一种基于啮合刚度的剥落齿轮啮合模型

摘要

一种基于啮合刚度的剥落齿轮啮合模型，考虑剥落轮齿在齿轮啮合时的受力情况，将啮合过程分为了三个阶段，并分别计算了三个啮合阶段下的剥落轮齿啮合刚度，克服了现有剥落齿轮模型仅考虑剥落啮合区与非剥落啮合区两种情况的弊端；同时考虑轮齿齿根的影响，将轮齿等效为齿根圆上的悬臂梁，准确计算出了剥落轮齿啮合刚度，提高了其精度，建立了更为准确的剥落齿轮啮合模型，本发明真实准确地反映了剥落齿轮啮合过程，能有效地应用于剥落齿轮的动力学建模研究。

说明书

技术领域

本发明涉及齿轮系统动力学建模领域，具体涉及一种基于啮合刚度的剥 落齿轮啮合模型。

背景技术

齿轮系统是现代机械工业中的常用机构，建立齿轮系统动力学模型，研 究齿轮系统的振动特性非常必要。由于齿轮时变啮合刚度是齿轮振动的主要 激励源，因此准确计算齿轮时变啮合刚度是齿轮动力学建模中的关键技术。

剥落故障是齿轮运行中的常见故障，准确计算剥落故障下的齿轮啮合刚 度并建立剥落齿轮啮合模型是研究剥落齿轮振动响应的重要基础。目前大多 数剥落齿轮啮合模型中使用的齿轮啮合刚度都把轮齿简化为基圆上的悬臂 梁，并未考虑轮齿齿根对啮合刚度的影响。并且现有的啮合模型都只将剥落 轮齿的计算简单地分为剥落区域啮合与非剥落区域啮合两种情况，并未考虑 剥落齿轮的实际啮合过程。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的缺点，本发明的目的在于提供一种基于啮 合刚度的剥落齿轮啮合模型，提高啮合刚度精度，建立准确的剥落齿轮啮合 模型。

为了达到上述目的，本发明采取的技术方案为：

一种基于啮合刚度的剥落齿轮啮合模型，包括以下步骤：

1)假设剥落出现在齿轮的节线位置，剥落区域为一个B×S的矩形区域， 剥落厚度为t；

2)将承受啮合力的剥落轮齿简化为齿根圆上的悬臂梁；

3)根据剥落轮齿的啮合过程，将其分为三个啮合阶段，啮合阶段1为齿 根啮合区，啮合阶段2为剥落区域啮合区，啮合阶段3为齿尖啮合区；

4)在啮合阶段1时，剥落轮齿的齿根部位受力，轮齿剥落区域对齿轮啮 合没有影响，分别计算啮合阶段1时的弯曲势能U_{b_1}、剪切势能U_{s_1}、轴向 压力势能U_{a_1}及赫兹刚度k_{h_1}：

$U_{b\_1}={\int }_0^d\frac{M^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx={\int }_0^d\frac{{[F_b(d-x)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_1}}dx+{\int }_0^{R_b-R_r}\frac{{[F_b(d+x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x1}}{\mathrm{dx}}_1---\left(1\right)$

$k_{h\_1}=\frac{F^2}{2U_h}=\frac{EL\pi }{4(1-{\upsilon }^2)}---\left(4\right)$

其中，F为轮齿间啮合力，可以分解为径向力F_a与切向力F_b。d为啮合 点到基圆的距离，x为轮齿上任意点到基圆的距离，x1为齿根上任意点到齿 根圆的距离，h为啮合点到轮齿中线的距离，E为弹性模量，G为剪切模量， R_b为基圆半径，R_r为齿根圆半径，I_{x_1}为轮齿上任意点处的转动惯量，I_x为齿 根上任意点处的转动惯量，A_{x_1}为轮齿上任意点处的横截面积，A_x为齿根上 任意点处的横截面积，L为齿宽，υ为泊松比，

求得势能后，即求得相应的弯曲刚度k_b、剪切刚度k_s、轴向压缩刚度k_a：

$k_b=\frac{F^2}{2U_b}---\left(5\right)$

$k_s=\frac{F^2}{2U_s}---\left(6\right)$

$k_a=\frac{F^2}{2U_a}---\left(7\right)$

5)经过啮合阶段1后，剥落故障齿轮进一步转动，齿轮剥落故障部分进 入啮合，此时为啮合阶段2，齿轮剥落区域进入啮合时，该区域并不受力， 此时的接触线长度由齿宽L变为L-B，啮合阶段2时的弯曲势能U_{b_2}、剪切 势能U_{s_2}、轴向压缩势能U_{a_2}及赫兹刚度k_{h_2}为：

$U_{b\_2}={\int }_0^d\frac{M^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx={\int }_0^d\frac{{[F_b(d-x)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_2}}dx+{\int }_0^{R_b-R_r}\frac{{[F_b(d+x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x1}}{\mathrm{dx}}_1---\left(8\right)$

$k_{h\_2}=\frac{F^2}{2U_{h\_2}}=\frac{E(L-B)\pi }{4(1-{\upsilon }^2)}---\left(11\right)$

6)经过啮合阶段2后，齿轮剥落故障部分脱出啮合进入啮合阶段3，此 时齿轮剥落故障区域虽然不直接参与啮合，但剥落区域属于悬臂梁的一部分， 因而在啮合阶段3时齿轮剥落故障区域同样会影响时变啮合刚度，在计算时 应减去剥落区域的刚度，啮合阶段3时的弯曲势能U_{b_3}、剪切势能U_{s_3}、轴 向压缩势能U_{a_3}及赫兹刚度k_{h_3}为：

$\begin{array}{c}{U}_{b\_3}={\int }_0^d\frac{M^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx={\int }_0^d\frac{{[F_b(d-x)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_3}}dx-{\int }_{d_{s1}}^{d_{s2}}\frac{{[F_b(d-x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_3}}dx\times \frac{B}{L}\\ {+\int }_{d_{s1}}^{d_{s2}}\frac{{[F_b(d-x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{sx\_3}}dx\times \frac{B}{L}+{\int }_0^{R_b-R_r}\frac{{[F_b(d-x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x1}}{\mathrm{dx}}_1\end{array}---\left(12\right)$

$k_{h\_3}=\frac{F^2}{2U_h}=\frac{EL\pi }{4(1-{\upsilon }^2)}---\left(15\right)$

其中，d_s1为剥落起始位置到基圆的距离，d_s2为剥落终止位置到基圆的距 离，I_{sx_3}为剥落故障区域某点的转动惯量，A_{sx_3}为剥落故障区域某点的横截 面积；

7)计算完各个啮合阶段时的刚度后，需要知道各个啮合阶段的啮合时间， 假设剥落轮齿刚进入双齿啮合时为初始时刻，剥落轮齿对应角度为起始角度， 此时θ＝0；齿轮继续转动，当转动到剥落故障区域刚进入啮合时，此时θ＝α_s1； 当剥落故障区域刚退出啮合时，此时θ＝α_s2，因此，0<θ<α_s1时为剥落轮齿啮 合阶段1，α_s1<θ<α_s2时为啮合阶段2，θ>α_s2时为啮合阶段3，在不同的啮合 阶段应选用不同的公式计算啮合刚度，最后即得到齿轮一个周期内的综合啮 合刚度：

$k_t=\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{1}{\frac{1}{k_{h,j}}+\frac{1}{k_{b1,j}}+\frac{1}{k_{s1,j}}+\frac{1}{k_{a1,j}}+\frac{1}{k_{b2,j}}+\frac{1}{k_{s2,j}}+\frac{1}{k_{a2,j}}}---\left(16\right)$

式中j＝1表示第一对轮齿啮合，j＝n表示第n对轮齿啮合，

8)基于步骤7)中得到的剥落齿轮综合啮合刚度，按照齿轮动力学建模 方法，即可得到基于啮合刚度的剥落齿轮啮合模型。

本发明充分考虑剥落轮齿在齿轮啮合时的受力情况，将啮合过程分为了 三个阶段，并分别计算了三个啮合阶段下的剥落轮齿啮合刚度，克服了现有 剥落齿轮啮合模型仅考虑剥落啮合区与非剥落啮合区两种情况的弊端；同时 考虑轮齿齿根的影响，将轮齿等效为齿根圆上的悬臂梁，准确计算出了剥落 轮齿啮合刚度，提高了其精度，建立了更为准确的剥落齿轮啮合模型。

附图说明

图1为轮齿剥落示意图。

图2为剥落轮齿受力图。

图3为剥落齿轮啮合阶段1示意图。

图4为剥落齿轮啮合阶段2示意图。

图5为剥落齿轮啮合阶段3示意图。

图6为不同剥落宽度下的齿轮啮合刚度曲线。

图7为不同剥落长度下的齿轮啮合刚度曲线。

图8为不同剥落深度下的齿轮啮合刚度曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

一种基于啮合刚度的剥落齿轮啮合模型，包括以下步骤：

1)由于轮齿剥落一般出现在节线附近靠近齿根部分的表面上，因此假设 剥落出现在齿轮的节线位置，剥落区域为一个B×S的矩形区域，剥落厚度 为t，剥落示意图如图1所示；

2)考虑齿根对啮合刚度的影响，将承受啮合力的剥落轮齿简化为齿根圆 上的悬臂梁，对剥落轮齿进行受力分析，受力图如图2所示，由图2可知， 将基圆与齿根圆之间的过渡圆弧作为悬臂梁的一部分，从而考虑了齿根对啮 合刚度的影响；

3)根据剥落轮齿的啮合过程，将其分为三个啮合阶段，啮合阶段1为齿 根啮合区，啮合阶段2为剥落区域啮合区，啮合阶段3为齿尖啮合区；

4)在啮合阶段1时，剥落轮齿的齿根部位受力，轮齿剥落区域对齿轮啮 合没有影响，受力示意图如图3所示，左图中，齿轮O₁为剥落齿轮，为主动 轮；齿轮O₂为正常齿轮，为被动轮，右图为从A视角观察剥落齿面看到的 视图，图中阴影部分为剥落区域，AB为啮合接触线长度，当剥落齿轮刚进 入啮合，即d<d_s1时，齿轮中的剥落部位没有受到啮合力F，

啮合阶段1时的弯曲势能U_{b_1}、剪切势能U_{s_1}、轴向压力势能U_{a_1}及赫 兹刚度k_{h_1}：

$U_{b\_1}={\int }_0^d\frac{M^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx={\int }_0^d\frac{{[F_b(d-x)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_1}}dx+{\int }_0^{R_b-R_r}\frac{{[F_b(d+x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x1}}{\mathrm{dx}}_1---\left(1\right)$

$k_{h\_1}=\frac{F^2}{2U_h}=\frac{EL\pi }{4(1-{\upsilon }^2)}---\left(4\right)$

其中，F为轮齿间啮合力，可以分解为径向力F_a与切向力F_b。d为啮合 点到基圆的距离，x为轮齿上任意点到基圆的距离，x1为齿根上任意点到齿 根圆的距离，h为啮合点到轮齿中线的距离，E为弹性模量，G为剪切模量， R_b为基圆半径，R_r为齿根圆半径，I_{x_1}为轮齿上任意点处的转动惯量，I_x为齿 根上任意点处的转动惯量，A_{x_1}为轮齿上任意点处的横截面积，A_x为齿根上 任意点处的横截面积，L为齿宽，υ为泊松比，

求得势能后，即求得相应的弯曲刚度k_b、剪切刚度k_s、轴向压缩刚度k_a：

$k_b=\frac{F^2}{2U_b}---\left(5\right)$

$k_s=\frac{F^2}{2U_s}---\left(6\right)$

$k_a=\frac{F^2}{2U_a}---\left(7\right)$

5)经过啮合阶段1后，剥落故障齿轮进一步转动，齿轮剥落故障部分进 入啮合，此时为啮合阶段2，其受力示意图如图4，从图4可以看出，此时啮 合力F的作用点在剥落区域，即d_s1<d<d_s2，此时剥落区域并不受力，接触线 长度由齿宽L变为L-B，啮合阶段2时的弯曲势能U_{b_2}、剪切势能U_{s_2}、轴 向压缩势能U_{a_2}及赫兹刚度k_{h_2}为：

$U_{b\_2}={\int }_0^d\frac{M^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx={\int }_0^d\frac{{[F_b(d-x)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_2}}dx+{\int }_0^{R_b-R_r}\frac{{[F_b(d+x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x1}}{\mathrm{dx}}_1---\left(8\right)$

$k_{h\_2}=\frac{F^2}{2U_{h\_2}}=\frac{E(L-B)\pi }{4(1-{\upsilon }^2)}---\left(11\right)$

6)经过啮合阶段2后，剥落齿轮进入啮合阶段3后，其受力示意图如图 5，图中可以看出此时齿轮剥落故障区域虽然不直接参与啮合，合力F的作 用点在齿尖区域，即d>d_s2，但剥落区域属于悬臂梁的一部分，因而在啮合 阶段3时齿轮剥落故障区域同样会影响时变啮合刚度，在计算时应减去剥落 区域的刚度。啮合阶段3时的弯曲势能U_{b_3}、剪切势能U_{s_3}、轴向压缩势能 U_{a_3}及赫兹刚度k_{h_3}为：

$\begin{array}{c}{U}_{b\_3}={\int }_0^d\frac{M^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx={\int }_0^d\frac{{[F_b(d-x)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_3}}dx-{\int }_{d_{s1}}^{d_{s2}}\frac{{[F_b(d-x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x\_3}}dx\times \frac{B}{L}\\ {+\int }_{d_{s1}}^{d_{s2}}\frac{{[F_b(d-x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{sx\_3}}dx\times \frac{B}{L}+{\int }_0^{R_b-R_r}\frac{{[F_b(d-x_1)-F_{a}h]}^2}{2{\mathrm{EI}}_{x1}}{\mathrm{dx}}_1\end{array}---\left(12\right)$

$k_{h\_3}=\frac{F^2}{2U_h}=\frac{EL\pi }{4(1-{\upsilon }^2)}---\left(15\right)$

其中，d_s1为剥落起始位置到基圆的距离，d_s2为剥落终止位置到基圆的距 离，I_{sx_3}为剥落故障区域某点的转动惯量，A_{sx_3}为剥落故障区域某点的横截 面积；

7)计算完各个啮合阶段时的刚度后，需要知道各个啮合阶段的啮合时间， 假设剥落轮齿刚进入双齿啮合时为初始时刻，剥落轮齿对应角度为起始角度， 此时θ＝0；齿轮继续转动，当转动到剥落故障区域刚进入啮合时，此时θ＝α_s1； 当剥落故障区域刚退出啮合时，此时θ＝α_s2。α_s1与α_s2可以根据图2所示的几 何关系求得，因此，0<θ<α_s1时为剥落轮齿啮合阶段1，α_s1<θ<α_s2时为啮合阶 段2，θ>α_s2时为啮合阶段3，在不同的啮合阶段应选用不同的公式计算啮合 刚度，最后即可得到齿轮一个周期内的综合啮合刚度：

$k_t=\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{1}{\frac{1}{k_{h,j}}+\frac{1}{k_{b1,j}}+\frac{1}{k_{s1,j}}+\frac{1}{k_{a1,j}}+\frac{1}{k_{b2,j}}+\frac{1}{k_{s2,j}}+\frac{1}{k_{a2,j}}}---\left(16\right)$

式中j＝1表示第一对轮齿啮合，j＝n(n＝1～2)表示第n对轮齿啮合，n＝1时 表示单齿啮合，n＝2时表示双齿啮合，

8)基于步骤7)中得到的剥落齿轮综合啮合刚度，按照齿轮动力学建模 方法，即可建立基于啮合刚度的剥落齿轮啮合模型。

将上述发明应用于下表所示的齿轮副中，其中主动轮为剥落齿轮。不同 剥落尺寸下的齿轮啮合刚度分别如图6～图8所示。

由图6～图8可以看出，当轮齿剥落区域进入与离开啮合瞬间，齿轮的啮 合刚度都将产生突变，从而产生冲击激励。图6表明，剥落长度的增加会导 致剥落起始角度的减小与剥落终止角度的增大，从而增大剥落区域作用的时 间。从图中可以看出，剥落长度越大，剥落区域对应的作用时间越长。图7 表明，剥落宽度沿齿宽方向增大时，虽然剥落区域进入和离开啮合的时间保 持不变，但是由于啮合线长度发生变化，啮合刚度会随着剥落宽度的增加而 降低。由图8可看出，剥落深度增大对剥落区域啮合刚度无影响，而影响区 域后的啮合刚度，剥落深度越大，相应啮合刚度越小，但总体来说剥落深度 影响不大。

以上内容是结合具体实例对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本 发明的具体实施方式仅限于此，还可用于不同的齿轮系统模型的建立。实施 者只需对本模型相应参数进行适当调整，以适应不同产品的应用需求。对于 本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下， 还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利 要求书确定专利保护范围。