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均布载荷下中心带刚性板的环形薄膜弹性能的确定方法

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本发明公开了均布载荷下中心带刚性板的环形薄膜弹性能的确定方法：采用内半径为a的夹紧装置，将厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、中心带半径为b的刚性板的环形薄膜固定夹紧，形成一个外半径为a、内半径为b的周边固定夹紧的中心带刚性板的轴对称环形薄膜，对其横向施加一个均布载荷q，基于这个轴对称变形问题的静力平衡分析和能量平衡分析，并利用均布载荷q的测量值，则可确定出该环形薄膜的弹性能U。

著录项

公开/公告号CN105675484A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-06-15

原文格式PDF
申请/专利权人重庆大学;
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申请/专利号CN201610266626.6
发明设计人何晓婷;练永盛;杨志欣;郭莹;孙俊贻;郑周练;蔡珍红;
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申请日2016-04-26
分类号G01N19/00(20060101);
代理机构50212 重庆博凯知识产权代理有限公司;
代理人张先芸
地址 400044 重庆市沙坪坝区沙正街174号
入库时间 2023-12-18 15:55:15

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2020-01-14

专利权的转移 IPC(主分类):G01N19/00 登记生效日:20191225 变更前: 变更后: 申请日:20160426

专利申请权、专利权的转移
2018-02-16

授权

授权
2016-07-13

实质审查的生效 IPC(主分类):G01N19/00 申请日:20160426

实质审查的生效
2016-06-15

公开

公开

说明书

技术领域

本发明涉及均布载荷下中心带刚性板的环形薄膜弹性能的确定方法。

背景技术

均布载荷作用下中心带刚性板的环形薄膜轴对称变形问题的解析解，对传感器以及仪器、仪表的研制具有重要意义。由于薄膜是柔性材料，在均布载荷作用下通常呈现出较大的挠度，因而其变形问题具有较强的非线性，这些非线性问题通常难以解析求解。本发明致力于均布载荷下中心带刚性板的环形薄膜轴对称变形问题的解析研究，获得了该问题的解析解，并在此基础上给出了均布载荷下中心带刚性板的环形薄膜弹性能的确定方法。

发明内容

均布载荷下中心带刚性板的环形薄膜弹性能的确定方法：采用内半径为a的夹紧装置，将厚度为h、杨氏弹性模量为E、泊松比为ν、中心带半径为b的刚性板的环形薄膜固定夹紧，形成一个外半径为a、内半径为b的周边固定夹紧的中心带刚性板的轴对称环形薄膜，对其横向施加一个均布载荷q，基于这个轴对称变形问题的静力平衡分析，就可以得到该问题的解析解，由于在薄膜变形过程中所产生的热量消耗非常小，因此可以近似认为均布载荷q所做的功被全部转化为薄膜的弹性能，那么根据能量平衡原理，利用静力平衡分析所获得的解析解，则可以得到该环形薄膜的弹性能U与均布载荷q的解析关系为

$> U = π {(\frac{a^{4} q^{4}}{h E})}^{1 / 3} Σ_{n = 0}^{10} [\frac{4 a^{2} c_{n}}{n + 2} {(\frac{a - b}{2 a})}^{n + 2} + \frac{2 a (a + b) c_{n}}{n + 1} {(\frac{a - b}{2 a})}^{n + 1} + b^{2} c_{n} {(\frac{b - a}{2 a})}^{n}],$ >

其中，

$> c_{3} = \frac{1}{6} \frac{1}{β^{3} c_{1}} (8 β^{3} c_{2}^{2} - 10 β^{2} c_{1} c_{2} + 3 {βc}_{1}^{2} - c_{1}^{5}),$ >

$> c_{4} = \frac{1}{24} \frac{1}{β^{4} c_{1}^{2}} (48 β^{4} c_{2}^{3} - 120 β^{3} c_{1} c_{2}^{2} + 90 β^{2} c_{1}^{2} c_{2} - 16 {βc}_{1}^{5} c_{2} - 21 {βc}_{1}^{3} + 8 c_{1}^{6}),$ >

$> \begin{matrix} c_{5} = \frac{1}{120} \frac{1}{β^{6} c_{1}^{3}} (384 β^{6} c_{2}^{4} - 1440 β^{5} c_{1} c_{2}^{3} + 1896 β^{4} c_{1}^{2} c_{2}^{2} - 232 β^{3} c_{1}^{5} c_{2}^{2} - 1032 β^{3} c_{1}^{3} c_{2} \\ + 312 β^{2} c_{1}^{6} c_{2} + 198 β^{2} c_{1}^{4} - 101 {βc}_{1}^{7} + 8 c_{1}^{10}) \end{matrix},$ >

$> \begin{matrix} c_{6} = \frac{1}{720} \frac{1}{β^{7} c_{1}^{4}} (3840 β^{7} c_{2}^{5} - 19200 β^{6} c_{1} c_{2}^{4} + 3670 β^{5} c_{1}^{2} c_{2}^{3} - 3552 β^{5} c_{1}^{5} c_{2}^{3} \\ - 33360 β^{4} c_{1}^{3} c_{2}^{2} + 8296 β^{3} c_{1}^{6} c_{2}^{2} + 14340 β^{3} c_{1}^{4} c_{2} - 6208 β^{2} c_{1}^{7} c_{2} \\ - 2340 β^{2} c_{1}^{5} + 344 {βc}_{1}^{10} c_{2} + 1489 {βc}_{1}^{8} - 204 c_{1}^{11}) \end{matrix},$ >

$> \begin{matrix} c_{7} = \frac{1}{2520} \frac{1}{β^{9} c_{1}^{5}} (23040 β^{9} c_{2}^{6} - 144000 β^{8} c_{1} c_{2}^{5} + 362880 β^{7} c_{1}^{2} c_{2}^{4} - 29664 β^{6} c_{1}^{5} c_{2}^{4} \\ - 469800 β^{6} c_{1}^{3} c_{2}^{3} + 100944 β^{5} c_{1}^{6} c_{2}^{3} + 328140 β^{5} c_{1}^{4} c_{2}^{2} - 124644 β^{4} c_{1}^{7} c_{2}^{2} \\ - 116910 β^{4} c_{1}^{5} c_{2} + 5416 β^{3} c_{1}^{10} c_{2}^{2} + 66120 β^{3} c_{1}^{8} c_{2} + 16605 β^{3} c_{1}^{6} \\ - 7468 β^{2} c_{1}^{11} c_{2} - 12708 β^{2} c_{1}^{9} + 2524 {βc}_{1}^{12} - 86 c_{1}^{15}) \end{matrix},$ >

$> \begin{matrix} c_{8} = \frac{1}{20160} \frac{1}{β^{10} c_{1}^{6}} (322560 β^{10} c_{2}^{7} - 2419200 β^{9} c_{1} c_{2}^{6} + 7580160 β^{8} c_{1}^{2} c_{2}^{5} - 543744 β^{7} c_{1}^{5} c_{2}^{5} \\ - 12821760 β^{7} c_{1}^{3} c_{2}^{4} + 2455488 β^{6} c_{1}^{6} c_{2}^{4} + 12602520 β^{6} c_{1}^{4} c_{2}^{3} - 4317408 β^{5} c_{1}^{7} c_{2}^{3} \\ - 7175700 β^{5} c_{1}^{5} c_{2}^{2} + 156816 β^{4} c_{1}^{10} c_{2}^{3} + 3689808 β^{4} c_{1}^{8} c_{2}^{2} + 2186730 β^{4} c_{1}^{6} c_{2} \\ - 357560 β^{3} c_{1}^{11} c_{2}^{2} - 1531056 β^{3} c_{1}^{9} c_{2} - 274995 β^{3} c_{1}^{7} + 265844 β^{2} c_{1}^{12} c_{2} \\ + 246591 β^{2} c_{1}^{10} - 7136 {βc}_{1}^{15} c_{2} - 64454 {βc}_{1}^{13} + 4508 c_{1}^{16}) \end{matrix},$ >

$> \begin{matrix} c_{9} = \frac{1}{181440} \frac{1}{β^{12} c_{1}^{7}} (5160960 β^{12} c_{2}^{8} - 45158400 β^{11} c_{1} c_{2}^{7} + 169344000 β^{10} c_{1}^{2} c_{2}^{6} \\ - 10916352 β^{9} c_{1}^{5} c_{2}^{6} - 354654720 β^{9} c_{1}^{3} c_{2}^{5} + 61770240 β^{8} c_{1}^{6} c_{2}^{5} + 452571840 β^{8} c_{1}^{4} c_{2}^{4} \\ - 142403904 β^{7} c_{1}^{7} c_{2}^{4} - 359432640 β^{7} c_{1}^{5} c_{2}^{3} + 4495680 β^{6} c_{1}^{10} c_{2}^{4} + 171002304 β^{6} c_{1}^{8} c_{2}^{3} \\ + 173093760 β^{6} c_{1}^{6} c_{2}^{2} - 14640192 β^{5} c_{1}^{11} c_{2}^{3} - 112679604 β^{5} c_{1}^{9} c_{2}^{2} - 46131120 β^{5} c_{1}^{7} c_{2} \\ + 17513808 β^{4} c_{1}^{12} c_{2}^{2} + 38590524 β^{4} c_{1}^{10} c_{2} + 5205060 β^{4} c_{1}^{8} - 392216 β^{3} c_{1}^{15} c_{2}^{2} \\ - 120816 β^{3} c_{1}^{13} c_{2} - 5362677 β^{3} c_{1}^{11} + 547624 β^{2} c_{1}^{16} c_{2} + 1744380 β^{2} c_{1}^{14} \\ - 188706 {βc}_{1}^{17} + 3568 c_{1}^{20}) \end{matrix},$ >

$> \begin{matrix} c_{10} = \frac{1}{181440} \frac{1}{β^{13} c_{1}^{8}} (92897280 β^{13} c_{2}^{9} - 92897280 β^{12} c_{1} c_{2}^{8} + 4058449920 β^{11} c_{1}^{2} c_{2}^{7} \\ - 238970880 β^{10} c_{1}^{5} c_{2}^{7} - 10149027840 β^{10} c_{1}^{3} c_{2}^{6} + 1630158336 β^{9} c_{1}^{6} c_{2}^{6} \\ + 15980146560 β^{9} c_{1}^{4} c_{2}^{5} - 4676078592 β^{8} c_{1}^{7} c_{2}^{5} - 16397095680 β^{8} c_{1}^{5} c_{2}^{4} \\ + 131654016 β^{7} c_{1}^{10} c_{2}^{5} + 7304043456 β^{7} c_{1}^{8} c_{2}^{4} + 109426400 β^{7} c_{1}^{6} c_{2}^{3} \\ - 564117120 β^{6} c_{1}^{11} c_{2}^{4} - 6702770736 β^{6} c_{1}^{9} c_{2}^{3} - 4571471520 β^{6} c_{1}^{7} c_{2}^{2} \\ + 949114656 β^{5} c_{1}^{12} c_{2}^{3} + 3610117836 β^{5} c_{1}^{10} c_{2}^{2} + 1083264840 β^{5} c_{1}^{8} c_{2} \\ - 18404544 β^{4} c_{1}^{15} c_{2}^{3} - 783565920 β^{4} c_{1}^{13} c_{2}^{2} - 1055710800 β^{4} c_{1}^{11} c_{2} \\ - 110837160 β^{4} c_{1}^{9} + 41460120 β^{3} c_{1}^{16} c_{2}^{2} + 317333772 β^{3} c_{1}^{14} c_{2} \\ + 129215439 β^{3} c_{1}^{12} - 30678936 β^{2} c_{1}^{17} c_{2} - 50420286 β^{2} c_{1}^{15} \\ + 484984 {βc}_{1}^{20} c_{2} + 7457610 {βc}_{1}^{18} - 316628 c_{1}^{21}) \end{matrix},$ >

而β＝(a+b)/2a，c₁和c₂的值由方程

$> ν = 2 - \frac{b}{a} [Σ_{i = 2}^{10} i (i - 1) c_{i} {(\frac{b}{a} - β)}^{i - 2}] / [Σ_{j = 1}^{10} {jc}_{j} {(\frac{b}{a} - β)}^{j - 1}]$ >

和

$> ν = 2 - \frac{b}{a} [Σ_{i = 2}^{10} i (i - 1) c_{i} {(1 - β)}^{i - 2}] / [Σ_{j = 1}^{10} {jc}_{j} {(1 - β)}^{j - 1}]$ >

确定,c₀的值由方程

$> c_{0} = - Σ_{j = 1}^{10} c_{j} {(1 - β)}^{j}$ >

确定。

这样，只要准确测量出所施加的均布载荷q的值，就可以确定出该环形薄膜变形后的弹性能U。其中，所有参量皆采用国际单位制。

附图说明

图1为均布载荷下周边固定夹紧的中心带刚性板的环形薄膜的加载构造示意图，其中，1－环形薄膜，2－刚性板，3－夹紧装置，而a表示夹紧装置的内半径和环形薄膜的外半径，b表示刚性板的半径和环形薄膜的内半径，r表示径向坐标，w(r)表示点r处的横向坐标，q表示横向均布载荷，w_m表示薄膜的最大挠度。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的详细说明：

如图1所示，用一个内半径a＝20mm的夹紧装置，将厚度h＝0.06mm、杨氏弹性模量E＝7.84MPa、泊松比ν＝0.47、中心带半径b＝5mm的刚性板的橡胶薄膜固定夹紧，形成一个外半径a＝20mm、内半径b＝5mm的周边固定夹紧的中心带刚性板的轴对称环形薄膜，对其横向施加均布载荷q，并测得q＝0.01MPa。采用本发明所给出的方法，通过方程

$> ν = 2 - \frac{b}{a} [Σ_{i = 2}^{10} i (i - 1) c_{i} {(\frac{b}{a} - β)}^{i - 2}] / [Σ_{j = 1}^{10} {jc}_{j} {(\frac{b}{a} - β)}^{j - 1}]$ >

和

$> ν = 2 - \frac{b}{a} [Σ_{i = 2}^{10} i (i - 1) c_{i} {(1 - β)}^{i - 2}] / [Σ_{j = 1}^{10} {jc}_{j} {(1 - β)}^{j - 1}]$ >

则可以得到c₁＝-0.7026607165，c₂＝-0.6927450924，其中，

β＝(a+b)/2a＝0.625，

$> c_{3} = \frac{1}{6} \frac{1}{β^{3} c_{1}} (8 β^{3} c_{2}^{2} - 10 β^{2} c_{1} c_{2} + 3 {βc}_{1}^{2} - c_{1}^{5}),$ >

$> c_{4} = \frac{1}{24} \frac{1}{β^{4} c_{1}^{2}} (48 β^{4} c_{2}^{3} - 120 β^{3} c_{1} c_{2}^{2} + 90 β^{2} c_{1}^{2} c_{2} - 16 {βc}_{1}^{5} c_{2} - 21 {βc}_{1}^{3} + 8 c_{1}^{6}),$ >

$> \begin{matrix} c_{6} = \frac{1}{720} \frac{1}{β^{7} c_{1}^{4}} (3840 β^{7} c_{2}^{5} - 19200 β^{6} c_{1} c_{2}^{4} + 36720 β^{5} c_{1}^{2} c_{2}^{3} - 3552 β^{4} c_{1}^{5} c_{2}^{3} \\ - 33360 β^{4} c_{1}^{3} c_{2}^{2} + 8296 β^{3} c_{1}^{6} c_{2}^{2} + 14340 β^{3} c_{1}^{4} c_{2} - 6208 β^{2} c_{1}^{7} c_{2} \\ - 2340 β^{2} c_{1}^{5} + 344 {βc}_{1}^{10} c_{2} + 1489 {βc}_{1}^{8} - 204 c_{1}^{11}) \end{matrix},$ >

$> \begin{matrix} c_{7} = \frac{1}{2520} \frac{1}{β^{9} c_{1}^{5}} (23040 β^{9} c_{2}^{6} - 144000 β^{8} c_{1} c_{2}^{5} + 362880 β^{7} c_{1}^{2} c_{2}^{4} - 29664 β^{6} c_{1}^{5} c_{2}^{4} \\ - 469800 β^{6} c_{1}^{3} c_{2}^{3} + 100944 β^{5} c_{1}^{6} c_{2}^{3} + 328140 β^{5} c_{1}^{4} c_{2}^{2} - 124644 β^{4} c_{1}^{7} c_{2}^{2} \\ - 116910 β^{4} c_{1}^{5} c_{2} + 5416 β^{3} c_{1}^{10} c_{2}^{2} + 66120 β^{3} c_{1}^{8} c_{2} + 16605 β^{3} c_{1}^{6} \\ - 7468 β^{2} c_{1}^{11} c_{2} - 1278 β^{2} c_{1}^{9} + 2524 {βc}_{1}^{12} - 86 c_{1}^{15}) \end{matrix},$ >

然后，再由方程可以得到c₀＝0.3710002899。最后，由方程

则可以得到该环形薄膜的弹性能U＝50.2088×10^-3J。

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