多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法

摘要

多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法，涉及信息与通信技术领域。是为解决从Xampling框架下经过调制宽带转换器采样，通过连续-有限模块转化后的未知稀疏度的多观测值向量中恢复出原始多频带信号的问题提出的。本发明首先对信号的稀疏度进行自适应估计。然后通过反复迭代用给定的步长因子对稀疏度进行更新，使之逐渐逼近信号实际稀疏度，同时通过回溯思想和最小均方准则修正支撑集，直到残差小于设定阈值时，停止迭代。最后利用求出的完整支撑集通过伪逆运算重构出原始的多频带信号。本发明可实现基于压缩感知的模拟多频带信号重构。

说明书

技术领域

本发明涉及信息与通信技术领域，具体涉及基于Xampling的模拟信号压缩感知重构 方法。

背景技术

当今社会，随着信息需求量的飞速增长，信号载频越来越高。依照传统的信号或图像 的采样方法，只有采样速率不少于信号最高频率的两倍(即所谓的奈奎斯特率)，才能保 证从样本点精确恢复出原始信号。这一条件使得信号处理时需要越来越高的采样频率，处 理的难度越来越大。与此同时，实际应用中，经常通过压缩的方式在不丢失有用信息的前 提下通过对信号进行重组来降低其冗余度，提高信号处理、传输和存储的效率，其间抛弃 了大量的非重要数据，实际上造成了采样资源的浪费。很自然的，可以想到能否根据信号 的一些特征，利用其它变换空间描述信号，以实现低于奈奎斯特采样频率的采样，同时又 不影响信号的恢复。如果能实现这一设想，毫无疑问将大大降低信号采样和存储的代价， 显著减少其处理时间，为信号处理带来新的曙光。

早在上个世纪，许多科学家就开始研究如何从噪声中提取正弦信号，但是基于信号可 压缩性的数据采集仍是一个新的研究方向。它起源于对有限信息率信号(即单位时间内自 由度有限的信号)利用结构性奇函数以两倍于新信率而非奈奎斯特采样频率的速率对信号 进行采样的研究。而近年来，D.Donoho、E.Candès和T.Tao等人又提出来一种新颖的理 论——压缩感知，与传统香农-奈奎斯特采样定理不同，压缩感知理论指出：对于可压缩 或可以进行稀疏化处理的信号，可以用一个与变换基(变换矩阵，稀疏化矩阵)不相关的 观测矩阵对其进行降维处理，得到数量远少于原始信号的观测值，然后将重构信号问题转 化为求解优化问题再将原始信号从观测值中重构出来。根据这一理论，采样的不是信号而 是信息，采样速率由信号的特性决定，而不是两倍的信号最高频率。因为该方法显著减少 了传感器的数目和采集到的数据的冗余度，所以一经提出就影响广泛，目前在信息论、图 像处理、医学成像、无线通信等领域已有相当大的进展，我国关于压缩感知的研究已经起 步并迅速发展，且在未来仍有很大的发展空间。

针对离散信号的压缩感知理论经过近十年来科学家们的不断研究，目前已形成了比较 完善的理论体系。但是，想要真正为信号采样带来大的变革，还需将压缩感知理论运用到 模拟信号领域。S.Kirolos和J.Laska在2006年提出的模拟信息转换器是目前比较成熟的 针对模拟有限速率信号的数据采集技术。实质上，AIC中输入信号的模型是有限多个单频 信号的叠加，而许多实际信号，如窄带信号，是定义在连续的频率区间上的，并不是模拟 稀疏信号。针对这一情况，M.Mishali和Y.C.Eldar提出了Xampling的概念，它是针对 多频带信号的采样和重构方法。输入模拟信号首先与周期一定服从相同分布的不同伪随机 序列相乘，每个伪随机序列对应一个通道，然后每一通道得到的结果经过一个低通滤波器 后进行低速采样，将其组合得到多通道的测量结果，最后从观测值中重构出原始的信号。 其中，采样系统被称为调制宽带转换器，其观测值是无限观测值向量，不能通过传统的压 缩感知重构算法直接求解。针对这一问题，可通过连续-有限模块寻找信号的支持集，并 通过联合稀疏的方式把无限观测值向量转化为多观测值向量问题再重构原信号。但这仍然 不能使用传统的压缩感知重构算法，需要把原有算法进行调整和扩展，使其能够解决多观 测值向量问题，目前连续-有限模块中利用的重构算法主要为多观测值向量正交匹配追踪 算法，该算法存在许多缺点，如每次仅能筛选出一个原子，收敛速度较慢；由于没有修正 能力，重构精度不够高；此外还必须直到原始信号的联合稀疏度才能精确重构出信号。

发明内容

本发明是为了解决现有基于Xampling系统的多观测值向量正交匹配追踪算法的以下 问题：

1、每次迭代仅能从观测矩阵中筛选出一个与原始信号匹配的原子，收敛速度较慢；

2、没有修正能力，一旦将错误原子选入支撑集就无法再改变，重构精度不高；

3、必须已知原始信号的联合稀疏度才能精确重构，这在实际中不易实现；

从而提供一种解决多观测值向量问题的稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法。

多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法，它由以下步骤实现：

步骤一、输入观测矩阵A、框架矩阵V、残差阈值θ和阶段数阈值σ；

步骤二、初始化：令支撑集残差R＝V、支撑集候选集阶段 数stage＝1、步长step＝2，对观测矩阵A的列向量求2-范数，所得值构成向量q；

步骤三、利用公式：

s＝stage×step(1)

计算每次迭代的估计稀疏度s；

步骤四、利用公式：

P＝A^TR(2)

计算衡量观测矩阵与残差矩阵相关关系的矩阵P；

步骤五、利用公式：

$Z=\frac{\left|\right|P_k|{|}_2}{q_k}---\left(3\right)$

计算反映观测矩阵各原子归一化后与残差矩阵相关关系的向量Z，其中P_k,q_k分别是 矩阵P的第k行和向量q的第k个元素，k称为索引值；

所述观测矩阵各原子为列向量；

步骤六、找出向量Z中最大的前4s项，对应的观测矩阵A中原子的索引值k加入支 撑集候选集J；

步骤七、利用公式：

J₀＝S∪J(4)

求出支撑集候选集J₀；

步骤八、利用最小二乘法估计：

找出令b最大的前2s项原子，对应的观测矩阵A中原子的索引值加入支撑集S；

步骤九、将支撑集S中索引值k所对应的观测矩阵A的原子构成一个向量集合A_S；

步骤十、利用公式：

估计

步骤十一、利用公式：

$R_{new}=V-A_s\hat{U}---\left(7\right)$

更新信号残差；

步骤十二、如果||R_new||₂≥||R||₂，则令stage＝stage+1，否则，令R＝R_new；

步骤十三、如果或阶段数stage≥σ则停止迭代，得到最终支撑集S；否则 返回执行步骤三；

步骤十四、通过支撑集S中元素对应的矩阵A中原子构成矩阵A_S，利用公式：

${\alpha }_i\left(f\right)=0,i\notin S$

重构出稀疏频谱α(f)。

本发明面对多频带信号x(t)，它是L₂空间的连续实信号，满足模平方可积条件，即：

${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt<+\infty ---\left(9\right)$

则其可以傅里叶变换表示为：

$X\left(f\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)e^{-j2\pi ft}dt---\left(10\right)$

如果X(f)是带限的，其频谱范围为[-1/2T,1/2T]，则其奈奎斯特频率为f_NYQ＝1/T。 如果又有X(f)又满足如图1所示的结构，即其在[-1/2T,1/2T]范围内包含N个(图1中 N＝6)不相交的子频带，且每个子频带带宽小于B，则x(t)是一个多频带信号。

重构方法中出现的观测矩阵A和框架矩阵V是多频带信号x(t)经过调制宽带转换器 和连续-有限模块处理得到的。针对多频带信号的采样器是调制宽带转换器，它不需要知 道原信号的载频，采样速率不取决于信号带宽并且远低于奈奎斯特频率，可以用现有的 ADC实现。其系统示意图2至图4所示。

其中，m是采样通道数，T_p是混频函数p_i(t)的周期，T_s是采样间隔，M是每个周期 内p_i(t)的脉冲数，α_ik是在第k个间隔内p_i(t)的取值。信号同时进入m个通道，与每个支 路中周期一定服从相同分布的不同伪随机序列相乘，然后每一通道得到的结果经过一个截 止频率为1/2T_s的低通滤波器后再以T_s为速率进行低速采样，最终得到多通道的测量结果。 对调制宽带转换器进行频域分析。考虑第i通道，混频函数p_i(t)是一个伪随机序列，表示 为：

$p_i\left(t\right)={\alpha }_{ik},k\frac{T_p}{M}\le t\le (k+1)\frac{T_p}{M},0\le k\le M-1---\left(11\right)$

其中，α_ik∈{+1,-1}，p_i(t)的傅里叶级数为

$p_i\left(t\right)=\underset{l=-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{c}_{il}{e}^{j\frac{2\pi }{T_p}lt},c_{il}=\frac{1}{T_p}{\int }_0^{T_p}{p}_i\left(t\right)e^{-j\frac{2\pi }{T_p}lt}dt---\left(12\right)$

令其傅里叶变换为：

$\begin{array}{c}{\tilde{X}}_i\left(f\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\tilde{x}}_i\left(t\right)e^{-j2\pi ft}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\left(\underset{l=-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{c}_{il}{e}^{j\frac{2\pi }{T_p}}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ =\underset{l=-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{c}_{il}{\int }_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-j2\pi (f-\frac{1}{T_p})t}dt=\underset{l=-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{c}_{il}X\left(f-{\mathrm{lf}}_p\right)\end{array}---\left(13\right)$

从中可以看出，的频谱为X(f)平移l个f_p的线性组合，f_p＝1/T_p，经截止频率为 1/2T_s的低通滤波器滤波和以T_s为时间间隔采样后，得到观测值y_i[n]，其傅里叶变换为：

$Y_i\left(e^{j2{\mathrm{\pi fT}}_s}\right)=\underset{n=-\infty }{\overset{\infty }{\Sigma }}{y}_i\left[n\right]e^{-j2{\mathrm{\pi fnT}}_s}=\underset{l=-L_0}{\overset{L_0}{\Sigma }}{c}_{il}X(f-{\mathrm{lf}}_p),f\in F_s---\left(14\right)$

其中f_p＝1/T_p，F_s＝[-f_s/2,f_s/2]，L₀是能保证X(f)的所有频谱进入Y(f)的最小整 数满足：

$-\frac{f_s}{2}+(L_0+1)f_p\ge \frac{f_{NYQ}}{2}---\left(15\right)$

由此可得：

$L_0=\left[\frac{f_{NYQ}+f_s}{2f_p}\right]-1---\left(16\right)$

式(14)给出了观测值y_i[n]的傅里叶变换与原信号x(t)的傅里叶变换X(f) 之间的关系，为方便起见将该式写为矩阵形式：

y(f)＝Aα(f)，f∈F_s(17)

y(f)是由组成的m×1维向量，观测矩阵A是由组 成的m×L维矩阵，其中L＝2L₀+1，实际应用时经常取L≈f_NYQ/B，α(f)是由 α_i(f)＝X(f+(i-L₀-1)f_p),f∈F_s组成的L×1维向量。

要想恢复出原始信号，需要先从y(f)＝Aα(f)，f∈F_s中求解稀疏频谱α(f)，再通过 逆傅里叶变换求出x(t)的估计值但是由于f定义在连续区间上的，其观测值是无限 观测值向量，所以实际上这是一个求无数多个欠定方程组的稀疏解的问题，不能通过传统 的压缩感知重构算法直接求解。针对这一问题，可通过连续-有限模块寻找信号的支持集， 并通过联合稀疏的方式把无限观测值向量转化为多观测值向量问题。之后或者可以把解决 单观测值向量问题的算法进行推广，使其能解决多观测值向量问题，目前文献中使用的主 要为多观测值向量正交匹配追踪算法，或者将多观测值向量问题再转换为单观测值向量问 题，再使用相应的算法解决，本发明属于第一种思路。

如图5所示，连续-有限模块首先对信号y[n]构造一个框架矩阵V,再求V＝AU的最 稀疏解的支撑集，根据的支撑集与信号y[n]的支撑集一致求出信号支撑集S，最后由 信号支撑集恢复出原始信号。想要构造框架矩阵V，需采用以下方式。首先利用y[n]构 造一个矩阵Q：

$Q={\int }_{f\in F_s}y\left(f\right)y^H\left(f\right)df=\underset{n=-\infty }{\overset{+\infty }{\Sigma }}y\left[n\right]y^T\left[n\right]---\left(18\right)$

其中定义：y[n]＝[y₁[n],y₂[n],...,y_m[n]]^T，再将矩阵Q分解为Q＝VV^H，由此得到框 架矩阵V。

步骤一中预先设定残差阈值θ和阶段数阈值σ根据信号噪声和信号特性设置。

对于实信号，其支撑集中原子是对称的，即若索引值k被存入支撑集S中，其对应索 引值L+1-k也应被加入支撑集S，因此稀疏度应为偶数。步骤二中的步长step＝2，也可 设置为2的其他倍数。阶段数stage的初始值也可设置为其他正数，它将与步长step共同 影响初始的估计稀疏度。

步骤七中J₀中的原子个数在第一次迭代之后为4_s，第二次以后最多为6_s。

步骤十三中迭代次数不确定，与步长、信号实际稀疏度、设置的初始稀疏度都有关， 只要信号的残差达到要求即可停止迭代，但是若信号的初始稀疏度或者步长设置的不恰当 将分别导致求不出正确的稀疏度和迭代次数过多，即使设置合适当信噪比过大或观测矩阵 性能不够好时，残差也可能永远也达不到要求，因此还需要一个附加的迭代停止条件，可 以设置为当阶段数或估计稀疏度大于某一值就停止迭代。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明解决的并非基于压缩感知的离散信号或模拟有限信息率信号的重构问题， 而是针对时域和频域均连续的多频带信号。本发明在原有的离散信号重构算法的基础上进 行了调整和扩展，使其能够运用于连续信号的重构；

2、不同于多观测值向量正交匹配追踪算法，本发明每次迭代能从观测矩阵中筛选出 多个与原始信号匹配的原子，减少了重构时间；

3、本发明具有修正能力，迭代过程中将已选出的原子中不好的原子剔除，并用新的 原子替换，逐渐逼近真实支撑集，可提高重构精度，尤其当信噪比较低时，重构概率提升 的比例很大；

4、本发明可以成功重构原始信号而不需要联合稀疏度作为先验信息，这在实际中更 容易实现；

5、本发明将信道的信噪比考虑在内。当信道信噪比较小时，可适当增大残差阈值θ， 因为本发明虽然能够增大信噪比却不能完全消除噪声；

6、本发明将多频带信号的特性考虑在内。实际信号处理中多频带信号都是实信号， 其支撑集中的原子是对称的，即若索引值k被存入支撑集S中，其对应索引值L+1-k也 应被加入支撑集S，因此稀疏度应为偶数。所以步长step＝2，也可设置为2的其他倍数。 阶段数stage初始值的设置应使它将与步长step的乘积不大于可能出现的最小真实稀疏 度；

7、考虑到步长step、初始稀疏度s或残差阈值θ选取不恰当时无法精确重构出原始 信号的情况。本发明迭代次数不确定，与步长、信号真实稀疏度、设置的初始稀疏度都有 关。只要信号的残差达到要求即可停止迭代，但是若信号的初始稀疏度s或者步长step设 置的不恰当将分别导致求不出正确的稀疏度和迭代次数过多，即使设置合适当信噪比过大 或观测矩阵性能不够好时，残差也可能永远也达不到要求，因此还需要一个附加的迭代停 止条件，可以设置为当阶段数或估计稀疏度大于某一值就停止迭代，阶段数阈值σ应设置 到使估计稀疏度s的最大值不小于可能会出现的真实最大稀疏度；

8、本发明虽然在一次迭代中能筛选出多个原子，但由于原始信号的联合稀疏度未知， 需要通过反复迭代逐步逼近信号的真实稀疏度，两相抵消可能导致信号重构时间并未减 小，但如果算法设置的联合稀疏度初始值比较接近真实的稀疏度，仍可减少重构时间，尤 其当信号的联合稀疏度很大时，重构时间显著减小。

附图说明

图1是多频带信号模型示意图；

图2是MWC系统示意图；

图3是混频函数p_i(t)的波形示意图；

图4是h(t)的频率响应的波形示意图；

图5是连续-有限模块恢复信号支撑集示意图；

图6是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法的流程图；

图7是无噪声情况下多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法时域重构效 果仿真示意图；

图8是无噪声情况下多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法频域重构效 果仿真示意图；

图9是SNR＝10/dB情况下多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法时域重 构效果仿真示意图；

图10是SNR＝10/dB情况下多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法频域重 构效果仿真示意图；

图11是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法对信噪比的影响仿真示意 图；

图12是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在较低信噪比下的重构概率对比图；

图13是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在较高信噪比下的重构概率对比图；

图14是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同信噪比下的重构精度对比图；

图15是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同信噪比下的重构时间对比图；

图16是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同通道数下的重构概率对比图；

图17是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同通道数下的重构精度对比图；

图18是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同通道数下的重构时间对比图；

图19是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同联合稀疏度下的重构概率对比图；

图20是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同联合稀疏度下的重构精度对比图；

图21是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法和传统的多观测值向量正 交匹配追踪算法在不同联合稀疏度下的重构时间对比图；

图22是多观测值向量稀疏度自适应压缩采样匹配追踪方法、多观测值向量压缩采样 匹配追踪方法和传统的多观测值向量正交匹配追踪算法在不同联合稀疏度下的重构时间 对比图；

图23是多观测值向量压缩采样匹配追踪方法中联合稀疏度分别为2、6、10、14、18 时的重构概率随采样通道数变化的仿真示意图；

图24是多观测值向量压缩采样匹配追踪方法中通道数20、50、80、110、140分别为 时的重构概率随联合稀疏度变化的仿真示意图；

图25是本发明所述重构方法的原理示意图；

具体实施方式

具体实施方式一、结合图6说明本具体实施方式，多观测值向量稀疏度自适应压缩采 样匹配追踪方法，具体过程是：输入观测矩阵A和框架矩阵V，根据信噪比的大小设置 合适的残差阈值θ，根据信号联合稀疏度的大致范围设置合适的阶段数阈值σ。

初始化令支撑集残差R＝V，支撑集候选集根据信号联合稀 疏度的大致范围设置合适设置合适的阶段数stage和步长step。计算观测矩阵中各原子(列 向量)的2-范数。重复以下步骤直到满足迭代停止条件为止：

利用公式：

s＝stage×step(1)

计算每次迭代的估计稀疏度s。将残差矩阵R(初始值为矩阵V)与观测矩阵A的各 原子分别相乘，得到一组相关向量，再对这些向量分别求2-范数，并将所得的值除以对 应的矩阵A中原子2-范数，得到向量Z，它实际上反映了观测矩阵各原子归一化后与残 差矩阵的相关关系。选向量Z中最大的4s个所对应的观测矩阵A中原子的索引值k加入 支撑集候选集J，将候选集J中元素和上次迭代后支撑集S中元素的并集记为候选集J₀(此时候选集J₀中的元素个数：第一次迭代后支撑集中有4s个元素，第二次以后最多有 6s个元素)，根据最小二乘法筛选出其中最佳的2s个原子其索引值k构成新的支撑集S， 即找出令：

最大的前2s项原子，它们对应的观测矩阵A中原子的索引值加入支撑集S。将支撑集S中 索引值k所对应的观测矩阵A的原子构成一个向量集合A_S。计算残差矩阵并判断判断其 2-范数是否比上次迭代时残差矩阵的2-范数大，如果是，stage＝stage+1，否则更新残 差。判断是否满足迭代停止条件或阶段数stage≥σ，满足则得到最终支撑集S， 通过支撑集S中元素对应的矩阵A中原子构成矩阵A_S，可以重构出稀疏频谱α(f)；

${\alpha }_i\left(f\right)=0,i\notin S$

否则继续迭代。

可以看出，不同于多观测值向量正交匹配追踪算法，本发明每次迭代能从观测矩阵中 筛选出多个与原始信号匹配的原子。而且本发明具有修正能力，在迭代过程中用最小二乘 法将已选出的原子中不好的原子剔除，并用新的原子替换，逐渐逼近真实支撑集。此外， 本发明可以成功重构原始信号而不需要信号的联合稀疏度作为先验信息，而是首先设定一 个初始的稀疏度，再通过每次增加步长大小的稀疏度逼近真实稀疏度，而判断稀疏度是否 增加的标准是每次迭代后残差矩阵2-范数的大小。为检验上述设想是否能够实现需要进 行仿真实验。

本发明性能的检验是在Matlab平台上进行的。由于本发明是Xampling的整体框架中 的一部分，本发明输入值中的观测矩阵A和框架矩阵V是多频带信号x(t)经过调制宽带转 换器和连续-有限模块处理得到，所以要想检测方法的整体性能，必须首先对调制宽带转 换器和连续-有限模块进行仿真，然后由本发明进行重构，其基本原理发已在发明内容中 有所介绍：首先产生一个多频带信号，令其与同分布周期相同的不同混频函数相乘，然后 经过一个低通滤波器，再对滤波后的信号进行低速采样，采样后的信号经过连续-有限模 块处理，最后由本发明中的重构方法求出支撑集并恢复出原始信号。

实现明确了仿真步骤后，首先需要验证本方法是否能在位置信号稀疏度的情况下精确 重构出原始信号，分别检验本方法在有噪和无噪环境下的性能。无噪声时设定的参数如下： 子频带数为N＝8(在MWC系统仿真中，简单地将子频带数认定为联合稀疏度)，子频 带最大带宽为50MHz，信号频带范围[-5GHz,5GHz]，奈奎斯特采样速率f_NYQ＝10GHz， 每个频带的能量大小随机，载波随机，L₀＝97，L＝195，M＝195，通道数m＝100，伪 随机序列p_i(t)的周期和采样周期f_p＝f_s＝f_NYQ/L＝51.28MHz，p_i(t)为等概概率取±1的 伪随机序列，服从伯努利分布，stage＝1,step＝2。当重构信号的支撑集包含原始信号的 支撑集且A_S满秩时可以认为重构成功。

注意，虽然生成多频带信号是需要子频带数(联合稀疏度)作为信息，但利用本发明 恢复原始信号时并不需要此信息。原始信号和重构信号的时域对比如图7所示，频域对比 如图8所示。可以看出，在无噪声环境下本发明能够在未知信号联合稀疏度的情况下精确 重构出原始信号。有噪声时设定的参数如下：将通道数设为m＝200，信噪比设为 SNR＝10dB其余参数不变。当重构信号的支撑集包含原始信号的支撑集且AS满秩时可以 认为重构成功，原始信号和重构信号的时域对比如图9所示，频域对比如图10所示。从 时域上看，该算法虽然可以在未知信号联合稀疏度的情况下精确恢复出原始信号的频带位 置，但幅值有所不同。从时域上看，重构信号的噪声除不干净，但实际上重构信号的信噪 比相对于原始信号加噪声后的信噪比已有大幅度增大，如图11所示，对比原始加噪信号 和重构信号，信噪比增大了8dB，这在多观测值向量正交匹配追踪方法重构信号是同样会 出现。

为了比较本发明与原始的多观测值向量正交匹配追踪算法相比是否具有优越性，可以 比较两种算法的重构概率、重构时间和均方根误差。下面给出均方根误差的定义：

$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{t=1}{\overset{n}{\Sigma }}{(x_t-{\hat{x}}_t)}^2}---\left(19\right)$

由于信噪比SNR、信号的子频带数N(联合稀疏度)、采样通道数m、采样速率f_s都 会对信号重构结果造成影响，增大采样通道数m、采样速率f_s和信噪比，降低信号的子 频带数N，都有利于提高重构概率，不同的信号类型和观测矩阵类型也会对重构效果造 成影响，因此下面采用控制变量法研究各算法的性能。以下参数的选择只是为了能更好地 反映出重构算法的性能，并非算法的参数适用范围，任意参数的改变都会提升或降低算法 的重构效果。且由于采样通道数m和采样速率f_s一起决定系统整体采样速率mf_s，并且在 采样速率f_s较高时可以适当降低通道数m，或者为了降低采样速率f_s，也可以增加通道 数m，所以仅考虑采样通道数m作变量的情况。

(1)噪声对重构概率的影响

信号特征如下：子频带数N＝16，信噪比SNR＝5:5:70/dB，采样通道数m＝200，参见 图12、图13。

(2)噪声对重构精度的影响

信号特征如下：子频带数N＝16，信噪比SNR＝5:5:70/dB，采样通道数m＝200，参见 图14。

(3)噪声对重构时间的影响

信号特征如下：子频带数N＝16，信噪比SNR＝5:5:70/dB，采样通道数m＝200，参见 图15。

(4)采样通道数对重构概率的影响

信号特征如下：子频带数N＝20，信噪比SNR＝inf，采样通道数m＝80:10:180，参见 图16。

(5)采样通道数对重构精度的影响

信号特征如下：子频带数N＝20，信噪比SNR＝inf，采样通道数m＝80:10:180，参见 图17。

(6)采样通道数对重构时间的影响

信号特征如下：子频带数N＝20，信噪比SNR＝inf，采样通道数m＝80:10:180，参见 图18。

(7)子频带数对重构概率的影响

信号特征如下：子频带数N＝2:2:16，信噪比SNR＝10/dB，采样通道数m＝200，参见 图19。

(8)子频带数对重构误差的影响

信号特征如下：子频带数N＝2:2:16，信噪比SNR＝10/dB，采样通道数m＝200，参见 图20。

(9)子频带数对重构时间的影响

信号特征如下：子频带数N＝2:2:16，信噪比SNR＝10/dB，采样通道数m＝200，参见 图21。

从上面的仿真结果可以看出，在重构时间上，本发明的重构时间显然比多观测值向量 正交匹配追踪算法要多，尤其是信噪比较低时，本发明的重构时间数倍于原始算法。这是 因为本发明虽然在一次迭代中能筛选出多个原子，但由于原始信号的联合稀疏度未知，需 要通过反复迭代逐步逼近信号的真实稀疏度，两相抵消可能导致信号重构时间并未减小甚 至有所上升，这与初始稀疏度与信号的真实稀疏度的差距有关，考虑极限情况，初始稀疏 度等于信号的真实稀疏度，此时算法变为多观测值向量压缩采样匹配追踪方法，则重构时 间如图22所示，其中子频带数N＝2:2:20，信噪比SNR＝10/dB，采样通道数m＝200，此时 本发明的重构时间小于原始算法，且信号的子频带数越大越明显。在重构概率上，本发明 的重构概率相比多观测值向量正交匹配追踪算法有明显提升，尤其当信噪比较低时，重构 概率增大的比例更高。在重构精度上，两者的均方根误差相差不大，但当信噪比较低时， 本发明的重构精度稍低。

最后，考虑本发明在不同子频带数和采样通道数时的重构概率。图23是多观测值向 量压缩采样匹配追踪方法中联合稀疏度分别为2、6、10、14、18时的重构概率随采样通 道数变化的仿真示意图；图24是多观测值向量压缩采样匹配追踪方法中通道数20、50、 80、110、140分别为时的重构概率随联合稀疏度变化的仿真示意图。随着子频带数的增 大，重构概率逐渐减小；随着采样通道数的增大，重构概率逐渐增大。

经上述仿真试验验证，本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明解决的并非基于压缩感知的离散信号或模拟有限信息率信号的重构问题， 而是针对时域和频域均连续的多频带信号。本发明在原有的离散信号重构算法的基础上进 行了调整和扩展，使其能够运用于连续信号的重构；

2、不同于多观测值向量正交匹配追踪算法，本发明每次迭代能从观测矩阵中筛选出 多个与原始信号匹配的原子，减少了重构时间；

3、本发明具有修正能力，迭代过程中将已选出的原子中不好的原子剔除，并用新的 原子替换，逐渐逼近真实支撑集，可提高重构精度，尤其当信噪比较低时，重构概率提升 的比例很大；

4、本发明可以成功重构原始信号而不需要联合稀疏度作为先验信息，这在实际中更 容易实现；

5、本发明将信道的信噪比考虑在内。当信道信噪比较小时，可适当增大残差阈值θ， 因为该方法虽然能够增大信噪比却不能完全消除噪声；

6、本发明将多频带信号的特性考虑在内。实际信号处理中多频带信号都是实信号， 其支撑集中的原子是对称的，即若索引值k被存入支撑集S中，其对应索引值L+1-k也 应被加入支撑集S，因此稀疏度应为偶数。所以步长step＝2，也可设置为2的其他倍数。 阶段数stage初始值的设置应使它将与步长step的乘积不大于可能出现的最小真实稀疏 度；

7、考虑到步长step、初始稀疏度s或残差阈值θ选取不恰当时无法精确重构出原始 信号的情况。本发明迭代次数不确定，与步长、信号真实稀疏度、设置的初始稀疏度都有 关。只要信号的残差达到要求即可停止迭代，但是若信号的初始稀疏度s或者步长step设 置的不恰当将分别导致求不出正确的稀疏度和迭代次数过多，即使设置合适当信噪比过大 或观测矩阵性能不够好时，残差也可能永远也达不到要求，因此还需要一个附加的迭代停 止条件，可以设置为当阶段数或估计稀疏度大于某一值就停止迭代，阶段数阈值σ应设置 到使估计稀疏度s的最大值不小于可能会出现的真实最大稀疏度；

8、本发明虽然在一次迭代中能筛选出多个原子，但由于原始信号的联合稀疏度未知， 需要通过反复迭代逐步逼近信号的真实稀疏度，两相抵消可能导致信号重构时间并未减 小，但如果算法设置的联合稀疏度初始值比较接近真实的稀疏度，仍可减少重构时间，尤 其当信号的联合稀疏度很大时，重构时间显著减小。