基于并行误差分离法的大型圆柱廓形在线测量重构方法

摘要

本发明公开了一种基于并行误差分离法的大型圆柱廓形在线测量重构方法，通过轴向三截面的并行误差分离，萃取相邻两测量截面圆的几何中心的相对变化量，再通过叠加获得各个测量截面圆的几何中心，进而实现以被测轴各测量截面圆的几何中心的连线作为基准轴线的圆柱体廓形重构，在此基础上可以进行圆柱廓形的圆度、圆柱度、母线直线度和锥度的高精度测量评定。本发明能实现测量过程中轴系的径向回转误差运动和导轨直线误差运动的全谐波分离，保障圆柱廓形测量重构的高精度、降低大型圆柱廓形在线测量装备的制造成本。

说明书

技术领域

本发明涉及精密测试技术以及大型在线测量装备设计制造领域，具体地说是一种 基于并行误差分离法的大型圆柱廓形在线测量重构方法。

背景技术

大轴是大型高端装备制造业中一类重要大型构件，例如，在大尺寸太阳能电池板、 液晶屏、汽车钢板、高品质纸张以及工业复合板材等的生产设备上，大型精密轴辊是装备的 核心构件，其廓形精度，包括圆度、圆柱度、母线直线度和锥度等是决定产品质量(板材精 度)的重要因素、标志着一个国家高端装备制造业的技术水平和国际竞争力。

由于尺寸巨大(Φ0.3～1.0m、长度3～8m)，必须采用在线(在位、旁侧)的测量方 式，测量系统必定涉及支撑被测大轴旋转的回转轴系和支撑测架轴向运动的直线导轨，如 何消除轴系和导轨的误差运动对测量的影响以提高廓形测量精度是近年来大型轴类零件 廓形测试技术中最引人注目的关键问题[孙佳,张镭.大直径工件的测量方法[J].机械与电 子,2006(3):pp12～15][李慧鹏,张军,唐文彦等.大尺寸回转体型面点坐标及形心轴线测 量系统的研制[J].仪器仪表学报,Vol.25No.5,2005(5):pp534～536]。误差分离技术 (ErrorSeparationTechniques,EST)已广泛应用于平面形状(圆度和直线度)测量中[李 圣怡,戴一帆等着.精密和超精密加工在位检测与误差分离技术[M].国防科技大学出版社, 2007]，其运用一定的测量技术和数学方法，将圆度与轴系径向回转误差运动、直线度与导 轨直线误差运动分离开来，较大幅度地提高了形状测量精度。但是，由于EST固有缺陷：一阶 谐波抑制，使得其应用于圆柱廓形在线测量时难以正确分离出测量系统中轴系径向误差运 动的一阶谐波分量，导致无法正确萃取各测量截面圆的几何中心，最终难以正确实现以各 测量截面圆的几何中心(截面形状的一阶谐波分量)的连线构建的基准轴线(通常不是直 线)来重构圆柱廓形[洪迈生,李自军,李济顺等.圆柱度表面廓形重构基准的提纯[J].上海 交通大学学报,2002,36(8):1068～1070]。

发明内容

为了克服现有EST固有缺陷，本发明提出一种基于并行误差分离法(Parallel ErrorSeparationTechniques,PEST)的大型圆柱廓形在线测量重构方法，以实现测量过 程中轴系的径向回转误差运动和导轨直线误差运动的全谐波分离，以保障圆柱廓形测量重 构的高精度、降低大型圆柱廓形在线测量装备的制造成本。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明一种基于并行误差分离法的大型圆柱廓形在线测量重构方法，是应用于由 Z导轨和X导轨共同支撑测量架在X-Z方向移动、由支撑轴系支撑并带动被测体旋转所组成 的测量系统中，所述Z导轨与所述被测体的轴向平行；且支撑测量架沿着Z方向的移动步距 为d；其特点是所述在线测量重构方法是按如下步骤进行：

步骤1、数据采集：

步骤1.1、在测量架上设置左中右三个截面，所述三个截面垂直于所述Z导轨移动 方向，且三个截面之间的距离为d；在中截面上根据三点圆度误差分离测量方法配置三个传 感器，包括：第一传感器、第二传感器和第三传感器；

步骤1.2、在左截面和右截面上沿X方向分别配置有第四传感器和第五传感器；

步骤1.3、所述被测体上沿轴向划分M个测量截面；各测量截面之间的距离为d；定 义测位号J；J＝1,2,…,M；

步骤1.4、初始化J＝1；

步骤1.5、移动测量架，使所述测量架上中截面位于被测体第J测量截面上；

步骤1.6、由支撑轴系带动所述被测体旋转一周，使得所述第一传感器、第二传感 器和第三传感器能采集所述被测体第J测量截面上一周的测量数据；所述第四传感器采集 所述被测体第J-1测量截面上一周的测量数据；所述第五传感器采集所述被测体第J+1测量 截面上一周的测量数据；从而完成第J测位的测量，获得第J测位的测量数据；所述第J测位 的测量数据包括：第J测位的中截面数据、第J测位的左截面数据和第J测位的右截面数据；

步骤1.7、将J+1赋值给J，并判断J＞M是否成立，若成立，则表示完成M个测位的测 量；获得M个测位的测量数据；否则，返回步骤1.5顺序执行；

步骤2、数据预处理：

步骤2.1、根据第J测位的中截面数据，利用三点频域先行圆度误差分离方法萃取 所述被测体第J测量截面上的圆度r₂(z_J,i)和半径相对值r₀(z_J)；同时获得所述被测体第J 测量截面X方向跳动分离结果中的一阶谐波分量z_J＝J×d表示所述被测体第J测 量截面的轴向位置；i表示任一传感器一周采样的点号；i＝0,1,…N-1；N表示任一传感器一 周采样的点数，且采样的角间隔为δ＝2π/N；

步骤2.2、分别对第J测位的左截面数据和右截面数据进行离散傅里叶变换，得到 变换结果的一阶谐波分量和

步骤3、计算所述被测体上M个测量截面形状的一阶谐波分量：

步骤3.1、初始化J＝1；

步骤3.2、由支撑轴系带动所述被测体旋转一周，设所述支撑轴系沿X方向的倾角 误差运动引起的被测体相邻两个测量截面上跳动之差的一阶谐波分量的估计值为δ¹＝C；

步骤3.3、利用式(1)萃取所述被测体第J测量截面形状与第J-1测量截面形状的一 阶谐波分量的相对变化量Θ_J：

${\Theta }_J={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-C---\left(1\right)$

步骤3.4、设所述被测体第J-1测量截面形状的一阶谐波分量为R(z_J-1,1)＝B，利用 式(2)计算所述被测体第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)：

R(z_J,1)＝R(z_J-1,1)+Θ_J＝B+Θ_J(2)

步骤3.5、将J+1赋值给J，并判断J＞M是否成立，若成立，则表示已完成M个测量截 面形状的一阶谐波分量的计算；否则，执行步骤3.6；

步骤3.6、由所述支撑轴系带动所述被测体旋转一周；利用式(3)计算所述支撑轴 系沿X方向的倾角误差运动在第J测位的相邻两个测量截面引起跳动之差的一阶谐波分量 的估计值δ^J：

${\delta }^J={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-[T_5^{J-1}(z_J,1)-{\hat{E}}_x(z_{J-1},1)]+{\delta }^{J-1}---\left(3\right)$

步骤3.7、利用式(4)萃取被测体第J测量截面形状与J-1测量截面形状的一阶谐波 分量的相对变化量Θ_J：

${\Theta }_J={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-{\delta }^J---\left(4\right)$

步骤3.8、利用式(5)计算所述被测体第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)：

$R(z_J,1)=R(z_{J-1},1)+{\Theta }_J=B+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\Theta }_j---\left(5\right)$

步骤3.9、返回步骤3.5执行；

步骤4、萃取所述被测体上M个测量截面形状的一阶谐波：

步骤4.1、以被测体第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)，并利用式(6)构建 序列Γ(z_J,k)：

$\Gamma (z_J,k)=\left(\begin{array}{cc}R(z_J,1)& k=1\\ 0& k=0,2,3,...N-2\\ \bar{R}(z_J,1)& k=N-1\end{array}\right),J=1,2,...,M---\left(6\right)$

式(6)中，表示R(z_J,1)的共轭；

步骤4.2、利用式(7)对所述序列Γ(z_J,k)进行离散傅里叶逆变换，从而萃取所述 被测体第J测量截面形状的一阶谐波r₁(z_J,i)：

r₁(z_J,i)＝IDFT[Γ(z_J,1)]J＝1,2,…,M(7)

步骤5、利用式(8)重构所述被测体的圆柱廓形r(z_J,i)：

r(z_J,i)＝r₀(z_J)+r₁(z_J,i)+r₂(z_J,i)J＝1,2,…,M(8)。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

1、本发明提出的并行误差分离法的技术路径是：通过对轴向三截面测量结果的并 行误差分离，萃取相邻两测量截面圆的几何中心的相对变化量，由于这一相对变化表征的 是相邻两测量截面形状固有的特性，即便支撑轴系每一周的径向误差运动不重复，对萃取 相邻两测量截面圆的几何中心的相对变化量不构成影响，再通过叠加获得各个测量截面圆 的几何中心，这一技术路径是在误差分离理念更高层次上的创新。

2、本发明摈弃了现有方法对轴系径向回转误差运动具有良好重复性的约束，在轴 系径向误差运动不具有每周重复的情况下，通过三点圆度误差分离方法和轴向三截面的并 行误差分离方法，实现测量过程中轴系的径向回转误差运动和导轨直线误差运动全谐波分 离，这是并行误差分离方法有别于已有误差分离方法的创新之一，也是并行误差分离方法 保障圆柱廓形在线测量高精度重构的关键点。

3、本发明提出的并行误差分离方法不要求轴系径向误差运动具有重复性，在较低 轴系回转精度和较低导轨运动精度的条件下，也能够实现正确萃取各相邻两测量截面圆的 几何中心的相对变化量。因此，对测量系统中相应轴系和导轨没有过高精度要求，这有效地 降低了大型圆柱廓形在线测量装备的制造成本，这是本发明的经济价值所在。

4、本发明的测量方法属于圆柱廓形的截面测量法，实现了符合圆柱廓形数学模型 的重构，在此基础上可进行圆柱形状误差：圆度、圆柱度、母线直线度和锥度的误差评定，因 此应用广泛。

综上所述，本发明通过轴向三截面的并行误差分离，能正确萃取被测圆柱各相邻 两测量截面圆的几何中心的相对变化量，并通过叠加获得各个测量截面圆的几何中心的量 值，从而解决了大型圆柱廓形在线测量中各测量截面圆的几何中心的正确萃取问题，进而 实现了以分离得到的各测量截面圆的几何中心的连线作为基准轴线(通常不是直线)的圆 柱体廓形重构，大大提高了大型圆柱廓形的在线测量精度。

附图说明

图1是本发明并行误差分离法测量原理图；

图2是基于本发明建立的旁侧式圆柱廓形测量装置的主视图；

图3是基于本发明建立的旁侧式圆柱廓形测量装置的侧视图；

图中标号：1第一传感器；2第二传感器；3第三传感器；4第四传感器；5第五传感器； 6被测体；7支撑轴系；8测量架；9X导轨；10Z导轨。

具体实施方式

本实施例中，如图2所示，测量架8在Z导轨10和X导轨9的共同支撑下可以进行X-Z 方向的移动；支撑轴系7支撑并带动被测体6旋转；Z导轨10平行于被测体6的轴向。测量开始 时，测量架8在X导轨9支撑下沿X方向靠近被测体6、在Z导轨10支撑下沿Z方向移动进入测 位，且测量架8沿着Z方向的移动步距为d。具体实施中，一种基于并行误差分离法的大型圆 柱廓形在线测量重构方法，通过三点圆度误差分离萃取被测体6各个测量截面的圆度和相 对半径；通过轴向三截面的并行误差分离，萃取相邻两测量截面圆的几何中心的相对变化 量，再通过叠加获得各个测量截面圆的几何中心(截面形状的一阶谐波分量)，进而实现以 被测轴各测量截面圆的几何中心的连线作为基准轴线(通常不是直线)的圆柱体廓形重构， 在此基础上可以进行圆柱廓形的圆度、圆柱度、母线直线度和锥度的高精度测量评定，具体 是说按如下步骤进行：

步骤1、数据采集：

步骤1.1、见图1和图3，在测量架8上设置了左中右三个截面，三个截面垂直于Z导 轨10轴向，且三个截面之间的距离为d；在中截面上根据三点圆度误差分离法配置三个传感 器，包括：第一传感器1、第二传感器2和第三传感器3；

本发明采用的三点圆度误差分离法与已有方法[李济顺,王中宇,林敏著.制造工 程中的精密技术[M].北京:机械工业出版社,2001.4]的不同在于：在测量架8中截面上第一 传感器1与X坐标轴的夹角p₁×δ≠0，见图1，其中，δ＝2π/N为采样的角间隔；N为任一传感器 一周采样的点数。这样配置的目的是当测量任务要求被测体6上两测量截面之间的距离d较 小时，给第四传感器4和第五传感器5留有Z向安装空间；另外，为了避免三点圆度误差分离 法的非一阶谐波抑制，p₁,p₂,p₃的选择原则是：p₁,p₂为正整数、p₃为负整数、(p₂-p₁)和(p₁- p₃)为质数。

步骤1.2、在左截面和右截面上沿X方向分别配置有第四传感器4和第五传感器5；

见图1和图3，在测量架8上的左中右三测量截面上分别配置1个、3个和1个传感器， 在此称为三截面并行131模式测量架。当然可以根据具体测量任务的要求和测量环境的约 束，设计三截面并行113模式或311模式测量架，本发明提出技术方案同样能够实现测量过 程中轴系的径向回转误差运动与导轨直线误差运动的全谐波分离。

步骤1.3、被测体6上沿轴向划分M个测量截面；各测量截面之间的距离为d；定义测 位号J；J＝1,2,…,M；

步骤1.4、初始化J＝1；

步骤1.5、移动测量架8，使测量架8上中截面位于被测体6第J测量截面上；

步骤1.6、由支撑轴系7带动被测体6旋转一周，使得第一传感器1、第二传感器2和 第三传感器3能采集被测体6第J测量截面上一周的测量数据；第四传感器4采集被测体6第 J-1测量截面上一周的测量数据；第五传感器5能采集被测体6第J+1测量截面上一周的测量 数据；从而完成第J测位的测量，获得第J测位的测量数据；第J测位的测量数据包括：第J测 位的中截面数据、第J测位的左截面数据和第J测位的右截面数据；

步骤1.7、将J+1赋值给J，并判断J＞M是否成立，若成立，则表示完成M个测位的测 量；获得M个测位的测量数据；否则，返回步骤1.5顺序执行；

步骤2、数据预处理：

步骤2.1、根据第J测位的中截面数据，利用三点频域先行圆度误差分离法萃取被 测体6第J测量截面上的圆度r₂(z_J,i)和半径相对值r₀(z_J)；z_J＝J×d表示被测体6第J测量截 面的轴向位置；i表示任一传感器一周采样的点号；i＝0,1,…N-1；N表示任一传感器一周采 样的点数，且采样的角间隔为δ＝2π/N；

值得注意的是，三点频域先行圆度误差分离方法难以萃取绝对半径，相对半径r₀(z_J)值对圆柱廓形重构没有影响。

应用三点频域先行圆度误差分离方法[李圣怡,戴一帆等着.精密和超精密加工在 位检测与误差分离技术[M].国防科技大学出版社,2007]对测量架8中截面三传感器采集的 测量数据进行加权组合，在此，由于测量架8中截面上第一传感器1与X坐标轴的夹角p₁×δ ≠0，见图1和图3，故取权系数c₁＝sin[(p₃-p₂)δ]，c₂＝sin[(p₁-p₃)δ]，c₃＝sin[(p₂-p₁)δ]可 使组合信号中剔除支撑轴系7的径向回转误差运动和导轨10直线误差运动，实现有效的误 差分离。

同时获得被测体6第J测量截面X方向跳动分离结果中的一阶谐波分量

在此，有两个问题需要解释，一是支撑轴系7X方向上的误差运动使得被测体6整体 在X方向产生平动和偏转运动，引起被测体6上某一测量截面产生X方向跳动，跳动随被测体 6上第J测量截面的轴向位置的不同而不同；二是由于一阶谐波抑制，三点频域先行圆度误 差分离法无法萃取被测体6第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)，通常认为被测体6第 J测量截面形状分离结果的一阶谐波分量为“零”，并将R(z_J,1)的真值推入跳动分离结果的 一阶谐波分量中，即

${\hat{E}}_x(z_J,1)=R(z_J,1)+E_x^J(z_J,1)---\left(1\right)$

式(1)说明是支撑轴系7X方向的误差运动在被测体6第J测量截面引起的X 方向跳动的一阶谐波分量与被测体6第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)的 合成，在此，称为被测体6第J测量截面X方向跳动分离结果的一阶谐波分量。

步骤2.2、分别对第J测位的左截面数据和右截面数据进行离散傅里叶变换，取变 换结果的一阶谐波分量和

在第J测位，被测体6旋转一周，第四传感器4和第五传感器5分别采集被测体6第J- 1和J+1测量截面一周数据：

$\begin{array}{c}{t}_4^J(z_{J-1},i)=r(z_{J-1},i)-D_4+e_x(z_{J-1},i)+{ϵ}_x\left(z_{J-1}\right)\\ t_5^J(z_{J+1},i)=r(z_{J+1},i)-D_5+e_x(z_{J+1},i)+{ϵ}_x\left(z_{J+1}\right)\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中：r(z_J-1,i),r(z_J+1,i)i＝0,2,…,N-1为被测体6第J-1和J+1测量截面形 状；D₄,D₅为第四传感器4和第五传感器5的零位；e_x(z_J-1,i),e_x(z_J+1,i)为支撑轴系7的X方向 误差运动在被测体6第J-1和J+1测量截面上引起的跳动；ε_x(z_J-1),ε_x(z_J+1)为Z导轨10直线误 差运动在被测体6第J-1和J+1测量截面轴向位置引起测量架8的X方向偏移； 分别是第四传感器4和第五传感器5采集的被测体6上第J-1和J+1测量截 面一周数据。

设和的离散傅里叶变换分别为和对式(2) 两边进行离散傅里叶变换，并取k＝1，有：

$\begin{array}{c}{T}_4^J(z_{J-1},1)=R(z_{J-1},1)+E_x^J(z_{J-1},1)\\ T_5^J(z_{J+1},1)=R(z_{J+1},1)+E_x^J(z_{J+1},1)\end{array}---\left(3\right)$

由于Z导轨10的直线误差运动引起测量架8的X方向偏移ε_x(z_J-1),ε_x(z_J+1)对一周信 号而言是一常数，见式(2)，而常数的离散傅里叶变换的一阶谐波分量为“零”，因此式(1)和 式(3)中自然剔除了导轨10的直线误差运动对测量的影响。

显然，在第J测位，通过第四传感器4获得被测体6第J-1测量截面形状的一阶谐波 分量R(z_J-1,1)与支撑轴系7X方向上的误差运动在被测体6第J-1测量截面引起的X方向跳动 的一阶谐波分量的合成同理，通过第五传感器5，获得第J+1测量截面形 状的一阶谐波分量R(z_J+1,1)与支撑轴系7X方向上的误差运动在被测体6第J+1测量截面引 起的X方向跳动的一阶谐波分量的合成另外，通过第一传感器1、第二 传感器2和第三传感器3，获得了被测体6第J测量截面X方向跳动分离结果的一阶谐波分量 将式(1)减式(3)第一式、将式(3)第二式减式(1)，有

$\begin{array}{c}{\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)=R(z_J,1)-R(z_{J-1},1)+E_x^J(z_J,1)-E_x^J(z_{J-1},1)\\ T_5^J(z_{J+1},1)-{\hat{E}}_x(z_J,1)=R(z_{J+1},1)-R(z_J,1)+E_x^J(z_{J+1},1)-E_x^J(z_J,1)\end{array}---\left(4\right)$

式(4)中，R(z_J,1)-R(z_J-1,1)是被测体6第J测量截面形状的一阶谐波分量相对于 第J-1测量截面形状的一阶谐波分量的变动量；R(z_J+1,1)-R(z_J,1)是被测体6的第J+1测量 截面形状的一阶谐波分量相对于第J测量截面形状的一阶谐波分量的变动量；在被测体6第 J测量截面轴向位置上，以第J测量截面的回转中心为坐标原点构建XOY坐标系，2×R(z_J, 1)/N是被测体6第J测量截面圆的几何中心坐标；故可以用R(z_J,1)-R(z_J-1,1)和R(z_J+1,1)-R (z_J,1)分别表征在第J测位被测体6第J与J-1测量截面圆和第J+1与J测量截面圆的几何中 心的相对变动量；和是被测体6一周旋转时支撑轴 系7的X方向误差运动在被测体6相邻两测量截面上跳动之差的一阶谐波分量。根据国际机 械生产研究学会CIRP对轴系误差运动的定义“轴系在X和Y方向有纯径向误差运动x(θ),y (θ)和轴向误差运动z(θ)、以及沿X和Y轴的倾角误差运动”，那么：

其中，θ＝i×δ；x^J(z_J,θ)和表征在第J测位支撑轴系7X方向回转误差运动在 被测体6第J测量截面上引起的跳动(纯径向误差运动)和沿X轴的倾角误差运动。显然， 和中已经剔除了支撑轴系7的X方向回转误差运动 在被测体6的两个相邻测量截面上跳动的相同部分，即剔除了支撑轴系7在X方向的纯径向 误差运动，因此δ^J表征在第J测位被测体6旋转一周时支撑轴系7沿X方向的倾角误差运动在 相邻两个测量截面上引起的跳动之差的一阶谐波分量估计值。由式(4)，有

$\begin{array}{c}{\Theta }_J=R(z_J,1)-R(z_{J-1},1)={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-{\delta }^J\\ {\Theta }_{J+1}=R(z_{J+1},1)-R(z_J,1)=T_5^J(z_{J+1},1)-{\hat{E}}_x(z_J,1)-{\delta }^J\end{array}---\left(6\right)$

式(6)中Θ_J+1表征第J测位被测体6第J+1与J测量截面圆的几何中心的相对变化 量。

对J+1测位，测量架8左中右截面分别与被测体6第J、J+1和J+2测量截面轴向位置 重叠，故第四传感器4、第一，二和三传感器1～3以及第五传感5分别采集被测体6上第J、J+1 和J+2测量截面的一周数据，与第J测位的测量过程相同，类似式(6)，有：

$\begin{array}{c}{\Theta }_{J+1}=R(z_{J+1},1)-R(z_J,1)={\hat{E}}_x(z_{J+1},1)-T_4^{J+1}(z_J,1)-{\delta }^{J+1}\\ {\Theta }_{J+2}=R(z_{J+2},1)-R(z_{J+1},1)=T_5^{J+1}(z_{J+2},1)-{\hat{E}}_x(z_{J+1},1)-{\delta }^{J+1}\end{array}---\left(7\right)$

同理，式(7)中Θ_J+1表征在第J+1测位，被测体6第J+1与J测量截面圆的几何中心的 相对变化量。显然，无论在任何测位，被测体6上相邻两测量截面圆的几何中心的相对变化 应该一致，即式(6)的第二式与式(7)的第一式应该相等，因此有：

${\delta }^{J+1}={\hat{E}}_x(z_{J+1},1)-T_4^{J+1}(z_J,1)-[T_5^J(z_{J+1},1)-{\hat{E}}_x(z_J,1)]+{\delta }^J---\left(8\right)$

式(8)中，δ^J+1是在J+1测位，被测体6旋转一周时支撑轴系7沿X方向的倾角误差运 动在相邻两个测量截面上引起的跳动之差的一阶谐波分量估计值。由此可以规划一种递推 关系：

步骤3、计算被测体6上M个测量截面形状的一阶谐波分量：

步骤3.1、初始化J＝1；

步骤3.2、由支撑轴系7带动被测体6旋转一周，设支撑轴系7沿X方向的倾角误差运 动引起第J测位相邻两个测量截面上跳动之差的一阶谐波分量估计值为δ¹＝C(零或微小复 数)；

步骤3.3、利用式(9)萃取被测体6上第J测量截面形状与第J-1测量截面形状的一 阶谐波分量的相对变化量Θ_J：

${\Theta }_J={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-C---\left(9\right)$

即Θ_J表征被测体6上第J测量截面圆的几何中心与第J-1测量截面圆的几何中心 的相对变化量。

步骤3.4、设被测体6上第J-1测量截面形状的一阶谐波分量为R(z_J-1,1)＝B(零或 微小复数)，利用式(10)计算被测体6上第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)：

R(z_J,1)＝R(z_J-1,1)+Θ_J＝B+Θ_J(10)

在此，R(z_J,1)表征被测体6上第J测量截面圆的几何中心。值得注意的是，B和C将 使重构出的被测体6整体发生微小平移和偏转，不影响被测圆柱整体廓形的重构。

步骤3.5、将J+1赋值给J，并判断J＞M是否成立，若成立，则表示完成了M个测量截 面形状的一阶谐波分量的计算；否则，执行步骤3.6；

步骤3.6、由支撑轴系7带动被测体6旋转一周；利用式(3)计算支撑轴系7沿X方向 的倾角误差运动在被测体(6)的相邻两个测量截面引起跳动之差的一阶谐波分量的估计值 δ^J：

${\delta }^J={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-[T_5^{J-1}(z_J,1)-{\hat{E}}_x(z_{J-1},1)]+{\delta }^{J-1}---\left(11\right)$

步骤3.7、利用式(12)萃取被测体6上第J测量截面形状与J-1测量截面形状的一阶 谐波分量的相对变化量Θ_J：

${\Theta }_J={\hat{E}}_x(z_J,1)-T_4^J(z_{J-1},1)-{\delta }^J---\left(12\right)$

即Θ_J表征被测体6第J测量截面圆的几何中心与第J-1测量截面圆的几何中心的 相对变化量。

步骤3.8、利用式(13)计算被测体6上第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)：

$R(z_J,1)=R(z_{J-1},1)+{\Theta }_J=B+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\Theta }_j---\left(13\right)$

在此，R(z_J,1)表征被测体6上第J测量截面圆的几何中心。

步骤3.9、返回步骤3.5执行；

步骤4、萃取被测体6上M个测量截面形状的一阶谐波；

步骤4.1、以被测体6上第J测量截面形状的一阶谐波分量R(z_J,1)，并利用式(14) 构建序列Γ(z_J,k)：

$\Gamma (z_J,k)=\left(\begin{array}{cc}R(z_J,1)& k=1\\ 0& k=0,2,3,...N-2\\ \bar{R}(z_J,1)& k=N-1\end{array}\right),J=1,2,...,M---\left(14\right)$

式(6)中，表示R(z_J,1)的共轭；

步骤4.2、利用式(15)对序列Γ(z_J,k)进行离散傅里叶逆变换，从而萃取被测体 (6)第J测量截面形状的一阶谐波r₁(z_J,i)：

r₁(z_J,i)＝IDFT[Γ(z_J,1)]J＝1,2,…,M(15)

步骤5、利用式(16)重构被测体6的圆柱廓形r(z_J,i)i＝0,1,…,N-1：

r(z_J,i)＝r₀(z_J)+r₁(z_J,i)+r₂(z_J,i)J＝1,2,…,M(16)

本发明是根据国际机械生产研究学会CIRP对轴系误差运动的定义“轴系在X和Y方 向有纯径向误差运动x(θ),y(θ)和轴向误差运动z(θ)、以及沿X和Y轴的倾角误差运动 ”而提出的。如果先验已知支撑轴系7的X方向误差运动中沿X轴的倾角误差运动 引起的跳动量值与X方向纯径向误差运动x^J(z_J,θ)相比是微小量，见式(5)，可以忽 略不计，则可以取消测量架8右测量截面，并拆除传感器5(见图1～图3)，使测量架8成为双 截面并行模式，并忽略步骤3.6，并将δ^J赋值为“零”，本发明提出技术方案同样能够全面分 离测量过程中轴系的径向回转误差运动和导轨直线误差运动，以此减小由于多传感器特性 的不一致性对测量重构精度的影响。