流体迁移路径获取装置、流体迁移路径获取方法、以及程序

摘要

对与在相位几何学上的二维流动构造的整体或一部分中的构造稳定的流动型态能否经由构造不稳定的1个中间状态流动型态迁移至其它构造稳定的流动型态相关的型态迁移信息进行存储，并根据型态迁移信息，获取与从所指定的构造稳定的流动型态至能够在相位几何学上采取的其它构造稳定的流动型态的迁移路径相关的迁移信息。

说明书

技术领域

本发明涉及流体迁移路径获取装置、流体迁移路径获取方法、以及程序。

背景技术

以往，在进行多个构造物的配置设计或具有有效的流体力学的特性的构造物的形 状的优化时，是通过多次反复基于大规模的数值计算的流体模拟来决定最佳的构造物的配 置的。

例如，以往，在河川等均匀流中设计桥等构造物时，通过基于计算机的大规模模拟 等来解析了在桥墩的周边会形成怎样的流动。

此外，近年来，正在开发通过构筑流体等的数学理论模型来在数学理论上处理流 动型态的拓扑的算法或程序。

现行技术文献

非专利文献1：TomaszKaczynski，KonstantinMischaikow，MarianMrozek著 “ComputationalHomology”Springer，2000年

发明内容

所要解决的技术问题

然而，在现有的构造物设计的优化方法中，有如下问题：由于反复进行的大规模计 算而导致计算时间和设计成本的增大，另一方面，由于这些制约，而不得不限定搜索范围， 无法排除所导出的最佳构造物是局部最佳的可能性。也就是说，以往，有如下致命的缺陷： 将搜索范围设在哪里，不得不依赖技术人员的经验和直觉，根据在何处设定搜索范围，会左 右所导出的构造物的优化结果。

特别地，在优化方法中，为了将某形状和配置下的流动型态导出成为目标的流动 型态，需要怎样的迁移阶段，其应设定的判断的指标是没有的，且为了相对于根据计算结果 而得到的流动来改变构造物的配置或形状等的对流场的状况的控制，而需要试行错误地多 次反复计算。

本发明鉴于上述问题点，其目标在于，提供能够得到与流动型态的迁移相关的见 解的流体迁移路径获取装置、流体迁移路径获取方法、以及程序。

解决问题的手段

为了实现这种目标，本发明的流体迁移路径获取装置，在具有存储部和控制部的 流体迁移路径获取装置中，上述存储部，对与在相位几何学上的二维流动构造的整体或一 部分中的构造稳定的流动型态能否经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态迁移至其它 构造稳定的流动型态相关的型态迁移信息进行存储，上述控制部具备：迁移信息获取单元， 其根据上述型态迁移信息，获取与从所指定的构造稳定的流动型态至能够在相位几何学上 采取的其它构造稳定的流动型态的迁移路径相关的迁移信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，在上述记载的流体迁移路径获取装置中， 上述迁移信息包括：与至上述其它构造稳定的流动型态的构造不稳定的中间状态的流动型 态相关的信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，在上述记载的流体迁移路径获取装置中， 上述迁移信息获取单元，根据上述型态迁移信息，针对所指定的2个上述构造稳定的流动型 态，获取从一方的上述构造稳定的流动型态至另一方的上述构造稳定的流动型态为止的上 述迁移信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，在上述记载的流体迁移路径获取装置中， 上述迁移信息获取单元，将经由上述构造不稳定的1个中间状态的流动型态的迁移设为1次 迁移，获取包括从上述一方的上述构造稳定的流动型态至上述另一方的上述构造稳定的流 动型态为止的迁移次数在内的上述迁移信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，在上述记载的流体迁移路径获取装置中， 上述迁移信息获取单元，获取上述迁移次数成为最小的从上述一方的上述构造稳定的流动 型态至上述另一方的上述构造稳定的流动型态为止的上述迁移信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，在上述记载的流体迁移路径获取装置中， 上述构造稳定的流动型态，针对对除了在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何 学上采取的2种流动型态以外、还追加了在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/ 涌出对的型态的合计3种流动型态进行规定的型态语言，通过语言表现进行了识别，所述语 言表现是通过对在上述流动型态中追加1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作进行 了规定的操作语言之中的任一种语言以所追加的穴的个数进行赋予而形成的，上述型态迁 移信息是将经由上述构造不稳定的1个中间状态的流动型态能够相互迁移的上述构造稳定 的流动型态通过上述语言表现进行了记述的信息，上述迁移信息获取单元，以所指定的构 造稳定的流动型态的语言表现为基准，根据上述型态迁移信息来获取上述迁移信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，在上述记载的流体迁移路径获取装置中， 上述型态迁移信息包括：经由上述构造不稳定的1个中间状态的流动型态能够相互迁移的 上述构造稳定的流动型态之间的上述语言表现的上述操作语言的变化信息，上述迁移信息 获取单元，以所指定的2个构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作语言的变化为基准， 根据上述变化信息来获取上述迁移信息。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，上述迁移信息获取单元，在以上述指定的 构造稳定的流动型态的语言表现为基准并根据上述型态迁移信息获取到的迁移路径的候 补有多个时，使用与流动型态一一对应的正规表现来确定1个迁移路径。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，上述迁移信息获取单元，在以上述所指定 的2个构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作语言的变化为基准并根据上述变化信息 获取到的迁移路径的候补有多个时，分别获取与上述2个构造稳定的流动型态的语言表现 对应的正规表现，针对多个迁移路径的候补，在用于发生其迁移的部分表现未包含于与一 方的构造稳定的流动型态的语言表现对应的正规表现时，从迁移路径的候补中排除。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，上述迁移信息获取单元，在未被排除的迁 移路径的候补有多个时，分别获取与该未排除的多个迁移路径的候补对应的正规表现，将 上述未被排除的多个选择路径的候补之中其正规表现和与另一方的构造稳定的流动型态 的语言表现对应的正规表现一致的候补确定为迁移型态。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，上述正规表现是生成与上述流动型态一 一对应的图形表现并根据所生成的图形表现来形成的。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，上述图形表现，针对由上述流动型态规定 的构造稳定的哈密顿向量场H，分配固有的带路径、带标签、以及有向的树型T_H＝(V，E)(其 中，V是被称为顶点的点的集合，E是连结于顶点之间的边的集合)，且可视化为平面图形。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，还具有：模拟单元，其在对流体中的物体 选择设计参数的候补时，设定上述设计参数的上限以及下限，并从由该设计参数的上限和 下限所规定的参数区域选择多个参数，对所选择的多个参数分别进行流动的实验以及/或 者数值计算，对实验以及/或者数值计算的结果分配上述语言表现以及/或者上述正规表 现，将所分配的上述语言表现以及/或者上述正规表现之中具有表示最佳状态的上述语言 表现以及/或者上述正规表现的设计参数选择为上述设计参数的候补。

此外，本发明的流体迁移路径获取装置，具有：模拟单元，其即使在上述所分配的 上述语言表现以及/或者上述正规表现没有表示最佳状态的上述语言表现以及/或上述正 规表现时，也通过1次迁移而使上述语言表现以及/或者上述正规表现具有表示最佳状态的 上述语言表现以及/或者上述正规表现的情况下，选择为上述设计参数的候补。

此外，本发明的流体迁移路径获取方法，在具有存储部和控制部的计算机中被执 行的流体迁移路径获取方法中，上述存储部，对与在相位几何学上的二维流动构造的整体 或一部分中的构造稳定的流动型态能否经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态迁移至 其它构造稳定的流动型态相关的型态迁移信息进行存储，所述流体迁移路径获取方法包括 在上述控制部中执行的迁移信息获取步骤，该迁移信息获取步骤根据上述型态迁移信息， 获取与从所指定的构造稳定的流动型态至能够在相位几何学上采取的其它构造稳定的流 动型态的迁移路径相关的迁移信息。

此外，本发明的程序，由具有存储部和控制部的计算机来执行，上述存储部，对与 在相位几何学上的二维流动构造的整体或一部分中的构造稳定的流动型态能够经由构造 不稳定的1个中间状态的流动型态迁移到其它构造稳定的流动型态相关的型态迁移信息进 行存储，在上述控制部中，执行迁移信息获取步骤，该迁移信息获取步骤根据上述型态迁移 信息，获取与从所指定的构造稳定的流动型态至能够在相位几何学上采取的其它构造稳定 的流动型态的迁移路径相关的迁移信息。

此外，本发明是与记录有上述记载的程序的记录介质相关。

发明効果

根据该发明，对与在相位几何学上二维流动构造的整体或一部分中的构造稳定的 流动型态能否经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态迁移至其它构造稳定的流动型态 相关的型态迁移信息进行存储，根据型态迁移信息，获取与从所指定的构造稳定的流动型 态至能够在相位几何学上采取的其它构造稳定的流动型态的迁移路径相关的迁移信息。由 此，本发明发挥能够得到与流动型态的迁移相关的见解的效果。特别是，根据该迁移信息， 能够确定相位构造的迁移顺序，例如，在飞机等的设计上导入理想的流动型态，因而能够以 流动型态的迁移顺序为指标来进行构造设计等。

此外，根据本发明，迁移信息包括与至其它构造稳定的流动型态的构造不稳定的 中间状态的流动型态相关的信息，因此，发挥能够决定构造稳定的流动型态之间的迁移的 中间状态的效果。具体而言，针对飞机的机翼周围的流场的时间发展，能够理解：作为其各 时刻的升阻比的机翼的功能，重要的特性的变化是如何形成、或如何失去等的机制，因此， 能够得到机翼功能的设计中的改良的指针，谋求优化方法的有效。

此外，根据本发明，根据型态迁移信息，针对所指定的2个构造稳定的流动型态，获 取从一方的构造稳定的流动型态至另一方的构造稳定的流动型态为止的迁移信息，因此， 能够发挥以下效果：在能够在2个构造稳定的流动型态之间迁移的时，能够得到与流动型态 的迁移路径、或其间的中间状态的流动型态等相关的见解。

此外，根据本发明，将经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的迁移设为1次 的迁移，获取包括从一方的构造稳定的流动型态至另一方的构造稳定的流动型态为止的迁 移次数在内的迁移信息，因此，发挥以下效果：为了相互转移2个流动型态而获取需要怎样 程度的迁移，作为迁移次数的多寡，能够得到流动构造的远近这样的距离的指标。

此外，根据本发明，获取迁移次数成为最小的从一方的构造稳定的流动型态至另 一方的构造稳定的流动型态为止的迁移信息，因此，能够发挥以下效果：能够得到最短的流 动型态的迁移路径的见解。

此外，根据本发明，构造稳定的流动型态，针对对除了在具有1个穴的单连结外部 区域中能够在相位几何学上采取的2种流动型态以外、还追加了在具有2个穴的二重连结外 部区域中不带有吸入/涌出对的型态的合计3种流动型态进行规定的形态语言，通过语言表 现进行了识别，所述语言表现是通过将对在流动型态中追加1个穴时能够在相位几何学上 采取的5种操作进行了规定的语言之中的任一种语言以所追加的穴的个数进行赋予而形成 的。然后，型态迁移信息是将经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态能够相互迁移的构 造稳定的流动型态通过语言表现进行了记述的信息，在获取迁移信息时，以所指定的构造 稳定的流动型态的语言表现为基准，根据型态迁移信息来获取迁移信息。由此，本发明发挥 以下效果：在判定流动型态的在相位几何学上迁移的可能性时，使用语言表现，计算机容易 处理。

此外，根据本发明，型态迁移信息包括：经由构造不稳定的1个中间状态的流动型 态能够相互迁移的构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作语言的变化信息，以所指定 的2个构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作语言的变化为基准，根据变化信息来获 取迁移信息。由此，本发明发挥以下效果：以语言表现的变化为基准，能够更有效地搜索迁 移路径。

此外，根据本发明，在以所指定的构造稳定的流动型态的语言表现为基准并根据 型态迁移信息获取到的迁移路径的候补有多个时，使用与流动型态一一对应的正规表现来 确定1个迁移路径。由此，发挥以下效果：即使在选择路径的候补有多个的情况下，也能够不 进行型态匹配地确定迁移路径。

此外，根据本发明，在以所指定的2个构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作 语言的变化为基准并根据变化信息获取到的迁移路径的候补有多个时，分别获取与2个构 造稳定的流动型态的语言表现对应的正规表现，针对多个迁移路径的候补，在用于发生其 迁移的部分表现未包含于与一方的构造稳定的流动型态的语言表现对应的正规表现时，从 迁移路径的候补中排除。由此，发挥以下效果：仅通过比较迁移路径的候补的部分表现和正 规表现，就能够排除实际上不可能迁移的迁移路径的候补。

此外，根据本发明，在未被排除的迁移路径的候补有多时，分别获取与该未被排除 的多个迁移路径的候补对应的正规表现，将未被排除的多个选择路径的候补之中其正规表 现和与另一方的构造稳定的流动型态的语言表现对应的正规表现一致的型态设为迁移型 态。由此，发挥以下效果：仅通过比较正规表现彼此，就能够确定1个迁移路径。

此外，根据本发明，正规表现是生成与流动型态一一对应的图形表现并根据所生 成的图形表现来形成的。由此，发挥以下效果：能够提供可与流动型态一一对应的新的表现 方法。

此外，根据本发明，图形表现，针对由流动型态规定的构造稳定的哈密顿向量场H， 分配固有的带根、带标签、以及有向的树型T_H＝(V，E)(其中，V是被称为顶点的点的集合，E 是连结于顶点间的边的集合)，可视化为平面图形。由此，发挥以下效果：针对构造稳定的哈 密顿向量场，能够提供将固有的带根、带有标签、以及有向的树型可视化为平面图形，以作 为图形表现。

此外，根据本发明，还在对流体中的物体选择设计参数的候补时，设定设计参数的 上限以及下限，从由该设计参数的上限和下限规定的参数区域中选择多个参数，对所选择 的多个参数分别进行流动的实验以及/或者数值计算，对实验以及/或者数值计算的结果分 配语言表现以及/或者正规表现，将所分配的语言表现以及/或者正规表现之中具有表示最 佳状态的语言表现以及/或者正规表现的设计参数选择为设计参数的候补。由此，发挥以下 效果：从最初开始设定理想的状况作为流动型态的语言表现或正规表现，能够搜索参数区 域以实现它们。如此，能够尽可能多且快速地搜索实现最佳设定的设计参数的“候补”。从这 些候补开始，通过进行已知的优化方法，得到较多且实现性较高的设计参数的可能性变大。

此外，根据本发明，即使在所分配的语言表现以及/或者正规表现没有表示最佳状 态的语言表现以及/或者正规表现时，也通过1次迁移而使语言表现以及/或者正规表现具 有表示最佳状态的语言表现以及/或者正规表现的情况下，选择为设计参数的候补。由此， 发挥以下效果：能够采用通过1次的迁移而具有表示最佳状态的语言表现以及/或者正规表 现作为参数的候补。

附图说明

图1是表示在本实施方式使用的语言表现算法的概要的流程图。

图2是示意性表示流动的型态的图。

图3是记述了所有进行区域中的构造稳定的流动的在相位上的分类的特征性轨迹 (流线)的图。

图4是示意性表示成为初期构造的3种构造稳定的流动型态的图。

图5是示意性表示附加1个穴来构成构造稳定的流动的5种操作的图。

图6是表示与2个构造物有均匀流时的构造稳定的流动型态的全分类的图。

图7是表示构造不稳定的轨迹的示例的图。

图8是表示从D_z(M-1)下的构造稳定的流线型态追加1个穴来生成D_z(M)中的h-不稳 定的流线型态的10个操作的图。

图9-1是表示由操作D_0，s生成的h-不稳定的流线型态的图(其一)。

图9-2是表示由操作D_0，s生成的h-不稳定的流线型态的图(其二)。

图10是表示由操作D₀生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图11是表示由操作E_0，s以及E0生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图12是表示由操作Ф_0，s和Ф₀生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图13是表示由操作D_2，s生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图14是表示由操作D₂生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图15是表示由操作E_2，s和E₂生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图16是表示追加2个以上的穴而从构造稳定的流线型态生成h-不稳定的流线型态 的4个操作的图。

图17是表示由操作Ψ_s(2)和Ψ(2)生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图18是表示由操作Ψ(2)生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图19是表示由操作Ξ_s(2n-1)和Ξ(2n-1)生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的 图。

图20是表示p-不稳定的型态Λ及其摄动的图。

图21是表示对D_z(M-1)下的构造稳定的流场追加1个箍缩轨迹(pinchingorbit) 来生成p-不稳定的流线型态的操作的图。

图22是表示由操作Δ₁生成的p-不稳定的流线型态及其摄动的图(其一)。

图23是表示由操作Δ₁生成的p-不稳定的流线型态及其摄动的图(其二)。

图24是表示由操作M_1，s生成的p-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图25是表示由操作M_1，i和M_1，o生成的p-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图26是表示作为2个构造稳定的流线型态之间的中间状态而出现的h-不稳定的流 线型态的列表的图。

图27是表示作为2个构造稳定的流线型态之间的中间状态而出现的h-不稳定的流 线型态的列表的图。

图28是表示作为2个构造稳定的流线型态之间的中间状态而出现的p-不稳定的流 线型态的列表的图。

图29是表示应用本实施方式的流体迁移路径获取装置100的一例的方框图。

图30是表示流体迁移路径获取装置100的处理的一例的流程图。

图31是表示流体迁移路径获取装置100中的使用了指数之差的迁移路径搜索处理 的一例的流程图。

图32是示意性表示：在二维外部区域内，作为均匀流中的物体而将具有有限厚度 的较薄的1片平板相对于均匀流以固定的角度倾斜放置的情况的图。

图33是表示物体周围的流动的数值计算结果的图。

图34是表示物体周围的流动的数值计算结果的图。

图35是表示从时刻t＝5.5起发展了7.7小时的期间发生的迁移的图。

图36是表示型态语言的分配处理的一例的流程图。

图37是表示算法B中的I系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。

图38是表示算法B中的I系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。

图39是表示算法B中的II系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。

图40是表示算法B中的O系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。

图41是表示算法B(I、II-Wordalgorithm)中的I、II系列的操作语言的分配处理 的其它示例的流程图。

图42是表示算法B(I、II-Wordalgorithm)中的I、II系列的操作语言的分配处理 的其它示例的流程图。

图43是表示算法B(O-Wordalgorithm)中的O系列的操作语言的分配处理的其它 示例的流程图。

图44是用于说明实施方式2的流动型态的正规表现形成方法的流程图。

图45是用于说明图44的图形表现生成工序的一例的流程图。

图46是表示由操作B₀、B₂、C生成的所有流动型态和与其对应地被连结部分集合(顶 点集合)激励的父子关系的图。

图47-A是用于说明O系列中的saddleconnectiondiagram(鞍形连结图)的向树 型的变换处理的流程图。

图47-B是用于说明O系列中的saddleconnectiondiagram的向树型的变换处理 的流程图。

图47-C是用于说明O系列中的saddleconnectiondiagram的向树型的变换处理 的流程图。

图47-D是用于说明O系列中的saddleconnectiondiagram的向树型的变换处理 的流程图。

图47-E是用于说明O系列中的saddleconnectiondiagram的向树型的变换处理 的流程图。

图48是用于说明从C_H＝D_z(M)D选择成为根的连结分量的方法的图。

图49是表示由操作A₀、A₂、C生成的ss-saddleconnectiondiagram的局部构造和 与其对应地得到的图形表现的可视化的图。

图50-A是用于说明I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的向树型的变 换处理的流程图。

图50-B是用于说明I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的向树型的变 换处理的流程图。

图50-C是用于说明I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的向树型的变 换处理的流程图。

图50-D是用于说明I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的向树型的变 换处理的流程图。

图51-A是表示具有成为IA₀C的语言表现的构造稳定的流线型态的图形表现及其 正规表现的图。

图51-B是用于说明树型的向正规表现的变换处理的流程图。

图52是表示应用实施方式2的流体迁移路径获取装置101的一例的方框图。

图53是表示流体迁移路径获取装置101中的使用了指数之差的迁移路径搜索处理 的一例的流程图。

图54是置于均匀流中的1片平板从t＝5.5至t＝7.7的发展时间及其流线型态的相 位构造、其极大语言表现、以及其正规表现。

图55是表示从时刻t＝5.5至7.7的时间发展的期间所发生的迁移的图。

图56是用于说明使用了语言表现和正规表现的流体中的物体的设计方法的流程 图。

图57是用于说明使用了语言表现和正规表现的流体中的物体的设计方法的具体 例的一例的图。

图58是用于说明使用了语言表现和正规表现的流体中的物体的设计方法的具体 例的一例的图。

具体实施方式

以下，根据附图详细说明本发明的流体迁移路径获取装置、流体迁移路径获取方 法、以及程序的实施方式。该实施方式并不限定该发明。

实施方式1

本发明的实施方式的概要

以下，参照图1～图28对本发明的实施方式的概要进行说明，此后，针对本实施方 式的结构以及处理等进行详细说明。

首先，本实施方式中，存储型态迁移信息，该型态迁移信息涉及：相位几何学的二 维流动构造的整体或一部分中的构造稳定的流动型态(以下，也称为“流线型态”)，经由构 造不稳定的1个中间状态的流动型态，是否能迁移到其它构造稳定的流动型态。此外，针对 网络获取这种型态迁移信息的方法在后面叙述。

此外，本实施方式中，根据型态迁移信息，获取与从所指定的构造稳定的流动型态 到能够在相位几何学上采取的其它的构造稳定的流动型态的迁移路径相关的迁移信息。 即，本实施方式中，以所指定的构造稳定的流动型态为出发点，搜索至其它构造稳定的流动 型态的迁移路径。本实施方式中，也可以导出所有能够采取的路径。例如，以所指定的构造 稳定的流动型态为出发点，参照型态迁移信息，写出所有经由构造不稳定的1个中间状态的 流动型态的第2个构造稳定的流动型态。然后，以第2个构造稳定的流动型态的各个为出发 点，参照型态迁移信息，写出所有经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的第3个构造 稳定的流动型态。如此通过反复进行上述的处理，可以计算出所有能够采取的迁移路径。此 外，与道路等的路径搜索相同，也可以将构造稳定的流动型态考虑为节点，将经由构造不稳 定的1个中间状态的流动型态的1次迁移考虑为环，使用公知的路径搜索方法等来搜索迁移 路径。

在此，本实施方式中，迁移信息也可以包含与至其它构造稳定的流动型态的构造 不稳定的中间状态的流动型态相关的信息。即，本实施方式中，作为迁移路径，也可以不是 仅获取构造稳定的流动型态的迁移顺序，而是还将其间的构造不稳定的中间状态的流动型 态作为迁移路径的一部分来获取迁移信息。

此外，本实施方式中，也可以根据型态迁移信息，针对所指定的2个构造稳定的流 动型态，获取从1个构造稳定的流动型态至另1个构造稳定的流动型态的迁移信息。更具体 而言，本实施方式中，也可以以所指定的1个构造稳定的流动型态为出发点，以另1个构造稳 定的流动型态为到达点，来搜索其间的迁移路径。此外，当2个构造稳定的流动型态之间没 有迁移路径时，获取迁移不可能这样的结果作为迁移信息。

此外，本实施方式中，也可以将经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的迁移 作为1次迁移，获取包括从1个构造稳定的流动型态至另1个构造稳定的流动型态的迁移次 数的迁移信息。即，也可以作为2个流动型态之间的流动构造的远近这样的距离上的尺度， 来获取迁移次数。

此外，本实施方式中，可以获取迁移次数成为最小的从1个构造稳定的流动型态至 另1个上述构造稳定的流动型态的迁移信息。即，本实施方式中，可以将迁移次数作为指标， 计算出迁移路径的最短路径。

为了使计算机易于处理流动型态的相位构造，也可以通过语言表现来识别(标签) 流动型态。例如，也可以针对对除了在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何学上 采取的2种流动型态，还追加了在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/涌出对的 型态的合计3种流动型态进行规定的型态语言，利用通过赋予所追加的穴的个数的、规定了 在对流动型态追加了1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作的操作语言之中的任一 种语言而生成的语言表现来识别构造稳定的流动型态。如此，通过语言表现来识别流动型 态，本实施方式，基于将经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态而能够相互迁移的上述 构造稳定的流动型态由语言表现进行了记述的型态迁移信息，将所指定的构造稳定的流动 型态的语言表现作为基准来获取迁移信息。此外，通过在型态迁移信息中包含经由构造不 稳定的1个中间状态的流动型态而能够相互迁移的构造稳定的流动型态之间的语言表现的 操作语言的变化信息，本实施方式，也可以将所指定的2个构造稳定的流动型态间的语言表 现的操作语言的变化作为基准，根据变化信息来获取迁移信息。

此外，在本实施方式中，将生成该语言表现的算法称为“语言变换算法”。此外，针 对“语言变换算法”，其数学上的细节能够参照公开发表论文(T.YokoyamaandT.Sakajo， “Wordrepresentationofstreamlinetopologyforstructurallystablevortex flowsinmultiplyconnecteddomains”，Proc.Roy.Soc.A469(2013)doi：10.1098/ rspa.2012.0558)(以下，称为“公开发表论文(2013)”)。

以上是本实施方式的概要。

[语言变换算法]

在此，针对生成上述语言表现的语言变换算法的概要，在以下进行说明。其中，图1 是表示本实施方式的语言表现算法的概要的流程图。

如图1所示，首先，本实施方式，为了生成相位几何学上具有N个穴的连结外部区域 中的流动型态的语言表现，而赋予对除了在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几 何学上采取的2种流动型态，还追加了在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/涌 出对的型态的合计3种流动型态进行规定的型态语言(例如，I、II、O)之中的任一种语言(步 骤SA-1)。

然后，本实施方式，对在步骤SA-1中所赋予的语言，赋予对在流动型态中追加1个 穴时能够在相位几何学上采取的5种操作的操作语言(例如，A₀，A₂，B₀，B₂，C)之中的任一种 语言(步骤SA-2)，通过直到穴的个数达到N个为止反复进行该步骤SA-2的处理(步骤SA-3)， 生成与具有N个穴的连结外部区域对应的语言表现。此外，在该示例中，虽然先进行型态语 言的赋予(步骤SA-1)，后进行操作语言的赋予(步骤SA-2)，但不局限于此，也可以先进行操 作语言的赋予，后进行型态语言的赋予。

在此，在本实施方式中，所谓“连结外部区域”，是指包含单连结外部区域和多重连 结外部区域的表现，所谓“单连结外部区域”是指在位于二维(平面)中的区域开有1个穴的 区域，所谓“多重连结外部区域”是指在位于二维(平面)中的区域开有多个穴的区域。在此 所谓“穴”的表现，虽然是数学上的抽象表现，但也可以是应用上各种表现方式。例如，在关 注交通工具移动时相对发生的均匀的流动的情况下，若在沿着均匀流的交通工具的截面有 1个或多个构造物的状况下，则该区域能处理为单连结外部区域或多重连结外部区域。例 如，针对空气中前进的飞机等飞行物体或空气中前进的电车或汽车等地上行驶车辆、海上 或海中前进的船等交通工具，能处理为与1个或多个穴单连结或多重连结的连结外部区域。 换言之，在本实施方式中，将“流动中有1个或多个障碍物”那样的流动处理为连结外部区域 中的流动。此外，孤立的涡构造或在周围具有周期轨迹这样的流动构造(椭圆型的停留点 等)也能够被看作“穴”。

如上所述，通过对流动型态分配语言表现，连结外部区域中的流动的在相位上的 分类成为可能。在相位上是数学上的专门术语，是指称为拓扑(相位几何学)的几何学上的 一领域。在古典几何学中，三角形或四边形被看作根据其边的个数的不同而不同的图形，但 在相位几何学的立场下，不看这种细微的信息，将三角形和四边形例如在通过使橡皮圈变 形而相互转变的立场下，将三角形和四边形看作相同的图形。即，所有的多边形看作与圆相 同。另一方面，在有在圆之中截除1个圆这样的圆环区域时，圆和圆环区域利用1个橡皮圈的 变形是无法彼此变形的，因此看作不同的图形。在连结外部区域中，若空出的穴的个数不 同，则这些图形看作在相位上不同，另一方面，若穴的形状相同，则该穴的形状无论是圆或 是三角形或是线段，都看作是相同的。根据这种理由，对流动区域赋予特征的仅是穴的个 数，因此，在本实施方式中，相对穴的个数M+1，将连结外部区域表现为D_ζ(M)。例如，穴为1个 时，是单连结外部区域D_ζ(0)，穴存在2个时，成为二重连结外部区域D_ζ(1)。

在处理流动的相位的分类时，捕捉对流动赋予特征的某特定的构造(称为“相位构 造”)，当具有该特定的构造的流动有2个时，通过特定的构造的连续(即，不剪贴)变形无法 使其双方相互变形的流动，看作不同的流动。

[流动的结构要素的说明]

在此，参照图2～图4对本实施方式中处理的流动的结构要素进行说明。作为本实 施方式中的“流动”，也可以处理为非压缩流动。流体的非压缩性，是指即使施加力也不几乎 改变体积的性质。通常的水或大气的流动，当以日常生活的尺度来考虑时，即使以如此流动 的框架来考虑，也大致无碍。此外，本发明不局限于此，也可以在计算上处理有压缩性的流 动。

此外，本实施方式中的流体，也可以处理为非粘性流体。非粘性流体能够将边界条 件处理为“滑动条件”。此外，在粘性流体中，边界条件虽然成为“零边界条件”，但即使是粘 性流体，在粘性不大时，边界附近是涡呈层状的流动，能够将其流动的外侧边界通过虚拟的 扩张而处理为“滑动条件”。因此，在本实施方式中，特别地，在非粘性流体中的语言变换算 法中进行说明，但通过适当的边界的扩张，针对粘性流体也能够应用本实施方式。

本实施方式处理的流动的结构要素是以下3个。1个是障碍物、1个是涡(vortex)、1 个是均匀流(uniformflow)。障碍物是连结外部区域中的穴，其形状在考虑到相位的分类 的基础上，即使作为圆也对数学上赋予的结果无影响，这是能够根据一般的流体的数学理 论而导出的。在此，图2是示意性表示流动的型态的图。此外，图2(c)是示意性表示具有4个 点(定义在后面叙述)的边界。

如图2(a)所示，涡是在其周围形成旋转的流动的要素。所谓均匀流，若以河的流动 为例，则是基本的流动，是如横截区域整体的流动。此外，在是交通工具等移动物体的情况 下，均匀流是从乘坐该交通工具的观察者看到的相对的气流或水流等的流动。即，在移动物 体的坐标系中，即使实际上空气或水静止，也能够认为是从无限远点流过来的相对的流动。

构成均匀流的要素，称为吸入/涌出对(1-source-sinkpoint)(数学的定义，参照 公开发表论文(2013)的Definition2.1)。

在此，不是均匀流而称为吸入/涌出对是有理由的。为了说明其理由，在以下进行 一些数学性解说。在均匀流存在时，所考虑的流动的区域是无限扩展的平面，其中虽然是嵌 入了1个或多个穴(障碍物)的连结外部区域，但在示意性(Schematic)表现这种流动上难以 处理。因此，也可以通过数学中的称为stereographicprojection(立体射影/立体投影)的 射影法，在球面之上对平面进行投影来处理。此时，平面中的无限远点能对应于球面的北 极，平面的原点能够对应于南极。

如此，均匀流就成为球面的北极中的流动的涌出与吸入对这样的流动构造，数学 上表示出与如图2(b)那样的流场对应。为了进一步示意性地表现流场，利用球面为对称性 较高的形状，能够适当错开北极与南极的位置，因此，在以无限远点为南极，将某圆形的穴 (障碍物)的中心匹配为北极之后，再次使用stereographicprojection，向平面进行投影， 则在与南极对应的原点附近的近旁，能够进行如图2(b)那样的流动。而且，在无限远点处具 有中心的圆边界会被投影在平面的外侧圆边界，因此，作为结果，平面整体的流场，能够表 现为：例如图3那种形状的有界区域。此外，通过该变换方法，以无限远点的吸入/涌出对为 原点，或者，选择M+1个边界的1个，将它移到单位圆外部区域时得到的连结外部区域D_ζ(M)。 将在其内部包含M个边界的单位圆内部的连结区域写成D_z(M)。以后的记载都使用该D_z(M)来 进行。因此，如图2(b)那样的表现，通过合适的射影法而等效于在平面整体之中流入均匀流 的流动。在本实施方式的说明中，为了方便于示意性表示流动，有时使用这种射影法在图中 来表现。

图3是记述了所有进行这种连结区域D_z(M)中的构造稳定的流动的相位的分类的 特征轨迹(流线)的图。如图3(a)所示，首先，将从吸入/涌出对出来而自己又返回到自身的 轨迹称为ss-orbit。该线的每一条表示在连结外部区域的均匀流的流线。接着，如图3(b)所 示，将从吸入/涌出对出来而连结到边界上的轨迹称为connection。如图3(c)所 示，将该轨迹所连结的边界上的点称为

此外，如图3(e)所示，不是从吸入/涌出对出来，而是从某边界上的点出来而连结 到相同边界上的点的轨迹称为connection，如图3(d)所示，由此连结的边界上的 点称为此外，如图3(h)所示，将边界上没有的双曲线型的停留点称为saddle point(鞍点)，如图3(f)所示，从吸入/涌出对出来的轨迹，将与该saddlepoint连结的轨迹 称为ss-saddleconnection。此外，如图3(g)所示，将形成边界或涡的涡圈的封闭曲线轨迹 称为closedorbit，如图3(i)所示，将从saddlepoint出来而其又返回到自身的轨迹称为 homoclinicsaddleconnection。成为对象的构造稳定的流动只通过这些轨迹的组合来表 现，这在数学上能够证明。

在本实施方式中，在上述步骤SA-2中，对穴的个数为M个的连结外部区域D_z(M-1) 的流动，添加1个穴和伴随它的流动的构造，归纳性构成1个穴的多个多重连结外部区域D_z(M)的流场。因此，在步骤SA-1中赋予最简单的穴为1个单连结外部区域D_z(0)，或在二重连 结外部区域D_z(1)，成为这些归纳的结构的初始构造。

具体而言，上述的基本流动型态是3种，为：

1)具有吸入/涌出对，且具有2个connection的型态I；

2)具有吸入/涌出对，且具有1个saddlepoint、以及连结它的homoclinicsaddle connection和2个ss-saddleconnection的型态II；以及

3)没有吸入/涌出对的型态O。

其中，图4是示意性表示初始构造的3种构造稳定的流动型态的图。

即，如图4(a)和(b)所示，穴位于1个单连结外部区域D_z(0)中的流动，存在型态I和 型态II这2种。这些型态都具有吸入/涌出对，数学上证明只有这2种。针对如具有假设了均 匀流的吸入/涌出对这样的流动，原则上，二重连结外部区域D_z(1)是由它们构成的，但由于 从此不会构成不具有吸入/涌出对的流动，因此，用于构成该流动所需的初始流动是在图4 (c)中示意性表示的型态O。此外，这些相位构造为了表现的简便，将吸入/涌出对图示为圆 圈S，ss-orbit或closedorbit由于存在于无限远，因此未表现，以后，示意性地如图4(d)或 (e)那样简略表示。此外，如图4(c)所示，不具有吸入/涌出对的二重连结外部D_z(1)中的流 动的型态的closedorbit也都不标绘，如图4(f)那样简略标绘。

[操作语言的说明]

针对为了归纳性地构成流动而追加1个穴以及伴随它的流动的构造的“操作”，参 照图5以及图6来进行说明。即，针对在穴的个数有M个的连结外部区域D_z(M-1)的流动中追 加1个穴来求出多重连结外部区域D_z(M)的流动的操作进行说明。

在上述的步骤SA-2中，相位几何学上采取的5种操作为：

1)将一条ss-orbit置换为1个saddlepoint、以及连结它的在内部具有穴的 homoclinicsaddleconnection和2个ss-saddleconnection的A₀操作；

2)将一条ss-orbit置换为2个connection和新追加的边界上的2个 的A₂操作；

3)将一条closedorbit置换为追加1个穴和saddlepoint来设定呈8字的2条 homoclinicsaddleconnection的B₀操作(以后将该型态称为FigureEight型态)；

4)将一条closedorbit置换为在新追加的穴的边界上带有2个而以一条 connection连结的轨迹的B₂操作；以及

5)在已具有2k个(k＞0)的边界，新附加2个而以一条connection连结且在内部放置新附加的穴的C操作。

在此，图5是示意性表示附加1个穴来构成构造稳定的流动的5种操作的图。

如图5(a)所示，操作A₀和A₂针对一条ss-orbit来进行。此外，如图5(b)所示，操作B₀和B₂针对一条closedorbit来进行。此外，如图5(c)所示，操作C针对已经具有的 边界来进行。此外，在维持构造稳定性的同时还能够进行这种处理的操作只有上述5种，这 在数学上能够证明(参照公开发表论文(2013)的Theorem3.1，Corollary3.1，Theorem 3.2)。将能够反复进行该步骤的流动型态图，在从型态I、II开始时称为ss-saddle connectiondiagram，在从型态O开始时称为saddleconnectiondiagram。

从步骤SA-1赋予的初始构造的3种流动型态I、II、O开始，进行这些操作来1个1个 地增加穴(M→M+1)，由此归纳性地构成具有多个穴的区域中的流动，因此，在本实施方式 中，通过将表示该操作的操作语言的串看作文字串来进行列举，能够得到流场的语言表现 (Wordrepresentation)。在此，图6是表示有2个构造物和均匀流时的构造稳定的流动型态 的全分类的图。如图6所示，针对单连结外部区域D_z(0)中的初始构造的型态I、II，通过赋予 操作语言，能够记述二重连结外部区域D_z(1)中的所有流动型态。不过，图6所示的所有流动 型态不是2种(I、II)×5种(A₀、A₂、B₀、B₂、C)合计10种。即，操作语言并非任意排列5种操作语 言即可，而是根据数学上的理由会有各种制约。

在此，针对制约来进行说明，其说明如下。即，使用图5，如上所述，操作A₀和A₂是针 对一条ss-orbit来进行的，因此，作为进行该操作的前提，一条ss-orbit的存在不可缺少。 此外，操作B₀和B₂是针对一条closedorbit来进行的，因此，作为进行该操作的前提，一条 closedorbit的存在不可缺少。此外，操作C是针对具有的边界来进行的，因此作 为进行该操作的前提，的边界的存在不可缺少。因此，根据从I、II、O的何处开始型 态语言，排列方式的规则会不同。针对根据上述的制约条件所导出的从各型态语言I、II、O 开始的文字串的排列方式的规则，在以下进行说明。

首先，当从不带有涌出/吸入对的O的型态语言开始时，有如下的规则。针对从O开 始的语言表现，为了表示它是构造稳定的流动，以下是充分必要的。

O-1)实际能够实施的操作仅是B₀、B₂、C，其结果是，从O开始的语言表现就是列举了 这3种语言的表现。

O-2)为了在操作串的语言表现中包含C的语言，在它以前B₂必须存在。

将这种文字串称为O系列的语言(O-Word)，其规则的正确性在数学上能够证明(参 照公开发表论文(2013)的Lemma3.1)。

接着，针对从型态语言I开始的语言表现，需要使以下的规则成立。

I-1)能够实施的操作是A₀、A₂、B₀、B₂、C的全部，其结果是，从I开始的语言表现就是 列举了这5种操作语言的表现。

I-2)为了在操作串的语言表现中包含B₀或者B₂的语言，在它以前C或A₀必须存在。

将这种文字串称为I系列的语言(I-Word)，其规则的正确性在数学上能够证明(参 照公开发表论文(2013)的Lemma3.3)。

最后，针对从型态语言II开始的语言表现，需要使以下的规则成立。

II-1)能够实施的操作是A₀、B₀、B₂、C，其结果是，从II开始的语言表现就是列举了 这4种语言的表现。

II-2)为了在操作串的语言表现中包含C的语言，在它以前B2必须存在。

将这种文字串称为II系列的语言(II-Word)，其规则的正确性在数学上能够证明 (参照公开发表论文(2013)的Lemma3.4)。

针对这些语言表现组，将通过排除重复的语言表现或所包含的语言表现等得到的 语言表现称为极大语言表现(maximalwordrepresentation)。例如，极大语言表现也可以 按照以下的表示所示的包含关系来替换语言表现，以生成无重复或包含关系的语言表现。 此外，在下表中“＝”表示一致关系，“≤”或“≥”表示包含关系。唯一的例外是B₂和C，即使替 换它，包含关系也不成立，因此，这2个无法替换，将它象征性表示为B₂C||CB₂。此外，使用极 大语言表现是因为无重复或包含关系而易于处理，因此，并非为了进行本实施方式而必需。 例如，在本实施方式的型态迁移信息中，若允许重复或包含关系地分配语言表现(例如，若 对1个构造稳定的流动型态分配了对应的多个语言表现)，则使用极大语言表现不是必需 的。此外，若算法决定为如后所示的算法B或其亚种类算法等，则能够针对所赋予的流动唯 一地分配语言表现。

【表1】

A₀A₂B_0B2C A₀＝ ＝ ≤ ≤ ＝ A₂＝ ＝ ＝ ≤ B₀＝ ≤ ≥ B₂＝ || C ＝

如上所述，通过流动型态的语言表现，该流线构造通过文字被表现，能够分类出能 发生的所有流动型态。

[型态迁移信息]

接着，针对本实施方式的型态迁移信息进行说明。此外，在流场中，可以设为：使用 上述算法已对唯一的极大语言表现赋予了标签。不过，本实施方式，若如上述那样允许重复 或包含关系地对型态迁移信息进行语言表现的分配，则并不限于使用极大语言表现。

本实施方式的型态迁移信息，在对2个构造稳定的流线型态分别赋予了极大语言 表现W₁和W₂时，判定该2个流线型态是否能经过某1个中间状态而相互彼此迁移，在能够迁移 的情况下，是确定了该中间状态的流线型态的候补的信息。

针对本实施方式的型态迁移信息的求取方式的一例进行说明。首先，在将所赋予 的构造稳定的流线型态的极大语言表现设为W时，如以下那样定义该“指数”。

定义2.1

针对极大语言表现W，将a₀(W)、a₂(W)、b₀(W)、b₂(W)以及c(W)分别设为W之中所包含 的A₀、A₂、B₀、B₂、C的文字的个数。此时，在W为O系列的极大语言(maximalO-word)、I系列的 极大语言(maximalI-word)、II系列的极大语言(maximalII-word)时，将该指数(index) 分别定义为如下。

ind_O(W)＝(0，0，b₀(W)，b₂(W)，c(W))

ind_I(W)＝(a₀(W)，a₂(W)+1，b₀(W)，b₂(W)，c(W))

ind_II(W)＝(a₀(W)+1，a₂(W)，b₀(W)，b₂(W)，c(W))

此外，将极大语言表现W之中所包含的文字的部分串(不必须相邻)S称为W的部分 语言(subword)。

定义2.2

极大语言表现设为：赋予为W＝O₀O₁...O_k。其中，O₀是O、I、II的任1个，Oi(1≤i≤k) 是A₀、A₂、B₀、B₂、C的任1个。此时，将W所包含的文字串的一部分，即S＝O_i1...O_il(0≤i1＜…＜ il≤k)称为W的部分语言(subword)，记述为

此外，由于在该定义中允许i1＝0的情况，因此在部分语言S之中也能够包含表示 O、I、II这3种型态语言的文字。

在此，针对所赋予的2个极大语言表现W₁、W₂，赋予它们表示的构造稳定的流线型态 的相位构造之间发生的迁移状态(中间状态)。这种迁移状态，通过加入一点儿摄动直接向2 个以上的构造稳定的型态变化，因此，是“构造不稳定(structurallyunstable)”的流线型 态。因此，为了构成表示中间状态的流线，需要使用构造不稳定的流场以及流线型态。因此， 在以下赋予构成这样的构造不稳定的流动的流动要素。图7是表示构造不稳定的轨迹的示 例的图。

如图7(a)所示，首先，连结2个不同的鞍点的轨迹称为异宿轨迹(heteroclinic orbit)。

图7(b)表示连结鞍点和边界上的2个的(2个)connection。如 此，connection是连结鞍点与边界上的之间的轨迹。

图7(c)表示连结位于2个不同边界上的之间的(2个)heteroclinic 如此，heteroclinic是连结位于不同的2个边界上的的轨迹。

以后，将用这样的轨迹连结的鞍点或圆边界的组称为“heteroclinicpair”。而 且，如图7(a)(b)(c)所示，将只具有1个这样的heteroclinicpair且除此以外全呈构造稳 定的非粘性·非压缩流场称为“h-不稳定(h-unstable)”、或者其流线型态称为“h-不稳定 的型态(h-unstablestreamlinepattern)”。

另一方面，图7(d)表示位于边界上的homoclinicpinchingorbit。将在位于边界 上的非正规的停留点连结了4条分支的轨迹(分界线)的点称为“pinchingpoint”。如图7 (d)所示，homoclinicpinchingorbit表示：4条分支的轨迹之中2条留在边界上，2条相互 连结的轨迹。将只具有1个这样的pinchingpoint且除此以外呈构造稳定的非粘性·非压 缩流场称为“p-不稳定(p-unstable)”、或其流线型态称为“p-不稳定的型态(p-unstable streamlinepattern)”。

在本实施方式中，使用这些h-不稳定或p-不稳定的流场来表现2个构造稳定的流 场之间的构造不稳定的中间状态的流线型态。在此，所谓构造不稳定的流场，不仅是p-不稳 定的流动或h-不稳定的流动，严格上讲，是能包含更多样并且复杂的流场的，但是，在假设 流体区域内的“穴”的个数有限且不变化的情况下，所有的中间状态即构造不稳定的流场是 能够根据p-不稳定或者h-不稳定流场来连续近似的，这在数学上能够论证，使用具有该特 殊构造的构造不稳定的流场来记述中间状态是没问题的(参照论文“Transitionsof streamlinetopologiesforstructurallystableHamiltonianflowsinmultiply connecteddomains”)。

[h-不稳定型态]

以下，对生成具有1个homoclinicpair且除此以外全具有构造稳定的流线型态的 h-不稳定流线构造的14种操作进行定义，将它们在受到摄动时会迁移到怎样的构造稳定的 流线型态与其部分语言表现一起记述。

[追加1个穴的操作]

首先，针对构造稳定的连结外部区域D_z(M-1)内的流线型态，定义追加1个穴来生 成D_z(M)中的h-不稳定流线型态的10种操作。图8是表示根据D_z(M-1)中的构造稳定的流线型 态追加1个穴来生成D_z(M)中的h-不稳定流线型态的10种操作的图。图中的斜线的圆表示新 追加的穴(以下的图中同样)。

(操作D_0，s和D₀)

操作D_0，s和D₀，如图8(a)所示，分别在saddleconnection以及connection上附加上1个homoclinicsaddle的操作。此外，表示操作的文字D_0，s中出现的下 标文字s意味着该构造与表示均匀流的存在的1-source-sinkpoint直接连结。

首先，数学上研究的结果是，操作D_0，s生成9种h-不稳定的流动型态。根据图9(图9- 1以及图9-2)来记述这些构造和部分语言表现以及摄动它们时得到的构造稳定的流线型 态。图9(a)至(c)是表示由操作D_0，s生成的h-不稳定的流线型态与其摄动以及部分语言表现 的图。此外，图9(d)表示2个h-不稳定的流动型态。此外，在以下所示的图(例如图9(a)至(c) 等)中，在正中表现h-不稳定的流线型态及其部分语言表现，在其左右表现摄动该型态得到 的2个构造稳定的流线型态及其部分语言表现。

图9(a)是表示h-不稳定的流动型态ID_0，s和其摄动型态的图。通过将homoclinic saddle附加在connection的上侧或下侧，得到2种型态。两者一起摄动后的流 线的型态不变的穴的位置从connection的上方移动到下方。摄动后的部分语言 表现都是IA₀。因此，随着该迁移，对各个构造稳定的流场进行表示的极大语言表现之间的 指数不变化。

图9(b)是表示h-不稳定的流动型态IID_0，s及其摄动型态的图。此时，也根据追加 homoclinicsaddle的方向而得到2种h-不稳定的型态，但当然随着一起摄动而向具有部分 语言表现IIA₀的2个构造稳定的流动型态迁移。随着该迁移，对各个构造稳定的流场进行表 示的极大语言表现之间的指数不变化。

图9(c)是表示h-不稳定的流动型态A₀D_0，s及其摄动型态的图。此时，也根据实施操 作的A₀的构造以及追加homoclinicsaddle的方向而得到3种h-不稳定的型态，但在任何情 况下都随着摄动而向具有部分语言表现A₀A₀的2个构造稳定的流动型态迁移。随着该迁移， 对各个构造稳定的流场进行表示的极大语言表现之间的指数不变化。

图9(d)是表示h-不稳定的流动型态A₂D_0，s的图。此时也根据追加homoclinic saddle的方向而得到2种h-不稳定的型态，但这些流线型态，通过适当的变量变换，成为与 ID_0，s在相位上相同的型态，因此，发生与图9(a)相同的迁移。语言表现之间的指数不变化。

如以上D_0，s的考察中那样，根据实施操作的方向等的组合，例如在ID_0，s中得到2种 h-不稳定的型态。针对以后的所有操作虽然也得到与同样的组合相应的多个型态，但由于 在任何情况下进行了该摄动时向具有完全相同的语言表现的构造迁移、而且指数的变化也 相同，因此，本质上没有不同，在以后，为了方便而仅列举出代表这些多个型态之中的1个来 图示，进行其说明。以后将它们称为“代表性的型态”。

接着，数学上的研究结果是，操作D₀，如图10所示，生成4种代表性的h-不稳定的流 线型态。图10是表示由操作D₀生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图10(a)表示h-不稳定的流线型态B₂D₀及其摄动。通过该型态的摄动，得到构造不 同的具有相同部分语言表现B₀B₂(或者B₂B₀)的构造稳定的流线型态。因此，此时，极大语言 表现之间的指数不发生变化。

图10(b)表示h-不稳定的流线型态A₂CD₀及其摄动。A₂CD₀的型态，在适当的变量变 换下，与ICD₀表示的型态在相位上相同，因此考虑其型态的摄动。通过摄动得到部分语言表 现与IA₀C以及ICB₀不同的2个构造稳定的流线型态。此时，极大语言表现的指数变化为ind_I(IA₀C)-ind_I(ICB₀)＝(1，0，-1，0，0)。

图10(c)表示h-不稳定的流线型态ICCD₀及其摄动。通过该型态的摄动得到构造不 同但具有相同部分语言表现ICCB₀(或者ICB₀C)的2个构造稳定的流线型态。因此，指数无变 化。

图10(d)表示h-不稳定的流线型态B₂CD₀及其摄动。通过该型态的摄动得到构造不 同但具有相同部分语言表现B₂CB₀(或者B₀B₂C，B₂B₀C)的2个构造稳定的流线型态。因此，指数 无变化。

图10(e)表示h-不稳定的流线型态B₂CD₀及其摄动。通过该型态的摄动得到构造不 同但具有相同部分语言表现B₂CB₀(或者B₀B₂C，B₂B₀C)的2个构造稳定的流线型态。因此，指数 无变化。

(操作E_0，s和E₀)

操作E_0，s和E₀如图8(b)那样，表示在homoclinicsaddleconnection的轨迹内新 附加1个homolclinicsaddle的操作。数学上的研究结果是，由这些操作得到的代表性的h- 不稳定的流线型态及其摄动如以下。在此，图11是表示由操作E_0，s以及E0生成的h-不稳定的 流线型态及其摄动的图。

图11(a)表示h-不稳定的流线型态IIE_0，s及其摄动。通过该型态的摄动得到部分语 言表现分别与IIA₀和IIB₀对应的构造稳定的流线型态。该迁移的极大语言表现的指数的变 化为ind_II(IIA₀)-ind_II(IIB₀)＝(1，0，-1，0，0)。

图11(b)表示h-不稳定的流线型态A₀E_0，s及其摄动。通过该型态的摄动，得到部分 语言表现分别与A₀A₀和A₀B₀对应的构造稳定的流线型态。该迁移的极大语言表现的指数的 变化为ind_I(A₀A₀)-ind_I(A₀B₀)＝ind_II(A₀A₀)-ind_II(A₀B₀)＝(1，0，-1，0，0)。

图11(c)表示h-不稳定的流线型态B₀E₀及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语言 表现B₀B₀的构造。因此，指数无变化。

(操作Ф_0，s和Ф₀)

操作Ф_0，s和Ф₀都是将1个鞍点分离为2个且重新用2个(包围1个新的穴)异宿轨迹 连结这些点的如图8(c)所示的操作。此外，通过该操作，生成呈Ф形的形状的流线型态，因 此，使用了该符号。数学上的研究结果是，通过这些操作得到如图12所示的3种代表性的h- 不稳定流线型态及其摄动。图12是表示通过操作Ф_0，s和Ф₀生成的h-不稳定的线型态及其 摄动的图。

图12(a)表示h-不稳定的流线型态IIФ_0，s及其摄动。通过摄动得到具有相同部分 语言表现IIA₀的构造。因此，指数无变化。

图12(b)表示h-不稳定的流线型态A₀Ф_0，s及其摄动。通过摄动得到具有相同部分 语言表现A₀A₀的构造。因此，指数无变化。

图12(c)表示h-不稳定的流线型态B₀Ф₀及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语 言表现B₀B₀的构造。因此，指数无变化。

(操作D_2，s和D₂)

截断saddleconnection或者connection，将与新附加了该截 断点的边界连结的如图8(d)的操作分别称为操作D_2，s以及D₂。首先，数学上的研究的结果 是，通过D_2，s得到如图13所示的3种代表性的h-不稳定的流线型态。图13是表示通过操作D_2，s生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图13(a)表示h-不稳定的流线型态ID_2，s及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语 言表现IA₂的构造。因此，指数无变化。

图13(b)表示h-不稳定的流线型态IID_2，s及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语 言表现IA₀的构造。因此，指数无变化。

如图13(c)所示，h-不稳定的流线型态A₀D_2，s在相位上与A₂D_0，s相同(参照图9-2 (d))。

如图13(d)所示，h-不稳定的流线型态A₂D_2，s通过适当的变量变换而成为与ID_2，s相 同(参照图13(a))。

接着，数学上的研究的结果是，通过操作D₂来生成如图14所示的5种代表性的h-不 稳定的流线型态。图14是表示通过操作D2生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图14(a)表示h-不稳定的流线型态B₂D₂及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语言 表现B₂B₂的构造。因此，指数无变化。

如图14(b)所示，h-不稳定的流线型态A₂CD₂，在适当的变量变换下与ICD₂相同，因 此考虑其摄动。通过摄动得到具有部分语言表现IA₂C和ICB₂的不同的构造稳定的流线型态。 该迁移的指数的变化为ind_I(IA₂C)-ind_I(ICB₂)＝(0，1，0，-1，0)。

图14(c)表示h-不稳定的流线型态ICCD₂及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语 言表现ICCB₂(或ICB₂C)的构造。因此，指数无变化。

图14(d)表示h-不稳定的流线型态B₂CD₂及其摄动。通过摄动得到具有相同部分语 言表现B₂CB₂(或B₂B₂C)的构造。因此，指数无变化。

图14(e)表示h-不稳定的流线型态B₂CCD₂及其摄动。该型态与对B₂CD₂施加了C的型 态相同，因此，赋予与B₂CD₂相同的部分语言变化(参照图14(d))。

(操作E_2，s和E₂)

操作E_2，s和E₂表示：截断homoclinicsaddleconnection，且在该截断点处连结新 的圆边界的如图8(e)那样的操作。数学上研究的结果是，通过该操作得到如图15那样的3种 代表性的h-不稳定的流线型态。图15是表示由操作E_2，s和E₂生成的h-不稳定的流线型态及 其摄动的图。

图15(a)表示h-不稳定的流线型态IIE_2，s及其摄动。通过摄动得到具有部分语言表 现IA₀和IIB₂的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化，为ind_I(IA₀)-ind_II(IIB₂)＝(0，1，0，-1，0)。

图15(b)表示h-不稳定的流线型态IA₀E_2，s及其摄动。通过摄动得到具有部分语言 表现IA₀A₂和IA₀B₂的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind_I(IA₀A₂)-ind_I(IA₀B₂)＝(0，1，0，-1，0)。

如图15(c)所示，h-不稳定的流线型态IIA₀E_2，s与对IIE_2，s施加了操作A₀的型态相同 (参照图15(a))。

如图15(d)所示，h-不稳定的流线型态B₀E₂与B₂D₀在相位上相同(参照图10(a))。

[追加2个穴以上的操作]

在此，如图16所示，导入通过一次操作追加2个以上的穴的操作，针对从此生成的 h-不稳定的流线型态及其摄动进行说明。图16是表示追加2个以上的穴而从构造稳定的流 线型态生成h-不稳定的流线型态的4种操作的图。

(操作Ψ_s(2)和Ψ(2))

如图16(a)所示，选择位于边界上的1个在与它连结的轨迹上追加1个 saddlepoim，在边界上追加2个通过2条connection连结它们之间的 操作称为Ψ_s(2)。另一方面，将选择1个来进行相同的操作称为Ψ(2)。通过该操 作，得到3条connection，且追加由它们包围的新的2个穴。此外，由于生成操作 的结果Ψ的形状的流线型态，因此，使用该符号。此外，Ψ_s(2)中的(2)的文字明确地表现出 由该操作追加的穴的个数。

数学上的研究结果是，由Ψ_s(2)和Ψ(2)生成的代表性的h-不稳定的流线型态是 图17和图18所示的5种。图17是表示由操作Ψ_s(2)和Ψ(2)生成的h-不稳定的流线型态及其 摄动的图。图18是表示由操作Ψ(2)生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图17(a)表示h-不稳定的流线型态IΨ_s(2)及其摄动。通过摄动得到具有相同部分 语言表现IA₀C的构造。因此，指数无变化。

如图17(b)所示，h-不稳定的流线型态A₂Ψ_s(2)与IΨ_s(2)在相位上相同(参照图17 (a))。

图17(c)表示h-不稳定的流线型态B₂Ψ(2)及其摄动。通过摄动得到具有相同部分 语言表现B₀B₂C(或B₂CB₀、B₂B₀C)的构造。因此，指数无变化。

图18(a)表示h-不稳定的流线型态ICΨ(2)及其摄动。通过摄动得到具有部分语言 表现IA₀CC和ICCB₀(或ICB₀C)的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind_I(IA₀CC)-ind_I(ICCB₀)＝(1，0，-1，0，0)。

图18(b)表示h-不稳定的流线型态ICCΨ(2)及其摄动。通过摄动得到具有相同部 分语言表现ICCCB₀(或ICCB₀C、ICB₀CC)的构造。因此，指数无变化。

图18(c)表示h-不稳定的流线型态B₂CΨ(2)及其摄动。通过摄动得到具有相同的 部分语言表现B₂CCB₀(或B₀B₂CC、B₂B₀CC、B₂CB₀C)的构造。因此指数无变化。

图18(d)表示h-不稳定的流线型态B₂CCΨ(2)及其摄动。该型态与对B₂CΨ(2)施加 了C的型态相同，因此，赋予与B₂CΨ(2)相同的部分语言表现的变化(参照图18(c))。

(操作Ξ_s(2n-1)和Ξ(2n-1)，n≥2)

如图16(b)所示，操作Ξ_s(2n-1)和Ξ(2n-1)是追加3个以上的任意奇数个新的穴来 生成h-不稳定的流线型态的操作。具体而言，选择1个已经具有的圆边界，并在与 它不同之处生成新的圆边界，且由2n-1条heteroclinic连结这2个边界的操作。其 结果是，追加由包围的2n-2个圆边界，全部生成2n-1个穴。此外，当n＝1时，这些操 作与D_2，s以及D₂一致，因此可以不失一般性地为n≥2。数学上的研究的结果是，这些操作，如 图19所示，生成4种代表性的h-不稳定的流线型态。图19是表示由操作Ξ_s(2n-1)和Ξ(2n-1) 生成的h-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图19(a)表示h-不稳定的流线型态IΞ_s(2n-1)及其摄动。通过摄动得到具有相同部 分语言表现IA₂C_2n-2的构造。因此，指数无变化。

图19(b)表示h-不稳定的流线型态B₂Ξ(2n-1)及其摄动。通过摄动得到具有相同部 分语言表现B₂C^kB₂C^2n-2-k(0≤k≤n-1)的构造。因此，指数无变化。

图19(c)表示h-不稳定的流线型态ICΞ(2n-1)及其摄动。通过摄动得到具有部分语 言表现IA₂C^2n-1和ICkB₂C^2n-1-k(1≤k≤n)的不同构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化 为ind_I(IA₂C^2n-1)-indI(ICB₂C^2n-2)＝(0，1，0，-1，0)。

图19(d)表示h-不稳定的流线型态ICCΞ(2n-1)及其摄动。通过摄动得到具有相同 的部分语言表现IC^kB₂C^2n-k(1≤k≤n)的构造。因此，指数无变化。

以上是生成h-不稳定的流线型态的14种操作、和其结果出现的h-不稳定的32个代 表性的流线型态以及其摄动与部分语言表现。数学上能够严格证明：作为2个构造稳定的流 场的中间状态而出现的h-不稳定的流线型态只有这样。将所有这些汇总，若与所赋予的2个 构造稳定的流线型态W₁、W₂的极大语言表现中所包含的部分语言S₁及S₂与指数之差d对应地 将能发生的迁移的型态汇总，则得到经由h-不稳定的型态的迁移的型态迁移信息(参照后 述的图26以及图27)。

[p-不稳定型态]

首先，由于在内部不具有边界的单连结外部区域D_z(0)中存在1个具有pinching orbit的基本型态，因此，对它命名。图20是表示p-不稳定的型态Λ及其摄动的图。

(基本型态Λ)

基本型态Λ是D_z(0)中的p-不稳定的流线型态，在图20(a)被赋予。将该型态迁移 到进行摄动的基本型态I和I。因此，通过该型态来变更极大语言表现的开头部分的文字。此 时的极大语言表现的指数变化为ind_I(I)-ind_II(II)＝(-1，1，0，0，0)。另一方面，图20(b)表 示该Λ的形成构造被1个connection包围的流线型态ΛC及其摄动。通过摄动得到 部分语言表现具有IC以及IIB₂的不同的构造稳定的流线型态。此时的极大语言表现的指数 的变化为ind_I(IC)-ind_II(IIB₂)＝(-1，1，0，-1，1)。此外，将该Λ型态作为基本型态，针对反 复形成构造稳定的流场的操作A₀，A₂，B₀，B₂，C而得到的p-不稳定的流场，能够将以列排列该 实施的操作而得到的极大语言表现称为maximalΛ-word(Λ系列的极大语言)，因此，通过 该Λ-word的摄动，发生I-word与II-word之间的迁移。然而，在Λ-word中包含A₂的文字时， 要注意：通过该摄动而变换为II-word的、使用IA₀＝IIA₂的关系式始终变换为I-word。例如， 若摄动以ΛA₀A₂B₀C表现的p-不稳定的流场，则得到具有IA₀A₂B₀C和IIA₀A₂B₀C＝IA₀A₀B₀C的极 大语言表现的构造稳定的流场。

在此，图21是表示针对D₂(M-1)中的构造稳定的流场追加1个pinchingorbit来生 成p-不稳定的流线型态的操作。

(操作Δ₁)

操作Δ₁如图21(a)所示，表示在任意的圆边界上追加homoclinicpinching orbit来增加穴的操作。数学上研究的结果是，通过操作Δ₁，生成如图22或图23所示的5种 代表性的p-不稳定的流线型态。在此，图22以及图23是表示由操作Δ₁生成的p-不稳定的流 线型态及其摄动的图。

图22(a)表示p-不稳定的流线型态Δ₁及其摄动。通过摄动得到具有部分语言表现 B₀和B₂的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind*(B₀)-ind*(B₂)＝(0，0， 1，-1，0)(*是O、I、II的任1个)。

图22(b)表示p-不稳定的流线型态IΔ₁及其摄动。通过摄动得到具有部分语言表 现IA₀和IC的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为indI(IA₀)-ind_I(IC)＝ (1，0，0，0，-1)。

图22(c)表示p-不稳定的流线型态IIΔ₁及其摄动。通过摄动得到具有部分语言表 现IIB₀和IIB₂的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind_II(IIB₀)-ind_II(IIB₂)＝(0，0，1，-1，0)。

图22(d)表示p-不稳定的流线型态A₀Δ₁及其摄动，但它相当于对Δ₁到达的边界施 加了A₀的型态(参照图22(a))。

图22(e)表示p-不稳定的流线型态B₀Δ₁及其摄动，但它相当于对Δ₁到达的边界施 加了B₀的型态(参照图22(a))。

如图23(a)所示，p-不稳定的流线型态A₂Δ₁与IΔ₁在相位上相同(参照图22(b))。

图23(b)表示p-不稳定的流线型态B₂Δ₁及其摄动。通过摄动得到具有部分语言表 现B₀B₂(或B2B0)和B2C的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind*(B₀B₂)- ind*(B₂C)＝(0，0，1，0，-1)(*是O、I、II的任1个)。

如图23(c)所示，p-不稳定的流线型态A₂CΔ₁与ICΔ₁在相位上相等。通过该摄动得 到具有部分语言表现ICB₀和ICC的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind_I(ICB₀)-ind_I(ICC)＝(0，0，1，0，-1)。

图23(d)是p-不稳定的流线型态B₂CΔ₁，相当于对B₂Δ₁施加了C的型态，因此不需 要考虑(参照图23(b))。

(操作M_1，s)

如图21(b)所示，将在相同的边界上附加与通过connection连结于1- source-sinkpoint的共有端点的connection的操作称为M_1，s。在通过该 操作增加1个穴的同时，数学上的研究的结果是，生成如以下的图24所示的1种代表性的p- 不稳定的流线型态。图24是表示由操作M_1，s生成的p-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图24(a)表示p-不稳定的流线型态IM_1，s及其摄动。通过摄动得到具有部分语言表 现IA₀和IC的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为indI(IA₀)-ind_I(IC)＝ (1，0，0，0，-1)。

图24(b)是p-不稳定的流线型态A₂M_1，s，通过适当的变量变换而成为与IM_1，s相同 (参照图24(a))。

(操作M_1，i和M_1，o)

操作M_1，i和M_1，o，分别如图21(c)所示，是在相同的边界上新追加与在边界上存在的 c0nnection的共有端点的connection的操作。M_1，i是在已有的 connection的内侧追加connection，M_1，o是在外侧进行追加的操作。数学 上的研究结果是，这些操作，生成如图25所示的5种代表性的p-不稳定的流线型态。图25是 表示通过操作M_1，i和M_1，o生成的p-不稳定的流线型态及其摄动的图。

图25(a)表示p-不稳定的流线型态B₂M_1，o和B₂M_1，i及其摄动。两者都通过摄动得到具 有部分语言表现B₂B₀和B₂C的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind* (B₂B₀)-ind*(B₂C)＝(0，0，1，0，-1)(*是O、I、II的任1个)。

图25(b)上段表示p-不稳定的流线型态ICM_1，o及其摄动。通过摄动得到具有部分语 言表现ICB0和ICC的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind_I(ICB₀)-ind_I(ICC)＝(0，0，1，0，-1)。

图25(b)下段表示p-不稳定的流线型态ICM_1，i及其摄动。通过摄动得到具有部分语 言表现IA₀C和ICC的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为ind_I(IA₀C)-ind_I(ICC)＝(1，0，0，0，-1)。

图25(c)表示p-不稳定的流线型态ICCM_1，i及其摄动。通过摄动得到具有部分语言 表现ICCB₀(或ICB₀C)和ICCC的不同的构造稳定的流线型态。该迁移的指数的变化为indI (ICCB₀)-ind_I(ICCC)＝(0，0，1，0，-1)。

以上是生成p-不稳定的流线型态的1个基本型态和6种操作、以及由它们生成的13 种p-不稳定的流线型态及其摄动和部分语言表现。除此以外，生成p-不稳定的流线型态的 操作不存在，也是能够在数学上严格证明的。

对与以上的h-不稳定的流线型态和p-不稳定的流线型态相关的全部进行汇总，将 能与所赋予的2个构造稳定的流线型态W₁、W₂的极大语言表现中所包含的部分语言S₁以及S₂和指数之差d对应地发生的迁移的型态汇总的内容是图26～图28所示的表。

图26以及图27是表示作为2个构造稳定的流线型态之间的中间状态出现的h-不稳 定的流线型态的列表的图。表示出：在部分构造中具有h-不稳定的流线型态X的迁移，针对 具有成为W₁以及W₂的极大语言表现的2个构造稳定的流场，能够在条件ind*(W₁)-ind*(W₂)＝d(*是O、I、II的任1个)成立时发生。

图28是表示作为2个构造稳定的流线型态之间的中间状态出现的p-不稳定的流线 型态的列表的图。表示出：在部分构造中具有p-不稳定的流线型态X的迁移，针对具有成为 W₁以及W₂的极大语言表现的2个构造稳定的流场，能够在条件ind*(W₁)- ind*(W₂)＝d(*为O、I、II的任1个)成立时发生。

在这些图26～图28所示的列表中，近似地包罗了全部呈中间状态的构造不稳定的 流场，因此，能够通过使用列表作为型态迁移信息来搜索迁移路径。

接着，针对用于通过计算机实施上述本实施方式的方法的装置结构或处理的细 节，在以下详细说明。此外，既可以通过人或计算机来实施以上本实施方式的方法的全部或 一部分，也可以采用通过人来实施以下的实施方式的处理等。

[流体迁移路径获取装置的结构]

接着，针对本实施方式的流体迁移路径获取装置的结构，参照图29进行说明。图29 是表示应用本实施方式的流体迁移路径获取装置100的一例的方框图，在该结构中仅概念 性表示了与本实施方式相关的部分。

如图29所示，本实施方式中的流体迁移路径获取装置100，简略而言，至少具有控 制部102和存储部106，在本实施方式中，还具有输入输出控制接口部108和通信控制接口部 104。在此，控制部102是统一控制流体迁移路径获取装置100的整体的CPU等。此外，通信控 制接口部104是连接于与通信电线等连接的路由器等通信装置(未图示)的接口，输入输出 控制接口部108是与输入装置112或输出装置114连接的接口。此外，存储部106是存储各种 数据库或表格等的装置。这些流体迁移路径获取装置100的各部经由任意的通信路可通信 地连接。而且，该流体迁移路径获取装置100经由路由器等通信装置以及专用线等有线或无 线的通信电线，可通信地连接于网络300。

存储部106中所存储的各种数据库或表格(模拟结果文件106a、流线图文件106b、 以及型态迁移文件106c等)是固定磁盘装置等存储单元。例如，存储部106存储各种处理所 使用的各种程序、表格、文件、数据库、以及网页等。

这些存储部106的各结构要素之中，模拟结果文件106a是：通过模拟部102a来进行 实验上或数学理论上的模拟且存储表示模拟结果的数据的模拟结果存储单元。例如，模拟 结果文件106a可以存储与物体的受力或物体周围的流动相关的实验结果或数值计算结果。 作为一例，模拟结果文件106a可以是表示构造物的形状的设计变量的值、或是表示针对该 构造物的规定的流体(海流或气流等)的流体力学上的模拟结果(各空间坐标中的流体的压 力或流动的方向等)的数据。此外，模拟结果文件106a可以存储通过在风洞实验等的实验室 内的模型测量等而事先经由输入装置112输入的数据，以作为模拟结果。模拟结果文件106a 中存储的数据，不局限于数值计算结果，也可以是通过在实验室内的模型测量等而得到的 数据。即使是实验结果，也能够表现为通过对这些数据进行可视化或用计算机进行处理来 捕捉流线图这样的流动的情形的快照(snapshot)。

此外，流线图文件106b是存储表示流线图等的流线的数据的流线数据存储单元。 例如，流线图文件106b中所存储的流线数据可以是表示根据表示模拟结果的数据并通过流 线解析部102b解析后的流线的数据。

此外，型态迁移文件106c是存储型态迁移信息的对应关系信息存储单元。例如，型 态迁移文件106c存储与相位几何学上的二维流动构造的整体或一部分中的构造稳定的流 动型态经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态能否向其它构造稳定的流动型态迁移相 关的型态迁移信息。此外，各流动型态可以由语言表现来识别。作为一例，型态迁移文件 106c中所存储的语言表现数据，是由型态语言和操作语言的组合构成的文字串等。例如，构 造稳定的流动型态也可以针对对除了在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何学 上采取的2种流动型态，还追加了在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/涌出对 的型态的合计3种流动型态进行规定的型态语言(例如，I、II、O)，利用通过赋予所追加的穴 的个数的、规定了在对流动型态增加1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作的操作语 言(例如，A0、A2、B0B2、C)之中的任一种语言而生成的语言表现来进行识别。

并且，型态迁移文件106c中所存储的型态迁移信息也可以包含经由构造不稳定的 1个中间状态的流动型态而相互能够迁移的构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作语 言的变化信息(指数之差d等)。作为一例，型态迁移文件106c中所存储的型态迁移信息，如 图26～图28所示，是与经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态X而相互能够迁移的构造 稳定的流动型态的部分语言S1、S2一起，对指数差d建立对应地存储的数据。此外，在使用链 接(link)和节点(nod)的路径搜索方法的情况下，也可以在将构造稳定的流动型态设定为 节点，且在2个构造稳定的流动型态之间经由1个中间状态能够迁移时，在对应的节点间设 定链接。此外，型态迁移文件106c的型态迁移信息，不局限于通过语言表现来识别流动型 态，也可以通过其它识别信息(连号数字或符号等)等来识别。例如，也可以在具有有限个N 的穴的连结外部区域中，针对流动型态图预先分配所有识别号码，在流动型态彼此能够迁 移1次时，将该2个流动型态的识别号码建立对应地列表化，以作为型态迁移信息。由此，即 使不使用语言表现，也能够在输出装置114中显示流动型态图的一览，通过利用者经由输入 装置112选择流动型态图来指定流动型态，并根据对应的识别号码搜索迁移路径。

返回图29，输入输出控制接口部108进行输入装置112或输出装置114的控制。在 此，作为输出装置114，除了监视器(包括家庭用电视机)，还能够使用扬声器(此外，在以下， 有时将输出装置114记载为监视器)。此外，作为输入装置112，能够使用键盘、鼠标、以及麦 克风等。

此外，在图29中，控制部102具有用于存储OS(OperatingSystem)等控制程序、规 定了各种的处理步骤等的程序、以及所需数据的内部存储器。此外，控制部102通过这些程 序等，进行用于执行各种处理的信息处理。控制部102，在功能概念上具有：模拟部102a；流 线解析部102b；语言表现生成部102c；以及迁移信息获取部102g。

其中，模拟部102a是进行针对构造物等物体的流体的模拟的模拟单元。例如，模拟 部102a可以在实验上或数学理论上进行针对构造物的流体的模拟，获取物体的受力或物体 周围的流动的实验结果或者数值计算结果。在此，模拟部102a不局限于二维平面中的模拟， 也可以进行三维空间中的流体的模拟。此外，在本实施方式中，模拟部102a在模拟结果文件 106a中存储表示模拟结果的数据。例如，模拟部102a可以存储表示构造物的形状的设计变 量的值、或表示针对该构造物的规定的流体(海流或气流等)的流体力学上的模拟结果(各 空间坐标中的流体的压力、流动的方向或阻力等)的数据。在此，模拟部102a可以使用纳维 叶-斯托克斯方程式、有限要素法、有限差分法、有限体积法等，作为公知的流体力学计算方 法。

此外，模拟部102a可以采用公知的优化方法来进行构造物的优化。例如，模拟部 102a在使用模拟退火法或遗传算法等使决定构造物的形状的设计变量反复变化的同时，进 行针对该构造物的流体模拟，以求出合适的构造物的形状(例如，针对水流的阻力小的桥墩 的形状等)。此时，模拟部102a可以参照基于由迁移信息获取部102g获取到的迁移信息的迁 移路径来进行优化。例如，在由迁移信息获取部102g得到以基于当前构造物的形状和配置 的流线型态为出发点，且以理想的流线型态为到达点的迁移路径的情况下，模拟部102a也 可以通过一边变更构造物的形状或配置以使在迁移路径中从当前的流线型态找出下1个流 线型态，一边接近理想的流线型态，来进行构造物的形状或配置的优化。

此外，流线解析部102b是进行流线解析的流线解析单元。在此，流线解析部102b可 以进行针对基于模拟部102a的模拟结果的流线解析来导出流线图。例如，流线解析部102b 根据模拟结果文件106a中存储的物体周围的流动的实验结果(实验的数据等)或数值计算 结果(数值模拟结果等)，采用公知的方法来生成流线图。具体而言，流线解析部102b在根据 数值模拟结果计算了所有saddlepoint或等之后，通过描绘所有与该点的流动函 数的值具有相同值的函数的等高线，并且通过描绘所有与边界(boundary)上的流动函数的 值具有相同值的流动函数的等高线，能够生成流线图。此外，在三维模拟结果的情况下，流 线解析部102b可以在变换为构造物的截面中的二维数据之后，进行流线解析。作为截面的 平面是任意的，但优选流线解析部102b以沿着流体的流动方向(均匀流)的方向的截面变换 为二维数据。例如，在列车或汽车或飞机等交通工具中，可以沿着前进方向来生成截面。此 外，流线解析部102b可以使用ComputationalHomology中记载的技术等，从流场中提取满 足条件的特征性构造(参照“TomaszKaczynski，KonstantinMischaikow，MarianMrozek 著“ComputationalHomology”Springer，2000年”)。此外，在本实施方式中，流线解析部 102b将生成的流线图数据存储在流线图文件106b中。

此外，语言表现生成部102c是如下的语言表现生成单元，即：根据由流线解析部 102b获取的流线图，通过与对在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何学上采取 的规定2种流动型态进行规定的语言之中的任一种语言(型态语言I、II)一起，赋予所追加 的个数的、对在对流动型态增加1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作进行规定的语 言(操作语言A₀、A₂、B₀、B₂、C)之中的任一种语言，来生成表示物体周围的流动的流动型态的 语言表现。此外，语言表现生成部102c，若是为了语言表现所必需的，则也可以使用用于表 现中间状态的流动型态的型态语言(Λ)或操作语言(D₀或E_0，s或Ф₀或D₂或M_1，i等)。在此，语 言表现生成部102c，如图29所示，具有型态语言赋予部102d、操作语言赋予部102e、以及极 大语言表现部102f。

其中，型态语言赋予部102d是如下的型态语言赋予单元，即：赋予对在具有1个穴 的单连结外部区域中能够在相位几何学上采取的2种流动型态进行规定的语言(例如，型态 语言I、II)之中的任一种语言。在此，型态语言赋予部102d也可以赋予对除了上述以外还追 加了在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/涌出对的型态的这样合计3种流动型 态进行规定的语言(即，型态语言I、II、O)之中的任一种语言。更具体而言，3种流动型态是：

1)具有吸入/涌出对，具有2个connection的型态I；

2)具有吸入/涌出对，具有1个saddlepoint、以及连结它的homoclinicsaddle connection和2个ss-saddleconnection的型态II；以及

3)不具有吸入/涌出对的型态O。

在此，型态语言赋予部102d可以在根据流线图求出语言表现的算法(称为“算法 B”)中进行如下步骤：判定在流线图中connection是否存在，当connection存在时，进行赋予型态I的语言的I分类步骤；以及当在I分类步骤中 connection不存在时，判定在流线图中ss-saddleconnection是否存在，当 ss-saddleconnection不存在时，赋予型态II的语言，另一方面，当ss-saddleconnection 不存在时，进行赋予型态O的语言的II/O分类步骤。由此，型态语言赋予部102d，能够适当判 别流线图所属的系列(I系列、II系列、O系列)。

此外，操作语言赋予部102e是如下的操作语言赋予单元，即：通过反复赋予对在流 动型态中增加1个穴的情况下能够在相位几何学上采取的5种操作进行规定的语言(例如， 操作语言A₀、A₂、B₀、B₂、C)之中的任一种语言，生成与具有N个穴的多重连结外部区域对应的 语言表现。更具体而言，5种操作是：

1)将一条ss-orbit置换为1个saddlepoint、以及在连结它的内部具有穴的 homoclinicsaddleconnection和2个ss-saddleconnection的A₀操作；

2)将一条ss-orbit置换为2个connection和新追加的边界上的2个 的A₂操作；

3)将一条closedorbit置换为追加1个穴和saddlepoint而呈8字的2条 homoclinicsaddleconnection的B₀操作；

4)将一条closedorbit置换为在新追加的穴的边界上附加2个而由一条 connection连结的轨迹的B₂操作；以及

5)在已经具有2k个(k＞0)的边界上放置新附加2个而由一条 connection连结的在内部新附加的穴的C操作。

在此，操作语言赋予部102e可以按照以下的制约条件赋予操作语言。即，操作语言 赋予部102e，在赋予5种操作语言的情况下，

1)以存在一条ss-orbit为条件，赋予操作语言A₀或A₂；

2)以存在一条closedorbit为条件，赋予操作语言B₀或B₂；

3)以存在具有的边界为条件，赋予操作语言C。此外，针对按照该制约条 件的操作语言赋予部102e的具体处理的细节，参照流程图在后面叙述。此外，在本实施方式 中，操作语言赋予部102e可以将针对型态语言赋予的操作语言的文字串即语言表现存储在 型态迁移文件106c中。

此外，极大语言表现部102f是将由型态语言赋予部102d以及操作语言赋予部102e 生成的语言表现(由型态语言以及操作语言的组合构成的文字串)变换为极大语言的极大 语言表现单元。即，在写出所有能够采取的流动型态的算法(以下，称为“算法A”)中，由型态 语言赋予部102d以及操作语言赋予部102e生成的语言表现组，虽然写出了所有流动型态， 但存在规定了彼此相同的流动型态的语言表现、或规定了相互呈包含关系的流动型态的语 言表现。因此，极大语言表现部102f对这些语言表现组，通过排除重复的语言表现或所包含 的语言表现等，进行作为极大语言表现(maximalwordrepresentation)的处理。例如，极 大语言表现部102f按照以下的表中所示的包含关系，替换语言表现来生成极大语言表现。 此外，在下表中“＝”表示一致关系、“≤”或“≥”表示包含关系。唯一的例外是B₂和C，它们即 使替换，包含关系也不成立，因此，由于无法替换它们2个，因而将它们象征性地表示为B₂C| |CB₂。此外，针对根据该关系式的极大语言表现部102f的具体处理的细节，参照流程图在后 面叙述。

【表2】

A₀A₂B₀B₂C A₀＝ ＝ ≤ ＜ ＝ A₂＝ ＝ ＝ ≤ B₀＝ ≤ ≥ B₂＝ || C ＝

此外，迁移信息获取部102g是如下的迁移信息获取单元，即：根据型态迁移文件 106c的型态迁移信息，获取与从所指定的构造稳定的流动型态到达能够在相位几何学上采 取的其它的构造稳定的流动型态的迁移路径相关的迁移信息。例如，迁移信息获取部102g 可以经由输入装置112，以由利用者指定的构造稳定的流动型态作为出发点，搜索至其它构 造稳定的流动型态的迁移路径。此外，迁移信息获取部102g也可以将基于模拟部102a的模 拟结果所指定的构造稳定的流动型态作为出发点，搜索至其它构造稳定的流动型态的迁移 路径。例如，针对由流线解析部102b解析模拟部102a的模拟结果而得到的流线图，将由语言 表现生成部102c生成的语言表现作为所指定的流动型态的出发点，将预先指定的成为理想 的流动型态作为到达点。然后，迁移信息获取部102g通过将搜索而得到迁移路径的迁移信 息返回模拟部102a，以作为基于模拟部102a的优化方法的指标。

在此，迁移信息获取部102g既可以获取所有能够采取的迁移路径，也可以针对所 指定的2个构造稳定的流动型态仅获取最短的迁移路径。此外，迁移信息获取部102g也可以 将经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的迁移作为1次迁移，获取包括从1个构造稳 定的流动型态至另1个构造稳定的流动型态为止的迁移次数的迁移信息。

在此，迁移信息获取部102g与道路等的路径搜索同样地可以使用基于链接和节点 的图形理论来搜索迁移路径。此时，迁移信息获取部102g可以将构造稳定的流动型态作为 节点，将经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的1次迁移作为链接。例如，针对将基于 当前的构造物的形状和配置的流动型态设定为出发点，将成为理想的流动型态设定为到达 点的情况进行说明。作为一例，迁移信息获取部102g将所指定的构造稳定的流动型态作为 出发点，参照型态迁移信息，写出所有经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的第2个 构造稳定的流动型态。然后，迁移信息获取部102g将第2个构造稳定的流动型态分别作为出 发点，参照型态迁移信息，写出所有经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态的第3个构 造稳定的流动型态。当通过如此依次扩大搜索范围而到达作为到达点所设定的理想的流动 型态时，迁移信息获取部102g可以结束反复处理，输出至该到达点的迁移路径作为最短路 径。如此，迁移信息获取部102g可以根据型态迁移信息，针对所述指定的2个构造稳定的流 动型态，获取从1个构造稳定的流动型态至另1个构造稳定的流动型态为止的迁移信息。此 外，在2个构造稳定的流动型态之间无迁移路径的情况下，获取迁移不可能的结果作为迁移 信息。此外，迁移信息获取部102g可以将获取到的迁移信息输出给监视器等输出装置114， 也可以为了基于模拟部102a的优化而被参照，也可以存储在模拟结果文件106a等的存储部 106中。

在此，迁移信息获取部102g可以将语言表现的操作语言的数量的变化(操作语言 的数量的增减等)作为指标，进行有效的迁移路径搜索。即，当在型态迁移文件106c中，在型 态迁移信息中存储有经由构造不稳定的1个中间状态的流动型态而相互能够迁移的构造稳 定的流动型态之间的语言表现的操作语言的变化信息时，迁移信息获取部102g可以在型态 迁移信息中查询所指定的2个语言表现的操作语言的变化，提取所对应的流动型态。更具体 而言，迁移信息获取部102g可以针对所赋予的2个构造稳定的流线型态W₁、W₂，求出由语言表 现生成部102c生成的极大语言表现的指数之差d，从如图2～图28所示的型态迁移信息中搜 索出具有该指数之差d的迁移型态，以获取迁移信息。

以上是本实施方式的流体迁移路径获取装置100的结构的一例。此外，流体迁移路 径获取装置100也可以经由网络300与外部系统200连接。此时，通信控制接口部104进行流 体迁移路径获取装置100与网络300(或路由器等的通信装置)之间的通信控制。即，通信控 制接口部104具有与其它终端经由通信线进行数据通信的功能。此外，网络300具有将流体 迁移路径获取装置100和外部系统200相互连接的功能，例如，互联网等。

此外，外部系统200经由网络300，与流体迁移路径获取装置100相互连接，且具有 以下功能：提供与实验结果或数值计算结果等的模拟结果数据或流线图数据等的各种数据 相关的外部数据库、用于使所连接的信息处理装置执行流体迁移路径获取方法的程序等。

在此，外部系统200也可以构成为WEB服务器或ASP服务器等。此外，外部系统200的 硬件结构，一般可由市面出售的工作站、个人计算机等信息处理装置及其附属装置构成。此 外，外部系统200的各功能由外部系统200的硬件结构中的CPU、光盘装置、存储装置、输入装 置、输出装置、通信控制装置等以及控制它们的程序等实现。

在以上，结束本实施方式的结构的说明。

[流体迁移路径获取装置100的处理]

接着，针对如此构成的本实施方式中的流体迁移路径获取装置100的处理的一例， 以下参照附图详细说明。图30是表示流体迁移路径获取装置100的处理的一例的流程图。

如图30所示，首先，迁移信息获取部102g进行控制，以指定构造稳定的流动型态 (步骤S-1)。例如，迁移信息获取部102g可以控制为：使利用者经由输入装置112指定流动型 态。此外，迁移信息获取部102g可以将根据模拟部102a的模拟结果而由流线解析部102b得 到的流线图作为指定的流动型态。此外，迁移信息获取部102g在根据语言表现来进行路径 搜索时，通过语言表现生成部102c将所指定的流线图或流动型态变换为语言表现。

然后，迁移信息获取部102g参照与所指定的构造稳定的流动型态对应的型态迁移 信息(步骤S-2)。例如，当彼此经过1次的中间状态能够迁移的构造稳定的流动型态，作为语 言表现而建立对应地存储于型态迁移文件106c中时，迁移信息获取部102g可以检索与所指 定的构造稳定的流动型态的语言表现一致的型态迁移信息，并依次搜索能够迁移的流动型 态。此外，在指定了2个上述构造稳定的流动型态时，迁移信息获取部102g可以从1个上述构 造稳定的流动型态向另1个上述构造稳定的流动型态依次进行搜索，也可以根据2个构造稳 定的流动型态之间的相位上的差(例如，指数之差)来进行搜索。针对后者的处理的细节，在 后面叙述。除此之外，迁移信息获取部102g也可以使用公知的路径搜索方法、或公知的最短 路径搜索方法(迪杰斯特拉法等)来进行迁移路径的搜索。

然后，迁移信息获取部102g获取与搜索到的迁移路径相关的迁移信息(步骤S-3)。 例如，在指定了1个流动型态的情况下，迁移信息获取部102g可以获取与从所指定的构造稳 定的流动型态起经过规定的迁移次数达到另1个构造稳定的流动型态的迁移路径相关的迁 移信息。此外，迁移信息获取部102g在迁移信息中不仅包含与构造稳定的流动型态相关的 信息，还可以在迁移信息中包含与其中间的构造不稳定的流动型态相关的信息。此外，在指 定了2个流动型态的情况下，迁移信息获取部102g可以获取从1个构造稳定的流动型态(W₁) 至另1个构造稳定的流动型态(W₂)的迁移信息。此时，迁移信息获取部102g可以获取迁移次 数最小的迁移路径作为迁移信息。此外，迁移信息获取部102g既可以获取将迁移路径作为 流线图或流动型态的图形的迁移信息，也可以获取由语言表现记述的迁移信息。此外，迁移 信息获取部102g既可以将获取到的迁移信息向输出装置114进行显示输出，也可以在存储 部106中进行存储，也可以为了基于模拟部102a的优化处理而进行参照。

以上是流体迁移路径获取装置100的处理的一例。

[使用指数之差的迁移路径搜索处理]

在此，针对使用指数之差的迁移路径搜索处理的一例，在以下参照附图来详细说 明。图31是表示流体迁移路径获取装置100中的使用指数之差的迁移路径搜索处理的一例 的流程图。此外，在以下的示例中，作为型态迁移信息，使用了与h-不稳定以及p-不稳定的 流线型态的摄动及其部分语言表现相关而得到的图26～图28的列表。此外，以如下内容为 前提来进行说明，即：作为输入，指定了2个构造稳定的流线型态及其极大语言表现W₁和W₂， 且将根据极大语言表现而判定的能够迁移的X的列表输出为迁移信息。

首先，迁移信息获取部102g，与上述步骤S-1同样，指定2个构造稳定的流线型态 (步骤S-11)。

然后，迁移信息获取部102g获取与2个构造稳定的流线型态对应的语言表现W₁、W₂(步骤S-12)。例如，在指定了流线图时，迁移信息获取部102g通过语言表现生成部102c的处 理，获取所对应的语言表现W₁、W₂。

然后，迁移信息获取部102g计算语言表现W₁与W₂之差d(步骤S-13)。即，迁移信息获 取部102g从I、II、O中选择适当的*，计算d＝ind*(W₁)-ind*(W₂)。

然后，迁移信息获取部102g根据型态迁移信息(图26～图28的表)导出具有差d的 迁移型态X(步骤S-14)。此外，当具有差d的迁移型态X不一致时，既可以设为表示2个构造稳 定的流线型态以1次迁移不能相互转移之意的迁移信息，或者，也可以搜索以多次迁移能够 转移的迁移路径。例如，设为以k次的迁移能够转移，迁移信息获取部102g可以导出如成为d ＝ind*(W₁)-ind*(W₂)＝d₁+d₂+····+d_k这样的迁移型态X₁，X₂，…，X_k的组合。此外，迁移 时的相邻流线型态彼此之间语言表现必须相同(共有部分串)。

然后，迁移信息获取部102g从列表中找出所有具有差d的迁移型态X(步骤S-14)， 获取与各迁移型态X对应的部分串S₁和S₂(步骤S-15)。此外，在假设上述多次的迁移的情况 下，针对迁移型态X₁，X₂，…，X_k分别求出部分串S₁₁、S₂₁～S_1k和S_2k。

然后，迁移信息获取部102g针对部分串S₁和S₂，调查它们是否分别成为W₁和W₂的部 分语言，在成为部分语言时，作为迁移候补而包含在迁移信息中(步骤S-16)。即，调查是否 且如果它成立时，获取X作为迁移的候补，否则放弃。此外，在假设上述多次 迁移的情况下，迁移时相邻的流线型态彼此之间，进行排序以使共有部分串。如果有共有部 分串的排序，则获取其顺序串作为迁移候补，若无共有部分串的排序，则放弃。若完成共有 部分串的排序，则能够从端的W₁或W₂按顺序搜索，依次决定迁移路径中的语言表现的整体。

以上是使用指数之差的迁移路径搜索处理的一例。此外，在使用与h-不稳定以及 p-不稳定的流线型态的摄动及其部分语言表现相关而得到的图26～图28的列表作为型态 迁移信息的示例中，迁移候补的型态X只是赋予能发生迁移的候补(必要条件)，实际是否能 够实现与它对应的中间状态，需要确认与其部分语言对应而得到的构造实际是否存在(充 分性)。若其被确认，则能够实际写下作为2个构造稳定的流线型态的中间状态的p-不稳定 或者h-不稳定的流线型态。此外，针对其充分性的确认部分，既可以以人的手来进行流线构 造的型态匹配，也可以使用公知的型态匹配技术来进行。

[实施例]

在此，针对使用模拟结果的实施例进行说明。作为前提，针对置于均匀流中的物 体，存储了某期间中的物体的受力、物体周围的流动的实验结果或数值计算结果。在此，物 体的受力是通过均匀流使物体受到的力，具体而言，是升力(lift)或阻力(drag)，作为一 例，可以是升阻比(升力与阻力之比)。

在此，图32是示意性表示在二维外部区域内将具有有限厚度的较薄的一片平板作 为均匀流中的物体而相对于均匀流以一定角度倾斜地放置时的图。图中的符号U表示均匀 流，cl是平板较长的边的长度，θ是相对于均匀流的角度，Lx以及Ly表示由x轴方向与y轴方 向的长度构成的计算対象的矩形区域。

如图32所示，例如，在飞机或列车或汽车等物体中，由于沿前进方向产生来自相对 的无限远点的均匀流，因此可考虑：假设沿着该均匀流的二维截面，针对放置于均匀流中的 物体，通过模拟得到某期间的物体的受力和物体周围的流动。在此，图33以及图34是表示物 体周围的流动的数值计算结果的图。此外，图34中的数值计算条件的细节(例如，雷诺数： 1370、θ：15°、解析范围(Resolution)：1024×256)，在此并不重要，因此进行省略。

在图33中，图示均匀流未碰到物体时的物体周围的流动，在图34中，图示均匀流碰 到物体时的某时刻(t＝5.5)的物体周围的流动。左旋转(逆时针旋转)的流动为正的值，右 旋转的流动为负的值，笔直的流动，以0表示。即，图表现流动的涡度分量，正值的部分表示 逆时针旋转的正向的涡分量的区域，负值的部分表示顺时针旋转的负方向的涡分量的区 域。物体的受力之中的升力(lift)或升阻比(l/dratio)中显现较大的时间变动，周期性地 上下振动。

以往，虽然能够将某时刻的升力或升阻比与该时刻的物体周围的流动的模拟结果 建立对应，但怎样的相位构造的变化是对物体的受力的变动带来影响的，此外，在其相位构 造的变化期间能产生怎样的中间状态的不稳定的相位构造，要获得解析或见解是困难的。 因此，在本实施例中，针对这样的模拟，为了解析中间状态而进行了以下的处理。

图34是放置于均匀流中的一片平板从t＝5.5至t＝7.7的时间发展及其流线型态 的相位构造以及其极大语言表现。据此，可认为：由于各时刻的极大语言表现不同，因而发 生了某种迁移。根据本实施方式的算法(使用指数之差的迁移路径搜索处理等)来赋予发生 了何种迁移。

首先，由于时刻t＝5.5和t＝6.6的极大语言表现为W₀＝ICCB₀以及W1＝IA₀CB₀，因 此，首先若取其指数之差d，则成为d＝ind_I(W₁)-ind_I(W₀)＝(1，0，0，0，-1)，生成这种指数之 差的迁移X，由图26～图28的列表可知，有X＝IΔ₁，IM_1，s，ICM_1，i的这3个。

针对各个X，若从列表观察对应的部分串S₁和S₂，可知：由于都通过W₁和W₀而包含作 为部分语言，因此能发生的可能性是这3个。

若进行针对它们分别摄动而得到的流线型态的匹配，则实际发生的迁移是IM_1，s， 还可知：位于其中间状态的p-不稳定的流线型态是图35(a)。在此，图35是表示从时刻t＝ 5.5至7.7的时间发展的期间所发生的迁移的图。

接着，针对时刻t＝6.6至t＝7.7，其极大语言表现为W₁＝IA₀CB₀和W₂＝IA₀A₀C，若取 其指数之差，则为d＝ind_I(W₂)-ind_I(W₁)＝(1，0，-1，0，0)，若从图26～图28的列表中搜索X， 则得到X＝ICD₀，A₀E_0，s以及ICΨ(2)。

由于与X＝ICΨ(2)对应的部分语言S₁和S₂不包含在W₂和W₁中，因此将其除外。

另一方面，对于X＝A₀E_0，s以及X＝ICD₀，并且均成立，因此它们是能 发生迁移的候补。可知：通过比较针对它们分别使不稳定型态实际摄动而得到的构造稳定 型态而发生的迁移是X＝A₀E_0，s，其中间状态得到如图35(b)的h-不稳定的流线型态。

在以上，结束本实施例的说明。根据本实施例，例如，为了能够理解针对飞机的机 翼周围的流场的时间发展，作为其各时刻的升阻比的机翼的功能，重要的特性的变化是怎 样形成的、且是怎样消失的机制，而更明确地给予有效的机翼功能的设计中的改良的指针。 此外，不局限于飞机，在桥墩的设计或堰堤的设计中，能够记述在根据在某配置下得到的流 线而优化成被认为最佳的流线构造的中间阶段、或到达它的路径。

在根据各种流体与构造物的相互作用的效率的观点而得知了最佳的配置时，根据 本实施例，在从当前的状态起连续地使形状或配置变形时，可知接着应进入的流动型态的 状态。此时，通过构造物的形状或配置的连续变化，能够掌握达到最佳配置的最短路径，赋 予在进行优化的基础上的有效的指针。此外，针对通过大规模数值计算或流体实验等而得 到的流动的时间发展，通过能记述其流动型态的迁移，从而能够通过控制运动来考虑用于 保持最佳状态的最短控制。例如，可知在飞机等中用于不失速的机翼的有效的控制方法。

[语言表现算法的基本处理]

在此，针对由流体迁移路径获取装置100执行的语言表现算法的基本处理的一例， 再次参照上述图1来进行说明。此外，在以下的示例中，虽然先进行型态语言的赋予(步骤 SA-1)，后进行操作语言的赋予(步骤SA-2)，但并不限于此，也可以先进行操作语言的赋予， 后进行型态语言的赋予。

如图1所示，首先，语言表现生成部102c的型态语言赋予部102d赋予型态语言I、II 之中的任一种语言(步骤SA-1)。在此，型态语言赋予部102d也可以赋予除了上述以外还追 加了型态O的这样合计3种型态语言I、II，O之中的任一种语言。更具体而言，3种型态语言 是：

1)对具有吸入/涌出对、且具有2个connection的型态进行规定的型 态语言I；

2)对具有吸入/涌出对、且具有1个saddlepoint、连结它的homoclinicsaddle connection和2个ss-saddleconnection的型态进行规定的型态语言II、以及

3)对不具有吸入/涌出对的型态进行规定的型态语言O。

然后，语言表现生成部102c的操作语言赋予部102e，对由型态语言赋予部102d所 赋予的型态语言，赋予5种操作语言A₀、A₂、B₀、B₂、C之中的任一种语言(步骤SA-2)。更具体而 言，5种操作语言是：

1)对将1条ss-orbit置换为1个saddlepoint、在连结它的内部具有穴的 homoclinicsaddleconnection和2个ss-saddleconnection的操作进行规定的操作语言 A₀；

2)对将1条ss-orbit置换为2个connection和新追加的边界上的2个 的操作进行规定的操作语言A₂；

3)对将1条closedorbit置换为追加1个穴和saddlepoint而呈8字的2条 homoclinicsaddleconnection的操作进行规定的操作语言B₀；

4)对将1条closedorbit置换为在新追加的穴的边界上附加2个而以1条 connection连结的轨迹的操作进行规定的操作语言B₂；以及

5)对在已具有2k个(k＞0)的边界上新附加2个而以1条 connection连结且在内部放置新附加的穴的操作进行规定的操作语言C。

此外，上述操作是对追加穴时的操作进行了规定的操作，因此，在对某流线图分配 操作语言的算法B中，对该流线图进行上述操作的反操作(反置换操作)。

在此，操作语言赋予部102e，由于以上述操作存在ss-orbit或closedorbit等为前 提，因此可以按照以下的制约条件来赋予操作语言。即，操作语言赋予部102e，在赋予5种操 作语言时，可以：

1)以存在一条ss-orbit为条件，赋予操作语言A₀或A₂；

2)以存在一条closedorbit为条件，赋予操作语言B₀或B₂；

3)以存在具有的边界为条件，赋予操作语言C。

然后，语言表现生成部102c的操作语言赋予部102e判定穴的个数是否达到N个(步 骤SA-3)。例如，操作语言赋予部102e针对穴为1个的单连结外部区域D_ζ(0)中的型态语言I、 II，判断直至穴达到N个为止是否赋予完(N-1)个操作语言。此外，操作语言赋予部102e，针 对穴为2个二重连结外部区域D_ζ(1)中的型态语言O，判断直至穴达到N个为止是否赋予完 (N-2)个的操作语言。此外，在算法B中未预先设定穴的个数。在算法B的情况下，操作语言赋 予部102e也可以通过按照针对流线图的操作语言的置换操作，而根据流线图是否达到初始 型态(I、II、或O)来判定穴的个数是否达到N个。

当穴的个数未达到N个时(步骤SA-3，否)，语言表现生成部102c的操作语言赋予部 102e，对至此生成的文字串进一步赋予操作语言(步骤SA-2)。

另一方面，当穴的个数达到N个时(步骤SA-3，是)，语言表现生成部102c的操作语 言赋予部102e，将至此生成的文字串作为语言表现存储在型态迁移文件106c中，并结束处 理。

以上是本实施方式中的流体迁移路径获取装置100的语言表现算法的基本处理的 一例。通过如此生成语言表现，能够以语言表现来表示模拟结果与哪种流动型态对应。

[算法B]

接着，针对以上述语言表现生成部102c的基本处理为基础，根据流线图来求出语 言表现的算法B的处理的细节，以下参照图36～图43来进行说明。

[B-1.型态语言的分配处理]

针对上述基本处理的步骤SA-1中的型态语言的分配处理，参照图36在以下进行说 明。图36是表示型态语言的分配处理的一例的流程图。

在此，所赋予的流线图，如图6所示，作为圆内的区域，为了描述的方便而进行了上 述记载，但本算法本来是具有均匀流的非有界的区域中的流动的判定算法。通过数值模拟 或实际的测量而得到的流动是非有界的流场(截出所需部分)的流线图，是否需要向圆内的 区域的变换成为问题，本申请发明人的专心研究的结果是，可知：应用本算法就不需要那种 变换。据此，若对所赋予的流线图实施以下的处理，就可知其流线图是I系列、还是II系列、 还是O系列。即，在实施以下的处理时，不需要通过立体射影法等将流线图变换至圆内的区 域。

如图36所示，型态语言赋予部102d，在根据流线图来求出语言表现的算法B中，判 定：在所赋予的流线图中connection是否存在(步骤SA-11)。

在判定为connection存在时(步骤SA-11，是)，型态语言赋予部102d 赋予型态语言I(步骤SA-12)。即，所赋予的流线图判定为I系列。

另一方面，当connection不存在时(步骤SA-11，否)，型态语言赋予部 102d判定在流线图中ss-saddleconnection是否存在(步骤SA-13)。

然后，当判定为ss-saddleconnection存在时(步骤SA-13，是)，型态语言赋予部 102d赋予型态语言II(步骤SA-15)。即，所赋予的流线图判定为II系列。

另一方面，当ss-saddleconnection不存在时(步骤SA-13，否)，型态语言赋予部 102d赋予型态语言O(步骤SA-14)。即，所赋予的流线图判定为O系列。

以上是型态语言的分配处理的一例。

[B-2.I系列中的操作语言的分配处理]

接着，针对算法B中的I系列的操作语言的分配处理的一例，参照图37以及图38来 进行说明。图37以及图38是表示算法B中的I系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。

如图37所示，流线解析部102b根据模拟结果文件106a中所存储的数值模拟或实验 数据，通过流线解析来生成流线图(步骤SB-1)。具体而言，流线解析部102b根据数值模拟结 果，在计算了所有saddlepoint或等之后，通过描绘所有与该点的流动函数的值 具有相同值的流动函数的等高线，并且描绘所有与边界(boundary)上的流动函数的值具有 相同的值的流动函数的等高线，能够生成流线图。除此之外，流线解析部102b也可以采用 ComputationalHomology(非专利文献1)中记载的技术等，从流场提取满足条件的特征性 的构造。此外，在本实施方式中，流线解析部102b将生成的流线图数据存储在流线图文件 106b中。然后，数据管理上，流线解析部102b可以对得到的所有线、或saddlepoint、ss- orbits、boundary赋予号码来处理流线图数据。由此，通过赋予它们的包含关系 且赋予其顺序来决定数据构造，从而使得在计算机上易于处理以后的预处理或各系列的算 法。

然后，流线解析部102b，对流线图实施预处理(步骤SB-2)。例如，流线解析部102b 对所给予的流线图实施以下的3个预处理。此外，将实施了这些操作的次数称为错误数，成 为能够由语言表现来表示何种程度流线的指标。例如，在涡潮中，不仅是平面上的流体的移 动，平面的垂直方向上海流也有移动。此外，针对飞机等物体，在与沿着均匀流的二维截面 不水平的方向上，有时也会流入碰到障碍物的气体等。因此，通过进行以下的预处理，与平 面状的流动近似地将进行预处理的次数(错误次数)作为从真值偏离的指标。

1.若的稳定多样体、不稳定多样体或极限集合包括sink、source的limit cycle，则封闭它来消除sink、source、limitcycle。

2.将sink的(吸入)区域置换为center/disk和homoclinicsaddle connection。

3.将source的(发散)区域置换为center/disk和homoclinicsaddle connection。

然后，操作语言赋予部102e，针对由流线解析部102b实施了预处理的流线图，判定 是否存在(步骤SB-3)。

在存在的情况下，(步骤SB-3，是)，操作语言赋予部102e判定：是否有在 正好存在2个的边界上具有connection的型态(步骤SB-4)。

在有k个具有包含正好存在2个的边界的connection的型态 时(步骤SB-4，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言A₂(步骤SB-5)，流线解析部102b 在流线图上进行k次消除这2个和边界(boundary)而置换为1条ss-orbit的操作 (步骤SB-6)。

另一方面，在没有具有包含正好存在2个的边界的connection的型态时(步骤SB-4，否)，操作语言赋予部102e判定：是否有在正好存在2个 的边界上具有相同边界上的connection的型态(步骤SB-7)。

在有k个具有包含正好存在2个的边界的connection的型态时 (步骤SB-7，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B₂(步骤SB-8)，流线解析部102b在 流线图上进行k次消除相同边界上由connection连结的和边界 (boundary)而置换为一条closedorbit的操作(步骤SB-9)。

另一方面，在没有具有包含汇好存在2个的边界的connection 的型态时(步骤SB-7，否)，操作语言赋予部102e判定：在具有4个以上的的边界之 中是否有在相同边界上的connection其内侧是center/disk的型态(步骤SB-10)。

当有k个在包含4个以上的边界上的connection其内侧为 center/disk的边界时(步骤SB-10，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言C(步骤SB- 11)，流线解析部102b在流线图上，进行k次消除相同边界上的connection、由它们 连结的2个被它们所包围的center/disk的操作(步骤SB-12)。

另一方面，当没有在包括4个以上的边界上的connection其内 侧为center/disk的边界时(步骤SB-10，否)，由于存在位于最内侧的Figureeight(即，在 connection其内侧的至少单侧为center/disk)，因此，将其个数设为k个，操作语 言赋予部102e赋予k个操作语言B₀(步骤SB-13)，流线解析部102b在流线图上进行k次从位 于最内侧的Figureeight消除1个saddlepoint和boundary而置换为包围center/disk的 closedorbit的操作(步骤SB-14)。在此，所谓“Figureeight”，是指由1个鞍点和连结它的 2个homoclinicsaddleconnection构成，且各homoclinicsaddleconnection在其内部 包围center/disk的(设为如8字那样的形状)流动的构造。

然后，在进行了以上的处理之后，将处理返回步骤SB-3，当尚存在时(步 骤SB-3，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，在无时(步骤SB-3，否)，如图38所示，操作语言赋予部102e判 定是否存在saddlepoint(鞍点)(步骤SB-15)。

在存在saddlepoint时(步骤SB-15，是)，操作语言赋予部102e判定是否有存在于 Figureeight型态中的saddlepoint(步骤SB-16)。

当存在于Figureeight型态中的saddlepoint有k个时(步骤SB-16，是)，操作语 言赋予部102e赋予k个操作语言B₀(步骤SB-17)，流线解析部102b在流线图上，进行k次将位 于最内侧的Figureeight型态置换为1个center/disk周围的closedorbit的操作(步骤 SB-18)。

另一方面，当没有存在于Figureeight型态中的saddlepoint时(步骤SB-16， 否)，由于存在为ss-saddleconnection并具有homoclinicsaddleconnection且其内侧 为center/disk的型态，因此，将其个数设为k个，操作语言赋予部102e赋予操作语言A₀(步 骤SB-19)，流线解析部102b进行k次消除saddlepoint(鞍点)和连结它的homoclinic saddleconnection以及它们所包围的center/disk的操作(步骤SB-20)。

然后，在进行了以上的处理之后，将处理返回步骤SB-15，当尚存在saddlepoint 时(步骤SB-15，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述处理。

另一方面，在已经没有saddlepoint时(步骤SB-15，否)，流体迁移路径获取装置 100结束算法B中的I系列的操作语言的分配处理，由语言表现生成部102c生成的语言表现， 通过迁移信息获取部102g的控制，与该时刻物体受到的力相对应地存储在型态迁移文件 106c中。此外，语言表现生成部102c的极大语言表现部102f，若从所得到的文字串之中选择 1个A₂，将其置换为I并移动到文字串的开头，并按照规则排序剩余的文字串，则能够变换为 极大语言(maximalword)。

[B-3.II系列中的操作语言的分配处理]

接着，对算法B中的II系列的操作语言的分配处理的一例，参照图39来进行说明。 图39是表示算法B中的II系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。此外，与I系列的操 作语言的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，也可以通过流线解析进行流线图的生成 和预处理。

如图39所示，操作语言赋予部102e针对所赋予的流线图，判定是否存在(步骤SC-1)。

当存在时(步骤SC-1，是)，操作语言赋予部102e判定：是否有在正好存在 2个的边界上具有该边界上的connection的型态(步骤SC-2)。

在有k个具有包含正好存在2个的边界的connection的型态时 (步骤SC-2，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B₂(步骤SC-3)，流线解析部102b在 流线图上，进行k次将相同边界上的和connection置换为一条closed orbit的操作(步骤SC-4)。

另一方面，在没有具有包含正好存在2个的边界的connection 的型态时(步骤SC-2，否)，操作语言赋予部102e判定在具有4个以上的的边界之中 是否有在相同边界上的connection其内侧为center/disk的型态(步骤SC-5)。

在有k个在包含4个以上的边界上的connection其内侧为 center/disk的边界时(步骤SC-5，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言C(步骤SC- 6)，流线解析部102b在流线图上，进行k次消除相同边界上的connection、由它连 结的2个被它们所包围的center/disk的操作(步骤SC-7)。

另一方面，在没有在包含4个以上的边界上的connection其内 侧为center/disk的边界时(步骤SC-5，否)，由于存在位于最内侧的Figureeight，因此将 其个数设为k个，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B₀(步骤SC-8)，流线解析部102b在 流线图上，进行k次将位于最内侧的Figureeight型态置换为包围1个center/disk的 closedorbit的操作(步骤SC-9)。

然后，在进行以上的处理之后，将处理返回步骤SC-1，当尚存在时(步骤 SC-1，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，在已经没有时(步骤SC-1，否)，操作语言赋予部102e判定是否 存在saddlepoint(鞍点)(步骤SC-10)。

当存在saddlepoint时(步骤SC-10，是)，操作语言赋予部102e判定是否有存在于 Figureeight型态中的saddlepoint(步骤SC-11)。

当有k个存在于Figureeight型态中的saddlepoint时(步骤SC-11，是)，操作语 言赋予部102e赋予k个操作语言B₀(步骤SC-12)，流线解析部102b在流线图上，进行k次将位 于最内侧的Figureeight型态置换为1个center/disk周围的closedorbit的操作(步骤 SC-13)。

另一方面，当没有存在于Figureeight型态中的saddlepoint时(步骤SC-11， 否)，由于存在为ss-saddleconnection并具有homoclinicsaddleconnection且其内侧 为center/disk的型态，因此，将其个数设为k个，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言A₀(步骤SC-14)，流线解析部102b进行k次消除saddlepoint(鞍点)和连结它的homoclinic saddleconnection以及、被它们所包围的center/disk的操作(步骤SC-15)。

然后，在进行了以上的处理之后，将处理返回步骤SC-10，当尚存在saddlepoint 时(步骤SC-10，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，在已经没有saddlepoint时(步骤SC-10，否)，流体迁移路径获取装置 100结束算法B中的II系列的操作语言的分配处理。此外，若从所得到的文字串之中选择1个 A₀，将它置换为II并移动到文字串的开头，并按照规则排序剩余的文字串，则能够变换为极 大语言(maximalword)。

[B-4.O系列中的操作语言的分配处理]

接着，对算法B中的O系列的操作语言的分配处理的一例，参照图40来进行说明。图 40是表示算法B中的O系列的操作语言的分配处理的一例的流程图。此外，与I系列的操作语 言的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，可以通过流线解析进行流线图的生成和预处 理。

如图40所示，操作语言赋予部102e针对所赋予的流线图，判定是否存在(步骤SD-1)。

当存在时(步骤SD-1，是)，操作语言赋予部102e判定是否有在正好存在2 个的边界具有相同边界上的connection的型态(步骤SD-2)。

在有k个在正好存在2个的边界具有connection的型态时(步骤 SD-2，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B2(步骤SD-3)，流线解析部102b在流线图 上，进行k次消除由相同边上的connection连结的和边界(boundary)而 置换为一条closedorbit的操作(步骤SD-4)。

另一方面，在没有具有包含正好存在2个的边界的connection 的型态时(步骤SD-2，否)，操作语言赋予部102e判定：在具有4个以上的边界之中 是否有在相同边界上的connection其内侧为center/disk的型态(步骤SD-5)。

在有k个在包含4个以上的边界上的connection其内侧为 center/disk的边界时(步骤SD-5，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言C(步骤SD- 6)，流线解析部102b在流线图上，进行k次消除相同边上的connection、由它连结 的2个被它们包围的center/disk的操作(步骤SD-7)。

另一方面，在没有在包含4个以上的边界上的connection其内 侧为center/disk的边界时(步骤SD-5，否)，由于存在位于最内侧的Figureeight，因此将 其个数设为k个，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B₀(步骤SD-8)，流线解析部102b在 流线图上，进行k次将位于最内侧的Figureeight型态置换为包围1个center/disk的 closedorbit的操作(步骤SD-9)。

然后，在进行以上的处理之后，将处理返回步骤SD-1，当尚存在时(步骤 SD-1，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，在已经没有时(步骤SD-1，否)，操作语言赋予部102e判定是否 存在saddlepoint(鞍点)(步骤SD-10)。

当存在k个saddlepoint时(步骤SD-10，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语 言B₀(步骤SD-11)，流线解析部102b在流线图上，进行k次将位于最内侧的Figureeight型 态置换为1个center/disk周围的closedorbit的操作(步骤SD-12)。

然后，在进行了以上的处理之后，将处理返回步骤SD-10，当尚存在saddlepoint 时(步骤SD-10，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，在已经没有saddlepoint时(步骤SD-10，否)，流体迁移路径获取装置 100结束算法B中的O系列的操作语言的分配处理。此外，若对得到的文字串的开头赋予O，按 照规则对其进行排序，则能够变换为极大语言(maximalword)。

以上，是根据流线图来求出语言表现的算法B的处理的细节的示例。由此，能够合 适地求出与任意的流线图对应的语言表现。此外，以上的算法B的处理只是一例，本发明不 限定于上述的算法。例如，作为算法B的处理的其它示例，也可以进行以下的处理。

[B-5.I，II系列中的操作语言的分配处理(亚种算法)]

在此，针对算法B中的操作语言I、II的分配处理的其它示例(亚种算法)，参照图41 以及图42来进行说明。图41以及图42是表示算法B(I、II-Wordalgorithm)中的I、II系列的 操作语言的分配处理的其它示例的流程图。此外，与上述分配处理的步骤SB-1以及步骤SB- 2同样，可以通过流线解析来进行流线图的生成和预处理。此外，在以下的操作语言的分配 处理中，在赋予操作语言时，设为从后向前进行赋予。

如图41以及图42所示，操作语言赋予部102e针对由流线解析部102b实施了预处理 的流线图，判定是否存在不连结于吸入/涌出对(1-source-sinkpoint)的saddle，或者存 在connection(步骤SI-1)。

当存在未连结于吸入/涌出对(1-source-sinkpoint)的saddle，或者存在 connection时(步骤SI-1，是)，操作语言赋予部102e判定：是否有在正好存在2个 的边界具有connection的型态(步骤SI-2)。

当有k个在正好存在2个的边界具有connection的型态时(步骤 SI-2，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B₂(步骤SI-3)，流线解析部102b在流线图 上，进行k次消除由相同边上的connection连结的和边界(boundary)而 置换为一条closedorbit的操作(步骤SI-4)。

当没有在正好存在2个的边界具有connection的型态时(步骤 SI-2，否)，在有位于最内侧的Figureeight型态时(步骤SI-5，是)，操作语言赋予部102e赋 予操作语言B₀，操作语言赋予部102e在流线图上，进行将位于最内侧的Figureeight型态 置换为1个center/disk周围的closedorbit的操作(步骤SI-6)。该操作(赋予操作语言B₀， 并置换为closedorbit的操作)尽可能反复执行。

另一方面，当没有存在于位于最内侧的Figureeight型态中的saddlepoint时 (步骤SI-5，否)，即当有在包含4个以上的边界上的connection其内侧为 center/disk的边界时，操作语言赋予部102e赋予操作语言C，流线解析部102b在流线图上， 反复进行消除其边上的connection、由它连结的2个被它们包围的 center/disk的操作(步骤SI-7)。该操作(赋予操作语言C，并消除center/disk的操作)尽可 能反复执行。

然后，在进行了以上的处理之后，将处理返回步骤SI-1，在尚存在未连结于吸入/ 涌出对(1-source-sinkpoint)的saddle，或存在connection时(步骤SI-1，是)， 流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，当仅存在连结于吸入/涌出对(1-source-sinkpoint)的saddle，并且 已经没有connection时(步骤SI-1，否)，如图42所示，操作语言赋予部102e判定是 否存在(步骤SH-1)。

然后，当不存在时(步骤SH-1，否)，流线解析部102b进行一次消除 saddlepoint(鞍点)和连结它的homoclinicsaddleconnection以及被它们所包围的 center/disk的操作(步骤SH-2)。

此外，在有k个ss-saddle时，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言A₀(步骤SH- 3)。

然后，流线解析部102b进行k次消除saddlepoint(鞍点)和连结它的homoclinic saddleconnection以及被它们所包围的center/disk的操作(步骤SH-4)。

然后，型态语言赋予部102d赋予型态语言II(步骤SH-5)，流体迁移路径获取装置 100结束算法B(I、II-Wordalgorithm)中的I、II系列的操作语言的分配处理。此外，得到的 文字串是极大语言(maximalword)。

另一方面，在上述的步骤SH-1中，当存在时(步骤SH-1，是)，流线解析 部102b在流线图上，进行1次消除它们2个和边界(boundary)而置换为一条ss- orbit的操作(步骤SH-7)。

然后，当有k个时，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言A₂(步骤SH- 8)。

然后，流线解析部102b在流线图上，进行k次消除它们2个和边界 (boundary)而置换为一条ss-orbit的操作(步骤SH-9)。

此外，操作语言赋予部102e，当有k个ss-saddle时，赋予k个操作语言A₀(步骤SH- 10)。

然后，流线解析部102b进行k次消除saddlepoint(鞍点)和连结它的homoclinic saddleconnection以及被它们包围的center/disk的操作(步骤SH-11)。

然后，型态语言赋予部102d赋予型态语言I(步骤SH-12)，流体迁移路径获取装置 100结束算法B(I、II-Wordalgorithm)中的I、II系列的操作语言的分配处理。此外，得到的 文字串是极大语言(maximalword)。

[B-6.O系列中的操作语言的分配处理(亚种算法)]

接着，针对算法B中的O系列的操作语言的分配处理(亚种算法)的一例，参照图43 来进行说明。图43是表示算法B(O-Wordalgorithm)中的O系列的操作语言的分配处理的其 它示例的流程图。此外，与上述的分配处理的步骤SB-1以及步骤SB-2同样，可以通过流线解 析进行流线图的生成和预处理。此外，在以下的操作语言的分配处理中，在赋予操作语言 时，设为从后向前进行赋予。

如图43所示，操作语言赋予部102e针对所赋予的流线图，判定是否存在saddle或 (步骤SJ-1)。

当存在Saddle或时(步骤SJ-1，是)，操作语言赋予部102e判定是否有在 正好存在2个的边界具有相同边上的connection的型态(步骤SJ-2)。

当有k个具有连结了正好存在2个的边界的connection的型态 时(步骤SJ-2，是)，操作语言赋予部102e赋予k个操作语言B₂(步骤SJ-3)。

然后，流线解析部102b在流线图上，进行k次消除由其边界上的connection连结的和边界(boundary)而置换成一条closedorbit的操作(步骤 SJ-4)。

另一方面，当没有具有连结了正好存在2个的边界的边界上的connection的型态时(步骤SJ-2，否)，操作语言赋予部102e判定是否有位于最内侧的 Figureeight(步骤SJ-5)。

当存在有位于最内侧的Figureeight的型态(即，在connection其内侧 的至少单侧是center/disk的型态)时(步骤SJ-5，是)，操作语言赋予部102e赋予操作语言 B₀，流线解析部102b在流线图上，进行置换为包围1个center/disk的closedorbit的操作 (步骤SJ-6)。此外，该操作(赋予操作语言B₀，并置换成closedorbit的操作)尽可能反复执 行。

另一方面，当没有位于最内侧的Figureeight时(步骤SJ-5，否)，即有在包含4个 以上的边界上的connection其内侧为center/disk的边界时，操作语言 赋予部102e赋予操作语言C，流线解析部102b在流线图上，消除其边界上的connection、由它连结的2个以及被它们所包围的center/disk(步骤SJ-7)。此 外，该操作(赋予操作语言C，并消除center/disk的操作)尽可能反复执行。

然后，在进行了以上的处理之后，将处理返回步骤SJ-1，当尚存在saddle或 时(步骤SJ-1，是)，流体迁移路径获取装置100反复上述的处理。

另一方面，当已经没有saddle或时(步骤SJ-1，否)，流体迁移路径获取装 置100结束算法B(O-Wordalgorithm)中的O系列的操作语言的分配处理。此外，若对得到的 文字串的开头赋予O，则它是极大语言(maximalword)。

以上是根据流线图求出语言表现的算法B的处理(亚种算法)的详细的示例。由此， 能够恰当地求出与任意流线图对应的语言表现。

[极大语言表现]

由于所得到语言表现中有时会存在冗长性，因此，针对在从型态语言的组合生成 整个文字串之后，判定各文字串是否成为极大语言，以得到无冗长性的极大语言表现的原 理和方法进行说明。

即，若按照赋予操作语言时的制约条件，则原则上所有构造稳定的流动的相位构 造能够通过列举操作语言来表现。不过，应注意的点是：“表现1个流动型态的语言有多种”。 此外，另一点是：“由一种语言表现表示的流动的型态也有多种”。该实例，能够看作IA₀A₂和 IA₂A₀等。根据语言表现的观点，后一点不是特别大的问题。这是因为某一种语言仅表现某种 流动型态的集合(组)而已。另一方面，前一点是若由多种语言表现1个流动则会冗长，容易 混淆而成为问题。因此，能够通过使用“极大语言表现(maximalwordrepresentation)”来 解决该问题。

该极大语言表现是通过对由I系列、II系列、O系列赋予的操作进行表示的文字串 的顺序的替换，并通过调查其表现的流动的集合成为怎样而被导入的。例如，针对文字IA₀A₂和IA₂A₀的2个语言表现，由于表示出它们所表示的流动的型态相同，因此，通过A₀和A₂的替 换而表现的型态不变化。因此，追加“A₂先于A₀出现在语言表现中”这样的规则，排除重复的 IA₂A₀这样的表现。将与这种文字的替换相关地发生的被语言表现的型态的变化象征性地表 现为A₀A₂＝A₂A₀。即使如此替换了语言，也将其表示的型态不变化的组合赋予Lemma3.5和 Lemma3.6(参照公开发表论文(2013))。

另一方面，有时通过替换语言，其表现的型态的集合也会发生变化。例如，针对 IB₀A₀和IA₀B₀，存在前者表示的型态的集合包含于后者表示的型态的集合中的包含关系。 即，若使用集合的符号，则成为当通过如此替换而使1个包含另1个 型态的集合时，排除被包含侧的语言表现，只采用更大的语言表现。将该关系式象征性表现 为B₀A₀≤A₀B₀。产生这种包含关系的语言的替换的组合由Lemma3.7赋予(参照公开发表论文 (2013))。

汇总基于这些语言的替换的包含关系式而得到下面的表格。此外，B₂C||CB₂，即使 替换B₂与C，包含关系也不成立，因此，表示这两者无法替换。

【表3】

A₀A₂B₀B₂C A₀＝ ＝ ≤ ＜ ＝ A₂＝ ＝ ＝ ≤ B₀＝ ≤ ≥ B₂＝ || C ＝

此外，若固定1个合适的算法，则能够通过这些语言表现的替换的极大语言表现， 针对1个型态，只有1个，这在数学上是能够证明的(参照公开发表论文(2013)Lemma3.8)。

而且，能够根据它求出极大语言表现的标准形。赋予针对O系列的极大语言表现的 标准形的是Theorem3.3，赋予针对I系列的极大语言表现的标准形的是Theorem3.4，针对 II系列的是由Theorem3.5赋予的(参照公开发表论文(2013))。

能够根据上述的理论来判定文字串是否成为极大语言，且在算法B中改写为极大 语言表现，或在算法B(亚种)中写出极大语言表现。由此，能够不重复地得到的文字串，因 此，在相位上，能够针对1个流动型态分配1个语言表现，能够排除冗长性。

以上，结束本实施方式的详细说明。

此外，根据本实施方式，作为一例，能够利用在飞机等构造物设计的优化方法中得 到的迁移信息。例如，通过上述的实施方式，能得到流动型态的迁移顺序或中间状态的流动 型态等，因此，流体迁移路径获取装置100可以在基于型态迁移文件106c中所存储的参数的 范围或迁移顺序等信息的制约之下，控制为由模拟部102a搜索最佳构造物。例如，当得到至 理想的流动型态的迁移路径时，在未能通过模拟得到当前流动型态的下1个流动型态的期 间，模拟部102a在模拟退火法中，为了去除局部极小，而将全局参数T(温度)设定得较高，以 使对设计变量容许较大变更。除此之外，为了在飞机等的设计中导向理想的流动型态，而根 据与迁移路径上的语言表现的一致不一致，模拟部102a可以调整为使对设定的所希望的型 态进行规定的搜索范围成为该所希望的型态。例如，与上述相同，模拟部102a在模拟退火法 中，当搜索范围与所希望的型态不一致时，将全局参数T(温度)设定得较高，以使对设计变 量允许较大变更，另一方面，当搜索范围与所希望的型态一致时，可以将全局参数T(温度) 设定得较低，以使对设计变量谋求较小的变更。如此，对河川或海洋、飞行等物体配置与流 动的相互作用的最佳状态，能够以短时间及低成本进行高精度的计算。此外，通过与目标相 应的流线型态的确定，能够谋求构造物设计的省力化。

此外，根据本实施方式，能够在桥墩的配置的设计、防波堤的配置的设计、港湾的 污染物质的有效除去、风力发电的叶片或飞机的形状的设计、油栏等中有效地确定至最佳 构造的搜索路径作为迁移路径。

[其它实施方式]

而且，至此对本发明的实施方式进行了说明，但本发明除了上述的实施方式以外， 在权利要求书记载的技术方案的范围内，可以通过各种不同的实施方式来实施。

尤其，在上述的实施方式中，虽然对针对三维流体的模拟的截面(构造物的截面 等)应用本发明的示例进行了说明，但不局限于此，也可以在二维流体的模拟中应用。

例如，虽然以流体迁移路径获取装置100以单机的方式进行处理的情况为一例进 行了说明，但流体迁移路径获取装置100，也可以根据来自客户终端的请求进行处理，并将 该处理结果返回至该客户终端。

此外，在实施方式中说明的各处理之中，能够手动地进行作为自动进行的处理来 说明的处理的全部或一部分，或者，能够通过公知的方法自动地进行作为手动进行的处理 来说明的处理的全部或一部分。

除此之外，针对包含上述文献中或附图中所示的处理步骤、控制步骤、具体的名 称、各处理的登记数据或検索条件等参数的信息、画面例、数据库结构，除了特别记载的情 况，能够任意地变更。

此外，关于流体迁移路径获取装置100，图示的各结构要素是功能概念上的要素， 未必需要在物理上如图示那样构成。

例如，针对流体迁移路径获取装置100的各装置具有的处理功能，特别是由控制部 102进行的各处理功能，既可以由CPU(CentralProcessingUnit：中央处理器)以及通过由 该CPU执行解释的程序来实现其全部或任意的一部分，此外，也可以设为基于布线逻辑的硬 件来实现。此外，程序记录在后述的记录介质中，根据需要而被流体迁移路径获取装置100 机械性地读取。即，在ROM或HD等存储部106等中，记录用于作为OS(OperatingSystem：操作 系统)而协同动作并对CPU赋予命令进行各种处理的计算机程序。该计算机程序通过加载到 RAM来执行，且与CPU协同动作而构成控制部102。

此外，该计算机程序也可以存储在针对流体迁移路径获取装置100经由任意的网 络300而连接的应用程序服务器中，能够根据需要而下载其全部或一部分。

此外，可以在计算机可读取的记录介质中存储本发明的程序，此外，能够构成为程 序产品。在此，该“记录介质”包括存储卡、USB存储器、SD卡、软盘、光盘、ROM、EPROM、EEPROM、 CD-ROM、MO、DVD、以及Blu-rayDisc等任意的“可移动的物理介质”。

此外，所谓“程序”，是由任意的语言或记述方法所记述的数据处理方法，与源代码 或二进制代码等的形式无关。此外，“程序”不限于必需单一地构成，也包括作为多个模块或 库而分散构成的程序，或与以OS(OperatingSystem)为代表的单独程序协同动作来实现其 功能的程序。此外，在实施方式所示的各装置中，针对用于读取记录介质的具体的结构、读 取步骤、或者读取后的安装步骤等，能够适用公知的结构或步骤。

存储部106中所存储的各种数据库等(模拟结果文件106a、流线图文件106b、型态 迁移文件106c等)，是RAM、ROM等存储装置、硬盘等固定磁盘装置、软盘、以及光盘等存储单 元，存储各种处理或网站提供所用的各种程序、表格、数据库、以及网页用文件等。

此外，流体迁移路径获取装置100既可以构成为已知的个人计算机、工作站等信息 处理装置，此外，也可以使该信息处理装置连接任意的周边装置来构成。此外，流体迁移路 径获取装置100可以通过安装使该信息处理装置实现本发明的方法的软件(包括程序、数据 等)来实现。

而且，装置的分散/统合的具体方式不限于图示的方式，能够根据各种的附加等， 或者根据功能负荷，以任意单位功能性或物理性地分散/统合来构成其全部或一部分。即， 可以任意组合来实施上述实施方式，也可以选择性地实施实施方式。

『实施方式2』

参照图44～图66来说明实施方式2的流体迁移路径获取装置、流体迁移路径获取 方法、以及程序。在实施方式2中，省略与实施方式1共同的部分的说明，仅对不同点进行说 明。

如实施方式1所说明，对于语言表现，有时会与多个流动型态对应。因此，如实施方 式1，在仅使用语言表现来确定迁移型态X的方法中，只是赋予能够发生迁移的候补(必要条 件)，与其对应的中间状态是否实际能够实现，需要通过流线构造的型态匹配来确认与其部 分语言对应而得到构造是否实际存在。

因此，在实施方式2中，提出与流动型态完全一一对应的新的表现方法即正规表 现，并且，提出通过除了语言表现，还使用正规表现来确定迁移型态X，从而不进行型态匹配 地自动确定迁移型态X的方法。如后述的细节那样，在实施方式2中，要注意：利用流线型态 与正规表现完全一一对应，针对与迁移型态X对应的局部的流线构造的变化，能够将它们预 先记述为正规表现的一部分表现的一部分(称为部分表现)的变化。

[流动型态的正规表现方法]

针对实施方式2的流动型态的正规表现生成方法进行说明。在实施方式2的流动型 态的正规表现生成方法中，使用一部分实施方式1的语言表现逻辑。本实施方式2的流动型 态的正规表现生成方法能够通过计算机等装置来执行。图44是用于说明实施方式2的流动 型态的正规表现方法的概略的流程图。

如图44所示，本实施方式的流动型态的正规表现方法，是相位几何学上生成具有N (其中，N是1以上的整数)个穴的多重连结外部区域中的流动型态的正规表现的方法，若大 致区分，则具有：生成与流动型态一一对应的图形表现的图形表现生成工序(步骤S21)；根 据在步骤S12的图形表现生成工序所生成的图形表现来生成正规表现的正规表现生成工序 (步骤S22)。

图形表现，针对由流动型态所规定的构造稳定的哈密顿向量场H，分配固有的带 根、带标签、有方向的树型T_H＝(V，E)(其中，V是称为顶点的点的集合，E是连结顶点之间的 边的集合)，可以可视化为平面图形。

此外，图形表现，将父顶点设为v，将其子顶点设为w，将分配给父顶点v的标签设为 l(v)，将分配给子顶点w的标签设为l(w)，在设为v的子顶点集合Γ(v)时，按照规定的顺序 关系的规则来排序v的子顶点集合Γ(v)，针对w∈Γ(v)，可以包括将从l(v)至l(w)的箭头 描绘成从左向右排列。

此外，流动型态可以是由(1)在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何学 上采取的2种流动型态之中具有吸入/涌出对且具有2个connection的型态I； (2)在具有上述1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何学上采取的2种流动型态之中具 有吸入/涌出对且具有1个saddlepoint、连结它的homoclinicsaddleconnection和2个 ss-saddleconnection的型态II；(3)在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/涌 出对的型态O构成的型态语言的1种或多种。

此外，语言表现可以设为：针对对除了在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相 位几何学上采取的2种流动型态，还追加了在具有2个穴的二重连结外部区域中不具有吸 入/涌出对的型态的合计3种流动型态进行规定的型态语言，通过赋予所追加的穴的个数 的、规定了在对上述流动型态追加了1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作的操作语 言之中的任一种语言而形成的符号语言。

图45是用于说明图44的图形表现生成工序的一例的流程图。在图45中，在图形表 现生成工序中，首先，当流动型态具有吸入/涌出对时，将流动型态变换为使包含与其吸入/ 涌出对最近的逆时针旋转的ss-orbit在内的区域成为最外侧区域(步骤S31)。流动型态，例 如，可以设为如下的流动型态，即：从上述的型态语言的1个或多个开始，至穴的个数达到N 个为止，反复进行赋予对在流动型态中追加1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作进 行了规定的操作语言之中的任一种语言的操作的而生成的穴的个数为N个的流动型态图。 具体而言，如后所述，I-word、II-word的ss-saddleconnectiondiagram(流动型态图)的 根变换为如图48所示。接着，从区域整体提取在变换的流动型态的(ss-)saddle connectiondiagram中出现的根(步骤S32)。对从区域整体去除所有在(ss-)saddle connectiondiagram中出现的轨迹而得到的连结分量设定顶点，将位于最外侧的连结分量 设为根(步骤S33)。接着，将当前分量设定为根(步骤S34)。将与当前分量彼此边界相接的连 结分量设为当前分量的子，根据碰到边界的轨迹来分配标签，按照规定的标签的顺序关系 来排列它们(步骤S35)。将当前分量的子设定为当前分量，直至没有子为止，反复执行步骤 S35(步骤S36)。

以下，详细说明实施方式2的流动型态的正规表现方法及其原理。

(2.图形表现生成工序)

针对上述图44的图形表现生成工序(步骤S21)进行详细地说明。首先，针对实施方 式2所使用的图形理论来进行说明。

(2-1.图形理论)

图形T＝(V，E)，是作为被称为“vertex(顶点)”的点的集合(顶点集合)V和连结该 顶点之间的被称为“edge(边)”的集合E的对而赋予的集合。一般而言，图形能够具有各种构 造，但在本实施方式的图形表现理论中，考虑：具有图形整体的集合中的某特定的构造的以 下的图形的集合。

1)树型，所谓树(Tree)，是指仅由一条边(edge)结合了任意2个顶点而成的图形。

2)所谓带根(Rooted)图形，是指存在某特定的顶点(以下，称为根(root))的图形。 针对带根图形，能够考虑从该根至各顶点v∈V的边的连结而成的最短路径，因此，将它称为 v的高度(height)，将符号记为ht(v)。由此针对带根树型T，通过ht(T)：＝maxv∈Vht(v)，能 够考虑树型T自身的高度。

3)图形有方向(directed)，是指对所有的边导入了父子的顺序。有方向的图形中 的从顶点v∈V至w∈V的边，表示为此时，v称为w的父，w称为v的子。记为Γ(v)，表 示顶点v∈V的整个子的集合。即，此外，该集合所包含的 子顶点的个数具有＃Γ(v)，称为v的out-degree，相反，进入v的边的个数称为v的in- degree。

4)图形带标签(labelled)，是指对所有顶点分配了特定的标签。

在本实施方式中，考虑带根、带标签、有方向的树型。此外，该根考虑：in-degree为零， 即不存在进入它的边的顶点。作为顶点的标签，分配{o₀，o₂，+₀，+₂，-₀，-₂}的任1个。此 时，将标签为(o₀，o₂，+₀，+₂，-₀，或_-2)的顶点集合的部分集合表示为(Vo₀、Vo₂、V+₀、V+₂、V-₀，或V-₂)。针对顶点v，若记为l(v)，则它表示分配给顶点的标签。以后为了方便， 定义了如下的集合。V₀＝Vo₀∪V+₀∪V-₀、V₂＝Vo₂UV+₂UV-₂，其中，U的符号表示disjointunion。除此之外，顶点v的 子顶点集合Γ(_v)能够分割为如下。

Γo₀(v)＝Γ(v)∩Vo₀，Γo₂(v)＝Γ(v)∩Vo₂，Γ+₀(v)＝Γ(v)∩V+₀，Γ-₀(v)＝Γ (v)∩V-₀，Γ+₂(v)＝Γ(v)∩V+₂，Γ-₂(v)＝Γ(v)∩V-₂，r-(v)＝r(v)∩V-，r+(v)＝r(v)∩V +，r₂(v)＝r(v)∩V₂。

而且，针对顶点v∈V，将“符合”记为sgn(v)，若v∈V+UV₀，则赋予sgn(v)＝+，若v∈ V-，则赋予sgn(v)＝-。以后排列标签来赋予流动的表现，因此，对这些标签的出现顺序规定 了如下的顺序关系的规则(1)。

o₀＞o₂＞+₀＞-₀＞+₂＞-₂…(1)

(2-2.二维构造稳定的哈密顿向量场的树型表现)

针对本实施方式的图形表现生成工序中的二维构造稳定的哈密顿向量场的树型 表现来进行说明。以下，针对用O-word表现的流动型态的图形表现、和用I、II-word表现的 流动型态的图形表现来进行说明。

(2-2-1.用O-word表现的流动型态的图形表现)

将H设为用二维区域D_z(M)上的O-word表现的构造稳定的哈密顿向量场，将D设为 其saddleconnectiondiagram。以下说明对该哈密顿向量场H分配固有的带根、带标签、以 及有方向的树型TH＝(V，E)的方法及作为其平面图形的可视化算法。

首先，若从区域全体D_z(M)中去除所有D，则能够构成由若干个(包含无限的周期轨 迹的)圆环开集合即连结分量构成的集合C_H＝D_z(M)D。将该各连结分量设为顶点集合V。根 的顶点设为这些连结分量之中位于最外侧的连结分量，在作为其标签而包含的周期轨迹呈 逆时针旋转时分配呈顺时针旋转时分配

接着，边如以下那样生成。针对2个顶点v、w∈V，当与这些顶点对应的连结分量的 闭包的共同部分(即分量的共同边)为1维dim(cl(v)∩cl(w))＝1，且v为w的外侧分量时，在 这2个之间构成有方向的边而且，在该共同部分(边界)集合cl(v)∩cl(w)为 saddleconnection，子连结分量w具有逆时针旋转(或者，顺时针旋转)的周期轨迹时，分配 +₀(或-₀)作为w的标签。同样地，若该共同部分(边界)集合cl(v)∩cl(w)为connection，w内的周期轨迹的方向为逆时针旋转(或顺时针旋转)，则将w的标签设为+₂(或-₂)。

注意：在C_H的内部1个ss-orbit都不存在，因此，连结分量v的子顶点集合Γ(v)成 为Γ(v)＝Γ+₀(v)UΓ-₀(v)UΓ+₂(v)UΓ-₂(v)。由于因此顶点集合V的部分集 合成为V₀＝V+₀∪V-₀以及V₂＝V+₂∪V-₂。进入这些部分顶点集合的源的个数，因为所有构造 稳定的流动型态是通过操作B₀、B₂、C来构成的，所以能够估算。

图46表示由操作B₀、B₂、C生成的所有流线型态和与其对应地被连结部分集合(顶点 集合)激励的父子关系。(a)表示B₀；(b)表示B₀；(c)表示B₀B₀；(d)表示B₂C^k-l，k≥1；(e)表示 B₂C^l，l≥1；(f)表示B₂²C^k+l-1，k、l≥1；(g)表示B₀B₂C^k，k≥1；(h)表示B₀B₂C^l，l≥1。在图46中，v 表示父连结部分集合，其子连结部分集合表现为w、y、z等。虚线表示父连结部分的集合，因 此，将在此所包含的周期轨迹带方向地描绘成一条。

如图46(a)所示，能够构成由操作B₀生成的向外8字的型态。在将v和homoclinic saddleconnection作为边界而共有的2个连结分量w₁∈V₀以及w₂∈V₀，其符合相同，即存在 sgn(v)＝sgn(w₁)＝sgn(w₂)。另一方面，在由B₀生成的型态如图46(b)所示那样为向内8字的 型态时，根据将父分量v设为怎样的连结分量，就能够构成2种v和w∈V₀的2个边(1个是sgn (v)＝sgn(w)，另1个是sgn(v)≠sgn(w))。

如图46(c)所示，通过操作B₀B₀形成2种父子边关系。在左侧的型态中，能够构成：从 父连结分量v至成为sgn(v)＝sgn(w₁)＝sgn(w₂)并且sgn(v)≠sgn(w₃)的3个子连结分量w₁、 w₂、w₃∈V₀的边。

在右侧的型态中，能够构成：从父连结分量v至成为sgn(v)＝sgn(w₁)≠sgn(w₂)的2 个子连结分量w1、w2∈V₀的边。以下同样地，如图46(d)～(f)所示，通过各操作B₂C^k-l、B2Cl、 B₂²C^k+l-1(k≥1，l≥1)能够依次构成包括与k个v同向的周期轨迹在内的连结分量与包括反 向的周期轨迹在内的1个连结分量之间的父子关系的边。

图46(g)是由操作B₀B₂C^k构成的流线型态，由此构成从v到w1、w2∈V₀或者从v到w∈ V₀的至具有相同符合的区域的边和至具有k个相反符合的子连结分量z_j∈V₀(j＝1，…，k)的 边。

最后，对应于由操作B₀B₂C^l(l≥1)生成的图46(h)的流线型态，能够形成至成为sgn (v)≠sgn(w)的w∈V₀的1条边和至具有相同符合的l条y_j∈V₀(j＝1，…，1)的边。

除此以外，通过操作B₀、B₂、C而生成新的父子关系的边是不存在的，因此由以上可 知，子连结分量的集合所包含的源的个数是#Γ+₀(v)、＃Γ-₀(v)≤2，对于子顶点集合所包 含的源的个数#Γ+₂(v)、#Γ-₂(v)能够选择任意的非负整数。

接着，说明将从所赋予的saddleconnectiondiagram得到的图形表现怎样描绘 为平面图形。首先，针对所有连结部分v∈V，根据与标签相关的顺序关系的规则(1)来排序 该子连结部分集合Γ(v)所包含的源。其中，当包含多个相同的标签+₀(或-₀)时，以循环的顺 序排列(这是因为＃Γ+₀(v)、＃Γ-₀(v)≤2，能够唯一实现)。另一方面，针对与标签+₂以 及-₀对应的子连结部分集合Γ+₂(v)以及Γ-₂(v)，其排列方法按照以下的规则。

针对图46中某一被记为y_j的连结部分，循环排列其顺序。即，从中选择特定的连结 部分作为y₁，然后按逆时针旋转排列连结分量。针对相同图中被记为z_j的子连结分量，能够 仅逆时针旋转排列。

针对在以下说明的(2-2-1-1.O系列中的saddleconnectiondiagram的树型的变 换处理)以及(2-2-2-1.I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的树型的变换处 理)，定义如下。N为非负整数的集合，N∞为非负整数的有限列的集合(即，N∞＝NUN²UN³…)。 在N∞上如下定义半顺序＜。当对于N∞的源s＝s₁…s_n，t＝t_l…t_m，“n＜m”或“n＝m且s₁＝ t₁，...，s_k-l＝t_k-1并且成为s_k＜t_k的自然数k＞0存在”成立时，定义为s＜t。以下，从顶点集 合V到N∞的单射函数S：赋予V→N∞。此时，对于顶点v，将S(v)称为顶点id。在此，根据单射 性，将顶点及其顶点id看作相同。而且，root的顶点id设置为0(由于将顶点和id看作相同)。 此外，根据以下的结构可知：顶点id对应于树型的高度优先搜索的顺序。以下，表示σ∈ {+，-}，设为μ＝-σ，用G表示树，用s、s’、t、u表示顶点id，用T表示顶点id的部分集合。此外， 在以下，虽然参照图46、49，但忽略流动的方向。

(2-2-1-1.O系列中的saddleconnectiondiagram的树型的变换处理)

图47-A～图47-E，是用于说明O系列中的saddleconnectiondiagram的向树型的 变换处理的流程图。通过计算机等装置能够执行图47-A～图47-E所示的O系列中的saddle connectiondiagram的向树型的变换处理。

在图47-A～图47-E中，将input设为saddleconnectiondiagramD，将saddle connectiondiagramD变换为在outermost中有root(步骤S101)，设置为s＝0，T＝{0}(步 骤S102)。判断root0的外侧边界是否逆时针旋转(步骤S103)，当root0的外侧边界逆时针 旋转时(步骤S103，“是”)，设为σ＝+，树型G＝(0，+_φ)(步骤S104)，当root0的外侧边非逆时 针旋转时，即顺时针旋转时(步骤S103，“否”)，设为σ＝-，树型G＝(0，)(步骤105)，转移至 步骤S106。

在步骤S106中，判断root0是否呈图46(a)的形状(型态)。在root0呈图46(a)的形 状时(步骤106，“是”)，将w₁、w₂的顶点id规定为00、01，将树型G规定为将图46(a)的树型的标 签置换为id与标签的组的树型G(即，将G规定为(00，σ₀)←(0，)→(01，σ₀))，在集合T中追 加{00，01}(步骤S107)。即，置换为T＝{0，00，01}。将该置换操作表示为T←TU{00，01}。之 后，处理转移至步骤S114。

另一方面，在步骤S106中，当root0未形成图46(a)的形状时(步骤106，“否”)，转 移至步骤S108。

在步骤S108中，判断root0是否呈图46(b)左方的形状。当root0呈图46(b)左方 的形状时(步骤108，“是”)，将w的顶点id规定为00，将树型G规定为将图46(b)的树型的标签 置换为id与标签的组的树型(即，将G设为((0，)→(00，σ₀)))，在集合T中追加{00}(步骤 S109)。即，设为T←TU{00}。此后，处理转移至步骤S114。

另一方面，在步骤S108中，当root0未呈图46(b)左方的形状时(步骤S108，“否”)， 转移至步骤S110。

在步骤S110中，判断root0是否呈图46(d)的形状。当root0呈图46(d)的形状时 (步骤S110，“是”)，规定y₁、…、y_k的顶点id为00、…、0k-1，将树型G规定为将图46(d)的树型 的标签置换为id与标签的组的树型，在集合T中追加{00，...，0k-1}(步骤S111)。即，设为T ←TU{00，...，0k-1}。此后，处理转移至步骤S114。

另一方面，在步骤S110中，当root0未呈图46(d)的形状时(步骤S110，“否”)，将树 型G规定为σφ(步骤S112)，output该树型G(步骤S113)，结束处理。

在步骤S114中，判断在T之中是否存在大于s的源t。当s是T之中的最大源时(步骤 S114，“否”)，将树型G的顶点id全部去除，将剩余的树型设为G(步骤S115)，output树型G(步 骤S113)，结束处理。

另一方面，在步骤S114中，当s不是T之中的最大源时(步骤S114，“是”)，设为s’＝ min{t∈T|s＜t}(即，T之中s的下1个较大的源s’)，将s置换为s’，设为(s，σ*)←(s’，σ*’) (步骤116)。之后，处理转移至步骤S117。

在步骤S117中，判断是否顶点s的外侧边是由1个homoclinicsaddleconnection 和saddle构成，且顶点s的内部边界s呈图46(a)的形状。当顶点s的外侧边由1个homoclinic saddleconnection和saddle构成，且顶点s的内部边界呈图46(a)的形状时(步骤117， “是”)，规定w₁、w₂的顶点id为s0、s1，规定树型G为将图46(a)的树型的标签置换为id与标签 的组的树型，在T中追加{s0，s1}(步骤S118)。之后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S117中，当顶点s的外侧边界不是1个homoclinicsaddle connection和saddle，或者顶点s的内部边界未呈图46(a)的形状时(步骤S117，“否”)，转移 至步骤S119。

在步骤S119中，判断是否顶点s的外侧边界由1个homoclinicsaddleconnection 和saddle构成，且顶点s的内部边界呈图46(b)左方的形状。当顶点s的外侧边界由1个 homoclinicsaddleconnection和saddle构成，且顶s的内部边界呈图46(b)左方的形状时 (步骤S119，“是”)，将w的顶点id规定为s0，将树型G规定为将图46(b)左方的树型的标签置 换为id与标签的组的树型，在T中追加{s0}(步骤S120)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S119中，当顶点s的外侧边界不是1个homoclinicsaddle connection和saddle，或者顶点s的内部边界未呈图46(b)的左方的形状时(步骤S119， “否”)，转移至步骤S121。

在步骤S121中，判断是否顶点s的外侧边界由1个homoclinicsaddleconnection 和saddle构成，且顶点s的内部边界呈图46(d)的形状。当顶点s的外侧边界由1个 homoclinicsaddleconnection和saddle构成，且顶点s的内部边界呈图46(d)的形状时 (步骤121，“是”)，将y₁，…，y_k的顶点id规定为{s0，…，sk-1}，将树型G规定为将图46(d)的树 型的标签置换为id与标签的组的树型，在T中追加{s0，...，sk-1}(步骤S122)。此后，处理返 回步骤S114。

另一方面，在步骤S121中，当顶点s的外侧边界不是1个homoclinicsaddle connection和saddle，或者顶点s的内部边界未呈图46(d)的形状时(步骤S121，“否”)，转移 至步骤S123。

在步骤S123中，判断顶点s是否呈图46(c)的左方的形状。当顶点s呈图46(c)的左 方的形状时(步骤S123，“是”)，转移至步骤S124。

在步骤S124中，判断顶点s的标签σ₀的σ是否为+(即，s之中的流动是否为逆时针旋 转)。当顶点s的标签σ₀的σ为+(即，s之中的流动为逆时针旋转)时(步骤S124，“是”)，将w₁、 w₂、w₃的顶点id规定为s0、s1、s2，将树型G规定为将图46(c)的左方的树型的标签置换为id与 标签的组的树型，在T中追加{s0，s1，s2}(步骤S125)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S124中，当顶点s的标签σ₀的σ非+时，即顶点s的标签σ₀的σ为- (即，s之中的流动是顺时针旋转)时(步骤S124，“否”)，将w₁、w₂、w₃的顶点id规定为s1、s2、 s0，将树型G规定为将图46(c)左方的树型的标签置换为id与标签的组的树型，在T中追加 {s0，s1，s2}(步骤S126)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S123中，当顶点s未呈图46(c)的左方的形状时(步骤S123， “否”)，转移至步骤S127。

在步骤S127中，判断顶点s是否呈图46(c)右方的形状。当顶点s呈图46(c)的右方 的形状时(步骤S127，“是”)，转移至步骤S128。

在步骤S128中，判断顶点s的标签σ₀的σ是否为+(即，s之中的流动为逆时针旋转)。 当顶点s的标签σ₀的σ为+(即，s之中的流动为逆时针旋转)时(步骤S128，“是”)，规定w₁、w₂的 顶点id为s0、s1，规定树型G为将图46(c)的右方的树型的标签置换为id与标签的组的树型， 在T中追加{s0，s1}(步骤S129)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S128中，当顶点s的标签σ₀的σ非+时，即顶点s的标签σ₀的σ为- (即，s之中的流动为顺时针旋转)时(步骤S128，“否”)，将w₁、w₂的顶点id规定为s1、s0，将树 型G规定为将图46(c)的右方的树型的标签置换为id与标签的组的树型，在T中追加{s0，sl} (步骤S130)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S127中，当顶点s未呈图46(c)右方的形状时(步骤S127，“否”)， 转移至步骤S131。

在步骤S131中，判断顶点s是否呈图46(h)的形状。当顶点s呈图46(h)的形状时(步 骤S131，“是”)，将y₁、…、y_l、w的顶点id规定为s1、…、sl、s0，将树型G规定为将图46(h)的树 型的标签置换为id与标签的组的树型，在T中追加{s0，…，sl}(步骤S132)。此后，处理返回 步骤S114。

另一方面，在步骤S131中，当顶点s未呈图46(h)的形状时(步骤S131，“否”)，转移 至步骤S133。

在步骤S133中，判断顶点s是否呈图46(g)左方的形状。当顶点s呈图46(g)的左方 的形状时(其中，也包括k＝0的情况)(步骤133，“是”)，将w₁、w₂、z₁、…、z_k的顶点id规定为 s0、s1、s2、…、sk+1，将树型G规定为将图46(g)左方的树型的标签置换为id与标签的组的树 型，在T中追加{s0，...，sk+1}(步骤S134)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S133中，当顶点s未呈图46(g)的左方的形状时(步骤S133， “否”)，转移至步骤S135。

在步骤S135中，判断顶点s是否呈图46(g)的右方的形状。当顶点s呈图46(g)的右 方的形状时(其中，也包括k＝0的情况)(步骤S135，“是”)，将w、z₁、…、z_k的顶点id规定为s0、 s1、…、sk，将树型G规定为将图46(g)的右方的树型的标签置换为id与标签的组的树型，在T 中追加{s0，…，sk}(步骤S136)。此后，处理返回步骤S114。

另一方面，在步骤S135中，当顶点s未呈图46(g)的右方的形状时(步骤S135， “否”)，转移至步骤S138(此时，如步骤S137所示，顶点s呈图46(f)的形状)。

在步骤S138中，判断顶点s的标签σ₀的σ是否为+(即，s之中的流动为逆时针旋转)。 当顶点s的标签σ₀的σ为+(即，s之中的流动为逆时针旋转)时(步骤S138，“是”)，将y₁、…、y_k、 z₁、…、z₁的顶点id规定为s0、…、sk-1、sk、…、sl+k-1，将树型G规定为将图46(f)的树型的标 签置换为id与标签的组的树型，在T中追加{s0，…，sl+k-1}(步骤S139)。此后，处理返回步 骤S114。

在步骤S138中，当顶点s的标签σ₀的σ不是+时，即顶点s的标签σ₀的σ为-(即，s之中 的流动为顺时针旋转)时(步骤S138，“否”)，将y₁、…、y_k、z₁、…、z₁的顶点id规定为sl、…、sl +k-1、s0、…、sl-1，将树型G规定为将图46(f)的树型的标签置换为id与标签的组的树型，在 T中追加{s0，…，sl+k-1}(步骤S140)。此后，处理返回步骤S114。

以上的操作，是O系列中的saddleconnectiondiagram的向树型的变换处理。

(2-2-2.由I-word以及II-word表现的流动的图形表现)

将H设为在Dz(M)内具有1-source-sinkpoint的构造稳定的哈密顿向量场，将D设 为其ss-saddleconnectiondiagram。此时，C_H＝D_z(M)￥D由包含closedorbit的圆环回区 域或包含ss-orbit的开圆板区域的连结分量构成。对此，如以下那样构成带根、带标签且有 方向的树型。与O-word时同样，将各C_H的连结分量与顶点集合建立对应。成为根的连结分量 是在C_H之中在最接近1-source-sinkpoint的开圆板区域，选择其闭包包括1-source-sink point且在内部包括顺时针旋转的ss-orbit的连结分量。对该连结分量分配标签通过这 种决定方式，根能够唯一决定。

图48是用于说明从C_H＝D_z(M)D选择成为根的连结分量的方法的图。在此，D设为能 够由I-word或II-word表现的ss-saddleconnectiondiagram。虚线是1条成为根的连结分 量中所包含的ss-orbit，也记有其方向。

在图48中，(a)是由语言表现IA₀A₀所表现的ss-saddleconnectiondiagram， connection的流动的方向是从右向左。(b)是具有语言表现IA₀A₀的ss-saddle connectiondiagram，connection的方向是从左向右。(c)是具有语言表现 IIA₀A₀的ss-saddleconnectiondiagram，位于其最外侧的连结分量中所包含的周期轨迹 的方向是顺时针旋转。(d)是语言表现IIA₀A₀与(c)相同而周期轨迹的方向相反。在各ss- saddleconnectionddiagram之下，表示出通过将位于成为根的连结分量内的点映成无限 大的等角映射而形成的ss-saddleconnectiondiagram的像。在该映射的中，根中所包含 的ss-orbit都呈逆时针旋转。

例如，若考虑如图48(a)所示的具有IA₀A₀的语言表现的ss-saddleconnection diagram，则位于1-source-sinkpoint正上方的连结分量(包含由虚线描绘的曲线的区域) 成为根。如果即使相同ss-saddleconnectiondiagram为相同形状，其流动的方向也如图 48(b)那样呈相反，则根据其定义，根成为位于1-source-sinkpoint正下方的连结分量。对 于具有图48(c)的语言表现IIA₀A₀的ss-saddleconnectiondiagram，若1-source-sink point正上方的连结分量反转方向(图48(d))，则其正下方的连结分量成为根。选择1个位于 成为该根的连结分量的点，通过将它映于无限远点这样的等角映射来映出ss-saddle connectiondiagram，在该像中，根的连结分量成为最外侧的连结分量，而且，注意：其中， ss-orbit始终逆时针旋转(参照图48的各图之下的部分)。

针对由如此得到的连结分量构成的顶点集合，使用以等角映射而映成使根连结分 量成为最外侧的连结分量，将顶点间的带方向的边定义成如图48所示。在2个连结分量v、w ∈V的闭包的共同部分的维度为1，即dim(cl(v)∩cl(w))＝1且v位于w的外侧时，构成从v到 w的带方向的边。针对具有ss-orbit的连结分量w∈V，如果cl(v)∩cl(w)包括ss-saddle connection(或connection)时，则对其子顶点w分配o₀(或o₂)的标签。针对在内 部具有逆时针旋转的closedorbit的连结分量w∈V，如果cl(v)∩cl(w)成为saddle connection(或connection)时，对子连结分量w赋予标签+₀(或+₂)。同样地，将标 签-₀以及-₂赋予具有顺时针旋转的closedorbit的连结分量。

其结果是，针对哈密顿向量场H的ss-saddleconnectiondiagram能够对应固有 的带根、带标签、有向的树型T_H＝(V，E)。将具有I-word或II-word的语言表现的构造稳定的 哈密顿向量场W的图形表现T_H＝(V，E)可视化为平面图形的方法如下。

首先，注意：关于子连结分量的集合，成为Γ(v)＝Γ_O(v)UΓ₊(v)UΓ_-(v)。当前，进 入Γ(v)的源预先按照顺序关系的规则(1)而被排序，此外针对具有相同标签的Γ₊₂(v)U以 及Γ_-2(v)的源，与O-word的可视化时同样地循环逆时针旋转排列。向针对具有进入V₊或V_-的closedorbit的连结分量v的平面图形的可视化，只要使用流程图(图47-A至图47-E)即 可，之后只要考虑针对进入V_o的连结分量的图形的描绘即可。

图49表示由操作A₀、A₂、C生成的ss-saddleconnectiondiagram的局部构造和与 它对应得到的图形表现的可视化。在图49中，父连结分量v表现为o_φ(o₀或o₂)。

在图49中，以虚线表示出：由(a)是A₀、(b)是A₀、(c)是A₀A₀、(d)是A₂C^k(k≥0)、(e)是 A2Cl(1≥1)、(f)是A₂²C^k+l(k，l≥1)、(g)是A₀A₂C^k(k≥0)、(h)是A₀A₂C^l(1≥1)构成的局部的 ss-saddleconnectiondiagram、和与它们对应生成的连结分量的父子关系、父连结分量v 中所包含的逆时针旋转的ss-orbit。父连结分量的标签表现为o*(其中，*是φ、0或2的任1 个)。ss-orbit的方向始终以逆时针旋转来确定根，因此，成为其子的连结分量中所包含的 流动方向是自动决定的。

若更具体地进行说明，则针对位于图49(a)的朝外homoclinicsaddle connection，父连结分量v具有2个子连结分量w∈Vo₀和y∈V+₀，因此，描绘从o*向o₀和+0的2 个箭头。针对位于图49(b)的朝内homoclinicsaddleconnection，能够根据将父选择为何 种连结分量来描绘向o₀或-₀的箭头。针对由操作A₀A₀形成的构造，如图49(c)所示生成2种型 态，因此，根据它能够描绘向o₀、+₀、-₀的3个箭头或向o0和-0的2条边。

对应于由操作A₂C^k(k≥0)生成的具有包括如图49(d)那样的k个closedorbit在内 的连结分量{z₁，…，z_k}的局部的ss-saddleconnectiondiagram的局部构造，描绘o₂以及k 个+₂的箭头。针对由操作A₂C^l(1≥1)生成的具有包括1个顺时针旋转的closedorbit在内的 子连结分量{y₁，…，y_l}的局部流线构造(图49(e))，主要描绘1个箭头和-₂即可。在图3(f) 中，表示由A₂²C^k+l(k，l≥1)生成的具有1个子连结分量w∈Vo₂、1个子连结分量{y₁，…，y_l}和k 个子连结分量{z₁，…，z_k}的局部构造，和与其对应地描绘向k个+₂和1个-₂的箭头的情形。最 后，针对由操作A₀A₂C^k(k≥0)赋予的图49(g)(或如图49(h)那样的A₀A₂C^l(l≥1))的构造，描 绘o₂、-₀(或o₀、+₀)的箭头，在其右侧描绘向k个+₂(或1个-₂)的箭头。

(2-2-3-1.I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的树型的变换处理)

图50-A～图50-D是用于说明I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram的树 型的变换处理的流程图。图50-A～图50-D所示的I、II系列中的ss-saddleconnection diagram的树型的变换处理，能够通过计算机等装置执行。

在图50-A～图50-D中，将input作为ss-saddleconnectiondiagramD，来进行规 定的坐标变换，变换为如图48所示的在outermost有根(步骤S141)，并设置为u＝0，T＝{0}， 树型G＝(0，)(步骤S142)。

在步骤S143中，判定root0是否呈图49(a)的形状。当root0呈图49(a)的形状时 (步骤S143，“是”)，将w、y的顶点id规定为1、00，将树型G规定为将图49(a)的树型的标签置 换为id与标签的组的树型(即，规定G为(1，o₀)←(0，)→(00，+₀))，在T中追加{1，00}(即， 将T＝{0}置换为T＝{0，1，00})(步骤S144)。此后，处理转移至步骤S149。

另一方面，在步骤S143中，当root0未呈图49(a)的形状时(步骤S143，“否”)，转移 至步骤S145。

在步骤S145中，判断root0是否呈图49(b)的左方的形状。当root0呈图49(b)左方 的形状时(步骤S145，“是”)，将w的顶点id规定为1，将树型G规定为将图49(b)的树型的标签 置换为id与标签的组的树型(即，规定G为((0，)→(1，o₀))，在T中追加{1}(步骤S146)。此 后，处理转移至步骤S149。

另一方面，在步骤S145中，当root0未呈图49(b)左方的形状时(步骤S145，“否”)， 转移至步骤S148(此时，如步骤S147所示，root0呈图49(d)的形状)。

在步骤S148中，将w、z₁、…、z_k的顶点id规定为1、00、…、0k-1，将树型G规定为将图 49(d)的树型的标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{1，00，…，0k-1}，然后，转移 至步骤S149。

在步骤S149中，判断在T之中是否存在大于u的源。当u为T之中的最大源时(步骤 S149，“否”)，将树型G的顶点id全部去除，将剩余的树型设置为G(步骤S150)，output树型G (步骤S151)，结束处理。

另一方面，在步骤S149中，当u不是T之中的最大源时(步骤S149，“是”)，u’＝min{t ∈T|u＜t}(即，将u’设为T之中u的下一个较大的源)，将u置换为u’(步骤S152)。之后，处理 转移至步骤S153。

在步骤S153中，判断u是否为自然数(即，是否对应于o₀、o₂的id)。当u不是自然 数时(步骤S153，“否”)，转移至O-word的处理即图47-B的S114。

另一方面，在步骤S153中，当u为自然数时(步骤S153，“是”)，转移至步骤S155。

在步骤S155中，判断顶点u的外侧边界是否由朝外homoclinicss-saddle connection、圆包围S(吸入/涌出对：参照图4)构成，且u的内侧边界是否呈图49(a)的形状。 当顶点u的外侧边界由1个homoclinicss-saddleconnection和圆包围S构成，且u的内侧 边界呈图49(a)的形状时(步骤S155，“是”)，将w、y的顶点id规定为u+1、u0，将树型G规定为 将图49(a)的树型的标签置换为id与标签的组的树型(即，规定G为(u+1，o₀)←(u，o₀)→(u0， +0))，并将T置换为TU{u+1，u0}(步骤S156)。此后，处理返回步骤S149。

另一方面，在步骤S155中，当顶点u的外侧边界不由朝外homoclinicss-saddle connection和圆包围S构成，或者，u的内侧边界未呈图49(a)的形状时(步骤S155，“否”)，转 移至步骤S157。

在步骤S157中，判断顶点u的外侧边界是否由朝外homoclinicss-saddle connection和圆包围S构成，且u的内侧边界是否呈图49(b)左方的形状。当顶点u的外侧边 界由1个homoclinicss-saddleconnection和圆包围S构成，且u的内侧边界呈图49(b)左 方的形状时(步骤S157，“是”)，将w的顶点id规定为u+1，将树型G规定为将图49(b)左方的树 型的标签置换为id与标签为的组的树型，并在T中追加{u+1}(步骤S158)。此后，处理返回步 骤S149。

另一方面，在步骤S157中，当顶点u的外侧边界不由朝外homoclinicss-saddle connection和圆包围S构成，或者u的内侧边界未呈图49(b)左方的形状时(步骤S157， “否”)，转移至步骤S159。

在步骤S159中，判断顶点u的外侧边界是否由朝外homoclinicss-saddle connection和圆包围S构成，且u的内侧边界呈图49(d)的形状。当顶点u的外侧边界由1个 homoclinicss-saddleconnection和圆包围S构成，且u呈图49(d)的形状时(步骤S159， “是”)，将w、z₁、…、z_k的顶点id规定为u+1、u0、…、uk-1，将树型G规定为将图49(d)的树型的 标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u+1，u0，…，uk-1}(步骤S160)。此后，处理 返回步骤S149。

另一方面，在步骤S159中，当顶点u的外侧边界不由朝外homoclinicss-saddle connection和圆包围S构成，或者u的内侧边界未呈图49(d)的形状时(步骤S159，“否”)，转 移至步骤S161。

在步骤S161中，判断顶点u是否呈图49(c)左方的形状。当顶点u呈图49(c)左方的 形状时(步骤S161，“是”)，将w、y₁、y₂的顶点id规定为u+1、u0、u1，将树型G规定为将图49(c) 的左方的树型的标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u+1，u0，u1}(步骤S162)。 此后，处理返回步骤S149。

在步骤S161中，当顶点u未呈图49(c)左方的形状时(步骤S161，“否”)，转移至步骤 S163。

在步骤S163中，判断顶点u是否呈图49(c)右方的形状。当顶点u呈图49(c)右方的 形状时(步骤S163，“是”)，将w₁、w₂的顶点id规定为u+1、u0，将树型G规定为将图49(c)右方的 树型的标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追中加{u+1，u0}(步骤S164)。此后，处理 转移至步骤S149。

另一方面，在步骤S163中，当顶点u未呈图49(c)右方的形状时(步骤S163，“否”)， 转移至步骤S165。

在步骤S165中，判断顶点u是否呈图49(g)的形状。当顶点u呈图49(g)的形状时(步 骤S165，“是”)，将w、y、z₁、…、z_k的顶点id规定为u+1、u0、u1、…、uk，将树型G规定为将图49 (g)的树型置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u+1，u0，…，uk}(步骤S166)。之后，处 理返回步骤S149。

另一方面，在步骤S165中，当顶点u未呈图49(g)的形状时(步骤S165，“否”)，转移 至步骤S167。

在步骤S167中，判断顶点u是否呈图49(h)左侧的形状。当顶点u呈图49(h)左方的 形状时(步骤S167，“是”)，将w、z、y₁、…、y_l的顶点id规定为u+1、u0、u1、…、ul，将树型G规定 为将图49(h)左方的树型的标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u+1，u0，u1，…， ul}(步骤S168)。返回步骤S149。

在步骤S167中，当顶点u未呈图49(h)左方的形状时(步骤S167，“否”)，转移至步骤 S169。

在步骤S169中，判断顶点u是否呈图49(h)右方的形状。当顶点u呈图49(h)右方的 形状时(步骤S169，“是”)，将w、z、y₁、…、y_l的顶点id规定为u+1、u0、u1、…、ul-1，将树型G规 定为将图49(h)右方的树型的标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u+1，u0， u1，…，ul-1}(步骤S170)。此后，处理返回步骤S149。

另一方面，在步骤S169中，当顶点u未呈图49(h)右方的形状时(步骤S169，“否”)， 转移至步骤S171。

在步骤S171中，判断顶点u是否呈图49(f)的形状。当顶点u呈图49(f)的形状时(步 骤S171，“是”)，将w、z₁、…、z_k、y₁、…、yl的顶点id规定为u+1、u0、…、uk-1、uk、…、ul+k-1，将 树型G规定为将图49(f)的树型的标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u+1， u0，…，ul+k-1}(步骤S172)。之后，处理返回步骤S149。

在步骤S171中，当顶点u未呈图49(f)的形状时(步骤S171，“否”)，转移至步骤 S173。

在步骤S173中，判断顶点u是否呈图49(b)右方的形状。当顶点u呈图49(b)右方的 形状时(步骤S173，“是”)，将y的顶点id规定为u0，将树型G规定为将图49(b)右方的树型的 标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u0}(步骤S174)。此后，处理返回步骤S149。

另一方面，在步骤S173中，当顶点u未呈图49(b)右方的形状时(步骤S173，“否”)， 转移至步骤S175。

在步骤S175中，判断顶点u是否呈图49(e)的形状。当顶点u呈图49(e)的形状时(步 骤S175，“是”)，将y₁、…、y_l的顶点id规定为u0、…、ul-1，将树型G规定为将图49(e)的树型的 标签置换为id与标签的组的树型，并在T中追加{u0，…，ul-1}(步骤176)。之后，处理返回步 骤S149。

另一方面，在步骤S175中，当顶点u未呈图49(e)的形状时(步骤S175，“否”)，返回 步骤S149(此时，如步骤S177所示，顶点u呈图49(a)的形状)。

以上的操作是从I、II系列中的ss-saddleconnectiondiagram向树型的变换处 理。

(2-2-3.图形表现及其正规表现)

根据以上所述，针对具有1-source-sinkpoint的ss-saddleconnection diagram，能够唯一地决定其根，此外，由此通过操作A₀、A₂、B₀、B₂、C构成的ss-saddle connectiondiagram的局部构造与由此导入的连结分量之间的父子关系全部在图46和图 49之中表现，因此，表示如下。

Proposition3.1：在各具有1-source-sinkpoint的构造稳定的哈密顿向量场的 流线相位构造中，对应固有的带根、带标签、有向的树型表现。

针对不具有1-sourcesinkpoint的构造稳定的哈密顿向量场，根的选择方法不 是唯一的。原因是：针对在内部包括不具有的圆边界的任意的连结分量，存在某一 连续映射，由此能够将其连结分量始终设为最外侧的连结分量。因此，针对saddle connectiondiagram，只是存在其连结分量的个数不同的图形表现。为了消除这种含糊，将 能够通过如此连续映射来转移的图形表现分别设定为另外的。即，针对2个构造稳定的哈密 顿向量场V₁和V₂，通过某同相映射D_z(M)上的同相映射的存在而在V₁和V₂的各轨迹不改变方 向的情况下相互映出的V₁和V₂的外侧边界的对应来定义成为V₁～V₂的同值关系。此时，～规 定同值关系，能够对该同值类赋予固有的带根、带标签、有向的树型。

Proposition3.2：构造稳定的哈密顿向量场的同值类的流线相位构造中对应固 有的带根、带标签、有向的树型表现。

(3.正规表现形成工序)

针对上述图2的正规表现形成工序(步骤S2)进行详细说明。于是，作为在图形理论 中众所周知的事实，对带任意根、带标签、有向的树型可考虑固有的成为“正规表现 (regularexpression)”的树型。将T_H＝(V，E)设为对由上述方法得到的构造稳定的哈密顿 向量场H赋予的图形表现。针对该图形表现，其正规表现的赋予归纳如下。首先，注意：根以 外的所有的顶点的in-degree都是1。如果，ht(T_H)＝0，则图形仅是根，即V＝{v₀}，其正规表 现是l(v₀)。当前，当存在高度ht(T_H)＝n-1的正规表现N时，将位于此处的顶点集合设为T_n-1＝{v₁，v₂，…，v_m}，使用各顶点v_i的子顶点集合Γ(vi)＝{v_i1，v_i2，…，v_imi}和与它对应的标签 l_i＝l(v_i)(i＝1，…，m)，针对N能够通过将li置换为l_i(l_i1，l_i2，…，l_imi)来构成新的正规表 现。其中，l_ik＝l(v_ik)(k＝1，…，m_i)。若将如此构成的T_H的正规表现设为N_TH，则从其构成方法 得到以下的命题。

Proposition3.3：从带根、带标签、有向的树型T向正规表现N_T的映射N_T＝f_N(T)是 全单射。

主张Proposition3.1和Proposition3.2，若换言之，可知：由于从(ss-)saddle connectiondiagramH向其图形表现TH的映射T_H＝f_T(H)是单射(一一对应)，因此若与上面 的Proposition3.3相符，则合成映射N_T＝f_N(f_T(H))也是单射。即，对具有相同语言表现的 构造稳定的哈密顿向量场赋予不同的正规表现，通过语言表现无法区别的型态，若使用正 规表现，则全都能够区别。作为其实施例，图51-A表示由相同语言表现IA₀C赋予的构造稳定 的流线型态的图形表现的可视化及其正规表现。如由(2-2-2.通过I-word以及II-word表现 的流动的图形表现)所说明，根的连结分量选择了位于1-source-sinkpoint的正下方或正 上方的连结分量。由此可知：所有正规表现不同。

图51-A表示具有IA₀C的语言表现的构造稳定的流线型态的图形表现及其正规表 现。根基于其定义而与1-source-sinkpoint正下方的连结分量对应。为了得到图形表现， 在其右侧描绘了将根连结分量映成最外侧的连结分量。

(3-1.树型的向正规表现的变换处理)

图51-B是用于说明树型的向正规表现的变换处理的流程图。图51-B所示，树型的 向正规表现的变换处理，能够通过计算机等装置执行。在以下的处理中，作为预处理，对树 型的所有点赋予id。其中，不同的点的id是不同的。在图51-B中，将input作为树型G(步骤 S178)。将v设置为树型G的顶点集合，s＝0，T＝{0}，将X设置为空集合φ，正规表现N＝(s， )()(步骤S179)。

在步骤S180中，将从左读取s的子的结果设为(s⁽¹⁾，σ⁽¹⁾)，…，(s^(h)，σ^(h))。此时，将 正规表现N之中的(s，σ*)()置换为σ*(s⁽¹⁾，σ(¹⁾)()，…，(s^(h)，σ^(h))())，并在T中追加{s ⁽¹⁾，…，s^(h)}，在X中追加{s}。

在步骤S181中，判断是否#V＝#X。当#V＝#X时(步骤S181，“是”)，output正规表现 N，结束处理。

另一方面，在步骤S181中，当不是#V＝#X时(步骤S181，“否”)，选择1个s’∈T-X (注：不依赖于选择方法)，将(s，σ*)置换为(s’，σ’*)(步骤S182)，返回步骤S180。

以上的操作是树型的向正规表现的变换处理。

接着，针对用于通过计算机实施上述本实施方式的流动型态的正规表现方法的装 置结构进行说明。此外，既可以通过人或计算机来实施以上的本实施方式的方法，也可以在 通过人实施以下的实施方式的处理等时使用。

[实施方式2的流体迁移路径获取装置的结构]

接着，针对实施方式2的流体迁移路径获取装置的结构，参照图52来进行说明。图 52是表示应用本实施方式2的流体迁移路径获取装置101的一例的方框图，示意性表示与该 结构之中与本实施方式2相关的部分。在图52中，对与图29所示的实施方式1的流体迁移路 径获取装置100具有同等功能的部位赋予相同符号，省略共同的部分的说明，仅对不同点进 行说明。实施方式2的流体迁移路径获取装置101与实施方式1的流体迁移路径获取装置100 的不同点在于：具有正规表现形成部120；迁移信息获取部102g2，除了图29的迁移信息获取 部102g的处理，还使用正规表现来获取迁移信息；模拟部102a2除了图29的模拟部102a的处 理，还执行使用语言表现和正规表现来选择设计参数的候补的设计参数工序选择处理。

实施方式2的存储部106还存储：为了由流体迁移路径获取装置101上执行上述正 规表现生成方法所需的各种数据(例如，对图2～图6，图46，图48～图49，图51-A所示的数据 进行数据化的数据等)、数据库、以及表格等。

实施方式2的控制部102还具有执行上述正规表现生成方法的正规表现形成部 120。正规表现形成部120包括：图形表现生成部120a和正规表现生成部120b。

图形表现生成部120a，是用于执行上述图形表现生成工序(步骤S21)的图形表现 生成单元，例如，通过执行图47-A～图47-E所示的在O系列中的saddleconnection diagram的向树型的变换处理、以及图50-A～图50-D所示的在I、II系列中的ss-saddle connectiondiagram的向树型的变换处理等，生成与在相位几何学上具有N(其中，N是1以 上的整数)个穴的多重连结外部区域中的流动型态一一对应的图形表现。在此，图形表现可 以为：对由流动型态规定的构造稳定的哈密顿向量场H分配固有的带根、带标签、有向的树 型T_H＝(V，E)(其中，V称为顶点的点的集合，E为连结顶点之间的边的集合)，且可视化为平 面图形。此外，图形表现也可以包括：在将父顶点设为v，将其子顶点设为w，将对父顶点v所 分配的标签设为l(v)、将对子顶点w所分配的标签设为l(w)，将v的子顶点集合设为Γ(v) 时，按照规定的顺序关系的规则来排序v的子顶点集合Γ(v)，针对w∈Γ(v)，从左向右排列 地描绘从l(v)向l(w)的箭头。此外，流动型态可以是以下的1种或多种：(1)在具有1个穴的 单连结外部区域中能够在相位几何学上采取的2种流动型态之中的具有吸入/涌出对且具 有2个connection的型态I；(2)在具有上述1个穴的单连结外部区域中能够在 相位几何学上采取的2种流动型态之中的具有吸入/涌出对且具有1个saddlepoint、连结 它的homoclinicsaddleconnection和2个ss-saddleconnection的型态II；(3)在具有2 个穴的二重连结外部区域中不具有吸入/涌出对的型态O。此外，也可以当流动型态具有吸 入/涌出对时，将流动型态变换为使包括与其吸入/涌出对最近的逆时针旋转的ss-orbit的 区域成为最外侧区域，从区域整体提取变换后的流动型态的(ss-)saddleconnection diagram中出现的轨迹，对从区域整体将(ss-)saddleconnectiondiagram中出现的轨迹 全部除去而得到的连结分量设定顶点，并将位于最外侧的连结分量设为根，将与当前分量 彼此边界相接的连结分量设为当前分量的子，根据碰到边界的轨迹来分配标签，按照规定 的顺序关系来排列该标签，将当前分量的子设定为当前分量，反复进行，直至没有子。此外， 该流动型态，也可以是：从型态语言的1种或多种开始，直至穴的个数达到N个为止反复进行 赋予对在流动型态中追加1个穴时能够在相位几何学上采取的5种操作的操作语言之中的 任一种语言的操作而生成的流动型态图。

此外，正规表现生成部120b是用于实现上述正规表现生成工序(步骤S22)的正规 表现生成单元，例如，如图51-B所示，通过执行树型的向正规表现的变换处理等，根据由图 形表现生成部120a生成的图形表现来生成正规表现。

模拟部102a2还执行设计参数候补选择处理(参照图56)。在设计参数候补选择处 理中，在针对流体中的物体选择设计参数的候补时，设定设计参数的上限以及下限，并从由 该设计参数的上限和下限所规定的参数区域中选择多个参数，并对所选择的多个参数分别 进行流动的实验以及/或者数值计算，对实验以及/或者数值计算的结果分配语言表现以 及/或者正规表现，将所分配的语言表现以及/或者正规表现之中的具有表示最佳状态的语 言表现以及/或者正规表现的设计参数作为上述设计参数的候补。

此外，在设定参数候补选择处理中，可以即使在所分配的语言表现以及/或者正规 表现没有表示最佳状态的语言表现以及/或正规表现时，流动型态也通过1次迁移而使语言 表现以及/或者正规表现具有表示最佳状态的语言表现以及/或者正规表现的情况下，选择 为设计参数的候补。而且，在设计参数候补选择处理中，还可以使用所选择的设计参数来进 行优化设计。

迁移信息获取部102g2，除了语言表现，还可以使用与流动型态一一完全对应的正 规表现来获取迁移路径。迁移信息获取部102g2，在以所指定的构造稳定的流动型态的语言 表现为基准并基于型态迁移信息而获取到的迁移路径的候补有多个时，可以使用与构造稳 定的流动型态一一对应的正规表现来确定1个迁移路径。此外，迁移信息获取部102g2，在将 所指定的2个构造稳定的流动型态之间的语言表现的操作语言的变化作为基准并基于上述 变化信息而获取到的迁移路径有多个时，分别获取与2个构造稳定的流动型态的语言表现 (例如，W₁、W₂)对应的正规表现(例如，N₁、N₂)，针对多个迁移路径的候补，在用于发生该迁移 的部分表现未包含在与一方的构造稳定的流动型态的语言表现(例如，W₁)对应的正规表现 (例如，N₁)中时，也可以从迁移路径的候补中去除。此外，迁移信息获取部102g2，当未去除 的迁移路径的候补有多个时，分别获取与该未去除的多个迁移路径的候补对应的正规表 现，将未去除的多个选择路径的候补之中的其正规表现与另一方的构造稳定的流动型态的 语言表现(例如，W₂)所对应的正规表现(N₂)一致的型态确定为迁移型态。

图53是表示实施方式2中的流体迁移路径获取装置101中的使用指数之差的迁移 路径搜索处理的一例的流程图。在图53中，对与图31进行相同处理的步骤赋予相同的步骤 号码。此外，在以下的示例中，作为型态迁移信息，使用与h-不稳定以及p-不稳定的流线型 态的摄动及其部分语言表现相关得到的图26～图28的列表。

在图53中，首先，迁移信息获取部102g2指定2个构造稳定的流线型态(步骤S-11)。

然后，迁移信息获取部102g2获取与2个构造稳定的流线型态对应的语言表现W₁、W₂(步骤S-12)。例如，在指定了流线图的情况下，迁移信息获取部102g2通过语言表现生成部 102c的处理，获取对应的语言表现W₁、W₂。

然后，迁移信息获取部102g2计算语言表现W₁与W₂之差d(步骤S-13)。即，迁移信息 获取部102g2通过从III、O中选择适当的*来计算d＝ind*(W₁)-ind*(W₂)。

然后，迁移信息获取部102g2从型态迁移信息(图26～图28的表)导出具有差d的迁 移型态X(步骤S-14)。此外，当具有差d的迁移型态X不一致时，可以设为表示2个构造稳定的 流线型态通过1次迁移不能相互转移之意的迁移信息，或搜索通过多次迁移能够相互转移 的迁移路径。例如，设为通过k次的迁移能够相互转移，迁移信息获取部102g可以导出如d＝ ind*(W₁)-ind*(W₂)＝d₁+d₂+····+d_k这样的迁移型态X₁，X₂，…，X_k的组合。此外，进行迁 移时的相邻的流线型态彼此之间语言表现必须相同(共有部分串)。

然后，迁移信息获取部102g2从表格中找出所有具有差d的迁移型态X(步骤S-14)， 并获取与各迁移型态X对应的部分串S1和S2(步骤S-15)。此外，在假设上述多次迁移的情况 下，针对迁移型态X₁、X₂、…、X_k，分别求出部分串S₁₁、S₂₁～S_1k和S_2k。

然后，迁移信息获取部102g2针对部分串S₁和S₂，调查它们是否分别成为W₁和W₂的 部分语言，在成为部分语言时，设为迁移型态X的候补(步骤S-16)。即，调查是否且 如果其成立时，获取X作为迁移的候补，否则放弃。

而且，迁移信息获取部102g2，在迁移型态X的候补有多个时，通过正规表现形成部 120的处理，获取具有W₁、W₂的语言表现的流线构造的正规表现N₁、N₂(步骤S-17)。

迁移信息获取部102g2，针对多个迁移型态的候补，从候补中去除在正规表现N₁之 中不存在用于产生其迁移的部分表现的候补(步骤S-18)。

迁移信息获取部102g2判断迁移型态的候补是否为1个(步骤S-19)，当迁移型态的 候补为1个时(步骤S-19，“是”)，将它确定为迁移型态(步骤S-20)。

另一方面，当迁移型态的候补不为1个时(步骤S-19，“否”)，迁移信息获取部102g2 通过正规表现形成部120的处理，对迁移型态X的候补分别获取其正规表现(步骤S-21)。

迁移信息获取部102g2，将迁移型态X的候补之中其正规表现与正规表现N2一致的 候补确定作为迁移型态(步骤S-22)。

如此，在实施方式2中，当迁移型态的候补有多个时，不进行型态匹配，通过N₁的正 规表现中所包含的部分表现的比较、迁移型态的正规表现与N₂的比较，能够判定实际上是 否产生了迁移，能够确定1个迁移型态。

[实施例]

参照图54以及图55，对与图32～35说明的实施例相同的条件下使用语言表现和正 规表现来确定迁移型态的实施例进行说明。图54是在均匀流中放置的一片平板从t＝5.5至 t＝7.7的时间发展及其流线型态的相位构造、其极大语言表现、以及其正规表现。图55是表 示从时刻t＝5.5至7.7的时间发展的期间所发生的迁移的图。

在图54中，进一步分配了t＝5.5时的流线型态的正规表现(o₂(-₂(-₀，-₀， +₂)))、t＝6.6时的流线型态的正规表现(o₀(o₂，-₀(-₀，-₀)，+₂)、以及t＝7.7时的流线 型态的正规表现(o₀(o₀(o₂，-₀，+₂)，-₀))。根据本实施方式2的算法(使用指数之差的 迁移路径搜索处理等)赋予发生了怎样的迁移。在实施方式2的算法中，能够仅在语言表现 和正规表现的比较中进行迁移型态的确定。

首先，时刻t＝5.5和t＝6.6的极大语言表现为W₀＝ICCB₀以及W1＝IA₀CB₀，因此，首 先若取其指数之差d，则成为d＝ind_I(W₁)-ind_I(W₀)＝(1，0，0，0，-1)，但生成这样的指数之 差的迁移X，从图26～图28的表格可知，为X＝IΔ₁、IM_1，s、ICM_1，i这3个。

若根据X＝IM₁，s的迁移的方法赋予对应的正规表现，则得到N_IM1，(o₀(o₂，-₀(-₀，-₀)，+₂)。与它相比，成为N₁＝N_IM1，s，因此，能够判定为：由正规表现的一一对应而实际发 生的迁移能够判定为是X＝IM_1，s。

接着，针对时刻从t＝6.6至t＝7.7，其极大语言表现为W₁＝IA₀CB₀和W₂＝IA₀A₀C，若 取其指数之差，则d＝ind_I(W₂)-ind_I(W₁)＝(1，0，-1，0，0)，若从图26～图28的列表中搜索X， 则得到X＝ICD₀、A₀E₀、s以及ICΨ(2)。

与X＝ICΨ(2)对应的部分语言S₁和S₂不包含于W₂和W₁，这个去除。

另一方面，针对X＝A₀E_0，s以及X＝ICD₀，且都成立，因此，这是发生 迁移的候补。根据X＝A₀E₀的迁移而对应的正规表现与N₂相等，通过正规表现的一一对应，能 够确定所发生的迁移为X＝A₀E_0，s。

[使用语言表现和正规表现的流体中的物体的设计方法(设计参数候补选择处 理)]

例如，针对通过置于桥或桥墩等流体中的物体(以下称为设计对象)的形状或配 置，或其周围的流动的控制等来确定对于设计的对象而言最佳的参数的设计方法，说明：使 用语言表现和正规表现如何进行设计。

前提1：设计对象中有能够变更的设计参数(形状·配置·流动的控制装置等)。

前提2：在对设计对象进行设计的基础上，设定与问题相应的“最佳状态”，能够将 该最佳状态记述为流线构造的特征。例如，若将关住剥离涡的状态设为最佳状态，则如果是 机翼，就能够期待升力的最大化，如果是桥墩，则能够期待阻力的最小化等。

前提3：在这些设计中，能够改变设计参数来进行实验以及数值计算(然后，在此得 到流线型态的语言表现·正规表现)。以下，限定为二维的流动。三维的情况下取截面来考 虑，有时能够通过二维化等进行设计(注意：三维的情况下不是所有情况都可以)。

在以往的优化设计中，从初始状态开始，对设计参数进行基于经验或试行错误、或 既知的优化方法等的优化。即使能够实现某种优化，这也是局部的优化，或呈物理上的不稳 定，能否担负实际的设计仍是未知。

在本实施方式的设计参数的搜索中，针对相关的状况，从最初预先设定理想的状 况作为流线型态的语言表现或正规表现，能够搜索参数区域来实现搜索。这样，能够尽可能 多且快速地搜索到实现最佳的设定的设计参数的“候补”。从这些候补开始，通过进行已有 的优化方法来得到较多且实现性较高的设计参数的可能性变大。

图56是用于说明使用语言表现和正规表现的流体中的物体的设计方法，即上述的 设计参数候补选择处理的流程图。图56所示的流程图，通过模拟部102a2来执行。

在图56中，首先，确定能取的设计参数的上限和下限(步骤S311)。接着，分割在上 述步骤S311中确定的参数区域(将由设计参数的上限和下限规定的区域称为“参数区域”)， 从参数区域中选择N个参数的组合样本(设计参数Pi(i＝1，…，N))(步骤S312)。此外，样本 的选择可以基于至此的经验或计算结果等来适当选择，在没有先验的信息时，可以等分参 数区域来进行采样。

在以下，以作为表示涡封闭状态的语言表现而将在语言表现中包含“C”作为设计 的目标的示例进行说明。对各设计参数P_i(i＝1，…，N)分别进行流动的实验或数值计算(步 骤S313)。对所得到的各结果进行语言表现和正规表现的分配(步骤S314)。判断其语言表现 是否是具有表示最佳状态的IC的部分语言的、或具有与它对应的正规表现的构造表现(步 骤S315)。当其语言表现是具有表示最佳状态的IC的部分语言的、或具有与它对应的正规表 现的构造表现时(步骤S315，“是”)，采用为设计参数的候补(步骤S316)。另一方面，其语言 表现不是具有表示最佳状态的IC的部分语言的、或不是具有与它对应的正规表现的构造表 现时(步骤S315，“否”)，通过1次迁移，判断其语言表现是否是具有表示最佳状态的IC的部 分语言的、或具有与它对应的正规表现的构造表现(步骤S320)。当通过1次迁移，其语言表 现是具有表示最佳状态的IC的部分语言的、或具有与它对应的正规表现的构造表现时(步 骤S320，“是”)，采用为设计参数的候补(步骤S316)。当通过1次迁移(从构造稳定的流动型 态向构造不稳定的中间状态的流动型态的1次迁移)，其语言表现不是具有表示最佳状态的 IC的部分语言的、或不是具有与它对应的正规表现的构造表现时(步骤S320，“否”)，不采用 为设计参数的候补。

在步骤S317中，判断是否有设计参数的候补(步骤S317)，当有设计候补的参数时 (步骤S317，“是”)，对设计参数的候补应用已有的优化方法(步骤S319)。此外，不仅应用已 有的优化方法，在优化过程的各阶段，始终通过计算语言表现或正规表现来进行监测，由 此，能够进行除了定量的流动的优化以外、还同时进行理想的流线构造的优化的优化设计。

另一方面，在没有设计参数的候补时(步骤S317，“否”)，对参数区域进行更细小地 分割(步骤S318)，执行步骤S313～S317的处理。

图57以及图58是用于说明对使用上述语言表现和正规表现的流体中的物体的设 计方法进行说明的具体例的一例的图。在图57中，设为：在放置于均匀流中的物体400的背 后存在2个涡构造(涡1、涡2)的状况。将均匀流的速度(或物体的前进速度)设为U，物体400 设为能够以角速度G进行旋转的物体。考虑为：对涡的强度和位置设为在流动中已赋予、将 涡1“封闭”、使物体400的升力最大化、涡2能够沿着流动而远离物体的装置，通过搜索“U或G 的参数”来进行优化。涡封闭状态的语言表现通过“C”而远离的涡能够通过“A₀”来表现，因 此，作为成为目标的状况的语言表现，通过本设计方法的使用，在参数区域搜索成为IA₀C的 参数。

针对本设计参数，设为：U能够从0至1.1进行变化，G能够从-1.6×2π至1.6×2π进 行变化(在上述步骤S311中确定设计参数的上限、下限)。将这些参数区间进行5等分来分割 设计参数区域(上述步骤S312)。然后，执行上述步骤S313～S320的结果是图58的(a)～(f)。 在该参数区域之中，通过该设计方法，优化设计为在[0.5≤U≤0.9，G＝-0.8×2π」(与图58 的(a)～(c)对应)与[0.3≤U≤0.7，G＝0」(与图58的(d)～(f)对应)之间。通过搜索这些参 数候补，进一步反复这些参数区域的分割，通过搜索进行升力等的定量的量的最大化这样 的最佳参数区域，能够获知进行涡封闭而使升力最大化的物体400的速度和各旋转速度。

如以上所说明，根据实施方式2，在有多个迁移路径的候补的情况下，使用与流动 型态一一对应的正规表现来确定1个迁移路径，因此，即使在有多个选择路径的候补的情况 下，也能够不进行型态匹配地确定迁移路径。

此外，根据实施方式2，在有多个迁移路径的候补时，分别获取与2个构造稳定的流 动型态的语言表现对应的正规表现，针对多个迁移路径的候补，在用于发生其迁移的部分 表现未包含于与1方的构造稳定的流动型态的语言表现对应的正规表现中时，从迁移路径 的候补中排除，因此，仅通过对迁移路径的候补的部分表现和正规表现进行比较，就能够排 除实际上无迁移可能性的迁移路径的候补。

此外，根据实施方式2，在未被排除的迁移路径的候补有多个时，分别获取与该未 被排除的多个迁移路径的候补对应的正规表现，在上述未被排除的多个选择路径的候补之 中，将其正规表现与对应于另一方的构造稳定的流动型态的语言表现的正规表现一致的候 补确定为迁移型态，因此，仅通过对正规表现之间进行比较，就能够确定1个迁移路径。

此外，根据实施方式2，能够提供一种新的表现方法，该方法是生成在相位几何学 上具有N(其中，N是1以上的整数)个穴的多重连结外部区域的流动型态的正规表现的正规 表现生成方法，包括：生成与流动型态一一对应的图形表现的图形表现生成工序；以及根据 在图形表现生成工序中生成的图形表现来生成正规表现的正规表现生成工序，因此，能够 与流动型态一一对应。

此外，根据实施方式2，能提供一种图形表现，该图形表现针对由流动型态规定的 构造稳定的哈密顿向量场H，分配固有的带根、带标签、以及有向的树型T_H＝(V，E)(其中，V 是被称为顶点的点的集合，E是连结顶点之间的边的集合)，且可视化为平面图形，因此，对 于构造稳定的哈密顿向量场，能够将固有的带根、带标签、以及有向的树型可视化为平面图 形。

此外，根据实施方式2，能够提供一种图形表现，该图形表现在将父顶点设为v，将 其子的顶点设为w，将分配给父顶点v的标签设为l(v)，将分配给子顶点w的标签设为l(w)， 将v的子顶点集合设为Γ(v)时，按照规定的顺序关系的规则排序v的子顶点集合Γ(v)，针 对w∈Γ(v)，从左向右排列地描绘从l(v)向l(w)的箭头，且其父子的连结关系易于识别。

此外，根据实施方式2，流动型态是(1)在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相 位几何学上采取的2种流动型态之中的具有吸入/涌出对、且具有2个connection的型态I；(2)在具有1个穴的单连结外部区域中能够在相位几何学上采取的2种 流动型态之中的具有吸入/涌出对、且具有1个saddlepoint、连结它们的homoclinic saddleconnection和2个ss-saddleconnection的型态II；(3)在具有2个穴的二重连结外 部区域中不具有吸入/涌出对的1个或多个型态O，因此，能够对基本的所有的流动型态赋予 正规表现，处理为具体的流动型态的正规表现。

此外，根据实施方式2，由于具有将在正规表现生成工序中生成的正规表现变换为 语言表现的语言表现变换工序，因此，能够将正规表现变换为语言表现。

此外，根据实施方式2，语言表现，针对对除了在具有1个穴的单连结外部区域中能 够在相位几何学上采取的2种流动型态以外、还追加了在具有2个穴的二重连结外部区域中 不具有吸入/涌出对的型态的合计3种流动型态进行规定的型态语言，设为是通过赋予所追 加的穴的个数的、对能够在相位几何学上采取的5种操作进行了规定的操作语言之中的任 一种语言而形成的符号语言，因此，能够将正规表现变换为对基本的所有的流动型态和能 够在相位几何学上采取的5种操作进行了规定的语言表现。

此外，根据实施方式2，在与语言表现同样地进行流场中的构造物设计时，能够不 依赖经验或直觉而容易地处理能够对构造物采取的流动型态，能够提供流动型态的正规表 现生成方法、正规表现生成装置、以及程序。此外，通过使用语言表现和正规表现两者，能够 限定由语言表现无法限定的特定的流动，能够进一步发展流动的最佳控制理论。

此外，根据实施方式2，语言表现和正规表现，在例如，桥墩的设计、防波堤的配置、 港湾的污染物的除去、风力发电的叶片的设计、列车的缩放仪图形的构造、油栏的最佳配置 等这样的伴有构造物设计或配置的各个领域中极为有用。此外，在如运动用品的构造设计 等这样的运动力学等领域中也能够应用。

产业上的利用可能性

如以上详述所说明，根据本发明，能够得到与流动型态的迁移相关的见解，能够提 供流体迁移路径获取装置、流体迁移路径获取方法、以及程序，并且提供记录介质。例如，在 伴随飞行物体的设计、列车的缩放仪图形的构造、赛车等的汽车的构造、跳台滑雪等的运动 用品的设计、高速船的设计、气象预报等、构造物的形状或配置的设计或控制、流体的变化 预测等的各种领域中极为有用。特别是，在流场及其中所包括的多数构造物的配置设计，在 重要的领域(桥墩的设计、防波堤的配置、港湾的污染物质除去、风力发电的叶片的设计、飞 机机翼的设计、油栏的最佳配置等)中极为有用。

附图符号说明：

100、101-流体迁移路径获取装置

102-控制部

102a、102a2-模拟部

102b-流线解析部

102c-语言表现生成部

102d-型态语言赋予部

102e-操作语言赋予部

102f-极大语言表现部

102g、102g2-迁移信息获取部

104-通信控制接口部

106-存储部

106a-模拟结果文件

106b-流线图文件

106c-型态迁移文件

108-输入输出控制接口部

112-输入装置

114-输出装置

120-正规表现形成部

120a-图形表现生成部

120b-正规表现生成部

120c-语言表现生成部

200-外部系统

300-网络