不完全信道信息的蜂窝网络下D2D通信系统资源的分配方法

摘要

一种不完全信道信息的蜂窝网络下D2D通信系统资源的分配方法，属于无线通信技术领域。在蜂窝网络下的D2D通信系统中，D2D用户可重用蜂窝用户的资源块实现不通过基站的直接通信。该资源分配方法在干扰信道状态信息不完全可知的情况下，将D2D用户和蜂窝用户的功率分配与资源块分配进行联合优化，保证蜂窝用户QoS(服务质量)要求的同时，最大化D2D子系统的和速率，使系统实现最优性与稳健性的折衷。相比较于信道状态信息完全可知的情况，该方法在保障整个系统的稳定性上有着显著优势。

说明书

技术领域

本发明涉及一种在蜂窝网络下的D2D通信系统中，干扰信道状态信息不完全可知 时的联合资源分配方法，具体讲是一种不完全信道信息的蜂窝网络下D2D通信系统资源的 分配方法，属于无线通信技术领域。

背景技术

D2D(Device-to-Device)通信是一种在系统的控制下，允许终端之间通过复用小 区资源直接进行通信而不需通过基站的新型技术，它能够增加蜂窝通信系统的频谱效率， 降低终端发射功率，允许网络容纳更多用户，在一定程度上解决无线通信频谱资源匮乏的 问题。由于在蜂窝网络下的D2D通信系统中，D2D通信与蜂窝通信共享频谱资源，所以合理有 效的干扰控制机制与灵活的资源块分配机制对通信性能的提升至关重要，引起研究人员的 广泛关注。

针对实际环境中信道状态信息并不完全确定的情况，鲁棒性优化理论将理想(不 考虑信道的不确定性)优化问题转化为鲁棒性优化问题，每个不确定参数表示为估计值与 加性误差值的和。目前一般有两种方法处理信道不确定的影响——最坏情况方法和贝叶斯 方法。最坏情况方法中，实际信道值存在于估计信道值的邻域(不确定域)内，限制条件在一 切情况下都成立；贝叶斯方法中，信道被假设为随机量，限制条件在统计意义上得到满足。

最近，文献中报道了许多与D2D资源分配有关的工作，这些工作都致力于研究信道 状态信息完全可知情况下的D2D通信资源分配，而未考虑到实际应用中信道状态信息并不 容易完全得到。“DownlinkResourceReuseforDevice-to-DeviceCommunications UnderlayingCellularNetworks”(基于蜂窝网络的D2D通信中的资源重用)【IEEESIGNAL PROCESSINGLETTERS,VOL.21,NO.5,MAY2014】一文中讨论了含D2D通信的蜂窝网络中的资 源块重用及功率分配问题，但并未进行信道状态信息不完全时的分析。目前，查阅到的资料 中，仍然没有在信道状态信息不完全时，保证蜂窝用户QoS需求并进行联合资源分配的先 例。

发明内容

针对实际应用中信道状态信息往往并不完全可知的情况，本发明提供了一种不完 全信道信息的蜂窝网络下D2D通信系统资源的分配方法。该方法将已知信道信息的理想优 化问题转化为鲁棒性优化问题，在干扰信道状态信息不完全可知的情况下，将D2D用户和蜂 窝用户的功率分配与资源块分配进行联合优化，从而提高整个系统的稳健性。

本发明的技术方案如下：

一种不完全信道信息的蜂窝网络下D2D通信系统资源的分配方法，由在蜂窝网络 下的D2D通信系统来实现：该系统包括蜂窝系统和D2D系统两部分，蜂窝系统包括基站BS和C 个蜂窝用户；D2D系统包括L对D2D用户，第l对D2D用户含有一个D2D发射端TXl和D2D接收端 RXl，其中l∈{1,2，...,L}，设在蜂窝网络下的D2D通信系统共有C个资源块，每个蜂窝用户 占有一个对应的资源块，设符号y_l，c∈{0，1}表示资源块重用因子，即当第l个D2D用户对重 用第c个资源块时，y_l，c＝1；否则y_l，c＝0；由于每个资源块最多被一对D2D用户重用，所以 其中c∈Λ表示第c个蜂窝用户及其占用的资源块，集合Λ＝{1,2，...,C}，为了 方便，对第c个资源块，我们用Ω_c表示重用该资源块的D2D用户对的集合，即Ω_c＝{l|y_l，c＝ 1},c∈Λ，设h_c，h_l，c分别表示基站到第c个蜂窝用户、第l个D2D用户对重用第c个资源块的 传输信道功率增益；g_c，l和g_l，c分别表示在第c个资源块上基站到D2D接收端RXl、D2D发射端 TXl到第c个蜂窝用户的干扰信道功率增益，该方法的具体步骤如下：

1)信息传输速率及蜂窝用户的QoS要求

由香农理论，第l个D2D用户对的信息传输速率表示为：

$r_l=\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{P_{l,c}{h}_{l,c}}{{\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c}),l\in \Psi ---\left(1\right)$

其中，P_l，c为第l个D2D用户对重用第c个资源块时的发射功率；P_c为基站到第c个蜂 窝用户的发射功率；σ²为信道噪声，在蜂窝网络下的D2D通信系统中，蜂窝用户具有更高的 优先级，其服务质量必须被保障，为保证正常的蜂窝通信，设定常量R_c，使蜂窝通信的信息 传输速率不低于该值，即：

${\log }_2(1+\frac{P_c{h}_c}{{\sigma }^2+\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}{g}_{l,c}{P}_{l,c}})\ge R_c,c\in \Lambda ---\left(2\right)$

对式(2)进行化简，得到：

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}{g}_{l,c}{P}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda ,$其中${\alpha }_c=2^{R_c}-1---\left(3\right)$

因此，化简后的式(3)可以等效表示蜂窝用户的QoS要求；

2)已知信道状态信息时的优化问题

以最大化D2D系统和速率为目标函数，以资源块分配规则、蜂窝用户的QoS要求为 约束条件，构造如下优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},P_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{P_{l,c}{h}_{l,c}}{{\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}{g}_{l,c}{P}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda \end{array}---\left(4\right)$

式(4)中的s.t.符号及其后面的式子表示为约束式，s.t.表示为约束符号，符号 max表示求最大值符号，max符号下的集合{y_l，c,P_l，c，P_c}为优化变量集合，(4)式表示在约束 式中对资源块分配规则、蜂窝用户的QoS要求进行限制的条件下，求解目标函数即符号max 后的部分的最大值，该最大化问题为非凸问题；

3)转化为凸优化问题

引入变量S_l，c＝y_l，cP_l，c，将y_l，c∈{0，1}的条件松弛为y_l，c∈[0,1]，用变量S_l，c替换 式(4)中的变量P_l，c，且引入I_P≥σ²+g_c,lP_c,c∈Λ,l∈Ω_c，则得到凸优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_P})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{g}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda \\ & {\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c\le I_P,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(5\right)$

可以看出，式(5)中的优化变量变为y_l，c,S_l，c，P_c，该最大化问题是在信道状态信息 完全可知情况下的优化问题，也称为理想优化问题；

4)干扰信道状态信息不完全可知时的鲁棒性优化问题

实际情况中，基站到D2D接收端以及D2D发送端到蜂窝用户之间的干扰信道增益并 不容易得到确定值，为了处理信道增益的不确定性，我们应用最坏情况鲁棒性优化方法，假 设干扰信道增益是不确定值，但该值限定在一个有界范围(不确定集)内，将D2D发送端到第 c个蜂窝用户间的干扰信道增益表示为矢量g_c＝[g_1,c,g_2,c,…,g_L,c],c∈Λ，然后限定在不 确定集R_gc中，即g_c∈R_gc,c∈Λ；并将g_c表示为估计值与有界误差值之和，即 同样的，将基站到重用第c个资源块的D2D接收端RXl的干扰信道增益g_c,l限定在 不确定集中，即c∈Λ,l∈Ω_c，并且将g_c,l表示为估计值与有界误差值之和，即$g_{c,l}={\bar{g}}_{c,l}+{\hat{g}}_{c,l};$

在理想优化问题(5)的基础上，将干扰信道增益限定在不确定集内，则得到如下鲁 棒性优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_p})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{g}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda \\ & {\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c\le I_p,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\\ & g_c\in R_{g_c},c\in \Lambda \\ & g_{c,l}\in R_{g_{c,l}},c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(6\right)$

5)鲁棒性优化问题的范数表示

式(6)中的鲁棒性优化问题的求解会受到不确定集的影响，所以我们将不确定集 表示为普通范数的形式：

$R_{g_c}=\left\{g_c\right|\left|\right|M_{g_c}{(g_c-g_c)}^T\left|\right|\le {\psi }_1\}---\left(7\right)$

$R_{g_{c,l}}=\left\{g_{c,l}\right|\left|\right|M_{g_{c,l}}(g_{c,l}-{\bar{g}}_{c,l})\left|\right|\le {\psi }_2\}---\left(8\right)$

其中，‖‖表示普通范数运算，T表示转置运算，ψ₁、ψ₂分别表示不确定集和的 上界；是的权值，是L×L维的可逆权值矩阵，由于g_c中的每个元素都服从独立 同分布，所以矩阵实际上是对角阵；

由此，式(6)中的后四个约束条件可以等效为：

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+\underset{g_c\in R_{g_c}}{max}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}(g_{l,c}-{\bar{g}}_{l,c})\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda ---\left(7\right)$

$P_c{\bar{g}}_{c,l}+\underset{g_{c,l}\in R_{g_{c,l}}}{max}{P}_c(g_{c,l}-{\bar{g}}_{c,l})\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c---\left(8\right)$

令$v_c=\frac{M_{g_c}{(g_c-{\bar{g}}_c)}^T}{{\psi }_1},$则不确定集$R_{g_c}=\left\{v_c\right|\left|\right|v_c\left|\right|\le 1\},$可以得到：

$\begin{array}{c}\underset{g_c\in R_{g_c}}{\max }\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}(g_{l,c}-{\bar{g}}_{l,c})=\underset{g_c\in R_{g_c}}{\max }{S}_c{(g_c-{\bar{g}}_c)}^T={\psi }_1\underset{\left|\right|v_c\left|\right|\le 1}{\max }{S}_c{M}_{g_c}^{-1}{v}_c\\ ={\psi }_1\left|\right|M_{g_c}^{-1}{S}_c^T|{|}^{*}\end{array}---\left(9\right)$

其中，‖‖*表示对偶范数运算，矢量S_c＝[S_1,c,S_2,c,…,S_L,c]，(·)^-1表示对括号内求 逆运算，类似的可以得到：

$\underset{g_{c,l}\in R_{g_{c,l}}}{\max }{P}_c(g_{c,l}-{\bar{g}}_{c,l})={\psi }_2\left|\right|M_{g_{c,l}}^{-1}{P}_c|{|}^{*}---\left(10\right)$

至此，将鲁棒性优化问题用范数的形式表示：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_p})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\left|\right|M_{g_c}^{-1}{S}_c^T|{|}^{*}\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda \\ & P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2\left|\right|M_{g_{c,l}}^{-1}{P}_c|{|}^{*}\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(11\right)$

6)求解鲁棒性优化问题

若任意矢量y的不确定集的线性范数表示为其中阶数α≥2， abs{y}表示y的绝对值，则对偶范数阶数为β，$\beta =1+\frac{1}{\alpha -1},$所以 $\left|\right|M_{g_c}^{-1}{S}_c^T|{|}^{*}={\left(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\left(M_{g_c}^{-1}\left(l,:\right)·S_c^T\right)}^{\beta }\right)}^{\frac{1}{\beta }},$其中表示矩阵的逆矩阵 的第l行所有元素，一种常用的方法是将不确定集表示为椭圆，即α＝2，β＝2，为使该问题更 便于处理，由于矢量的二阶范数不大于一阶范数，则令β＝1，得到近似的优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_p})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda \\ & P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(12\right)$

其中，为矩阵的逆矩阵的第l行第l列元素，这些元素均为正 值，经验证，优化问题(14)式为凸问题，存在唯一的最优解，利用拉格朗日对偶理论，可以建 立起优化问题即原问题与一个最小化问题即对偶问题之间的关联关系，我们研究的原问题 具有强对偶性，因此可以通过求解对偶问题而得到原问题的最优值，原问题的拉格朗日函 数为：

$\begin{array}{c}L(S_{l,c},y_{l,c},P_c,\Theta )=\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_p})-\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{\phi }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}-1)\\ -\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{\rho }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}-\frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c+{\sigma }^2)\\ -\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{\gamma }_{c,l}(P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c-I_p+{\sigma }^2)\end{array}---\left(13\right)$

对偶函数为：

D(Θ)＝maxL(S_l，c,y_l，c,P_c,Θ)(14)

其中Θ:＝{φ_c,ρ_c,γ_c,l},c∈Λ,l∈{1,2,...,L}是对偶因子集合，其中符号:＝ 表示定义，φ_c,ρ_c,γ_c,l分别表示公式(14)三个约束式中的三个限制条件对应的对偶因子， 对偶函数对应的对偶问题如下：

$\begin{array}{cc}min& D\left(\Theta \right)\\ s.t.& \Theta \ge 0\end{array}---\left(17\right)$

即在对偶因子集合Θ≥0的约束条件下，通过优化Θ求解目标函数即对偶函数D (Θ)的最小值，min表示求最小值符号，已知原问题具有强对偶性，所以通过对偶问题(17) 式求得的最小值即为原问题的最优值，求解对偶问题最关键之处在于求解最优的对偶因子 集合Θ^*，求解Θ^*及资源分配的过程具体如下：

A)由于式中表示第l个D2D 用户对重用第c个资源块时的最优发射功率，令函数则最 优资源块重用因子表示为其中H_l，c表示使函数H_l，c取最大值 时的l值，l的取值范围为[1,L]，c∈Λ；

B)由KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件，求解KKT条件中的等式：

$\frac{\partial L(S_{l,c},y_{l,c},P_c,\Theta )}{\partial S_{l,c}}=0$

$\frac{\partial L(S_{l,c},y_{l,c},P_c,\Theta )}{\partial P_c}=0$

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda$

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda$

$P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c$

${\phi }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}-1)=0,c\in \Lambda$

${\rho }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}+{\sigma }^2-\frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c)=0,c\in \Lambda$

${\gamma }_{c,l}(P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c+{\sigma }^2-I_p)=0,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c$

Θ≥0

即可解出第l个D2D用户对重用第c个资源块时的最优发射功率公式(14)三个 约束式中的后两个限制条件对应的对偶因子ρ_c,γ_c,l的最优解及第c个蜂窝用户的最优发 射功率得到第l个D2D用户对重用第c个资源块时的最优发射功率后由步骤A)可得 到资源块的分配策略，即最优资源块重用因子的取值。

本发明的有益效果如下：

针对实际应用中信道状态信息往往并不完全可知的情况，本发明提供了一种基于 不完全信道信息的蜂窝网络下的D2D通信系统资源分配算法。该方法将已知信道信息的理 想优化问题转化为鲁棒性优化问题，在干扰信道状态信息不完全可知的情况下，保证蜂窝 用户QoS(服务质量)要求的同时，最大化D2D子系统的和速率，将D2D用户和蜂窝用户的功率 分配与资源块分配进行联合优化，从而兼顾系统的最优性与稳健性。

附图说明

图1是本发明在蜂窝网络下的D2D通信系统的结构示意图。

其中：D2DTX表示D2D用户对的发射端、D2DRX表示D2D用户对的接收端、CU表示蜂 窝用户、BS表示基站，椭圆曲线内部分表示第l个D2D用户对重用第c个资源块，h_c，h_l，c分别 表示基站到第c个蜂窝用户、第l个D2D用户对重用第c个资源块的传输信道功率增益；g_c，l和 g_l，c分别表示在第c个资源块上基站到D2D接收端RXl、D2D发射端TXl到第c个蜂窝用户的干 扰信道功率增益。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明作进一步说明，但不限于此。

实施例：

本发明实施例如图1所示，一种不完全信道信息的蜂窝网络下D2D通信系统资源的 分配方法，由在蜂窝网络下的D2D通信系统来实现：该系统包括蜂窝系统和D2D系统两部分， 蜂窝系统包括基站BS和C个蜂窝用户；D2D系统包括L对D2D用户，第l对D2D用户含有一个D2D 发射端TXl和D2D接收端RXl，其中l∈{1,2，...,L}，设在蜂窝网络下的D2D通信系统共有C个 资源块，每个蜂窝用户占有一个对应的资源块，设符号y_l，c∈{0，1}表示资源块重用因子，即 当第l个D2D用户对重用第c个资源块时，y_l，c＝1；否则y_l，c＝0；由于每个资源块最多被一对 D2D用户重用，所以其中c∈Λ表示第c个蜂窝用户及其占用的资源块，集合Λ＝ {1,2，...,C}，为了方便，对第c个资源块，我们用Ω_c表示重用该资源块的D2D用户对的集 合，即Ω_c＝{l|y_l，c＝1},c∈Λ，设h_c，h_l，c分别表示基站到第c个蜂窝用户、第l个D2D用户对 重用第c个资源块的传输信道功率增益；g_c，l和g_l，c分别表示在第c个资源块上基站到D2D接 收端RXl、D2D发射端TXl到第c个蜂窝用户的干扰信道功率增益，该方法的具体步骤如下：

1)信息传输速率及蜂窝用户的QoS要求

由香农理论，第l个D2D用户对的信息传输速率表示为：

$r_l=\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{P_{l,c}{h}_{l,c}}{{\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c}),l\in \Psi ---\left(15\right)$

其中，P_l，c为第l个D2D用户对重用第c个资源块时的发射功率；P_c为基站到第c个蜂 窝用户的发射功率；σ²为信道噪声，在蜂窝网络下的D2D通信系统中，蜂窝用户具有更高的 优先级，其服务质量必须被保障，为保证正常的蜂窝通信，设定常量R_c，使蜂窝通信的信息 传输速率不低于该值，即：

${\log }_2(1+\frac{P_c{h}_c}{{\sigma }^2+\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}{g}_{l,c}{P}_{l,c}})\ge R_c,c\in \Lambda ---\left(16\right)$

对式(2)进行化简，得到：

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}{g}_{l,c}{P}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda ,$其中${\alpha }_c=2^{R_c}-1---\left(17\right)$

因此，化简后的式(3)可以等效表示蜂窝用户的QoS要求；

2)已知信道状态信息时的优化问题

以最大化D2D系统和速率为目标函数，以资源块分配规则、蜂窝用户的QoS要求为 约束条件，构造如下优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},P_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{P_{l,c}{h}_{l,c}}{{\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}{g}_{l,c}{P}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda \end{array}---\left(18\right)$

式(4)中的s.t.符号及其后面的式子表示为约束式，s.t.表示为约束符号，符号 max表示求最大值符号，max符号下的集合{y_l，c,P_l，c，P_c}为优化变量集合，(4)式表示在约束 式中对资源块分配规则、蜂窝用户的QoS要求进行限制的条件下，求解目标函数即符号max 后的部分的最大值，该最大化问题为非凸问题；

3)转化为凸优化问题

引入变量S_l，c＝y_l，cP_l，c，将y_l，c∈{0，1}的条件松弛为y_l，c∈[0,1]，用变量S_l，c替换 式(4)中的变量P_l，c，且引入I_P≥σ²+g_c,lP_c,c∈Λ,l∈Ω_c，则得到凸优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_P})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{g}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda \\ & {\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c\le I_P,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(19\right)$

可以看出，式(5)中的优化变量变为y_l，c,S_l，c，P_c，该最大化问题是在信道状态信息 完全可知情况下的优化问题，也称为理想优化问题；

4)干扰信道状态信息不完全可知时的鲁棒性优化问题

实际情况中，基站到D2D接收端以及D2D发送端到蜂窝用户之间的干扰信道增益并 不容易得到确定值，为了处理信道增益的不确定性，我们应用最坏情况鲁棒性优化方法，假 设干扰信道增益是不确定值，但该值限定在一个有界范围(不确定集)内，将D2D发送端到第 c个蜂窝用户间的干扰信道增益表示为矢量g_c＝[g_1,c,g_2,c,…,g_L,c],c∈Λ，然后限定在不 确定集中，即c∈Λ；并将g_c表示为估计值与有界误差值之和，即 同样的，将基站到重用第c个资源块的D2D接收端RXl的干扰信道增益g_c,l限定在 不确定集中，即c∈Λ,l∈Ω_c，并且将g_c,l表示为估计值与有界误差值之和，即$g_{c,l}={\bar{g}}_{c,l}+{\hat{g}}_{c,l};$

在理想优化问题(5)的基础上，将干扰信道增益限定在不确定集内，则得到如下鲁 棒性优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_p})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{g}_{l,c}+{\sigma }^2\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c,c\in \Lambda \\ & {\sigma }^2+g_{c,l}{P}_c\le I_p,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\\ & g_c\in R_{g_c},c\in \Lambda \\ & g_{c,l}\in R_{g_{c,l}},c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(20\right)$

5)鲁棒性优化问题的范数表示

式(6)中的鲁棒性优化问题的求解会受到不确定集的影响，所以我们将不确定集 表示为普通范数的形式：

$R_{g_c}=\left\{g_c\right|\left|\right|M_{g_c}{(g_c-g_c)}^T\left|\right|\le {\psi }_1\}---\left(7\right)$

$R_{g_{c,l}}=\left\{g_{c,l}\right|\left|\right|M_{g_{c,l}}(g_{c,l}-{\bar{g}}_{c,l})\left|\right|\le {\psi }_2\}---\left(8\right)$

其中，‖‖表示普通范数运算，T表示转置运算，ψ₁、ψ₂分别表示不确定集和的 上界；是：的权值，是L×L维的可逆权值矩阵，由于g_c中的每个元素都服从独 立同分布，所以矩阵实际上是对角阵；

由此，式(6)中的后四个约束条件可以等效为：

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+\underset{g_c\in R_{g_c}}{max}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}(g_{l,c}-{\bar{g}}_{l,c})\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda ---\left(21\right)$

$P_c{\bar{g}}_{c,l}+\underset{g_{c,l}\in R_{g_{c,l}}}{max}{P}_c(g_{c,l}-{\bar{g}}_{c,l})\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c---\left(22\right)$

令$v_c=\frac{M_{g_c}{(g_c-{\bar{g}}_c)}^T}{{\psi }_1},$则不确定集$R_{g_c}=\left\{v_c\right|\left|\right|v_c\left|\right|\le 1\},$可以得到：

$\begin{array}{c}\underset{g_c\in R_{g_c}}{\max }\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}(g_{l,c}-{\bar{g}}_{l,c})=\underset{g_c\in R_{g_c}}{\max }{S}_c{(g_c-{\bar{g}}_c)}^T={\psi }_1\underset{\left|\right|v_c\left|\right|\le 1}{\max }{S}_c{M}_{g_c}^{-1}{v}_c\\ ={\psi }_1\left|\right|M_{g_c}^{-1}{S}_c^T|{|}^{*}\end{array}---\left(23\right)$

其中，‖‖^*表示对偶范数运算，矢量S_c＝[S_1,c,S_2,c,…,S_L,c]，(·)^-1表示对括号内求 逆运算，类似的可以得到：

$\underset{g_{c,l}\in R_{g_{c,l}}}{\max }{P}_c(g_{c,l}-{\bar{g}}_{c,l})={\psi }_2\left|\right|M_{g_{c,l}}^{-1}{P}_c|{|}^{*}---\left(24\right)$

至此，将鲁棒性优化问题用范数的形式表示：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{c,l}{I}_p})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\left|\right|M_{g_c}^{-1}{S}_c^T|{|}^{*}\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda \\ & P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2\left|\right|M_{g_{c,l}}^{-1}{P}_c|{|}^{*}\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(25\right)$

6)求解鲁棒性优化问题

若任意矢量y的不确定集的线性范数表示为其中阶数α≥2， abs{y}表示y的绝对值，则对偶范数阶数为β，$\beta =1+\frac{1}{\alpha -1},$所以 $\left|\right|M_{g_c}^{-1}{S}_c^T|{|}^{*}={\left(\underset{i=1}{\overset{L}{\Sigma }}{\left(M_{g_c}^{-1}\left(l,:\right)·S_c^T\right)}^{\beta }\right)}^{\frac{1}{\beta }},$其中表示矩阵的逆矩 阵的第l行所有元素，一种常用的方法是将不确定集表示为椭圆，即α＝2，β＝2，为使该问题 更便于处理，由于矢量的二阶范数不大于一阶范数，则令β＝1，得到近似的优化问题：

$\begin{array}{cc}\underset{\{y_{l,c},S_{l,c},P_c\}}{\max }& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{c,l}{I}_p})\\ s.t.& \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda \\ & \underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda \\ & P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c\end{array}---\left(26\right)$

其中，为矩阵的逆矩阵的第l行第l列元素，这些元素均为正 值，经验证，优化问题(14)式为凸问题，存在唯一的最优解，利用拉格朗日对偶理论，可以建 立起优化问题即原问题与一个最小化问题即对偶问题之间的关联关系，我们研究的原问题 具有强对偶性，因此可以通过求解对偶问题而得到原问题的最优值，原问题的拉格朗日函 数为：

$\begin{array}{c}L(S_{l,c},y_{l,c},P_c,\Theta )=\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{y}_{l,c}{\log }_2(1+\frac{S_{l,c}{h}_{l,c}}{y_{l,c}{I}_p})-\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{\phi }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}-1)\\ -\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{\rho }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}-\frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c+{\sigma }^2)\\ -\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}\underset{c=1}{\overset{C}{\Sigma }}{\gamma }_{c,l}(P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c-I_p+{\sigma }^2)\end{array}---\left(27\right)$

对偶函数为：

D(Θ)＝maxL(S_l，c,y_l，c,P_c,Θ)(28)

其中Θ:＝{φ_c,ρ_c,γ_c,l},c∈Λ,l∈{1,2,...,L}是对偶因子集合，其中符号:＝ 表示定义，φ_c,ρ_c,γ_c,l分别表示公式(14)三个约束式中的三个限制条件对应的对偶因子， 对偶函数对应的对偶问题如下：

$\begin{array}{cc}min& \Theta \ge 0\\ s.t.& D\left(\Theta \right)\end{array}---\left(17\right)$

即在对偶因子集合Θ≥0的约束条件下，通过优化Θ求解目标函数即对偶函数D (Θ)的最小值，min表示求最小值符号，已知原问题具有强对偶性，所以通过对偶问题(17) 式求得的最小值即为原问题的最优值，求解对偶问题最关键之处在于求解最优的对偶因子 集合Θ^*，求解Θ^*及资源分配的过程具体如下：

A)由于式中表示第l个D2D 用户对重用第c个资源块时的最优发射功率，令函数则最 优资源块重用因子表示为其中H_l，c表示使函数H_l，c取最大 值时的l值，l的取值范围为[1,L]，c∈Λ；

B)由KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件，求解KKT条件中的等式：

$\frac{\partial L(S_{l,c},y_{l,c},P_c,\Theta )}{\partial S_{l,c}}=0$

$\frac{\partial L(S_{l,c},y_{l,c},P_c,\Theta )}{\partial P_c}=0$

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}\le 1,c\in \Lambda$

$\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}\le \frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c-{\sigma }^2,c\in \Lambda$

$P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c\le I_p-{\sigma }^2,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c$

${\phi }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{y}_{l,c}-1)=0,c\in \Lambda$

${\rho }_c(\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{S}_{l,c}{\bar{g}}_{l,c}+{\psi }_1\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{m}_{{\mathrm{ll}}_{g_c}}{S}_{l,c}+{\sigma }^2-\frac{h_c}{{\alpha }_c}{P}_c)=0,c\in \Lambda$

${\gamma }_{c,l}(P_c{\bar{g}}_{c,l}+{\psi }_2{m}_{g_{c,l}}{P}_c+{\sigma }^2-I_p)=0,c\in \Lambda ,l\in {\Omega }_c$

Θ≥0

即可解出第l个D2D用户对重用第c个资源块时的最优发射功率公式(14)三个 约束式中的后两个限制条件对应的对偶因子ρ_c,γ_c,l的最优解及第c个蜂窝用户的最优发 射功率得到第l个D2D用户对重用第c个资源块时的最优发射功率后由步骤A)可得 到资源块的分配策略，即最优资源块重用因子的取值。