一种基于多元线性回归分析的疏浚产量数学模型建立方法

摘要

本发明公开了一种基于多元线性回归分析的疏浚产量数学模型建立方法，包括如下步骤：（1）收集影响疏浚作业施工工艺相关决策参量的数据资料，建立决策参量集；（2）构造决策参量矩阵，并对其进行规范化；（3）确立多元线性回归方程的一般形式；（4）建立数学模型系数的方程组，求解系数；（5）建立疏浚产量与参量的数学模型。本发明基于疏浚设备在施工作业中已获得的众多参量调控数据，建立疏浚产量与众多参量关系的数学模型，可为使疏浚设备达到高效作业而调节各个工艺参量提供最优决策参考，达到疏浚作业高产量的目的。

说明书

技术领域

本发明涉及疏浚工程技术领域，特别是一种基于多元线性回归分析的疏浚产量数 学模型建立方法。

背景技术

疏浚作为水下作业，工艺调控参量众多，其中众多参数变量之间常常存在一定的 相关性。这势必增加了分析问题的复杂性。鉴于疏浚涉及多学科理论知识的综合性、疏浚作 业过程的复杂性和实验条件的限制,疏浚工艺决策逻辑的基础理论研究远远落后于实际的 需要；改变长期以来因为疏浚工艺知识与理论缺乏导致疏浚作业困难、效率不高的现状，指 导疏浚作业参数调控，降低操作难度，为疏浚工艺决策智能化与自动化提供新的思路与理 论依据。

回归分析的基本思想和方法以及“回归”名称的由来归功于英国统计学家F.高尔 顿(F.Galton：1822—1911),该方法的根本特点是：回归分析是处理变量x与y之间的关系的 一种统计方法和技术。

发明内容

本发明要解决的技术问题为：基于多元线性回归分析技术，研究一种疏浚产量数 学模型建立方法，分析调控不同参变量之间的关系，以便对疏浚产量进行优化。

本发明采取的技术方案具体为：一种基于多元线性回归分析的疏浚产量数学模型 建立方法，包括以下步骤：

步骤一，基于影响疏浚作业施工工艺相关决策变量的数据资料，建立决策变量集：

影响疏浚产量的决策参量为多个，所述决策变量集中的元素包括多个决策参量分 别在不同决策方案中的取值，以及各决策方案对应的疏浚产量值；

步骤二，基于决策变量集构造决策变量矩阵，并对决策变量矩阵中的元素分别进 行规范化；

步骤三，确立基于多元线性回归方程关于决策参量与疏浚产量之间关系的一般公 式：

y＝β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+...+β_px_p(1)

式(1)中y为因变量，表示疏浚产量；x₁，x₂，...，x_p为自变量，表示p个决策参量；β₀， β₁，…，β_p是p+1个未知系数，β₀为回归常数，β₁，…，β_p为回归系数；

步骤四，建立疏浚产量数学模型系数的方程组，将规范化后的决策变量矩阵中的 元素代入方程组，求解式(1)中的未知系数；

步骤五，将求得的未知系数代入公式(1)，即得到疏浚产量的数学模型。

具体的，本发明步骤一中，定义决策变量集为U＝(u₁,u₂,…u_p)，其中，u₁,u₂,…u_p为 决策变量，p为决策变量的个数；

设对p个决策变量进行n次观测，决策方案集为X＝(x₁,x₂,…x_n)，其中x_i＝|a_i1a_i2… a_ip|，表示第i次观测得到的决策方案，i＝1，2，……，n；a_ij表示第i次观测得到的第j个决策 参量即自变量的原始数据，j＝1，2，……，p；

与决策方案集对应的，疏浚产量也即决策因变量Y＝(y_i)，y_i＝|b_i|，i＝1，2，……， n；b_i表示第i次观测得到的决策方案对应的疏浚产量值。

步骤二中，基于决策变量集建立的决策变量矩阵为：

对决策变量矩阵中的每个变量进行规范化处理的规范化公式为：

$r_{ij}=\frac{a_{ij}}{\underset{i}{max}\left(a_{ij}\right)},i=1,2...n,j=1,2...p;$

$r_{i0}=\frac{b_i}{\underset{i}{\max }\left(b_i\right)},i=1,2...n;$

得到规范化后的决策变量矩阵：

可消除不同物理量纲对决策结果的影响，。

步骤四中，未知系数β₀，β₁，…，β_p采用最小二乘法进行估计，即使离差平方和 $Q({\beta }_0,$${\beta }_1,...,{\beta }_p)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{i1}-{\beta }_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\beta }_p{x}_{ip})}^2$达到最小，也即寻找的 取值，使其满足以下公式：

$\begin{array}{c}Q({\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2,\mathrm{...},{\hat{\beta }}_p)={\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})}^2\\ =\underset{{\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{...}{\beta }_p}{\min }\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{i1}-{\beta }_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\beta }_p{x}_{ip})}^2\end{array}---\left(2\right)$

基于式(2)，根据微积分求极值原理，应满足以下方程组：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial {\beta }_0}{|}_{{\beta }_0={\hat{\beta }}_0}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})=0\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_1}{|}_{{\beta }_1={\hat{\beta }}_1}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})x_{i1}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_2}{|}_{{\beta }_2={\hat{\beta }}_2}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})x_{i2}=0\\ \mathrm{......}\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_p}{|}_{{\beta }_p={\hat{\beta }}_p}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})x_{ip}=0\end{array}\right)---\left(3\right)$

将规范化后的决策变量矩阵中的因变量和自变量对应的元素值对应代入方程组 (3)，即可得到的取值，也即未知系数β₀，β₁，…，β_p的取值。

有益效果

基于疏浚设备在施工作业中已获得的众多参量调控数据，建立疏浚产量与众多参 量关系的数学模型，可为使疏浚设备达到高效作业而调节各个工艺参量提供最优决策参 考，达到疏浚作业高产量的目的。为后来的各调控参量与产量的优化研究打下理论基础，对 挖泥船的产量优化具有重要意义。

附图说明

图1所示为本发明方法流程示意图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例进一步描述。

参考图1所示，本发明基于多元线性回归分析的疏浚产量数学模型建立方法，包括 以下步骤：

步骤一，基于影响疏浚作业施工工艺相关决策变量的数据资料，建立决策变量集：

影响疏浚产量的决策参量为多个，所述决策变量集中的元素包括多个决策参量分 别在不同决策方案中的取值，以及各决策方案对应的疏浚产量值；

步骤二，基于决策变量集构造决策变量矩阵，并对决策变量矩阵中的元素分别进 行规范化；

步骤三，确立基于多元线性回归方程关于决策参量与疏浚产量之间关系的一般公 式：

y＝β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+...+β_px_p(1)

式(1)中y为因变量，表示疏浚产量；x₁，x₂，...，x_p为自变量，表示p个决策参量；β₀， β₁，…，β_p是p+1个未知系数，β₀为回归常数，β₁，…，β_p为回归系数；

步骤四，建立疏浚产量数学模型系数的方程组，将规范化后的决策变量矩阵中的 元素代入方程组，求解式(1)中的未知系数；

步骤五，将求得的未知系数代入公式(1)，即得到疏浚产量的数学模型。

实施例

本实施例中，疏浚设备为绞吸式挖泥船，影响绞吸式挖泥船疏浚作业产量的主要 工艺参量包括：绞刀转速，绞刀横移速度，绞刀切泥厚度，绞刀前进距离等，这几个工艺参量 即为决策参量，p为8。

实施例中对上述8个决策参量进行了10次观测,得到决策变量集为如下表1：

表1

累计产量(y) 绞刀转速(x1) 台车行程(x2) 横移速度(x3) 管路平均浓度(x4) 管路流速(x5) 出口流速(x6) 绞刀切泥厚度(x7) 绞刀前进距离(x8) 682.53 27.89 2.76 13.46 57.45 4.7 12.02 17.86 2.74 698.53 27.81 2.76 13.28 57.8 4.7 12.02 17.71 2.74 709.97 27.87 2.76 12.77 55.86 4.65 11.9 17.73 2.74 720.82 27.86 2.75 0 52.56 4.58 11.74 17.81 0 732.86 27.25 3.17 1.64 49.03 4.55 11.64 17.89 0.42 745.49 27.47 4.15 10.75 45.93 4.5 11.53 17.69 1.41 754.27 27.47 4.16 11.78 42.5 4.43 11.33 17.79 1.41 761.45 27.66 4.14 12.01 38.59 4.38 11.21 17.86 1.39 771.92 27.34 4.14 12.9 34.9 4.35 11.13 17.73 1.39 785.72 26.37 4.13 12.06 31.84 4.35 11.14 17.93 1.39

步骤二中，对决策变量集进行规范化，具体如下：

根据决策方案集，为消除不同物理量纲对决策结果的影响，对每个决策变量a_ij，b_i的原始数据进行如下规范化处理：

$r_{ij}=\frac{a_{ij}}{\underset{i}{max}\left(a_{ij}\right)},i=1,2...n,j=1,2...p$

$r_{i0}=\frac{b_i}{\underset{i}{\max }\left(b_i\right)},i=1,2...n$

这样，就得到规范化后的决策变量集。如下表2：

表2

累计产量(y) 绞刀转速(x1) 台车行程(x2) 横移速度(x3) 管路平均浓度(x4) 管路流速(x5) 出口流速(x6) 绞刀切泥厚度(x7) 绞刀前进距离(x8) 0.02 0.75 0.00 0.94 0.04 0.13 0.13 0.40 0.00 0.03 0.57 0.00 0.97 0.08 0.28 0.27 0.76 0.00 0.04 0.38 0.00 0.96 0.12 0.45 0.46 0.53 0.00 0.05 0.61 0.00 0.98 0.14 0.59 0.60 0.29 0.00 0.05 0.74 0.15 0.12 0.16 0.75 0.74 0.04 0.20 0.06 0.19 0.28 0.96 0.18 0.83 0.83 0.64 0.40 0.06 0.64 0.28 0.91 0.20 0.89 0.88 0.49 0.40 0.07 0.86 0.28 0.95 0.24 0.95 0.95 0.00 0.40

步骤三中，确立基于多元线性回归方程的疏浚产量与决策参量关系模型的一般公 式如下：

y＝β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+...+β_px_p(1)

其中，β₀，β₁，…，β_p是p+1个未知参数，β₀称为回归常数，β₁，…，β_p称为回归系数。y称 为解释变量，即因变量，而x₁，x₂，...，x_p是p个自变量。

步骤四中，建立数学模型系数的方程组，求解系数具体如下：

多元线性回归方程未知参数β₀，β₁，…，β_p可以用最小而成估计。即使离差平方和 $Q({\beta }_0,$${\beta }_1,...,{\beta }_p)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{i1}-{\beta }_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\beta }_p{x}_{ip})}^2$达到最小，即寻找满 足：

$\begin{array}{c}Q({\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2,\mathrm{...},{\hat{\beta }}_p)={\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})}^2\\ =\underset{{\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{...}{\beta }_p}{\min }\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_{i1}-{\beta }_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\beta }_p{x}_{ip})}^2\end{array}---\left(2\right)$

从(2)式，根据微积分求极值原理，应满足以下方

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Q}{\partial {\beta }_0}{|}_{{\beta }_0={\hat{\beta }}_0}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})=0\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_1}{|}_{{\beta }_1={\hat{\beta }}_1}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})x_{i1}=0\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_2}{|}_{{\beta }_2={\hat{\beta }}_2}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})x_{i2}=0\\ \mathrm{......}\\ \frac{\partial Q}{\partial {\beta }_p}{|}_{{\beta }_p={\hat{\beta }}_p}=-2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}(y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_{i1}-{\hat{\beta }}_2{x}_{i2}-\mathrm{...}-{\hat{\beta }}_p{x}_{ip})x_{ip}=0\end{array}\right)---\left(3\right)$

将标准化后多个决策方案中的自变量x和对应的因变量y值带入(3)式，解方程组 可得多元线性回方程的系数。

解得系数如下：

β₀＝0.03；β₁＝-0.07；β₂＝0.51；β₃＝0.05；β₄＝0.49；β₅＝0.3；

β₆＝-1.47；β₇＝-0.02；β₈＝-0.15

步骤五，建立关于疏浚产量与参量关系的数学模型：

将步骤四解得的系数取值带入式(1)即可得疏浚产量的数学模型为：

y＝0.03-0.07x₁+0.51x₂+0.05x₃+0.49x₄+1.3x₅-1.47x₆-0.02x₇-0.15x₈

其中自变量y对应产量，x₁,x₂,…x_n对应各决策参量即调控参量。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人 员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应 视为本发明的保护范围。