一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法

摘要

本发明公开的一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法，涉及一种静止轨道卫星的位置保持优化方法，属于卫星轨道控制技术领域。本发明可以应用于使用一对斜对称推力器的静止轨道卫星长期运行管理任务。本发明在一个位置保持周期内斜对称推力器各开机两次，同时控制轨道倾角、平经度飘移率和偏心率，共五个等式方程，将推力器的开机赤经和开机速度增量作为自由变量，相应的会有八个待优化自由自变量，通过优化求解相应的开机赤经和开机速度增量，完成若干次的位置保持周期，即可实现仅使用一对斜对称推力器的位置保持。本发明可以以燃料较优的方式仅利用一对斜对称推力器实现位置保持，即解决部分推力器失效的静止轨道卫星位置飘移的问题。

说明书

技术领域

本发明涉及一种静止轨道卫星的位置保持优化方法，特别涉及一种仅使用 一对斜对称安装推力器的位置保持优化方法，属于卫星轨道控制技术领域。

背景技术

由于地球非球形引力、日月第三体引力以及太阳光压等摄动的影响，静止 轨道卫星相对标称点位置发生漂移。地球非球形引力摄动主要引起卫星经度漂 移率的变化使卫星在经度方向上的漂移，日月引力摄动主要引起卫星倾角的变 化使在纬度方向上的漂移，而太阳光压摄动主要引起卫星偏心率的变化使卫星 在经度方向和径向方向震动。随着时间的推移，这些摄动力对卫星产生的影响 会使卫星逐渐漂移出定点保持窗口。因此，静止轨道卫星需要在一定时间间隔 内进行轨道机动来抵消摄动因素的影响使卫星能够在任务周期内始终保持在卫 星的定点窗口内(李恒年.地球静止卫星轨道与共位控制技术[M].北京:国防工 业出版社,2010.)。

电推进具有比冲高、质量轻、体积小，特别是消耗工质少等优点，用于航 天器能显著提高有效载荷比，若增加推进剂携带量则可延长工作寿命。电推进 发动机可以长时间持续工作，开关机基本不受限制，一般在几十到几百毫牛顿 量级(高扬.电火箭星际航行：技术进展、轨道设计与综合优化[J].力学学报, 2011,43(6):991～1019.)。两组斜对称安装在卫星的背地板上，分别为NW-SE 和NE-SW，每组斜对称推力器包括一个北推力器和一个南推力器，两组斜对称 的推力器构成四方形，可以实现在轨位置保持(AnzelB.,Stationkeepingthe HughesHS702SatellitewithaXenonIonPropulsionSystem,IAF-98-A.1.09,49th InternationalAstronauticalCongress,Sept28-Oct2,1998,Melbourne,Australia.)。

但在某个推力器出现故障后，与其对称安装的另一个推力器也无法工作， 仅能利用另外剩余的推力器对完成位置保持控制，所以仅有两对推力器中的一 对可以工作：NW(1)-SE(4)或NE(2)-SW(3)，这就是故障模式。如推 力器NE(2)出现故障，则由推力器对NW(1)-SE(4)实现位置保持控制。 在故障情况下，将推力器的开机的4个位置赤经作为变量，再加上4个推力器 速度增量，相应的会有8个自变量，而被控目标轨道要素有5个变量，分别为 轨道倾角矢量(2个变量)、偏心率矢量(2个变量)和经度漂移率(1个变量)， 相应的有5个等式方程，自变量个数大于等式方程约束的个数，通过优化求解8 个变量，优化的目标是推力器总速度增量最小，即燃料最优。

发明内容

本发明公开的一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法要解决的 技术问题是，提供一种仅使用一对斜对称推力器即可实现静止轨道卫星位置保 持优化方法，此外，所述的方法能够以燃料最优的方式解决部分推力器失效的 静止轨道卫星东西和南北方向位置飘移的问题，即实现静止轨道卫星位置保持。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明公开的一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法，在一个 位置保持周期内斜对称推力器各开机两次，同时控制轨道倾角、平经度飘移率 和偏心率，将推力器的开机赤经和开机速度增量作为自由变量，通过优化求解 相应的开机赤经和开机速度增量，完成若干次的位置保持周期，即可实现仅使 用一对斜对称推力器的位置保持。

本发明公开的一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法，具体步 骤如下：

步骤一、确定一个位置保持周期轨道保持所需的初始轨道要素以及摄动对 轨道要素一个位置保持周期的改变量，作为轨道保持的计算输入。

根据地面站观测数据确定卫星的初始瞬时轨道要素，获取卫星一个位置保 持周期内第一次经过开机处的平均轨道要素作为初始轨道要素。轨道保持所需 的轨道要素包括轨道倾角矢量(i_x，i_y)、偏心率(e_x，e_y)、经度λ以及经度飘 移率D，通过对轨道观测数据的处理可以获得初始平均轨道要素，分别为i_x0、i_y0、 e_x0、e_y0、λ₀和D₀。通过对地球非球形引力、日月引力和太阳光压等摄动进行分 析获得平均轨道要素一个位置保持周期内的改变量，分别为Δi_xD、Δi_yD，Δe_xD、Δe_yD和ΔD_D。

步骤二、确定一个位置保持周期内所需的轨道倾角矢量改变量(Δi_x，Δi_y)。

轨道倾角矢量(i_x，i_y)可以利用轨道法向的控制力直接改变，一个位置保 持周期内轨道倾角矢量所需改变量(Δi_x，Δi_y)为：

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta i}}_x=-{\mathrm{\Delta i}}_{xD}-i_{x0}\\ {\mathrm{\Delta i}}_y=-{\mathrm{\Delta i}}_{y0}-i_{y0}\end{array}---\left(1\right)$

步骤三、确定一个位置保持周期内所需的偏心率矢量改变量(Δe_x，Δe_y)。

偏心率矢量可以利用轨道切向和径向的控制力直接改变，一个位置保持周 期内偏心率矢量所需改变量为：

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta e}}_x=-{\mathrm{\Delta e}}_{xD}-e_{x0}\\ {\mathrm{\Delta e}}_y=-{\mathrm{\Delta e}}_{yD}-e_{y0}\end{array}---\left(2\right)$

步骤四、确定一个位置保持周期内所需的经度飘移率改变量ΔD。

定义四个推力器分为两对斜对称推力器，推力器NW(1)和推力器NE(2) 为北推力器，推力器SW(3)和推力器SE(4)为南推力器，推力器NW(1) 和推力器SE(4)组成一对斜对称推力器，推力器NE(2)和推力器SW(3) 组成一对斜对称推力器。以推力器对NW(1)-SE(4)为例说明仅使用一对斜 对称推力器实现静止轨道卫星位置保持，推力器对NE(2)-SW(3)同理实现。

经度通过改变经度飘移率间接控制，而每个位置保持周期的经度飘移率的 目标量由此位置保持周期的初始经度偏差Δλ₀、一个位置保持周期内经度速度的 改变量ΔD_D和推力径向分量导致的经度改变量D_R决定：

$D_t=D_{{\mathrm{\Delta \lambda }}_0}-{\mathrm{\Delta D}}_D-D_R---\left(3\right)$

其中由初始经度偏差Δλ₀决定。

位置保持过程中，经度变化范围相对于360°的经度区间较小，从而可以认 为经度漂移加速度为常值。从而一个位置保持周期内漂移速度改变量ΔD_D为：

ΔD_D＝Γ_λT_D(4)

其中，Γ_λ是地球非球形引力田谐项导致的经度变化的加速度，T_D为一个位置保 持周期的时间。

在一个位置保持周期由于速度增量径向分量引起的经度改变量D_R为：

D_R＝2k_R(ΔV_1-+ΔV_4-+ΔV_1-'+ΔV_4-')/(T_DV_s)(5)

其中，V_s是静止轨道平均速度，ΔV_1-，ΔV_4-，ΔV_1-'和ΔV_4-'为上一个位置保持周 期四次开机导致的速度增量。

相应的经度飘移率的改变量ΔD为：

ΔD＝D_t-D₀(6)

其中D₀是初始经度漂移率。

步骤五、确定一个位置保持周期内所需的四个推力器的控制速度增量与经 度漂移率的关系。推力器NW(1)在第一个和第二个象限工作的赤经分别为l₁'和 l₁，导致的速度增量分别用ΔV₁'和ΔV₁代表；推力器SE(4)在第三个和第四个象 限导致工作的赤经分别为l₄'和l₄，导致的速度增量分别用ΔV₄'和ΔV₄代表。令k_T、 k_N以及k_R代表推力器推力在切向、法向以及径向的推力分量大小。

推力器NW(1)工作导致的速度增量ΔV₁和ΔV₁'的切向分量符号为正，推力 器SE(4)工作导致的速度增量ΔV₄和ΔV₄'的切向分量符号为负，四个速度增量 (ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和ΔV₄')与经度漂移率ΔD的关系为，

$k_T[({\mathrm{\Delta V}}_1-{\mathrm{\Delta V}}_4)+({{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }-{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime })]=-\frac{R_s}{3}\Delta D---\left(7\right)$

其中R_s是静止轨道标称半径。

步骤六、确定一个位置保持周期内所需的四个速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和 ΔV₄')与轨道倾角矢量改变量(Δi_x，Δi_y)的关系。

速度增量ΔV₁在轨道法向的分量符号为负，速度增量ΔV₄在轨道法向的分量 符号为正。速度增量ΔV₁的赤经为l₁∈[90°180°]，所以sinl₁＝s₁>0， 速度增量ΔV₄的赤经为l₄∈[270°360°]，所以sinl₄＝-s₄<0， 速度增量ΔV₁'在轨道法向的分量符号为负，速度增量ΔV₄'在轨 道法向的分量符号为正。速度增量ΔV₁'的赤经为l₁'∈[0°90°]，所以sinl₁'＝s₁'>0， 速度增量ΔV₄'的赤经为l₄'∈[180°270°]，所以sinl₄'＝-s₄'<0， 从而四次速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和ΔV₄')与轨道倾角矢 量改变量(Δi_x，Δi_y)的关系为

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta i}}_x=k_N\frac{1}{V_s}[(\sqrt{1-{s_1}^2}{\mathrm{\Delta V}}_1+\sqrt{1-{s_4}^2}{\mathrm{\Delta V}}_4)-(\sqrt{1-{s_1}^{\prime 2}}{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }+\sqrt{1-{s_4}^{\prime 2}}{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime })]\\ {\mathrm{\Delta i}}_y=-k_N\frac{1}{V_s}[(s_1{\mathrm{\Delta V}}_1+s_4{\mathrm{\Delta V}}_4)+({s_1}^{\prime }{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }+{s_4}^{\prime }{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime })]\end{array}\right)---\left(8\right)$

步骤七、确定一个位置保持周期内所需的四个速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和 ΔV₄')与偏心率矢量改变量(Δe_x，Δe_y)的关系。

速度增量ΔV₁和ΔV₄在轨道径向的分量符号均为负。速度增量ΔV₁的赤经为 l₁∈[90°180°]，所以sinl₁＝s₁>0，速度增量ΔV₄的赤经为 l₄∈[270°360°]，所以sinl₄＝-s₄<0，速度增量ΔV₁'和ΔV₄'在轨 道径向的分量符号均为负。速度增量ΔV₁'的赤经为l₁'∈[0°90°]，所以 sinl₁'＝s₁'>0，速度增量ΔV₄'的赤经为l₄'∈[180°270°]，所以 sinl₄'＝-s₄'>0，从而四次速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和ΔV₄') 与偏心率改变量(Δe_x，Δe_y)的关系为

步骤八、求解一个位置保持周期内所需的四个速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和 ΔV₄')和推力器工作赤经(l₁，l₁'，l₄和l₄')。

以上方程组(7)、(8)和(9)组合共有5个等式方程，而自由变量有8个，分别 为4个速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和ΔV₄')和4个推力器工作赤经(l₁，l₁'，l₄和 l₄')，自变量的个数多于被控量的个数，此处以总速度增量最小目标求解上述的 方程组(7)、(8)和(9)，即可实现燃料最优，其目标函数为，

J＝ΔV₁+ΔV₄+ΔV₁'+ΔV₄'(10)

对于速度增量幅值存在如下不等式约束。

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta V}}_1\ge 0\\ {\mathrm{\Delta V}}_4\ge 0\\ {{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }\ge 0\\ {{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime }\ge 0\end{array}\right)---\left(11\right)$

对于开机处赤经存在如下不等式约束。

$\left(\begin{array}{c}0\le s_1\le 1\\ 0\le s_4\le 1\\ 0\le {s_1}^{\prime }\le 1\\ 0\le {s_4}^{\prime }\le 1\end{array}\right)---\left(12\right)$

上述的步骤二、步骤三和步骤四确定一个位置保持周期的轨道要素改变量 (Δi_x，Δi_y，Δe_x，Δe_y和ΔD)，以方程式(10)作为目标函数，方程式(7)、(8)和(9) 作为等式约束，方程式(11)和(12)作为不等式约束，利用常用数值求解软件便可 求解一个位置保持周期内所需的四个控制速度增量(ΔV₁，ΔV₁'，ΔV₄和ΔV₄')和 推力器工作赤经(l₁，l₁'，l₄和l₄')。

步骤九、确定一个位置保持周期内的推力器的开机时长以及开机时刻，将 此作为控制系统的输入量，控制推力器开关机。

上述的步骤八在冲量假设下进行规划，获得了每次速度增量作用位置和大 小。则推力器连续开机时长可以由Tsiolkovsky方程获得，从而可以利用开机时 长对半分原则确定推力器开关机时刻。

步骤十、重复步骤一至步骤九，完成若干次的位置保持周期，即可实现仅 使用一对斜对称推力器的位置保持，即解决部分推力器失效的静止轨道卫星东 西和南北方向位置飘移的问题。

步骤四所述的由初始经度偏差Δλ₀决定的计算公式优选公式(13)：

所述的步骤八利用常用数值求解软件便可求解优选为利用MATLAB的自带 函数fmincon便可求解。

有益效果

1、本发明的一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法，在四个推 力器中的部分推力器失效的情况下，可以仅使用剩余的一对斜对称推力器实现 位置保持，即解决部分推力器失效的静止轨道卫星东西和南北方向位置飘移的 问题。

2、本发明的一种仅使用一对斜对称推力器的位置保持优化方法，由于将四 次开机的赤经和速度增量作为待优化变量联合求解，可以以燃料较优的方式利 用一对斜对称推力器实现位置保持。

附图说明

图1为本发明的推力器布局方案；

图2为本发明中推力器对NW(1)-SE(4)工作的示意图；

图3为本发明中推力器对NE(2)-SW(3)工作的示意图。

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做 进一步说明。

实施例1：

以斜对称推力器对NW(1)-SE(4)工作为例介绍使用一对斜对称推力器 的静止轨道卫星位置保持优化方法，斜对称推力器对NE(2)-SW(3)工作的 原理与其类似。一个位置保持周期内推力器NW(1)和SE(4)各开机两次， 为了以燃料最大效率实现轨道倾角修正，北推力器应在赤经90°附近工作，南 推力器应在赤经270°附近工作。北推力器NW(1)分别在第一和第二象限工 作；南推力器SE(4)分别在第三和第四象限工作。一个位置保持周期内，开机 顺序为4→1’→1→4’，前两个的速度增量小于后两个的速度增量，施加前两次 速度增量后不会造成较大的经度偏移。对于斜对称推力器对NE(2)-SW(3) 工作，开机顺序为1天的2→3’→3→2’。

以一天为一个位置保持周期，一个位置保持周期内推力器NW(1)和SE (4)各开机两次，实现对轨道倾角矢量、偏心率矢量和经度漂移率的控制。

获取卫星第一次赤经270°处的平均轨道要素作为初始轨道要素。由于斜对 称推力器NW(1)-SE(4)第一次开机的赤经l₄接近270°，所以以卫星第一次 经过赤经270°处的平均轨道要素作为初始轨道要素；对于斜对称推力器NE(2) -SW(3)第一次开机的赤经l₂接近90°，所以以卫星第一次经过赤经90°处的 平均轨道要素作为初始轨道要素。轨道保持所需的轨道要素包括轨道倾角矢量 (i_x，i_y)，偏心率(e_x，e_y)，经度(λ)以及经度飘移率(D)，通过对轨道观 测数据的处理可以获得初始平均轨道要素，分别为i_x0、i_y0、e_x0、e_y0、λ₀和D₀。 通过对地球非球形引力、日月引力和太阳光压等摄动进行分析获得平均轨道要 素一天内的改变量，分别为Δi_xD、Δi_yD，Δe_xD、Δe_yD和ΔD_D。

步骤二、确定一个位置保持周期内所需的轨道倾角矢量改变量。

轨道倾角矢量可以利用轨道法向的控制力直接改变，一个位置保持周期内 轨道倾角矢量所需改变量为：

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta i}}_x=-{\mathrm{\Delta i}}_{xD}-i_{x0}\\ {\mathrm{\Delta i}}_y=-{\mathrm{\Delta i}}_{yD}-i_{y0}\end{array}---\left(14\right)$

步骤三、确定一个位置保持周期内所需的偏心率矢量改变量。

偏心率矢量可以利用轨道切向和径向的控制力直接改变，一个位置保持周 期内偏心率矢量所需改变量为：

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta e}}_x=-{\mathrm{\Delta e}}_{xD}-e_{x0}\\ {\mathrm{\Delta e}}_y=-{\mathrm{\Delta e}}_{yD}-e_{y0}\end{array}---\left(15\right)$

步骤四、确定一个位置保持周期内所需的经度飘移率改变量。

经度通过改变经度飘移率间接控制，而每个位置保持周期的经度飘移率的 目标量由此位置保持周期的初始经度偏差、一个位置保持周期内经度速度的改 变量和推力径向分量导致的经度改变量决定。

$D_t=D_{{\mathrm{\Delta \lambda }}_0}-{\mathrm{\Delta D}}_D-D_R---\left(16\right)$

其中由初始经度偏差Δλ₀决定，本专利采用下式。

位置保持过程中，经度变化变化范围较小，从而可以认为经度漂移加速度 为常值。从而一天内漂移速度改变量为：

ΔD_D＝Γ_λT_D(18)

其中，Γ_λ是地球非球形引力田谐项导致的经度变化的加速度，T_D为一天的时 间。

在一个位置保持周期由于速度增量径向分量引起的经度改变量为

D_R＝2k_R(ΔV_1-+ΔV_4-+ΔV_1-'+ΔV_4-')/(T_DV_s)(19)

其中，V_s是静止轨道平均速度，ΔV_1-，ΔV_4-，ΔV_1-'和ΔV_4-'为上一个位置保持周 期四次开机导致的速度增量。

相应的经度飘移率的改变量为：

ΔD＝D_t-D₀(20)

其中D₀是初始经度漂移率。

步骤五、确定一个位置保持周期内所需的四个推力器的控制速度增量与经 度漂移率的关系。推力器NW(1)在第一个和第二个象限工作的赤经分别为l₁'和 l₁，导致的速度增量分别用ΔV₁'和ΔV₁代表；推力器SE(4)在第三个和第四个象 限导致工作的赤经分别为l₄'和l₄，导致的速度增量分别用ΔV₄'和ΔV₄代表。令k_T、 k_N以及k_R代表推力器推力在切向、法向以及径向的推力分量大小。

ΔV₁和ΔV₁'的切向分量符号为正，ΔV₄和ΔV₄'的切向分量符号为负，四个速度 增量与经度漂移率的关系为：

$k_T[({\mathrm{\Delta V}}_1-{\mathrm{\Delta V}}_4)+({{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }-{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime })]=-\frac{R_s}{3}\Delta D---\left(21\right)$

其中R_s是静止轨道标称半径。

步骤六、确定一个位置保持周期内所需的四个推力器的控制速度增量与轨 道倾角矢量改变量的关系。

ΔV₁在轨道法向的分量符号为负，ΔV₄在轨道法向的分量符号为正。ΔV₁的赤 经为l₁∈[90°180°]，所以sinl₁＝s₁>0，ΔV₄的赤经为 l₄∈[270°360°]，所以sinl₄＝-s₄<0，ΔV₁'在轨道法向的分量符 号为负，ΔV₄'在轨道法向的分量符号为正。ΔV₁'的赤经为l₁'∈[0°90°]，所以 sinl₁'＝s₁'>0，ΔV₄'的赤经为l₄'∈[180°270°]，所以sinl₄'＝-s₄'<0， 从而四次速度增量对轨道倾角矢量的改变量为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta i}}_x=k_N\frac{1}{V_s}[(\sqrt{1-{s_1}^2}{\mathrm{\Delta V}}_1+\sqrt{1-{s_4}^2}{\mathrm{\Delta V}}_4)-(\sqrt{1-{s_1}^{\prime 2}}{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }+\sqrt{1-{s_4}^{\prime 2}}{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime })]\\ {\mathrm{\Delta i}}_y=-k_N\frac{1}{V_s}[(s_1{\mathrm{\Delta V}}_1+s_4{\mathrm{\Delta V}}_4)+({s_1}^{\prime }{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }+{s_4}^{\prime }{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime })]\end{array}\right)---\left(22\right)$

步骤七、确定一个位置保持周期内所需的四个推力器的控制速度增量与偏 心率矢量改变量的关系。

ΔV₁和ΔV₄在轨道径向的分量符号均为负。ΔV₁的赤经为l₁∈[90°180°]，所以 sinl₁＝s₁>0，ΔV₄的赤经为l₄∈[270°360°]，所以sinl₄＝-s₄<0， ΔV₁'和ΔV₄'在轨道径向的分量符号均为负。ΔV₁'的赤经为 l₁'∈[0°90°]，所以sinl₁'＝s₁'>0，ΔV₄'的赤经为l₄'∈[180°270°]， 所以sinl₄'＝-s₄'>0，从而四次速度增量对偏心率的改变量为

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta e}}_x=\frac{1}{V_s}\left(\begin{array}{c}-{\mathrm{\Delta V}}_1{k}_R{s}_1-2{\mathrm{\Delta V}}_1{k}_T\sqrt{1-{s_1}^2}+{\mathrm{\Delta V}}_4{k}_R{s}_4-2{\mathrm{\Delta V}}_4{k}_T\sqrt{1-{s_4}^2}\\ -{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }{k}_R{s_1}^{\prime }+2{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }{k}_T\sqrt{1-{s_1}^{\prime 2}}+{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime }{k}_R{s_4}^{\prime }+2{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime }{k}_T\sqrt{1-{s_4}^{\prime 2}}\end{array}\right)\\ {\mathrm{\Delta e}}_y=\frac{1}{V_s}\left(\begin{array}{c}-{\mathrm{\Delta V}}_1{k}_R\sqrt{1-{s_1}^2}+2{\mathrm{\Delta V}}_1{k}_T{s}_1+{\mathrm{\Delta V}}_4{k}_R\sqrt{1-{s_4}^2}+2{\mathrm{\Delta V}}_4{k}_T{s}_4\\ +{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }{k}_R\sqrt{1-{s_1}^{\prime 2}}+2{{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }{k}_T{s_1}^{\prime }-{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime }{k}_R\sqrt{1-{s_4}^{\prime 2}}+2{{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime }{k}_T{s_4}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(23\right)$

步骤八、求解一个位置保持周期内所需的四个推力器的控制速度增量和推 力器工作赤经。

以上方程组(21)、(22)和(23)组合共有5个等式方程，而自由变量有8个， 分别为4个速度增量和4个推力器工作赤经，自变量的个数多于被控量的个数， 此处将利用优化理论求解以上方程，其中目标函数为：

J＝ΔV₁+ΔV₄+ΔV₁'+ΔV₄'(24)

对于速度增量幅值存在如下不等式约束。

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta V}}_1\ge 0\\ {\mathrm{\Delta V}}_4\ge 0\\ {{\mathrm{\Delta V}}_1}^{\prime }\ge 0\\ {{\mathrm{\Delta V}}_4}^{\prime }\ge 0\end{array}\right)---\left(25\right)$

对于开机处赤经存在如下不等式约束。

$\left(\begin{array}{c}0\le s_1\le 1\\ 0\le s_4\le 1\\ 0\le {s_1}^{\prime }\le 1\\ 0\le {s_4}^{\prime }\le 1\end{array}\right)---\left(26\right)$

在轨道要素改变量确定的情况下，以式(24)作为目标函数，方程式(21)、(22) 和(23)作为等式约束，方程式(25)和(26)作为不等式约束，利用MATLAB的自带 函数fmincon便可求解。

步骤九、确定一个位置保持周期内的推力器的开机时长以及开机时刻，将 此作为控制系统的输入量，控制推力器开关机。

步骤八在冲量假设下进行规划，获得了每次速度增量作用位置和大小。则 推力器连续开机时长可以由Tsiolkovsky方程获得，从而可以利用开机时长对半 分原则确定开机时刻。

步骤十、重复步骤一至步骤九，完成若干次的位置保持周期，即可实现使 用一对斜对称推力器的位置保持。

以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行进一步详 细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限 定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同 替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。