一种钢管混凝土拱桥振动频率计算方法

摘要

本发明涉及拱桥振动频率计算技术领域，具体涉及一种钢管混凝土拱桥振动频率计算方法，包括步骤：将钢管混凝土拱桥的拱肋、系杆梁、横梁等构件通过梁单元模拟，拉索采用杆单元模拟；建立引入环境温度时的混凝土梁单元刚度矩阵：

说明书

技术领域

本发明涉及拱桥振动频率计算技术领域，具体涉及一种钢管混凝土拱桥振动频率计算方法。

背景技术

钢管混凝土拱桥以其造型优美，结构轻盈，受力性能优越，施工方便，护养简便，跨越能力强，稳定性高等优点成为大跨桥梁首选桥型，在我国得到广泛的应用。从结构上看，钢管混凝土拱桥属于复杂的高次超静定结构，存在几何非线性与状态非线性，加上环境条件的影响，使钢管混凝土拱桥动力特性分析更显复杂。

云迪等对一大跨中承式钢管混凝土拱桥分别进行了自振特性分析及稳定性分析，研究了设计荷载、拱肋矢跨比、拱面内倾角对大跨中承式钢管混凝土拱桥自振特性、弹性稳定性及弹塑性稳定性的影响，并通过研究表明，降低拱肋矢跨比或将拱面内倾均可有效改善大跨钢管混凝土拱桥的横向面外刚度，提高结构的面外振动频率，并使结构稳定性呈现不同的变化规律，另外综合考虑自振特性及弹性稳定性两种分析结果比单纯依靠自振特性分析结果评价结构参数取值更合理。也有部分研究考虑了风速及环境激励对拱桥动力性能的影响，但较少考虑温度变化对拱桥振动的影响。实际上由于钢管混凝土拱桥的内部高次超静定属性，拱桥受环境温度变化的影响明显，桥梁振动特性不仅与桥梁的固有属性，如刚度和质量有关，同时还会受到外界温度的影响，若计算拱桥振动频率时未考虑环境温度的影响，就不能保证计算得出的拱桥振动频率的精确度，不利于实际工程应用。

为研究温度变化对拱桥振动频率的影响，美国LosAlamos国家实验室学者SohnH等测试了温度效应对AlamosaCanyonBridge的模态参数的影响，实验结果显示24小时内，当环境温度变化22℃时，大桥前3阶频率分别产生了4.7％、6.6％、5.0％的变化。另有学者研究了香港汀九斜拉桥的模态频率与环境温度相关性，根据长期监测数据采用主成分分析和支持向量机技术建立环境温度与振动频率关系。上述已有的涉及环境温度效应对桥梁结构振动影响的研究大多是根据实测数据分析环境温度对桥梁振动的影响，属于“后验分析”，而若能“先验分析”环境温度对桥梁振动的影响，即从理论研究上分析出环境温度对拱桥的振动频率的影响数据，作为桥梁的合理设计、施工管理和运营安全的数据基础，将可以为拱桥的安全稳定应用提供更好的保障。

发明内容

本发明的目的是针对上述存在的问题，提供一种在拱桥设计之初便能预先分析出环境温度变化对拱桥振动频率影响、能够为拱桥后续运营提供保障的钢管混凝土拱桥振动频率计算方法。

本发明基于频率法的钢管混凝土拱桥振动频率计算方法的技术方案是：

一种钢管混凝土拱桥振动频率计算方法，包括步骤：

将钢管混凝土拱桥的结构分类为拱肋、系杆梁、横梁等的梁单元和拉索的杆单元两种有限元模型；

建立引入环境温度时的混凝土梁单元刚度矩阵：

其中Δt为环境温度变化，ε_t为材料热膨胀系数，θ_t；β_t为混凝土弹性模量温变系数，分别为温度变化前与变化后混凝土梁单元刚度矩阵；

建立引入环境温度时的钢管梁单元刚度矩阵：

其中，α_t为钢材弹性模量温变系数，分别为温度变化前与变化后钢管梁单元刚度矩阵；

建立引入环境温度时的拉索单元刚度矩阵：

分别为温度变化前与变化后拉索杆单元刚度矩阵；

建立引入环境温度时的钢管混凝土拱桥结构总体刚度矩阵：

K₀,K分别为参数变化前后拱桥的刚度矩阵，K_0,i,M_0,i分别为K₀,M₀对ε_i的一阶矩阵展开，K_0,ij,M_0,ij分别为K₀,M₀对ε_i,ε_j的二阶矩阵展开；

求解钢管混凝土拱桥结构振动特征值方程得到温度变化后结构特征值和特征向量：

其中特征值λ_s为频率的平方，特征向量{φ^s}为振型；

s为模态阶数；分别为变温前拱桥第s阶特征值和特征向量；λ^s,{φ^s}分别为变温后拱桥第s阶特征值和特征向量；为第s阶特征值和特征向量的一阶变化率；分别为第s阶特征值和特征向量的二阶变化率；i,j＝1～r。

根据权利要求1所述的钢管混凝土拱桥振动频率计算方法，其特征在于，当温度变化较小时，所述钢管混凝土拱桥结构特征值和特征向量可表示为：

根据权利要求1所述的钢管混凝土拱桥振动频率计算方法，其特征在于，所述混凝土梁单元刚度矩阵的建立包括：首先，列出平面梁单元刚度矩阵

其次，当温度变化Δt将引起单元长度的变化，得到温度变化引起的单元应变与长度的关系为，

当温度变化Δt将引起混凝土弹性模量的变化，混凝土弹性模量与温度变化的关系为，E_c(t)＝E_c0[1-θ_tΔt+β_tΔt²](3)

最后，将式(2)和式(3)带入式(1)得到所述混凝土梁单元刚度矩阵。

所述钢管梁单元刚度矩阵的建立包括：当温度变化Δt将引起钢材弹性模量的变化，钢材弹性模量与温度变化的关系为，E_s(t)＝E_s0[1-α_tΔt](4)，

将式(2)和式(4)带入式(1)得到所述钢管梁单元刚度矩阵。

所述钢管混凝土拱桥结构特征值和特征向量中：

δi_j为KroneckerDelta函数。(5)

所述拉索杆单元刚度矩阵的建立包括：首先，列出杆单元刚度矩阵

其次，当温度变化Δt将引起单元长度的变化，则得到温度变化引起的拉索长度变化与温度变化的关系为，

当温度变化Δt将引起拉索弹性模量的变化，拉索弹性模量与温度变化的关系为，E_s(t)＝E_s0[1-α_tΔt](7)

最后，结合式(5)、式(6)和式(7)得到所述拉索单元刚度矩阵。

本发明的有益效果是：本文首先将钢管混凝土拱桥的拱肋、系杆梁、横梁采用梁模拟，拉索采用杆单元为基础进行模拟，其次，引入环境温度变量，建立了混凝土梁单元、钢管梁单元和拉索杆单元的刚度矩阵并得出总体刚度矩阵，求解拱桥振动特征值方程最后求解以得到拱桥的频率，这样可以作为拱桥设计之前的先验数据，与现有技术相比，能够在拱桥的合理设计、施工管理与安全运营之前计算出环境温度引起的拱桥的振动频率变化，计算结果直观，为桥梁设计、施工和运营提供参考。

附图说明

图1为本发明钢管混凝土拱桥振动频率计算方法的流程图；

图2为本发明钢管混凝土拱桥振动频率计算方法频率与拱桥频率数值结果的比较示意图中温降30度时拱桥前10阶振动频率；

图3为本发明钢管混凝土拱桥振动频率计算方法频率与拱桥频率数值结果的比较示意图中温降20度时拱桥前10阶振动频率；

图4为本发明钢管混凝土拱桥振动频率计算方法频率与拱桥频率数值结果的比较示意图中温升20度时拱桥前10阶振动频率；

图5为本发明钢管混凝土拱桥振动频率计算方法频率与拱桥频率数值结果的比较示意图中温升30度时拱桥前10阶振动频率。

具体实施方式

本发明公开了一种钢管混凝土拱桥振动频率计算方法。

下面结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的描述，显然所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

1、环境温度变化引起的结构刚度变化对振动频率的影响：

当不考虑体系阻尼时，结构振动时应满足动力学特征值方程

(K-λM)Φ＝0(1)

当结构刚度和质量发生变化时，将引起特征值和特征向量变化，变化后有

((K+ΔK)-(λ+Δλ)(M+ΔM))(Φ+ΔΦ)＝0(2)

当环境温度变化时，对于超静定结构将引起结构刚度变化。当刚度变化且ΔM＝0时，由式(2)可得

(K+ΔK-λM-ΔλM)Φ+(K+ΔK-λM-ΔλM)ΔΦ＝0(3)

将式(1)代入式(3)，化简为

(ΔK-ΔλM)Φ+(K+ΔK-λM-ΔλM)ΔΦ＝0

上式两边同左乘Φ^T，得

Φ^T(ΔK-ΔλM)Φ+Φ^T(K+ΔK-λM-ΔλM)ΔΦ＝0(4)

由于M和K是对称矩阵，式(1)两边转置，得

Φ^T(K-λM)＝0(5)

利用M和K是对称矩阵，将式(5)代入式(4)，得

Φ^TΔK(Φ+ΔΦ)－ΔλΦ^TM(Φ+ΔΦ)＝0

移项得

由式(6)可以看出，当环境温度变化导致结构刚度变化时，结构频率会发生改变，结构特征值问题为正问题，通过式(1)可得到结构振动特征值与特征向量，从而得到结构振动频率和振型。但当结构模型复杂或规模增大时，式(1)的求解效率降低，且难以显式给出结构振动特性与温度变化关系。

2、下面基于矩阵展开，研究结构振动特性与温度变化的关系，即本发明提供的钢管混凝土拱桥振动频率计算方法的实施例，包括步骤：

S1：将钢管混凝土拱桥的结构分为梁单元和杆单元两类单元有限元模型，对于钢管混凝土拱桥，拱肋、系杆梁、横梁等可采用梁单元模拟；而拉索等可采用杆单元模拟。

S2：建立混凝土梁单元、钢管梁单元和拉索杆单元的刚度矩阵。

建立引入环境温度时的混凝土梁单元刚度矩阵：

其中Δt为环境温度变化，ε_t为材料热膨胀系数，θ_t；β_t为混凝土弹性模量温变系数，分别为温度变化前与变化后混凝土梁单元刚度矩阵；

建立引入环境温度时的钢管梁单元刚度矩阵：

其中，α_t为钢材弹性模量温变系数，

分别为温度变化前与变化后钢管梁单元刚度矩阵；

建立引入环境温度时的拉索单元刚度矩阵：

$K_s^e=K_{s0}^e[1-{ϵ}_t+{\alpha }_t)\Delta t+({ϵ}_t^2+{ϵ}_t{\alpha }_t){\mathrm{\Delta t}}^2]---\left(9\right)$

分别为温度变化前与变化后拉索杆单元刚度矩阵；

1)混凝土梁单元刚度矩阵的建立包括步骤：首先，列出平面梁单元刚度矩阵

其次，当温度变化Δt时，将引起单元长度的变化。温度引起单元应变为ε_tΔt，则

l＝l₀(1+ε_tΔt)

式中，ε_t为材料热膨胀系数；对混凝土，ε_t＝0.7×10^-5/℃；对于钢材，ε_t＝1.2×10^-5/℃。

由于ε_t较小，略去二阶以上高阶无穷小，则得到温度变化引起的单元应变与长度的关系为，

混凝土弹性模量随温度变化Δt的计算公式为

E_c(t)＝E_c0[1-θ_tΔt+β_tΔt²](12)

式中，E_c0；E_c(t)分别为温度变化前与变化后混凝土弹性模量；θ_t；β_t为混凝土弹性模量温变系数。当0℃≤Δt≤30℃时，θ_t＝0.0022；β_t＝4×10^-6。当-40℃≤Δt＜0℃时，θ_t＝-0.0026；β_t＝-3×10^-5。

将式(11)、式(12)代入式(10)，可得温度变化时混凝土梁单元刚度矩阵为

略去二阶以上高阶无穷小，有

式中，分别为温度变化前与变化后混凝土梁单元刚度矩阵。

2)钢管梁单元刚度矩阵的建立包括步骤：对于拱肋钢管及拉索常用的钢丝或钢绞线等钢材，其弹性模量受温度影响较小，当温度变化较小时，钢材弹性模量随温度变化Δt的计算公式为：

E_s＝E_s0[1-α_tΔt](13)

式中，E_s0；E_s(t)分别为温度变化前与变化后钢材弹性模量；α_t为钢材弹性模量温变系数，可取α_t＝4.75×10^-5。

结合式(10)、(11)和式(13)可得温度变化引起的钢管梁单元刚度矩阵变化为

式中，分别为温度变化前与变化后钢管梁单元刚度矩阵。

3)拉索杆单元刚度矩阵的建立包括步骤：首先，列出杆单元刚度矩阵

拉索常用只受拉杆单元模拟，当温度变化时，由于拉索两端受拱肋和系杆梁的约束作用，温度变化不会引起拉索长度的变化，但会引起拉索张力的改变。为便于分析，温度引起的拉索张力的变化采用拉索单元长度的变化来等效模拟，即根据胡克定律确定拉索单元长度改变时对应的拉索张力变量等于变温引起的拉索张力变化即可。则根据式(14)可得

考虑温度变化引起的拉索材料膨胀与弹性模量随温度变化，结合式(14)、式(13)与式(15)，可得温度变化时拉索单元刚度矩阵为

S3：建立引入环境温度时的钢管混凝土拱桥结构总体刚度矩阵：

根据式(7)、式(8)与式(9)，当温度变化时，具有n个单元的钢管混凝土拱桥结构受其影响，设其第i个单元的物理参数发生变化率为ε_i的小变化(设i＝1,2,…n)，结构总体刚度矩阵可表示为小参数ε_i的函数

式中，K₀,K分别为参数变化前后拱桥的刚度矩阵；K_0,i,M_0,i分别为K₀,M₀对ε_i的一阶变化率；K_0,ij,M_0,ij分别为K₀,M₀对ε_i,ε_j的二阶变化率。

S4：求解钢管混凝土拱桥结构振动特征方程得到温度变化后结构特征值和特征向量：

其中特征值λ_s为频率的平方，特征向量{φ^s}为阵型；

分别为温度变化前与变化后拉索杆单元刚度矩阵；

K₀,K分别为参数变化前后拱桥的刚度矩阵；

K_0,i,M_0,i分别为K₀,M₀对ε_i的一阶矩阵展开；

K_0,ij,M_0,ij分别为K₀,M₀对ε_i,ε_j的二阶矩阵展开；

s为模态阶数；分别为变温前拱桥第s阶特征值和特征向量；λ^s,{φ^s}分别为变温后拱桥第s阶特征值和特征向量；为第s阶特征值和特征向量的一阶变化率；分别为第s阶特征值和特征向量的二阶变化率；i,j＝1～r。其中，δ_ij为KroneckerDelta函数。

根据展开定理，并利用特征向量正交性关系，可得

已知温度变化时，各单元物理参数ε_i的变化可分别根据材料属性、单元类型与变化温度分别由式(7)、式(8)或式(9)确定。当温度变化较大时，为保证计算精度，可以采用二阶矩阵展开。由式(22)～(25)分别得到特征值和特征向量的一阶矩阵展开，代入式(20)、式(21)即可得到温度变化后的结构特征值和特征向量，从而得到结构振动频率与振型。当温度变化较小时，结构参数ε_i变化较小，可以略去二阶变化量，采用一阶展开求解即可得到足够的精度，此时式(20)、式(21)可分别表示为

3、本发明的上述实施例中钢管混凝土拱桥的振动频率计算方法的频率计算与拱桥频率有限元测试数值的比较。

南水北调中线工程淅川段杜庄大桥为1座跨径为93m的下承式钢管混凝土系杆拱桥，桥梁整体结构体系为内部高次超静定、外部静定结构。拱肋采用等截面哑铃形钢管混凝土结构，拱轴线为二次抛物线，计算跨径90m，计算矢跨比为1/5。桥梁全宽7.7m。等截面哑铃形主拱肋外轮廓尺寸为0.82m×2.2m，弦杆钢管为拱肋上下弦钢管中灌注C50微膨胀混凝土，形成钢管混凝土联合受力截面；两拱肋间设置3道“一”字平面桁式横撑和2道“K”字桁式横撑。每道拱肋拱脚间设置一道刚性系梁，系梁采用C50预应力混凝土箱形梁，截面为宽1.5m，高2.0m的单箱单室箱形截面，共设30对拉索，拉索采用PES7-73镀锌高强平行钢丝；拉索纵向间距5.5m，拉索上端为可调锚头，下端为固定锚头。桥面板采用先简支后结构连续的混凝土T梁。

考虑到桥梁工程所在地实际气温范围，采用有限元方法与本发明所述计算方法分别计算环境变温-30℃～30℃时拱桥前10阶振动频率，表1所示为有限元方法计算结果。

表1不同环境温度下拱桥前10阶自振频率

由表1可以看出，当环境温度增加时，同阶振动频率一般增大，且相对增加比率随温度增加而减小，最大增大比率为17.29％(-20℃时第1阶模态)，最小增加比率为0.26％(30℃时第7阶模态)。采用二阶展开式(20)及一阶展开式(26)分别计算不同温变条件下钢管混凝土拱桥自振频率，计算结果如图2～图5所示。

由图2～图5可以看出，当环境温度变化时，拱桥振动频率变化规律与有限元计算结果基本一致。各温度下采用式(20)计算结果与有限元计算结果相对误差随振动阶次的增加而增加；在同阶模态中，采用式(20)计算结果与有限元结果间最大误差不超过3.26％。

可以看出，二阶计算式具有较好的精度。当采用一阶展开式(26)计算时，计算结果的变化规律与二阶展开式计算结果规律类似，当环境温度变化幅度不超过30℃时，一阶展开式最大误差一般不超过4.97％。可以看出，当温度变化小于30℃时，采用一阶展开式(26)即可保证足够的精度；当环境温度变化幅度较高时，可采用二阶矩阵展开式(20)以提高精度。同条件下，二阶展开式(20)精度高于一阶展开式(26)。

因此，当环境出现不同的温度变化时，本发明方法只需采用二阶展开式(20)、(21)或一阶展开式(26)、(27)即可计算得到结构频率与振型，而无需像有限元方法样进行重复计算，因而效率更高。

综上所述，本发明方法能直接计算环境温度变化对结构振动频率与振型的影响，并可看出温度变化导致的结构振动特性的变化，计算结果直观。且可以作为先验数据，可为桥梁合理设计、施工管理与安全运营提供参考，工程实用性较强。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。