效途径。但是传统矩量法 的迭代求解的复杂度为O(N²)，这里N是未知量的数目，如此高的复杂度限制着传统矩量法 在计算电大目标的应用。

激励无关(ExcitationIndependent,EI)的特征基函数法(CharacteristicBasisFunction Method,CBFM)用不同入射方向和不同极化方式的平面波照射每块所产生的响应作为初始特 征基函数。由于初始特征基函数对应于各个方向和各种极化的平面波在该块的响应，所以初 始特征基函数能够表征出该块在平面波照射下的感应电流的所有特征。然后通过奇异值分解 (SingularValueDecomposition,SVD)去除这些初始特征基函数之间的相关性，可以减少初始特 征基函数中的冗余。由于该CBFM产生的特征基函数适用于任意激励，对不同的激励不需要 重新生成特征基函数和缩减矩阵，所以在求解多激励电磁问题时具有明显优势，例如单站雷 达散射截面(RadarCrossSection，RCS)的求解。

近年来，国内外学者基于激励无关的初始特征基函数，提出了一些提升其计算和奇异值 分解的效率的方法。通常情况下，每种极化方式的入射平面波都是在单位球面内均匀地选取 的，对于不同电磁目标选取的入射平面波的数量，是完全依靠经验去设置的。显然，仅仅凭 借经验去选取合适的入射平面波数量，是不可靠的。为了解决这个问题，RajMittra的课题组 于2009年给出了这样一个建议数值，每种极化方向的入射平面波可选取的最大数量为 8π²(r_λ+1)²，其中r_λ是能够完全包含该扩展块的最小球面的半径。然而，这种方法仅仅考虑 了电磁目标的分块及扩展块的大小，忽略了电磁目标的结构复杂度性的影响，以及截断奇异 值分解的误差的影响。对于简单结构的电磁目标，这种方法会使其有很大的冗余量，严重影 响特征基函数的生成效率；对于复杂结构的电磁目标，平面波数量易于选择不足够，导致生 成的特征基函数不能完整地体现出其特性。

发明内容：

发明目的：为了解决生成激励无关特征基函数效率不足的问题，本发明提出了一种快速 自适应地生成激励无关特征基函数的方法。该方法基于快速自适应交叉近似算法，在生成特 征基函数时，能够根据不同的电磁目标和分块自适应地选择每种极化方式的入射平面波数目， 避免了选择数量不足导致其计算数值不准确，以及选择数量过多导致计算效率降低的问题。

为了达到上述目的，本发明的技术方案实现的基本步骤如下：

第一步：针对导体目标的表面用三角形面片进行离散，在每个相邻的三角形面片对上定 义RWG基函数；根据导体目标表面边界条件建立用于散射计算的表面积分方程，利用所定 义的RWG基函数和矩量法对表面积分方程进行离散；

第二步：对所有RWG基函数进行分块，并对每一个分块做块扩展；

第三步：针对每个扩展块，利用快速自适应交叉近似算法，设置入射平面波数量及极化 方式，自适应地生成激励矩阵，并利用矩阵分解算法将其表示成三个矩阵相乘的形式；接着， 依据该激励矩阵的分解形式生成初始特征基函数；然后，利用正交分解算法和截断奇异值分 解算法对初始特征基函数中的矩阵形式进行分解和压缩，计算初始特征基函数的截断奇异值 分解形式，并得到最终的特征基函数。

与现有技术相比，本发明的优势在于：对于不同电磁目标的不同分块的结构，能够自适 应的给出合适的不同极化方式的入射平面波的数目，使其不再需要人为通过经验来设置；在 通过截断奇异值分解来获得最终特征基函数的过程中，利用正交三角分解显著降低了传统奇 异值分解的计算复杂度。总体而言，相对于现有生成特征基函数的方法，本发明能够自适应 地完成特征基函数的生成，有效地提升了生成效率，且该方法具有普适性。

附图说明：

图1是本发明树形结构分块示意图。

图2是本发明块扩展方法示意图。

图3是本发明快速自适应交叉近似算法的结果示意图。

图4是本发明初始特征基函数表示成三个矩阵的形式。

图5是本发明初始特征基函数的截断奇异值分解形式。

图6是本发明理想电导体球在不同分块方法下面的结果对比。

图7是本发明理想电导体球在不同分块方法下面的结果对比。

具体实施方案：

下面结合附图对技术方案的实施作进一步的详细描述：

第一步：针对导体目标的表面用三角形面片进行离散，在每个相邻的三角形面片对上定 义RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函数。通常情况下，对目标离散的三角形面片的边长，依据 需要计算的散射所在的频率下的相应波长λ，设置为0.1λ。

接着，根据导体目标表面边界条件建立用于散射计算的表面积分方程(SurfaceIntegral Equation,SIE)

并利用所定义的基函数和矩量法对表面积分方程进行离散；其中，是场点位置矢量，在这 里被认为是满足远场条件下的任意一点；是源点位置矢量，在这里被认为是导体目标表面 的离散点；是入射平面波电场，j是虚数单位，是自由空间 格林函数，是源点处的感应电流；∫_s·ds'是针对源表面的面积分；是针对场点的梯 度算子；是针对源场的散度算子。

第二步：对所有基函数进行分块(如附图1)，并对每一块做适当的扩展；通常情况下， 扩展的尺寸为Δ＝0.1λ(如附图2)。该步骤的主要目的在于降低由分块带来的电流奇异性误 差；

第三步：生成激励无关的特征基函数，以第i个扩展块为例，其基本步骤是：

(一)利用快速自适应交叉近似(FastAdaptiveCrossApproximation,FACA)算法，自适 应地选择重要的元素，为生成激励矩阵提供条件。这是一个迭代的过程，主要包括以下5步：

①在单位球面内均匀设置个入射平面波，由对应的扩展块中选择个RWG基函 数，并选择个入射波，其取值定义为：

$N_{PW}^{\left(n\right)}=2^{n-1}\times N_{PW}^{\left(1\right)}---\left(2\right)$

$N_{RWG}^{\left(n\right)}=min\{N_{PW}^{\left(n\right)},N_{i^{+}}\}---\left(3\right)$

式中，是第一次迭代时选取的入射平面波个数的初始值，i⁺指代第i个扩展块，是第 i个扩展块包含的RWG基函数总数。其中，第i个扩展块是由第i个分块扩展得到的；入射 波在每个入射角下包含θ极化和极化这两种极化方式，这样就可以将任意极化方向的入射 波表示出来。

②根据选择的RWG基函数，利用SIE计算得到个入射波的激励向量的子阵 并组成激励矩阵：

${E_{i^{+}}^{\left(n\right)}}^{\prime }=[E_1,E_2,...,E_M]---\left(4\right)$

式中，E_i,i＝1,2,3,...,M是对应于不同入射波在个RWG基函数上的激励向量，其中 矩阵的大小为矩阵的大小为相当于从中选择 出行列。

③利用自适应交叉近似算法(AdaptiveCrossApproximation,ACA)对压缩、分解， 其分解形式为

${E_{i^{+}}^{\left(n\right)}}^{\prime }\approx U^{\left(n\right)}{V}^{\left(n\right)}---\left(5\right)$

其中矩阵U⁽ⁿ⁾的大小为矩阵V⁽ⁿ⁾的大小为且二者为的ACA分解 矩阵。这里，是由ACA分解得到的矩阵的有效秩，这一步快速而高效地选取了激励 矩阵当中的较为重要的部分。这里，中元素较为重要的这行列的序号是需要 被记录下的。

④对上述步骤的结果判断，若收敛判据

$\frac{\left|S_{PW}^{\left(n\right)}-S_{PW}^{(n-1)}\right|}{\left|N_{PW}^{\left(n\right)}-N_{PW}^{(n-1)}\right|}\le \beta ---\left(6\right)$

是满足的，则停止迭代，不满足则继续迭代；其中，是第n-1次迭代得到的入射平面波 数量；是第n-1次迭代由自适应交叉近似算法得到的激励矩阵的有效秩；β∈[0.01,0.1]。 这里，当式(6)已满足后，其不等号左边形式的数值基本趋于稳定；若仅仅在设置β为更小的 值，以减少其误差，其效果并不明显，且其误差的减少是需要更多的计算时间来获得的。

⑤对于满足收敛判据的情况，假设第n_t步迭代收敛，记录下该次迭代下的步骤③中选择 的个行、列的序号。

(二)根据矩阵分解算法(MatrixDecompositionAlgorithm,MDA)，生成激励矩阵并表 示成三个矩阵相乘的形式

$E_{i^{+}}^{\left(n_i\right)}\approx {\mathrm{CD}}^{-1}{R}^T---\left(7\right)$

式中，是第n_t代收敛得到的激励矩阵的形式，其矩阵大小为C是由中被 选中的个列按序组成的，其矩阵大小是R^T是由中被选中的个行按序 组成的，其矩阵大小是D是由中被选中的行、列所共有的元素，按 序组成的矩阵，D^-1为其逆矩阵，其矩阵大小为其示意图如附图3，图中假设为 18×12矩阵，并选中了其中3行3列。

(三)由式(7)分解形式的左边矩阵C，以第i个扩展块为例，求解感应电流矩阵：

$I_i={\left(Z_{i^{+}{i}^{+}}^{-1}\right)}_{{\mathrm{ii}}^{+}}·C---\left(8\right)$

式中，I_i即是第i个扩展块中所有基函数上由入射波引起的感应电流矩阵，是第i个扩展 块的自阻抗矩阵的逆，是的子矩阵，它是通过将中的第i个扩展块扩展部分的 基函数对应的行去掉而得到的。

(四)生成初始特征基函数(如附图4)：

$J_i={\left(Z_{i^{+}{i}^{+}}^{-1}\right)}_{{\mathrm{ii}}^{+}}·E_{i^{+}}^{\left(n_i\right)}=I_i{D}^{-1}{R}^T---\left(9\right)$

通过该方法生成的初始特征基函数，而不是直接求解目的在于减少矩阵求 解的复杂度。

(五)利用正交分解算法，即QR分解，使得感应电流矩阵I_i和矩阵R有如下分解形式：

I_i＝Q_i，1R_i，1(10)

R＝Q_i,2R_i,2(11)

式中，Q_i，1(Q_i，2)是正交矩阵，R_i，1(R_i,2)是上三角矩阵。那么，初始特征基函数可表示为：

$J_i=Q_{i,1}{R}_{i,1}{D}^{-1}{\left(Q_{i,2}{R}_{i,2}\right)}^T=Q_{i,1}{R}_{i,1}{D}^{-1}{R}_{i,2}^T{Q}_{i,2}^T---\left(12\right)$

(六)利用截断SVD算法，将矩阵内矩阵表示成

$R_{i,1}{D}^{-1}{R}_{i,2}^T\approx U_R{S}_R{V}_R---\left(13\right)$

式中，U_R(V_R)是的左(右)奇异矩阵，S_R是对角阵且其每个元素都是的 奇异值。该步骤通过截断的方式去除了那些奇异值为零或者很小的部分，以此来实现了对矩 阵的压缩。

(七)将式(13)代入式(12)，得到初始特征基函数的截断SVD形式(如附图5)为

$J_i=Q_{i,1}{U}_R{S}_R{V}_R{Q}_{i,2}^T---\left(14\right)$

式中，矩阵向量积Q_i,1U_R的每一列都是J_i的左奇异向量，且这些列即是最终的特征基函数。

第四步：按第三步相同的原理，计算每一个分块的激励无关的特征基函数，最终得到所 有的激励无关的特征基函数；接着，在基于特征基函数的算法中，利用这些已生成的特征基 函数进行求解计算。

下面以一具体实例对本发明方法作进一步说明：

本发明以一个半径2.5米的理想电导体(PerfectElectricConductor,PEC)球为例，按照0.1λ 的间距离散，得到28890个RWG基函数。这里，λ是入射平面波的波长，该入射波是由 入射的300MHz的方向极化的平面波。该算例中，生成特征基函数过程中的 SVD的截断阈值ε＝10^-3，FACA收敛判据中的参数β＝0.1。

该算例中，对目标的分块采用了两种取值，分别是：1.0m和2.0m。表1给出了两种取值 情况下的分块的数量、特征基函数的数量和面的计算结果与解析解之间的误差。分块 为2.0m时，传统方法设置入射平面波个数为1044个时，其生成特征基函数的时间为806s， 使用本发明的方法，其生成特征基函数的时间为369s。本发明和解析解的结果对比，如附图 6和附图7所示，其中附图6是面的双站RCS值的对比，附图6是面的双站RCS 值的对比；从图中可以看出，两种分块方法的计算结果都吻合良好。该算例验证了本发明的 准确性与适用性。在本次实验中，我们使用提出的自适应方法生成特征基函数，不需要人为 的设置平面波的数目。

表1

分块大小 分块数量 特征基函数数量 结果误差 1.0m 128 5767 0.08dBsm 2.0m 26 3053 0.01dBsm