一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法与装置

摘要

本发明公开了一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法与装置，所述装置包括：根据余弦调制滤波器组的定义和余弦调制滤波器组的输出与输入关系，计算得到余弦调制滤波器组的近似精确重构条件；根据所述近似精确重构条件，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计的数学模型；根据所述数学模型，计算得到一组原型滤波器系数；根据所述余弦调制滤波器组的定义和所述一组原型滤波器系数，计算得到近似精确重构余弦调制滤波器组。本发明通过尺度变换得到似精确重构余弦调制滤波器组的阻带衰减性能明显提高，且收敛速度快，数值稳定性高，对于未来卫星通信系统中星载信号处理的设计而言，具有非常重要的理论指导意义和工程实用价值。

说明书

技术领域

本发明涉及通信卫星技术领域，具体涉及一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法与装置。

背景技术

余弦调制滤波器组广泛应用于卫星通信领域，灵活实现信号的复用和解复用功能，降低星载信号转发的复杂度。因此，余弦调制滤波器组具有重要的工程应用价值，广大研究者对其设计方法产生了极大兴趣。

根据不同的应用，余弦调制滤波器组有精确重构余弦调制滤波器组和近似精确重构余弦调制滤波器组之分。其中对于近似精确重构余弦调制滤波器组的设计，在应用精度允许的范围内放松滤波器组的精确重构性，从而使得设计复杂度相对较低。通常情况下，近似精确重构余弦调制滤波器组的设计被表示为一个非凸的二次约束二次规划问题，因此其设计过程即为求解非凸的二次约束二次规划。

迄今为止，这类规划问题非常难于求解，大都求助于一些启发式算法。这类算法的时效性不强，甚至有些情况下找不到问题的全局最优解，因此，近年来，有研究者把待求问题松弛成为一个半定规划问题，然后利用已有算法高效求解该半定规划，从而得到近似精确重构余弦调制滤波器组。但是，这种方法设计得到的滤波器组，其重构误差非常大，可能无法满足应用需求，更为致命的是，这类算法中没有考虑算法的收敛性和数值稳定性，因此，寻找并提出数值稳定且收敛的方法来设计近似精确重构余弦调制滤波器组，对于未来卫星通信系统中星载信号处理的设计而言，具有非常重要的理论指导意义和工程实用价值。

发明内容

由于现有的方法设计得到的近似精确重构余弦调制滤波器组存在没有考虑算法的收敛性和数值稳定性的问题，本发明提出一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法与装置。

第一方面，本发明提出一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法，包括：

根据余弦调制滤波器组的定义和余弦调制滤波器组的输出与输入关系，计算得到余弦调制滤波器组的近似精确重构条件；

根据所述近似精确重构条件，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计的数学模型；

根据所述数学模型，计算得到一组原型滤波器系数；

根据所述余弦调制滤波器组的定义和所述一组原型滤波器系数，计算得到近似精确重构余弦调制滤波器组。

优选地，所述根据余弦调制滤波器组的定义和余弦调制滤波器组的输出与输入关系，计算得到余弦调制滤波器组的近似精确重构条件，包括：

所述近似精确重构条件为：

其中，M为余弦调制滤波器组的通道数，k为大于等于0的整数，表示虚数单位，ω表示角频率，e表示指数函数的底数，H(e^j(ω-kπ/M))为H(z)的幅频响应H(e^jω)频移了kπ/M，而H(z)为余弦调制滤波器组的原型滤波器的传递函数，|·|表示取模操作，表示“对所有属于区间[0,π]上的频率ω而言”的意思。

优选地，所述根据所述近似精确重构条件，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计的数学模型，包括：

所述数学模型为：

其中：“minimize”和“subjectto”为数学规划术语，分别表示“最小化”和“约束条件”的意思，为目标函数，表示以最小化原型滤波器的阻带能量为设计目标，为约束条件，表示在逼近设计目标过程中，必须保持近似精确重构条件，b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，[·]^T表示共轭转置操作，h(n)为原型滤波器，其长度为N，L＝N/2，n为整数，矩阵矩阵矩阵D_n的第(i,j)个元素为δ(·)为狄拉克函数，表示向下取整操作，R^L表示长度为L的实数集。

优选地，所述根据所述数学模型，计算得到一组原型滤波器系数，包括：

根据式(3)、(4)、(5)和(6)计算W^(k)、g^(k)、和并根据式(7)确定尺度因子d_j^(k)(j＝1,2,…,m)，根据式(8)和(9)进行尺度变换，计算A^(k)和c^(k)；

根据式(10)对A^(k)进行QR分解，得到Y^(k)和Z^(k)；

根据式(12)、(13)和(14)得到y^(k)、s^(k)和λ^(k+1)；

如果k≥k_max或||s^(k)||_∞≤ε₁或||c^(k)||_∞≤ε₂，则得到原型滤波器系数b＝b^(k+1)；否则，令k＝k+1，重新计算式(3)-(14)；

g^(k)＝2Ub^(k)(4)

d^(k)＝diag(d₁,d₂,…,d_m)(8)

Y^(k)＝Q₁R^-T，Z^(k)＝Q₂(11)

Z^(k)TW^(k)Z^(k)y^(k)＝-Z^(k)T(g^(k)-W^(k)Y^(k)c^(k))(12)

s^(k)＝-Y^(k)c^(k)+Z^(k)y^(k)(13)

λ^(k+1)＝-Y^(k)T(W^(k)s^(k)+g^(k)(14)

其中，“diag”为对角矩阵标识符，λ^(k)为第k次迭代Lagrange乘子；向量b的初始值b⁽⁰⁾、式(2)的Lagrange乘子的初始估计值λ⁽⁰⁾、最大迭代次数k_max、决策变量改变量的下限ε₁和约束违反度的容差ε₂均为预设值，k＝0，b^(k+1)＝b^(k)+s^(k)，||·||_∞表示向量的无穷范数，k_max表示最大迭代次数，ε₁表示决策变量改变量的下限，ε₂表示约束违反度的容差。

优选地，所述根据所述余弦调制滤波器组的定义和所述一组原型滤波器系数，计算得到近似精确重构余弦调制滤波器组，包括：

根据式(1)、(2)中滤波器的对偶特性h(n)＝h(N-1-n)和所述一组原型滤波器系数b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，计算得到原型滤波器系数h(n)(n＝1,2,…,N-1)组成的向量[h(0),h(1),…,h(L-1),h(L-1),…,h(1),h(0)]＝0.5[b_L-1,b_L-2,…,b₁,b₀,b^T]，从而得到式(15)和(16)的近似精确重构余弦调制滤波器组：

其中k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1。

第二方面，本发明还提出一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计装置，包括：

近似精确重构条件计算模块，用于根据余弦调制滤波器组的定义和余弦调制滤波器组的输出与输入关系，计算得到余弦调制滤波器组的近似精确重构条件；

数学模型建立模块，用于根据所述近似精确重构条件，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计的数学模型；

滤波器系数计算模块，用于根据所述数学模型，计算得到一组原型滤波器系数；

调制滤波器组计算模块，用于根据所述余弦调制滤波器组的定义和所述一组原型滤波器系数，计算得到近似精确重构余弦调制滤波器组。

优选地，所述近似精确重构条件计算模块包括：

所述近似精确重构条件为：

其中，M为余弦调制滤波器组的通道数，k为大于等于0的整数，表示虚数单位，ω表示角频率，e表示指数函数的底数，H(e^j(ω-kπ/M))为H(z)的幅频响应H(e^jω)频移了kπ/M，而H(z)为余弦调制滤波器组的原型滤波器的传递函数，|·|表示取模操作，表示“对所有属于区间[0,π]上的频率ω而言”的意思。

优选地，所述数学模型建立模块包括：

所述数学模型为：

其中：“minimize”和“subjectto”为数学规划术语，分别表示“最小化”和“约束条件”的意思，为目标函数，表示以最小化原型滤波器的阻带能量为设计目标，为约束条件，表示在逼近设计目标过程中，必须保持近似精确重构条件，b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，[·]^T表示共轭转置操作，h(n)为原型滤波器，其长度为N，L＝N/2，n为整数，矩阵矩阵矩阵D_n的第(i,j)个元素为δ(·)为狄拉克函数，表示向下取整操作，R^L表示长度为L的实数集。

优选地，所述滤波器系数计算模块用于：

根据式(3)、(4)、(5)和(6)计算W^(k)、g^(k)、和并根据式(7)确定尺度因子d_j^(k)(j＝1,2,…,m)，根据式(8)和(9)进行尺度变换，计算A^(k)和c^(k)；

根据式(10)对A^(k)进行QR分解，得到Y^(k)和Z^(k)；

根据式(12)、(13)和(14)得到y^(k)、s^(k)和λ^(k+1)；

如果k≥k_max或||s^(k)||_∞≤ε₁或||c^(k)||_∞≤ε₂，则得到原型滤波器系数b＝b^(k+1)；否则，令k＝k+1，重新计算式(3)-(14)；

g^(k)＝2Ub^(k)(4)

d^(k)＝diag(d₁,d₂,…,d_m)(8)

Y^(k)＝Q₁R^-T，Z^(k)＝Q₂(11)

Z^(k)TW^(k)Z^(k)y^(k)＝-Z^(k)T(g^(k)-W^(k)Y^(k)c^(k))(12)

s^(k)＝-Y^(k)c^(k)+Z^(k)y^(k)(13)

λ^(k+1)＝-Y^(k)T(W^(k)s^(k)+g^(k))(14)

其中，“diag”为对角矩阵标识符，λ^(k)为第k次迭代Lagrange乘子；向量b的初始值b⁽⁰⁾、式(2)的Lagrange乘子的初始估计值λ⁽⁰⁾、最大迭代次数k_max、决策变量改变量的下限ε₁和约束违反度的容差ε₂均为预设值，k＝0，b^(k+1)＝b^(k)+s^(k)，||·||_∞表示向量的无穷范数，k_max表示最大迭代次数，ε₁表示决策变量改变量的下限，ε₂表示约束违反度的容差。

优选地，所述调制滤波器组计算模块包括：

根据式(1)、(2)中滤波器的对偶特性h(n)＝h(N-1-n)和所述一组原型滤波器系数b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，计算得到原型滤波器系数h(n)(n＝1,2,…,N-1)组成的向量[h(0),h(1),…,h(L-1),h(L-1),…,h(1),h(0)]＝0.5[b_L-1,b_L-2,…,b₁,b₀,b^T]，从而得到式(15)和(16)的近似精确重构余弦调制滤波器组：

其中k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1。

由上述技术方案可知，本发明通过尺度变换得到似精确重构余弦调制滤波器组的阻带衰减性能明显提高，且收敛速度快，数值稳定性高，对于未来卫星通信系统中星载信号处理的设计而言，具有非常重要的理论指导意义和工程实用价值。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些图获得其他的附图。

图1为本发明一实施例提供的一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法的流程示意图；

图2为本发明一实施例提供的一种M通道余弦调制滤波器组的一般结构图；

图3为本发明一实施例提供的一种近似精确重构余弦调制滤波器组设计方法流程图；

图4为本发明一实施例提供的一种非凸二次约束二次规划模型求解流程图；

图5为本发明一实施例提供的一种原型滤波器幅频响应曲线、分析滤波器的幅频响应曲线、失真传递函数幅频响应曲线和混叠误差函数幅频响应曲线；

图6为本发明一实施例提供的一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计装置的结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图，对发明的具体实施方式作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

图1示出了本实施例提供的一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计方法的流程示意图，包括：

S1、根据余弦调制滤波器组的定义和余弦调制滤波器组的输出与输入关系，计算得到余弦调制滤波器组的近似精确重构条件；

S2、根据所述近似精确重构条件，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计的数学模型；

S3、根据所述数学模型，计算得到一组原型滤波器系数；

S4、根据所述余弦调制滤波器组的定义和所述一组原型滤波器系数，计算得到近似精确重构余弦调制滤波器组。

本实施例首先根据余弦调制定义以及余弦调制滤波器组输入与输出关系，推导出近似精确重构条件；其次，以推导得到的近似精确重构条件为约束条件，以最小化余弦调制滤波器组的原型滤波器的阻带能量为目标，建立一个以余弦调制滤波器组的原型滤波器系数为决策变量的非凸二次约束二次规划模型，即近似精确重构余弦调制滤波器组设计问题的数学模型；接下来，设计算法以稳定求解所建立的非凸二次约束二次规划数学模型，得到一组最优的原型滤波器系数；最后，根据余弦调制定义得到余弦调制滤波器组，即近似精确重构余弦调制滤波器组。

本实施例通过尺度变换得到似精确重构余弦调制滤波器组的阻带衰减性能明显提高，且收敛速度快，数值稳定性高，对于未来卫星通信系统中星载信号处理的设计而言，具有非常重要的理论指导意义和工程实用价值。

作为本实施例的优选方案，S1包括：

所述近似精确重构条件为：

其中，M为余弦调制滤波器组的通道数，k为大于等于0的整数，表示虚数单位，ω表示角频率，e表示指数函数的底数，H(e^j(ω-kπ/M))为H(z)的幅频响应H(e^jω)频移了kπ/M，而H(z)为余弦调制滤波器组的原型滤波器的传递函数，|·|表示取模操作，表示“对所有属于区间[0,π]上的频率ω而言”的意思。

具体地，S2包括：

所述数学模型为：

其中：“minimize”和“subjectto”为数学规划术语，分别表示“最小化”和“约束条件”的意思，为目标函数，表示以最小化原型滤波器的阻带能量为设计目标，为约束条件，表示在逼近设计目标过程中，必须保持近似精确重构条件，b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，[·]^T表示共轭转置操作，h(n)为原型滤波器，其长度为N，L＝N/2，n为整数，矩阵矩阵矩阵D_n的第(i,j)个元素为δ(·)为狄拉克函数，表示向下取整操作，R^L表示长度为L的实数集。

进一步地，S3包括：

根据式(3)、(4)、(5)和(6)计算W^(k)、g^(k)、和并根据式(7)确定尺度因子d_j^(k)(j＝1,2,…,m)，根据式(8)和(9)进行尺度变换，计算A^(k)和c^(k)；

根据式(10)对A^(k)进行QR分解，得到Y^(k)和Z^(k)；

根据式(12)、(13)和(14)得到y^(k)、s^(k)和λ^(k+1)；

如果k≥k_max或||s^(k)||_∞≤ε₁或||c^(k)||_∞≤ε₂，则得到原型滤波器系数b＝b^(k+1)；否则，令k＝k+1，重新计算式(3)-(14)；

g^(k)＝2Ub^(k)(4)

d^(k)＝diag(d₁,d₂,…,d_m)(8)

Y^(k)＝Q₁R^-T，Z^(k)＝Q₂(11)

Z^(k)TW^(k)Z^(k)y^(k)＝-Z^(k)T(g^(k)-W^(k)Y^(k)c^(k))(12)

s^(k)＝-Y^(k)c^(k)+Z^(k)y^(k)(13)

λ^(k+1)＝-Y^(k)T(W^(k)s^(k)+g^(k))(14)

其中，“diag”为对角矩阵标识符，λ^(k)为第k次迭代Lagrange乘子；向量b的初始值b⁽⁰⁾、式(2)的Lagrange乘子的初始估计值λ⁽⁰⁾、最大迭代次数k_max、决策变量改变量的下限ε₁和约束违反度的容差ε₂均为预设值，k＝0，b^(k+1)＝b^(k)+s^(k)，||·||_∞表示向量的无穷范数，k_max表示最大迭代次数，ε₁表示决策变量改变量的下限，ε₂表示约束违反度的容差。

更进一步地，S4包括：

根据式(1)、(2)中滤波器的对偶特性h(n)＝h(N-1-n)和所述一组原型滤波器系数b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，计算得到原型滤波器系数h(n)(n＝1,2,…,N-1)组成的向量[h(0),h(1),…,h(L-1),h(L-1),…,h(1),h(0)]＝0.5[b_L-1,b_L-2,…,b₁,b₀,b^T]，从而得到式(15)和(16)的近似精确重构余弦调制滤波器组：

其中k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1。

下面以M通道余弦调制滤波器组为例，结合附图来详细说明本实施例的具体实施过程。

第一步，导出近似精确重构条件。

图2给出了M通道余弦调制滤波器组的结构，其中M为余弦调制滤波器组的通道数，H_k(z)(k＝0,1,…,M-1)为分析滤波器的z变换，F^k(z)(k＝0,1,…,M-1)为综合滤波器的z变换，↓M表示M倍抽取操作，↑M表示M倍内插操作，X(z)表示M通道余弦调制滤波器组的输入信号的z变换，表示M通道余弦调制滤波器组的输出信号的z变换。

设上述余弦调制滤波器组的原型滤波器为h(n)(n＝0,1,…,N-1)，其长度为N，其z变换(也称为传递函数)为H(z)；分析滤波器为h_k(n)(k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1)，综合滤波器为f_k(n)(k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1)，根据余弦调制滤波器组定义得式(15)和(16)。

同时，余弦调制滤波器组输入X(z)与输出之间的关系为：

其中：

分别为余弦调制滤波器组的失真传递函数和混叠失真函数。由信号处理理论：当

T_l(z)≈0,l＝1,2,…,M-1(21)

时，余弦调制滤波器组具有近似精确重构性质，即此余弦调制滤波器组为近似精确重构余弦调制滤波器组。此处，|·|表示取模操作。由于余弦调制滤波器组中各分析滤波器h_k(n)(k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1)和各综合滤波器f_k(n)(k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1)具有窄的过渡带和高阻带衰减，根据信号处理理论，T_l(z)≈0,l＝1,2,…,M-1。根据时域、频域和z域的对应关系，由式(15)、(16)和(18)可得

其中：表示虚数单位，ω表示角频率，e表示指数函数的底数，T₀(e^jω)为T₀(z)的幅频响应，H(e^j(ω-kπ/M))为H(z)的幅频响应H(e^jω)频移了kπ/M。因此，余弦调制滤波器组的近似精确重构条件为式(1)。

第二步，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计问题的数学模型。

设原型滤波器h(n)的长度N为偶数(这种情况在工程中应用较多)，即N＝2L。令向量b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，矩阵这里[·]^T表示共轭转置操作，矩阵D_n的第(i,j)个元素为δ(·)为狄拉克函数，则原型滤波器幅频响应的模的平方可表示为|H(e^jω)|²＝b^TT(ω)b，代入式(15)，得到

其中：表示向下取整操作。

工程中通常要求原型滤波器阻带能量要最小，而原型滤波器的阻带能量为令矩阵则E＝b^TUb，因此，工程应用目标为最小化E＝b^TUb，则近似精确重构余弦滤波器组设计问题可抽象为如下数学模型，如式(2)。

第三步，求解数学模型。

式(2)是获得原型滤波器h(n)(n＝0,1,…,N-1)的关键，但它是一个非线性优化问题。设计如下算法来求解该问题。

设b⁽⁰⁾，λ⁽⁰⁾分别为式(2)的解和Lagrange乘子的初始估计值。令k＝0，在k+1步求解二次规划子问题

其中：s为决策变量，

在求解子问题(24)时，为了叙述简便，省略上标(k)。如果直接求解子问题(24)，如式(3)-(6)，由于约束的系数矩阵和约束违反度的元素分布不均衡，求解过程出现数值不稳定现象，甚至出现发散现象。为防止该现象发生，对式(24)进行尺度变换处理，即在约束等式两边同时左乘对角矩阵d＝diag(d₁,d₂,…,d_m)，此处“diag”为对角矩阵标识符，d_j(j＝1,2,…,m)为尺度因子，其取值为式(7)，从而得到新的约束等式为A^Ts＝-c，其中

因此尺度变换后二次规划子问题为

接下来，对矩阵A作QR分解，即

其中：Q是一个L×L阶的正交矩阵，R是一个(m+1)×(m+1)阶的可逆上三角阵，Q₁和Q₂分别是Q的前m+1列和后L-m-1列组成的矩阵。

令Y＝Q₁R^-T，Z＝Q₂，使得A^TY＝I，A^TZ＝0，此处I为单位阵，则A^Ts＝-c的解为s＝-Yc+Zy，此处y∈R^L-m-1为既约变量。把它代入式(24)的目标函数0.5s^TWs+s^Tg中，将式(24a)转化为如下无约束优化问题：

令得

Z^TWZy＝-Z^T(g-WYc)(27)

解线性方程组(14)得到ψ(y)的极小点y^(k)，因此二次规划子问题(24a)的解(根据数学优化理论，该解即为式(24)的解)为

s^(k)＝-Yc+Zy^(k)(28)

相应的Lagrange乘子为

λ^(k+1)＝-Y^T(Ws^(k)+g)(29)

然后，按照下面所给出的步骤4和步骤5操作即可得到待求问题的解。下面给出该算法的详细步骤，该流程如图4所示。

步骤1：给定向量b的初始值b⁽⁰⁾、式(2)的Lagrange乘子的初始估计值λ⁽⁰⁾、最大迭代次数k_max、决策变量改变量的下限ε₁和约束违反度的容差ε₂，令k＝0；

步骤2：根据式(3)、(4)、(5)和(6)分别计算W^(k)、g^(k)、和并根据式(7)确定尺度因子d_j^(k)(j＝1,2,…,m)，然后根据式(25)作尺度变换，即计算A^(k)和c^(k)；

步骤3：对A^(k)作QR分解，得到Y^(k)和Z^(k)；

步骤4：解线性方程组(27)得到y^(k)，从而根据式(28)和(29)得到s^(k)和λ^(k+1)，并令b^(k+1)＝b^(k)+s^(k)；

步骤5：如果k≥k_max、||s^(k)||_∞≤ε₁、||c^(k)||_∞≤ε₂这三个条件中有任意一个条件得到满足，则算法终止，得到式(2)的解b＝b^(k+1)；否则，令k＝k+1，跳转到步骤2，重新执行步骤2至步骤5的过程。此处，||·||_∞表示向量的无穷范数。

第四步，进行余弦调制得到近似精确重构余弦调制滤波器组。

在得到了向量b以后，由于b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，根据长度为偶数的滤波器的对偶特性，即h(n)＝h(N-1-n)，此处N＝2L为原型滤波器从长度，则原型滤波器系数h(n)(n＝1,2,…,N-1)组成的向量[h(0),h(1),…,h(L-1),h(L-1),…,h(1),h(0)]＝0.5[b_L-1,b_L-2,…,b₁,b₀,b^T]，其中b_i(i＝0,1,…,L-1)为向量b的元素。

根据式(15)和(16)便可得到近似精确重构余弦调制滤波器组的各分析滤波器h_k(n)和综合滤波器f_k(n)，其中k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1，参数M为滤波器组的通道数，N为原型滤波器的长度。至此我们完成了近似精确重构余弦调制滤波器组的设计过程。详细的设计流程如附图3所示。

以下通过具体数据来介绍本发明的近似精确重构余弦调制滤波器组设计方法的实施例。

对于滤波器组，工程中一般考察其三个性能指标，即阻带衰减、重构误差峰峰值和最大混叠误差，它们的定义如下：

阻带衰减A_s＝20log₁₀δ_s，其中log₁₀·表示以10为底的对数函数，ω_s为阻带边缘频率，“max”表示取最大值操作，|·|表示取模操作，H(e^jω)为滤波器组原型滤波器的幅频响应，为虚数单位；

重构误差峰值其中“max”表示取最大值操作，“min”表示取最小值操作，|·|表示取模操作，M为滤波器组的通道数，T₀(e^jω)为式(3)所表示的滤波器组的失真传递函数的幅频响应，为虚数单位；

最大混叠误差其中为混叠误差幅频响应，“max”表示取最大值操作，“min”表示取最小值操作，|·|表示取模操作，M为滤波器组的通道数，T_l(e^jω)为式(3a)所表示的滤波器组的混叠失真函数的幅频响应，为虚数单位。

首先给出以下实施例中需要运用的参数：

表1基本参数表

最大迭代次数k_max200决策变量改变量的下限ε₁1e-10约束违反度的容差ε₂1e-16

采用近似精确重构余弦调制滤波器组设计方法设计一个16通道近似精确重构余弦调制滤波器组的实施例。

待设计滤波器组的规格参数为：通道数M＝16，原型滤波器长度N＝384，阻带边缘频率

运用本实施例的近似精确重构余弦调制滤波器组设计方法设计得到了一个16通道的近似精确重构余弦调制滤波器组，其阻带衰减A_s＝-106dB，重构误差峰峰值E_pp＝3.26e-14，最大混叠误差E_a＝8.50e-8，其原型滤波器幅频响应|H(e^jω)|曲线、分析滤波器幅频响应|H_k(e^jω)|曲线(k＝0,1,…,M-1)、失真传递函数幅频响应|T₀(e^jω)|曲线以及混叠误差幅频响应E(e^jω)曲线如图5所示。此外，本方法中尺度变换的影响如表2所示。

表2尺度变换的影响

无尺度变换时，即式(7)中d_j＝1,j＝1,2,…,m，由表2可知，在方法中加入尺度变换后，设计得到的滤波器组的阻带衰减性能明显提高，即由-73dB降低到-106dB，原因在于尺度变换使得式(2)的求解算法数值稳定性提高了。

图6示出了本实施例提供的一种近似精确重构余弦调制滤波器组的设计装置的结构示意图，包括：

近似精确重构条件计算模块11，用于根据余弦调制滤波器组的定义和余弦调制滤波器组的输出与输入关系，计算得到余弦调制滤波器组的近似精确重构条件；

数学模型建立模块12，用于根据所述近似精确重构条件，建立近似精确重构余弦调制滤波器组设计的数学模型；

滤波器系数计算模块13，用于根据所述数学模型，计算得到一组原型滤波器系数；

调制滤波器组计算模块14，用于根据所述余弦调制滤波器组的定义和所述一组原型滤波器系数，计算得到近似精确重构余弦调制滤波器组。

本实施例通过尺度变换得到似精确重构余弦调制滤波器组的阻带衰减性能明显提高，且收敛速度快，数值稳定性高，对于未来卫星通信系统中星载信号处理的设计而言，具有非常重要的理论指导意义和工程实用价值。

作为本实施例的优选方案，所述近似精确重构条件计算模块11包括：

所述近似精确重构条件为：

其中，M为余弦调制滤波器组的通道数，k为大于等于0的整数，表示虚数单位，ω表示角频率，e表示指数函数的底数，H(e^j(ω-kπ/M))为H(z)的幅频响应H(e^jω)频移了kπ/M，而H(z)为余弦调制滤波器组的原型滤波器的传递函数，|·|表示取模操作，表示“对所有属于区间[0,π]上的频率ω而言”的意思。

具体地，所述数学模型建立模块12包括：

所述数学模型为：

其中：“minimize”和“subjectto”为数学规划术语，分别表示“最小化”和“约束条件”的意思，为目标函数，表示以最小化原型滤波器的阻带能量为设计目标，为约束条件，表示在逼近设计目标过程中，必须保持近似精确重构条件，b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，[·]^T表示共轭转置操作，h(n)为原型滤波器，其长度为N，L＝N/2，n为整数，矩阵矩阵矩阵D_n的第(i,j)个元素为δ(·)为狄拉克函数，表示向下取整操作，R^L表示长度为L的实数集。

进一步地，所述滤波器系数计算模块13用于：

根据式(3)、(4)、(5)和(6)计算W^(k)、g^(k)、和并根据式(7)确定尺度因子d_j^(k)(j＝1,2,…,m)，根据式(8)和(9)进行尺度变换，计算A^(k)和c^(k)；

根据式(10)对A^(k)进行QR分解，得到Y^(k)和Z^(k)；

根据式(12)、(13)和(14)得到y^(k)、s^(k)和λ^(k+1)；

如果k≥k_max或||s^(k)||_∞≤ε₁或||c^(k)||_∞≤ε₂，则得到原型滤波器系数b＝b^(k+1)；否则，令k＝k+1，重新计算式(3)-(14)；

g^(k)＝2Ub^(k)(4)

d^(k)＝diag(d₁,d₂,…,d_m)(8)

Y^(k)＝Q₁R^-T，Z^(k)＝Q₂(11)

Z^(k)TW^(k)Z^(k)y^(k)＝-Z^(k)T(g^(k)-W^(k)Y^(k)c^(k))(12)

s^(k)＝-Y^(k)c^(k)+Z^(k)y^(k)(13)

λ^(k+1)＝-Y^(k)T(W^(k)s^(k)+g^(k))(14)

其中，“diag”为对角矩阵标识符，λ^(k)为第k次迭代Lagrange乘子；向量b的初始值b⁽⁰⁾、式(2)的Lagrange乘子的初始估计值λ⁽⁰⁾、最大迭代次数k_max、决策变量改变量的下限ε₁和约束违反度的容差ε₂均为预设值，k＝0，b^(k+1)＝b^(k)+s^(k)，||·||_∞表示向量的无穷范数，k_max表示最大迭代次数，ε₁表示决策变量改变量的下限，ε₂表示约束违反度的容差。

更进一步地，所述调制滤波器组计算模块14包括：

根据式(1)、(2)中滤波器的对偶特性h(n)＝h(N-1-n)和所述一组原型滤波器系数b＝[2h(L-1),…,2h(1),2h(0)]^T，计算得到原型滤波器系数h(n)(n＝1,2,…,N-1)组成的向量[h(0),h(1),…,h(L-1),h(L-1),…,h(1),h(0)]＝0.5[b_L-1,b_L-2,…,b₁,b₀,b^T]，从而得到式(15)和(16)的近似精确重构余弦调制滤波器组：

其中k＝0,1,…,M-1，n＝0,1,…,N-1。

本发明的说明书中，说明了大量具体细节。然而，能够理解，本发明的实施例可以在没有这些具体细节的情况下实践。在一些实例中，并未详细示出公知的方法、结构和技术，以便不模糊对本说明书的理解。