一种分数阶模型预测控制的加热炉温度控制方法

摘要

本发明公开了一种扩展状态空间分数阶模型预测控制的加热炉温度控制方法，以维持分数阶系统的稳定性并保障良好的控制性能。本发明首先采用Oustaloup近似方法将分数阶模型近似为整数阶高阶模型，基于近似高阶模型建立扩展状态空间模型，然后将分数阶微积分算子引入目标函数，进而基于扩展状态空间模型和选取的目标函数设计了分数阶预测函数控制器。本发明可以很好地运用于分数阶模型描述的实际过程对象，改善了整数阶MPC方法控制分数阶系统的不足之处，同时增加了调节控制器参数的自由度，获得了良好的控制性能，并能很好地满足实际工业过程的需要。

说明书

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及一种分数阶模型预测控制(FMPC)的加 热炉温度控制方法。

背景技术

在实际工业控制过程中，随着对产品的控制精度和安全操作的要求越来 越高，但许多复杂的对象是整数阶微分方程无法精确描述的，用分数阶微分 方程能更精确地描述对象特征和评估产品性能。PID控制在工业过程控制领域 的应用较为广泛，但是传统PID控制方法和模型预测控制(MPC)方法对分数阶 系统的控制效果并不能满足越来越高的控制精度的要求，这就需要我们研究 具备良好控制性能的控制器来控制用分数阶模型描述的实际被控对象。如果 我们将被控对象的状态空间模型进行扩展，并将整数阶模型预测控制方法扩 展到分数阶模型预测控制方法中，那将能有效弥补整数阶模型预测控制方法 在控制分数阶系统中的不足，并能获得更好的控制效果，同时也能促进MPC 在分数阶系统中的运用。

发明内容

本发明的目的是针对分数阶模型描述的加热炉温度过程，提供一种扩展 状态空间分数阶模型预测控制的加热炉温度控制方法，以维持分数阶系统的 稳定性并保障良好的控制性能。该方法首先采用Oustaloup近似方法将分数阶 模型近似为整数阶高阶模型，基于近似高阶模型建立扩展状态空间模型，然 后将分数阶微积分算子引入目标函数，进而基于扩展状态空间模型和选取的 目标函数设计了分数阶预测函数控制器。

该方法可以很好地运用于分数阶模型描述的实际过程对象，改善了整数 阶MPC方法控制分数阶系统的不足之处，同时增加了调节控制器参数的自由 度，获得了良好的控制性能，并能很好地满足实际工业过程的需要。

本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、优化等手段， 确立了一种扩展状态空间分数阶模型预测控制的加热炉温度控制方法，该方 法可有效提高系统的控制性能。

本发明方法的步骤包括：

步骤1、建立实际过程中被控对象的扩展状态空间模型，具体方法是：

1.1采集实际过程对象的实时阶跃响应数据，利用该数据建立被控对象的 分数阶传递函数模型，形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{Ke}}^{-\tau s}}{c_1{s}^{{\alpha }_1}+c_0}$

其中，α₁为微分阶次，c₀,c₁为相应的系数，s为拉普拉斯变换算子，K为 模型增益，τ为模型的滞后时间。

1.2由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\alpha }\approx K_{\alpha }\underset{n=1}{\overset{N}{\Pi }}\frac{s+w_n^{\prime }}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0<α<1，N为选定的近似阶次，$w_n^{\prime }=w_b{w}_u^{(2n-1-\alpha )/N},w_n=w_b{w}_u^{(2n-1+\alpha )/N},w_u=\sqrt{w_h/w_b},$w_b和w_h分别为选定的拟 合频率的下限和上限。

1.3根据步骤1.2中的方法，将步骤1.1中的分数阶传递函数模型近似为 整数阶高阶模型，进而将其在采样时间T_s下加零阶保持器离散化，得到如下 形式的离散模型：

$\left(\begin{array}{c}y\left(k\right)=-F_{1}y(k-1)-F_{2}y(k-2)-...-F_{L_S}y(k-L_S)\\ +H_{1}u(k-1-d)+H_{2}u(k-2-d)+...+H_{L_S}u(k-L_S-d)\end{array}\right)$

其中，F_j,H_j(j＝1,2,…,L_S)均为离散近似后得到的系数，实际过程的时滞 d＝τ/T_s，L_S为离散模型的长度，y(k)为k时刻的实际过程对象的模型输出, u(k-d-1)为实际过程对象在k-d-1时刻的输入值。

进一步将上述模型取一阶向后差分，得到如下形式：

$\left(\begin{array}{c}\Delta y\left(k\right)+F_1\Delta y(k-1)+F_2\Delta y(k-2)+...+F_{L_S}\Delta y(k-L_S)\\ =H_1\Delta u(k-1-d)+H_2\Delta u(k-2-d)+...+H_{L_S}\Delta u(k-L_S-d)\end{array}\right)$

其中，Δ是差分算子。

1.4选取如下状态变量：

Δx_m(k)＝[Δy(k),Δy(k-1),…,Δy(k-L_S+1),Δu(k-1),…,Δu(k-L_S+1-d)]^T

结合步骤1.3，得到被控对象的状态空间模型，形式如下：

Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)

Δy(k+1)＝C_mΔx_m(k+1)

其中，T为矩阵的转置符号，Δx_m(k)的维数为(2L_S+d-1)×1。

B_m＝[0…010…0]^T

C_m＝[100…0000]

1.5将步骤1.4中得到的状态空间模型转换成包含状态变量和输出跟踪误 差的扩展状态空间模型，形式如下：

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)+CΔr(k+1)

其中，

$z(k+1)=\left(\begin{array}{c}e(k+1)\\ {\mathrm{\Delta x}}_m(k+1)\end{array}\right);z\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}e\left(k\right)\\ {\mathrm{\Delta x}}_m\left(k\right)\end{array}\right)$

e(k)＝y(k)-r(k)

e(k+1)＝e(k)+C_mA_mΔx_m(k)+C_mB_mΔu(k)-Δr(k+1)

$A=\left(\begin{array}{cc}1& C_m{A}_m\\ 0& A_m\end{array}\right);B=\left(\begin{array}{c}{C}_m{B}_m\\ B_m\end{array}\right);C=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$

r(k)为k时刻的跟踪设定值，e(k)为k时刻的输出误差，0为(2L_S+d-1)×1 维的零矩阵,A为(2L_S+d)×(2L_S+d)维矩阵，B,C均为(2L_S+d)×1维矩阵。

步骤2、基于扩展状态空间模型设计被控对象的分数阶模型预测控制器, 具体方法如下：

2.1预测未来k+i时刻模型输出的向量形式，

Z＝Gz(k)+SΔU+ΨΔR

其中，

$Z=\left(\begin{array}{c}z(k+1)\\ z(k+2)\\ .\\ .\\ .\\ z(k+P)\end{array}\right);G=\left(\begin{array}{c}A\\ A^2\\ .\\ .\\ .\\ A^P\end{array}\right)$

ΔU＝[Δu(k)Δu(k+1)…Δu(k+M-1)]^T

ΔR＝[Δr(k+1)Δr(k+2)…Δr(k+P)]^T

r(k+i)＝λⁱy(k)+(1-λⁱ)c(k)

c(k)为k时刻的设定值，λ为柔化因子，P为预测时域，M为控制时域， y(k+i)为k+i时刻过程的预测模型输出，i＝1,2,…,P。

2.2选取被控对象的目标函数J，其形式如下：

$\left(\begin{array}{c}J={}^{{\gamma }_1}I_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}z{\left(t\right)}^{T}z\left(t\right)+{}^{{\gamma }_2}I_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}\Delta u{(t-1)}^2\\ ={\int }_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{D}^{1-{\gamma }_1}z{\left(t\right)}^{T}z\left(t\right)dt+{\int }_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}{D}^{1-{\gamma }_2}\Delta u{(t-1)}^{2}dt\end{array}\right)$

其中，γ₁,γ₂为任意实数，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D 为微分符号。

依据Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间 T_S进行离散化，得到：

J＝Z^TΛ(γ₁,T_s)Z+ΔU^TΛ(γ₂,T_s)ΔU

其中，

$\left(\begin{array}{c}\Lambda ({\gamma }_{ϵ},T_S)={T_S}^{{\gamma }_{ϵ}}diag(w_{P-1},w_{P-2},...,w_1,w_0)\\ w_q={\omega }_q^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}-{\omega }_{q-(P-1)}^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}\end{array}\right)$

${\omega }_0^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}=1,\forall q>0$时，${\omega }_q^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}=(1-\frac{1+{\gamma }_{ϵ}}{q}){\omega }_{q-1}^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)},$对$q<0,{\omega }_q^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}=0,ϵ=1,2.$

2.3依据步骤2.2中的目标函数求解得到控制量，形式如下：

ΔU＝-(S^TΛ(γ₁,T_s)S+Λ(γ₂,T_s))^-1SΛ(γ₁,T_s)(Gz(k)+ΨΔR)

Δu(k)＝[1,0,…,0]ΔU

u(k)＝u(k-1)+Δu(k)

2.4在k+l时刻，l＝1,2,3，…，依照2.1到2.3中的步骤依次循环求解分数 阶模型预测控制器的控制量u(k+l)，再将其作用于被控对象。

本发明提出了一种扩展状态空间分数阶模型预测控制的加热炉温度控制 方法，该方法将整数阶模型预测控制方法扩展到分数阶模型预测控制方法中， 该方法，建立了被控对象的扩展状态空间模型，将微分算子引入控制器增加 了控制器参数调节的自由度，有效地弥补了整数阶预测函数控制针对分数阶 系统的不足之处，提高了系统的控制性能，同时促进了模型预测控制方法在 分数阶系统中的运用。

具体实施方式

以实际过程中加热炉的温度过程控制为例：

由加热炉的实时温度数据得到分数阶模型，通过控制占空比来调节一个 控制周期内的加热时间，从而实现加热炉的温度控制。

步骤1、建立实际过程中加热炉温度对象的扩展状态空间模型，具体方法 是：

1.1采集实际加热炉温度对象的实时阶跃响应数据，利用该数据建立温度 对象的分数阶传递函数模型，形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{Ke}}^{-\tau s}}{c_1{s}^{{\alpha }_1}+c_0}$

其中，α₁为微分阶次，c₀,c₁为相应的系数，s为拉普拉斯变换算子，K为 温度对象的模型增益，τ为温度对象模型的滞后时间。

1.2由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\alpha }\approx K_{\alpha }\underset{n=1}{\overset{N}{\Pi }}\frac{s+w_n^{\prime }}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0<α<1，N为选定的近似阶次，$w_n^{\prime }=w_b{w}_u^{(2n-1-\alpha )/N},w_n=w_b{w}_u^{(2n-1+\alpha )/N},w_u=\sqrt{w_h/w_b},$w_b和w_h分别为选定的拟 合频率的下限和上限。

1.3根据步骤1.2中的方法，将步骤1.1中的分数阶传递函数模型近似为 整数阶高阶模型，进而将其在采样时间T_s下加零阶保持器离散化，得到如下 形式的模型：

$\left(\begin{array}{c}y\left(k\right)=-F_{1}y(k-1)-F_{2}y(k-2)-...-F_{L_S}y(k-L_S)\\ +H_{1}u(k-1-d)+H_{2}u(k-2-d)+...+H_{L_S}u(k-L_S-d)\end{array}\right)$

其中，F_j,H_j(j＝1,2,…,L_S)均为离散近似后得到的系数，实际温度控制过 程的时滞d＝τ/T_s，L_S为离散模型的长度，y(k)为k时刻的实际过程对象的模 型输出,u(k-d-1)为实际过程对象在k-d-1时刻的加热时间占空比。

进一步将上述模型取一阶向后差分，得到如下形式：

$\left(\begin{array}{c}\Delta y\left(k\right)+F_1\Delta y(k-1)+F_2\Delta y(k-2)+...+F_{L_S}\Delta y(k-L_S)\\ =H_1\Delta u(k-1-d)+H_2\Delta u(k-2-d)+...+H_{L_S}\Delta u(k-L_S-d)\end{array}\right)$

其中，Δ是差分算子。

1.4选取如下状态变量：

Δx_m(k)＝[Δy(k),Δy(k-1),…,Δy(k-L_S+1),Δu(k-1),…,Δu(k-L_S+1-d)]^T

结合步骤1.3，得到温度对象的状态空间模型，形式如下：

Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)

Δy(k+1)＝C_mΔx_m(k+1)

其中，T为矩阵的转置符号，Δx_m(k)的维数为(2L_S+d-1)×1。

B_m＝[0…010…0]^T

C_m＝[100…0000]

1.5将步骤1.4中得到的状态空间模型转换成包含状态变量和输出跟踪误 差的扩展状态空间模型，形式如下：

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)+CΔr(k+1)

其中，

$z(k+1)=\left(\begin{array}{c}e(k+1)\\ {\mathrm{\Delta x}}_m(k+1)\end{array}\right);z\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}e\left(k\right)\\ {\mathrm{\Delta x}}_m\left(k\right)\end{array}\right)$

e(k)＝y(k)-r(k)

e(k+1)＝e(k)+C_mA_mΔx_m(k)+C_mB_mΔu(k)-Δr(k+1)

$A=\left(\begin{array}{cc}1& C_m{A}_m\\ 0& A_m\end{array}\right);B=\left(\begin{array}{c}{C}_m{B}_m\\ B_m\end{array}\right);C=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$

r(k)为k时刻的跟踪设定值，e(k)为k时刻的输出误差，0为(2L_S+d-1)×1 维的零矩阵,A为(2L_S+d)×(2L_S+d)维矩阵，B,C均为(2L_S+d)×1维矩阵。

步骤2、基于扩展状态空间模型设计加热炉温度控制过程的分数阶模型预 测控制器,具体方法如下：

2.1预测未来k+i时刻模型输出的向量形式，

Z＝Gz(k)+SΔU+ΨΔR

其中，

$Z=\left(\begin{array}{c}z(k+1)\\ z(k+2)\\ .\\ .\\ .\\ z(k+P)\end{array}\right);G=\left(\begin{array}{c}A\\ A^2\\ .\\ .\\ .\\ A^P\end{array}\right)$

ΔU＝[Δu(k)Δu(k+1)…Δu(k+M-1)]^T

ΔR＝[Δr(k+1)Δr(k+2)…Δr(k+P)]^T

r(k+i)＝λⁱy(k)+(1-λⁱ)c(k)

c(k)为k时刻的设定温度，λ为柔化因子，P为预测时域，M为控制时 域，y(k+i)为k+i时刻加热炉的预测模型输出，i＝1,2,…,P。

2.2选取加热炉温度对象的目标函数J，其形式如下：

$\left(\begin{array}{c}J={}^{{\gamma }_1}I_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}z{\left(t\right)}^{T}z\left(t\right)+{}^{{\gamma }_2}I_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}\Delta u{(t-1)}^2\\ ={\int }_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{D}^{1-{\gamma }_1}z{\left(t\right)}^{T}z\left(t\right)dt+{\int }_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}{D}^{1-{\gamma }_2}\Delta u{(t-1)}^{2}dt\end{array}\right)$

其中，γ₁,γ₂为任意实数，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D 为微分符号。

依据Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间 T_S进行离散化，得到：

J＝Z^TΛ(γ₁,T_s)Z+ΔU^TΛ(γ₂,T_s)ΔU

其中，

Λ(γ_ε,T_S)＝T_S^γεdiag(w_P-1,w_P-2,…,w₁,w₀)

$w_q={\omega }_q^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}-{\omega }_{q-(P-1)}^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}$

${\omega }_0^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}=1,\forall q>0$时，${\omega }_q^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}=(1-\frac{1+{\gamma }_{ϵ}}{q}){\omega }_{q-1}^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)},$对$q<0,{\omega }_q^{\left({\gamma }_{ϵ}\right)}=0,ϵ=1,2.$

2.3依据步骤2.2中的目标函数求解得到控制量u(k)即加热时 间占空比，形式如下：

ΔU＝-(S^TΛ(γ₁,T_s)S+Λ(γ₂,T_s))^-1SΛ(γ₁,T_s)(Gz(k)+ΨΔR)

Δu(k)＝[1,0,…,0]ΔU

u(k)＝u(k-1)+Δu(k)

2.4在k+l时刻，l＝1,2,3，…，依照2.1到2.3中的步骤依次循环求解分数 阶模型预测控制器的控制量u(k+l)，再将其作用于加热炉。