一种基于M-BSWA多目标优化的机械结构设计方法

摘要

一种基于M-BSWA多目标优化的机械结构设计方法属机械设计技术领域，本发明包括下列步骤：1.建立机械结构多目标优化设计的数学模型；2.采用正交实验设计方法采样；3.构造径向基函数代理模型；4.确定评价代理模型精度；5.设计用于求解优化问题的多目标优化算法M-BSWA；6.验证优化结果的有效性。本发明适用于机械结构的多目标优化设计，获得的机械结构参数分配更加合理，从而使设计的机械结构性能更好，本发明采用数值计算方法，计算速度快，可大大缩短设计周期，并保证在不增加机械结构整体质量的前提下,实现提高机械结构综合性能的目标。

说明书

技术领域

本发明属机械结构优化设计技术领域，具体涉及一种基于M-BSWA多目标优化的机械结构设计方法。

背景技术

机械结构优化设计是指在现有的设计方案基础上，通过优化过程，使设计参数向更优的方向调整，直到在约束条件范围之内找到最合理的设计方案。与传统的优化设计相比，现代优化设计以数值基础理论为指导，在整个设计域内进行寻优计算，能够快速得到设计方案，并判断所得方案优劣，最后在众多方案中确定最优方案。因采用数值计算的方法，节省了设计时间，降低了成本。

生产实际中优化问题往往是多目标优化问题，一般情况下多目标优化问题中的多个子目标之间是相互矛盾的，一个目标的改善有可能引起另外一个或多个子目标性能的降低，也就是说多个优化目标是不能同时达到最优的，如何平衡各性能指标间的关系，获得最合理的优化设计方案，是多目标优化的主要任务。“最优化”是工程设计中的永恒话题，如何设计出快速有效的多目标优化算法，从而构建机械结构的优化方法是解决实际工程问题的基础。

发明内容

本发明考虑了机械结构的多项性能指标，例如轻量化问题中的结构的重量，体积；碰撞问题中的最大吸能量、最大变形量、峰值压溃力等。本发明提出了一种可以同时兼顾考虑多个结构性能指标的基于多目标优化的机械结构设计方法。

本发明一种基于M-BSWA多目标优化的机械结构设计方法包括下列步骤：

1.建立机械结构多目标优化设计的数学模型，包括下列步骤：

1.1建立机械结构初始CAD模型；

1.2选定设计变量、优化目标函数及约束条件；

1.3建立机械结构的数学模型，其数学表达式为：

$>\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}\min F\left(x\right)=[f_1\left(x\right),f_2\left(x\right),...,f_n\left(x\right)];\\ X=(x_{1,}{x}_{2,}...,x_l);\end{array}\\ \begin{array}{cc}& x_i\le x_i\le {\bar{x}}_i,i=1,2,...,l;\\ s.t.& {\bar{h}}_j\left(x\right)\le 0,j=1,2,...,m;\\ & h_j\left(x\right)=0,j=m+1,m+2,...,k;\end{array}\end{array}\right)$>

式中：f₁(x),f₂(x),...,f_n(x)表示与机械结构性能有关的目标函数；n为目标函数个数；(x_1,x_2,...,x_l)表示设计变量；表示机械结构设计范围；l为机械结构设计变量个数；h_j(x)≤0,h_j(x)＝0分别表示具体机械结构优化中应满足的不等式约束条件和等式约束条件；

2.采用正交实验设计(DOE)方法采样，包括选取实验因素、正交表水平；

3.构造径向基函数代理模型；

4.确定评价代理模型精度，所采用的测试点评价指标的数学表达式为：

$>R^2=\frac{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{({\hat{y}}_i-{\bar{y}}_i)}^2}{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{(y_i-{\bar{y}}_i)}^2}$>

$>R_{adj}^2=\frac{1-\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2(M-1)}{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{(y_i-{\bar{y}}_i)}^2(M-k-1)};$>

式中：R为决定因子；R_adj为调整决定因子；M为样本数目；k为设计变量的个数；分别表示在测试点处仿真计算模型的测量值、平均值和预测值；当决定因子和调整决定因子越接近1时，构造的响应面函数即代理模型精度越高。当R²≥99.8％,R_adj≥99.5％时，构建的代理模型满足设计要求；

5.设计用于求解优化问题的多目标优化算法M-BSWA，包括下列步骤：

5.1用平方和加权法将多目标优化问题转化为单目标优化问题，其数学表达式为：

$>\min f\left(x\right)=\stackrel{n}{\Sigma }{w}_i{[f_i\left(x\right)-f_i^{*}]}^2$>

式中：f_i(x)表示目标函数，n为目标函数的个数；f_i^*为每个目标函数的最优解；w_i为加权系数,$>\underset{i=1}{\overset{2}{\Sigma }}{w}_i=1,w_i>0;$>

5.2用Lagrangian乘子法[见：袁亚湘.非线性优化计算方法.[M]北京科学出版社，2008]将步骤1.5.1中的有约束优化问题转化为无约束优化问题，构建如下Lagrangian函数：

$>L(\overrightarrow{x},\lambda ,\alpha ,\beta )=f\left(x\right)+\stackrel{m}{\Sigma }{\lambda }_j{h}_i\left(x\right)+\stackrel{l}{\Sigma }{\alpha }_i(x_i-x_i)+\stackrel{l}{\Sigma }{\beta }_i(x_i-{\bar{x}}_i);$>

式中：λ_j,α_i,β_i为Lagrangian乘子；

5.3经步骤5.2和步骤5.3处理后，建立无约束优化问题的数学模型，其数学表达式为：

>

式中：X为设计变量组成的向量；为通过Lagrangian乘子法构造的Lagrangian函数；

5.4用M-BFGS拟牛顿算法[见：黄海，林穗华.几种修正拟牛顿法的比较.[J]数学研究，2011]计算设计变量的迭代估计值，M-BFGS拟牛顿算法的迭代格式为：

x_k+1＝x_k+α_kd_k

式中：α_k搜索为步长，通过Armijo非精确线性搜索确定；

d_k为搜索方向，即：

式中：为第j个目标函数的Hessian矩阵的近似，为第j个目标函数的导数，为加权因子；

5.5采用matlab工具对步骤5.1、5.2和5.3形成的用于求解优化问题的多目标优化算法M-BSWA进行编码编程、计算设计变量的迭代估计值、实现优化求解、确定优化方案；

6.验证优化结果的有效性。

步骤5所述用于求解优化问题的多目标优化算法M-BSWA在把多目标优化问题转化为单目标优化问题的过程中，每组加权系数中一部分采用容限法确定，另一部分基于的原则确定,然后根据具体机械结构设计问题，通过调整目标函数的容限给出50-150组加权系数w_i,i＝1,2,...,n。

本发明设计的M-BSWA在理论上和实际工程应用上都具有计算速度快、满足收敛性的数值计算方法。

本发明通过构建具体机械结构的多个性能指标与设计变量间的数学模型，为了加快计算速度，降低问题的复杂程度，又构建了代理模型，充分考虑机械结构各性能指标间的相互关系，将多种评价指标同时作为目标函数，设计一种求解多目标优化问题的数值算法，该算法能够快速求解有约束多目标优化问题。最终提出了一种基于M-BSWA多目标优化的机械结构的设计方法。

本发明适用于机械结构的多目标优化设计，获得的机械结构参数分配更加合理，从而使设计的机械结构性能更好，本发明采用数值计算方法，计算速度快，可大大缩短设计周期，并保证在不增加机械结构整体质量的前提下,实现提高机械结构综合性能的目标。

附图说明

图1为基于M-BSWA多目标优化的机械结构设计方法的流程图

图2为基于M-BSWA多目标优化的机械结构设计的M-BSWA算法的设计流程图

图3为轿车车身前部结构吸能部件的结构示意图

图4为轿车前部吸能盒的结构示意图

具体实施方式

以下结合轿车前部吸能盒结构设计，详细描述本发明。

如图1和图2所示，本发明的一种基于M-BSWA多目标优化的轿车前部吸能盒结构设计方法，包括如下步骤：

1.建立轿车吸能盒结构多目标优化设计的数学模型，包括建立吸能盒结构初始CAD模型，选定设计变量、优化目标函数及约束条件；

2.选择正交实验设计(DOE)方法采样，构造径向基函数代理模型，确定评价代理模型精度；

3.设计用于求解优化问题的多目标优化算法M-BSWA，根据求解流程，进行编码编程，实现优化求解；

4.验证优化结果的有效性。

在步骤1中，建立轿车吸能盒结构多目标优化设计的数学模型，包括如下步骤：

1.1建立吸能盒结构初始CAD模型如图4所示；

1.2选取吸能盒宽b、吸能盒高h、壁厚t为三个设计变量分别表示为：x₁,x₂,x₃，并确定其设计范围：$>\underset{-}{x_i}\le x_i\le \stackrel{-}{x_i},i=1,2,3;$>

1.3选取压溃力效率(CFE)吸能比(SEA)为两个优化目标，并构建与之相关的目标函数f₁(x),f₂(x)；

1.4设置约束条件：E(x)＞E_c,M(x)≤M_c；

步骤2中,在选择实验设计(DOE)方法采样，构造径向基函数代理模型，确定评价代理模型精度的过程中主要包括以下步骤：

2.1实验设计方法采样，采用正交实验设计方法采样得到样本点和测试点，并计算出样本点和测试点的目标函数值；

2.2评价代理模型的精度，设定代理模型精度评价指标，计算代理模型在测试点处的响应值及其精度，若没有达到精度准则，则更新样本点，重新构建代理模型，所采用的测试点评价指标如下：

$>R^2=\frac{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{({\hat{y}}_i-{\bar{y}}_i)}^2}{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{(y_i-{\bar{y}}_i)}^2};$>

$>R_{adj}^2=\frac{1-\underset{i=1}{\overset{2}{\Sigma }}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2(M-1)}{\underset{i=1}{\overset{2}{\Sigma }}{(y_i-{\bar{y}}_i)}^2(M-k-1)};$>

式中：R为决定因子；R_adj为调整决定因子；M为样本数目；k为设计变量的个数；分别表示在测试点处仿真计算模型的测量值、平均值和预测值；

当R²≥99.8％,R_adj≥99.5％时，构建的代理模型能满足设计要求；

在步骤3中，设计用于求解优化问题的多目标优化算法M-BSWA，用于解决吸能盒结构优化设计问题包括以下步骤：

3.1采用平方和加权法将多目标问题转化为单目标优化问题,具体方法可描为：

$>\min f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{2}{\Sigma }}{w}_i{[f_i\left(x\right)-f_i^{*}\left(x\right)]}^2---\left(1\right)$>

式中：f_i^*(x)为每个目标函数的最优解，w_i为加权系数。

每组加权系数中一个采用容限法确定，另一个基于的原则确定。

然后根据具体机械结构设计问题，通过调整目标函数的容限给出100组加权系数w_i,i＝1,2。容限法定义：若α_i≤f_i(x)≤β_i,i＝1,2,...,L，则称为该目标函数的容限。

通过容限法确定的加权系数数学表达式为：

$>w_i=\frac{1}{{\left[{\mathrm{\Delta f}}_i\left(x\right)\right]}^2},i=1,2,...$>

综上所述，基于平方和加权法的轿车前部吸能盒结构多目标优化的数学模型可表述为：

>

3.2采用Lagrangian乘子法将有约束优化问题转化为无约束优化问题，具体可描述为：

$>L(\overrightarrow{x},\lambda ,\alpha ,\beta )=f\left(x\right)+\underset{j=1}{\overset{2}{\Sigma }}{l}_j{h}_i\left(x\right)+\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\alpha }_i(\underset{-}{x_i}-x_i)+\underset{i=1}{\overset{3}{\Sigma }}{\beta }_i(x_i-{\bar{x}}_i)---\left(3\right)$>

式中：l_j(j＝1,2),α_i,β_i(i＝1,2,3)为拉格朗日乘子。

结合(3)式，(2)式可改写为：

>

拟牛顿算法是解决无约束优化问题的首选方法，其高效的计算速度和收敛性使之在解决无约束优化问题方面表现出了良好的性能。

本发明选用了一种M-BFGS算法解决(4)式描述的无约束优化问题。

3.3采用一种改进的BFGS(M-BFGS)算法解决上述无约束优化问题。

M-BFGS算法的具体步骤为：

a.选取初始点x₀∈Rⁿ，初始对称正定矩阵B₀∈R^n×n，参数ε,ρ∈(0,1),δ∈(0,0.5).令k:＝1；

b.若||g_k||≤ε,停止迭代；否则解线性方程组B_kd_k+g_k＝0,得到搜索方向d_k；

$>d_x=-{\left[\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\lambda }_j\left(x\right){▿}^2{B_j}^{*}\left(x\right)\right]}^{-1}\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\lambda }_j\left(x\right)▿f_j\left(x\right),$>

式中：是目标函数f_j(x)的Hessian矩阵。

c.由Armijo非线性搜索规则确定步长因子α_k；

$>{\alpha }_k=max\left\{{\rho }^j\right|f(x_k+{\rho }^j{d}_k)-f_k\le {\mathrm{\delta \rho }}^j{g}_k^T{d}_k,j=0,1,2...\}.$>

d.迭代格式x_k+1:＝x_k+α_kd_k；

修正BFGS校正公式计算B_k+1：

$>B_{k+1}=B_k-\frac{B_k{s}_k{s}_k^T{B}_k}{s_k^T{B}_k{s}_k}+\frac{\widehat{y_k}{\widehat{y_k}}^T}{s_k^T\widehat{y_k}}---\left(5\right)$>

式中：$>\widehat{y_k}={\mathrm{ty}}_k+(1-t)r_k{s}_k;$>

r_k＝2(f_k+1-f_k-g_k^Ts_k)/||s_k||²；

s_k＝f_k+1-f_k；

t∈[0,1]。

e.令k:＝k+1，转步骤b。

根据步骤3.1、3.2和3.3描述的算法，对针对吸能盒优化具体问题建立的数学模型进行编程，实现优化求解。

根据得到的优化参数值对轿车前部吸能盒结构进行优化设计。

最后通过仿真软件验证优化结果的有效性。