一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法

摘要

本发明公开了一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法，首先根据关键特征面定义相关坐标系；然后确定机床装配体的状态空间方程及其基本系数矩阵；其次，建立成本目标函数，并通过离散系统输出调节器获得最优调整序列，从而将状态空间方程转换为高斯马尔科夫随机过程方程；然后得到协方差矩阵，并迭代计算得到整体装配完成后的协方差矩阵；再利用整体装配完成后的协方差矩阵计算机床总的精度指标与零部件偏差的对应函数关系；最后建立精度总成本与零部件精度指标之间的函数关系式，求解获得最优零部件公差分配结果。该方法能够对机床公差进行准确、可靠的分析，从而保障机床的精度性能。

说明书

【技术领域】

本发明属于机械设计领域，具体涉及一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法。

【背景技术】

机床精度性能是机床设计的基本指标，是通过设计、制造、装配综合保障的。然而我国目 前的机床精度设计中无法摆脱对经验的依赖，主要通过类比和查询手册的方法进行公差设计和 装配工艺规划。缺乏准确、可靠的公差分析与装配工艺规划设计工具。为使设计成功的把握性 有所提高，往往经过企业的反复试制，设计师反复修改才能定型，从而错过将新开发产品推向 市场的良机且增加了制造成本。

【发明内容】

本发明的目的在于针对现有机床公差设计过程中依赖工程师经验、以及精度不足与精度过 剩的问题，提供一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法，该方法能够对机床公差进 行准确、可靠的分析，从而保障机床的精度性能。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法，包括以下步骤：

1)将机床简化为基础大件，确定机床基础大件的关键特征面，并以关键特征面为基础， 借助零部件的名义或实际方位建立局部坐标系；同时根据机床的拓扑结构及装配工艺过程，确 定基本系数矩阵、调整系数矩阵及观测矩阵，建立状态空间方程；

2)根据市场调研及制造企业自身加工水平，确定精度成本矩阵、调整成本权重矩阵及精 度指标权重矩阵，建立成本目标函数；并通过离散系统输出调节器，结合零部件误差，利用卡 尔曼滤波方法得到调整序列；

3)将状态空间方程改写为高斯马尔科夫随机过程方程，根据高斯马尔科夫随机过程方程 得到协方差矩阵，然后根据装配工艺过程迭代求解，得到整体装配完成后的协方差矩阵；

4)利用整体装配完成后的协方差矩阵，结合方差合成公式，得到机床总的精度指标与零 部件偏差的函数关系f；

5)建立精度总成本与零部件精度指标之间的函数关系式W，并以此为目标函数，以函数 关系f为约束条件，得到零部件公差分配结果，完成机床公差设计。

所述步骤1)中的基础大件包括床身、立柱、滑座、主轴箱、滑鞍和工作台，所述的关键 特征面包括基础大件的安装、连接表面以及末端表面。

所述步骤1)中的基本系数矩阵为A(k)、B(k)和F(k)，调整系数矩阵为T(k)，观测矩阵为 C(k)，建立的状态空间方程如式(1)所示，

$\left(\begin{array}{c}\tilde{X}(k+1)=A\left(k\right)\tilde{X}\left(k\right)+B\left(k\right)\tilde{u}*\left(k\right)+F\left(k\right)\tilde{\omega }\left(k\right)\\ \tilde{y}\left(k\right)=C\left(k\right)\tilde{X}\left(k\right)+\tilde{v}\left(k\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中A(k)为第k步装配时的常数矩阵，F(k)为将第k个零件装配中的误差由第k个零件坐 标系向基础坐标系转换的6×6矩阵，表示在基准传递链中第k个零件装配特征面坐标系 的位置与方位相对于其名义位姿的总偏差，为第k个零件进行装配时实际位姿相对于名 义位姿在零件坐标系中的偏差，为第k个零件装配完成后的整体状态相对于基础坐标 系的总偏差累积6×1矢量，B(k)为误差调整矢量由第k个零件的零件坐标系到基础坐标 系的转换矩阵，C(k)为第k步装配完成后的r×6的元素为0或1的输出矩阵，为第k步装 配完成后的r×1(r≤6)的输出矢量，为第k步装配时的噪声，为误差调整矢量，0≤k≤N， N为装配总步数或装配零件总个数。

所述步骤2)中的精度成本矩阵为S，调整成本权重矩阵为R(k)，精度指标权重矩阵为Q(k)， 建立的成本目标函数J如式(2)所示，

$J={\tilde{y}}^T\left(N\right)S\tilde{y}\left(N\right)+\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}[{\tilde{y}}^T\left(k\right)Q\left(k\right)\tilde{y}\left(k\right)+{\tilde{u}}^T\left(k\right)R\left(k\right)\tilde{u}\left(k\right)]---\left(2\right)$

通过下式计算得到调整序列：

u*(k)＝-K(k)X(k)

其中，为整体装配完成后的r×1(r≤6)的输出矢量，上标T表示转置，为第k步 装配完成后的r×1(r≤6)的输出矢量，0≤k≤N，N为装配总步数，Q(k)为第k步装配完成后的精 度指标权重矩阵，为第k步装配过程控制中描述配合特征误差调整的6×1矢量，R(k)为第 k步装配过程中的调整成本权重矩阵，X(k)是第k步装配完成后的总偏差，u*(k)是调整序列， K(k)是卡尔曼增益系数。

所述的卡尔曼增益系数K(k)通过下式计算得到：

K(k)＝[R(k)+B^T(k)P(k+1)B(k)]^-1B^T(k)P(k+1)A(k)

P(k)＝Q(k)+A^T(k)P(k+1)[I+B(k)R^-1(k)B^T(k)P(k+1)]^-1A(k)

其中，R(k)为第k步装配过程中的调整成本权重矩阵，B(k)为误差调整矢量由第k 个零件的零件坐标系到基础坐标系的转换矩阵，为误差调整矢量，A(k)为第k步装配时 的常数矩阵，上标T表示转置，Q(k)为第k步装配完成后的精度指标权重矩阵，I是单位矩阵， P(k)、P(k+1)分别为第k步和第k+1步的Ricatti方程，0≤k≤N，N为装配总步数或装配零件总 个数。

所述步骤3)中的高斯马尔科夫随机过程方程如式(3)所示，

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_i\left(k\right)=A\left(k\right)\tilde{X}\left(k\right)+F\left(k\right)\tilde{\omega }\left(k\right)\\ \tilde{X}(k+1)=[I-B\left(k\right)T\left(k\right)K\left(k\right)]{\tilde{X}}_i\left(k\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

协方差矩阵如式(4)所示，

D_i(k)＝A^T(k)D(k)A(k)+F(k)V(k)F^T(k)

D(k+1)＝[I-B(k)T(k)K(k)]D_i(k)[I-B(k)T(k)K(k)]^T  (4)

其中是第k步装配并调整完成后的总偏差，A(k)为第k步装配时的常数矩阵，上标 T表示转置，表示在基准传递链中第k个零件装配特征面坐标系的位置与方位相对于其 名义位姿的总偏差，F(k)为将第k个零件装配中的误差由第k个零件坐标系向基础坐标系转换 的6×6矩阵，为第k个零件进行装配时实际位姿相对于名义位姿在零件坐标系中的偏差， 为第k个零件装配完成后的整体状态相对于基础坐标系的总偏差累积6×1矢量，I是 单位矩阵，B(k)为误差调整矢量由第k个零件的零件坐标系到基础坐标系的转换矩阵， 为误差调整矢量，T(k)为调整系数矩阵，K(k)是卡尔曼增益系数；D_i(k)是第i个零件第k 步状态量的协方差矩阵，D(k)为第k步状态量的协方差矩阵，D(k+1)为第k+1步状态量的协方 差矩阵，V(k)为第k步所引入的零件误差的方差，0≤k≤N，N为装配总步数或装配零件总个数；

通过式(4)迭代计算得到整体装配完成后的协方差矩阵D(N)。

所述步骤4)中的方差合成公式如下：

E_i＝D(m)+D(n)-2D(m)D(n)

总的精度指标E与零部件偏差的函数关系f如下：

$E=f\left(\tilde{\omega }\left(k\right)\right)$

其中，E_i为第i项精度指标要求，D(m)为D(N)中对角线上第m项的值，D(n)为D(N)中对 角线上第n项的值，D(N)为整体装配完成后的协方差矩阵，E＝(E₁，E₂，…，E_i，…，E_H)， H为总的精度要求相目的个数，0≤i≤H。

所述步骤5)中的函数关系式W如下：

$W=\underset{i=1}{\overset{H}{\Sigma }}\frac{Q_i}{E_i}$

其中H为总的精度要求相目的个数，0≤i≤H，E_i为第i项精度指标要求，O_i为第i项精度 成本。

相对于现有技术，本发明的有益效果为：

本发明针对现有机床等精密机械系统公差设计过程中依赖工程师经验，其零件公差不能直 接通过传统极值法或统计学方法分配得到，并最终导致机床的精度不足与精度过剩等问题，提 供一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法。该方法包含了装配调整工艺最优调整量 的确定以及机床整机精度的分配两部分，首先根据关键特征面定义相关坐标系；然后确定机床 装配体的状态空间方程及其基本系数矩阵；其次，建立成本目标函数，并通过离散系统输出调 节器获得最优调整序列，从而将状态空间方程转换为高斯马尔科夫随机过程方程；然后得到协 方差矩阵，并迭代计算得到整体装配完成后的协方差矩阵；再利用整体装配完成后的协方差矩 阵计算机床总的精度指标与零部件偏差的对应函数关系；最后建立精度总成本与零部件精度指 标之间的函数关系式，求解获得最优零部件公差分配结果。该方法综合考虑了实际装配过程中 的测量与调整环节，先获得装配过程中每一步的最优调整策略，基于最优调整，从而实现公差 成本与调整成本的最小化，最终实现装配精度最优的综合公差设计。该方法能够对机床公差进 行准确、可靠的分析，从而保障机床的精度性能，具有良好的应用前景。

【附图说明】

图1为本发明提供的考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法的流程图；

图2为本发明实施例中设计的卧式加工中心的关键特征面的示意图，其中(a)为具体的 结构示意图，(b)为(a)的简化示意图；

图3为图2中卧式加工中心的关键特征面的坐标系定义示意图；

图4为本发明实施例得到的图2中卧式加工中心的偏差状态量变化量图，其中(a)是状 态量X₁(k)(δ1)与X₃(k)(δ3)在装配过程中的变化情况，(b)是状态量X₂(k)(δ2)与X₄(k) (δ4)在装配过程中的变化情况。

【具体实施方式】

下面结合附图对本发明做进一步详细说明。

本发明针对现有机床公差设计过程中依赖工程师经验，以及精度不足与精度过剩的问题， 发明一种考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法，该方法包含装配调整工艺最优调整量 确定方法以及机床整机精度分配方法。

本发明提供的考虑测量与调整工艺的精密机床公差设计方法的流程如图1所示，其具体步 骤为：

1)选择并确定关键特征面(KC)：首先将机床简化为基础大件，即床身、立柱、滑座、 主轴箱、滑鞍、工作台等，然后选择基础大件的安装、连接表面以及末端表面等，并把这些面 作为关键特征面。

建立坐标系：以机床基础大件的关键特征面为基础，借助零部件的名义或实际方位建立局 部坐标系，并以床身、立柱结合面建立的局部坐标系为基础坐标系，基础坐标系、局部坐标系 的坐标轴朝向一致。

2)建立状态空间方程：首先确定机床拓扑结构以及装配工艺过程，从而确定其状态空间 方程(式(1))的基本系数矩阵A(k)、B(k)、F(k)，及调整系数矩阵T(k)与观测矩阵C(k)，然 后将这些基本数据代入状态空间方程，即建立完成状态空间方程。

$\left(\begin{array}{c}\tilde{X}(k+1)=A\left(k\right)\tilde{X}\left(k\right)+B\left(k\right)\tilde{u}*\left(k\right)+F\left(k\right)\tilde{\omega }\left(k\right)\\ \tilde{y}\left(k\right)=C\left(k\right)\tilde{X}\left(k\right)+\tilde{v}\left(k\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中A(k)为第k步装配时的常数矩阵，F(k)为将第k个零件装配中的误差由第k个零件坐 标系向基础坐标系转换的6×6矩阵，表示在基准传递链中第k个零件装配特征面坐标系 的位置与方位相对于其名义位姿的总偏差，为第k个零件进行装配时实际位姿相对于名 义位姿在零件坐标系中的偏差；定义为第k个零件装配完成后的整体状态相对于基础 坐标系的总偏差累积6×1矢量，B(k)为误差调整矢量由第k个零件的零件坐标系到基础 坐标系的转换矩阵，C(k)为第k步装配完成后的r×6的元素为0或1的输出矩阵，为第k 步装配完成后的r×1(r≤6)的输出矢量，为第k步装配时的噪声，为误差调整矢量， 0≤k≤N，N为装配总步数或装配零件总个数。

获得装配过程中的最优调整序列：首先根据市场调研及制造企业自身加工水平，确定系数 矩阵Q(k)、R(k)、S，然后建立成本目标函数J，如式(2)所示：

$J={\tilde{y}}^T\left(N\right)S\tilde{y}\left(N\right)+\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}[{\tilde{y}}^T\left(k\right)Q\left(k\right)\tilde{y}\left(k\right)+{\tilde{u}}^T\left(k\right)R\left(k\right)\tilde{u}\left(k\right)]---\left(2\right)$

其中，为整体装配完成后的r×1(r≤6)的输出矢量，上标T表示转置，为第k步 装配完成后的r×1(r≤6)的输出矢量，0≤k≤N，N为装配总步数，Q(k)为第k步装配完成后的精 度指标权重矩阵，为第k步装配过程控制中描述配合特征误差调整的6×1矢量，R(k)为第 k步装配过程中的调整成本权重矩阵，S为整体装配完成后的精度指标权重矩阵，也就是因为 精度的下降，带来的利益的损失，即精度成本矩阵。

然后，通过离散系统输出调节器，结合零部件误差，使用卡尔曼滤波方法，通过下式计算 得到最优调整序列：

u*(k)＝-K(k)X(k)

其中X(k)是第k步装配完成后的总偏差，u*(k)是调整序列，K(k)是卡尔曼增益系数。

求出从而求出X(k)。

K(k)＝[R(k)+B^T(k)P(k+1)B(k)]^-1B^T(k)P(k+1)A(k)

P(k)＝Q(k)+A^T(k)P(k+1)[I+B(k)R^-1(k)B^T(k)P(k+1)]^-1A(k)

其中，I是单位矩阵，P(k)、P(k+1)分别为第k步和第k+1步的Ricatti方程，可通过递归 运算求得且有：P(N)＝Q(N)。

3)计算装配完成后偏差量状态协方差矩阵：首先将状态空间方程等效为高斯马尔科夫随 机过程方程，如式(3)：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_i\left(k\right)=A\left(k\right)\tilde{X}\left(k\right)+F\left(k\right)\tilde{\omega }\left(k\right)\\ \tilde{X}(k+1)=[I-B\left(k\right)T\left(k\right)K\left(k\right)]{\tilde{X}}_i\left(k\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中是第k步装配并调整完成后的总偏差，T(k)为调整系数矩阵，即调整特征选择 矩阵，其非对角线元素均为0，通过给定对角元素为1表示对应几何特征在第k步可以进行调 整，为0则表示对应特征不能被调整。

并设初始误差状态量的均值及方差均为0，然后根据装配工艺过程迭代计算装配过程的偏 差量协方差矩阵，如式(4)：

D_i(k)＝A^T(k)D(k)A(k)+F(k)V(k)F^T(k)

D(k+1)＝[I-B(k)T(k)K(k)]D_i(k)[I-B(k)T(k)K(k)]^T  (4)

其中，D(k)为第k步状态量的协方差矩阵，即X(k)的方差，D(k+1)为第k+1步状态量的协 方差矩阵，D_i(k)是第i个零件第k步状态量的协方差矩阵，V(k)为第k步所引入的零件误差的 方差，即的方差。迭代最终得到D(N)，即整体装配完成后的协方差矩阵。

4)分析计算精度指标项目函数关系式：根据所建立的各个关键特征面、局部坐标系、机 床拓扑结构与精度指标项目，分析得到与精度指标项目相关的最终协方差矩阵D(N)中的数据， 然后利用方差合成公式：

E_i＝D(m)+D(n)-2D(m)D(n)

其中，E_i为第i项精度指标要求，D(m)为D(N)中对角线上第m项的值，D(n)为D(N)中对 角线上第n项的值。

通过该式，可得到总的精度指标E与零部件偏差的函数关系。

$E=f\left(\tilde{\omega }\left(k\right)\right),E=(E_1,E_2,...,E_i,...,E_H)$

5)最优化分配零部件公差：建立精度总成本与零部件精度指标之间的函数关系式W，并 以此为目标函数，以f为约束条件，采取遗传算法等现代智能求解方法，得到最优的零部件公 差分配结果完成对机床的公差设计。

$W=\underset{i=1}{\overset{H}{\Sigma }}\frac{Q_i}{E_i}$

其中H为总的精度要求相目的个数，O_i为第i项精度成本。

在精密机床公差设计中，状态空间模型是基础内容。状态空间模型不仅能反映系统内部状 态，而且能揭示系统内部状态与外部的输入和输出变量的联系。可以将装配过程视为线性离散 动态事件系统，将当前机床装配体的总偏差状态视为基础，将当前零部件的误差数据作为误差 输入，带入状态空间方程，即可得到装配过程中的误差状态。经过反复迭代，即可获得装配完 成时最终偏差状态矩阵。

图1为本发明的公差设计方法的流程图，包含了状态空间模型、卡尔曼滤波等方法。按照 流程图所示的公差设计步骤可以实现机床的公差分配，下面以某卧式加工中心为例，对全部设 计流程和步骤进行详细说明。

图2为某卧式加工中心关键特征面的示意图，关键特征面的选取，主要为装配结合面、安 装面、末端表面等。如图2所示，在具体选择时，将运动轴安装表面、床身立柱配合表面以及 装配体末端表面(工作台表面以及主轴箱外侧面)选为关键特征面。并将床身立柱配合表面作 为基准参考面。表1为此卧式加工中心的装配精度要求。

表1卧式加工中心的装配精度要求

在这个例子中，有六个关键特征面，每一个关键特征面有三项角度误差。为了简便，将此 加工中心简化为一个由床身、立柱、滑座、工作台组成的四部件装配体。装配特征面被标以序 号，其中KC0被选为了基准平面。同时，简化后的问题为二维尺寸问题，即角度误差只存在 于纸平面内。

根据关键特征面所定义的坐标系如图3所示(图3中O₀～O₄表示局部坐标系的原点)，坐标系定义时，以关键特征面为基础，根据零部件的名义或 者实际方位建立。经过装配后，角度误差的状态方程如下：

$\left(\begin{array}{c}{X}_1\left(N\right)\\ X_2\left(N\right)\\ X_3\left(N\right)\\ X_4\left(N\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\tilde{\omega }}_B\\ {\tilde{\omega }}_C\\ {\tilde{\omega }}_A\\ {\tilde{\omega }}_D\end{array}\right)$

其中X₁(N)为装配完后特征面KC1的总偏差状态，X₂(N)为装配完后特征面KC2的总偏差 状态，X₃(N)为装配完后特征面KC3的总偏差状态，X₄(N)为装配完后特征面KC4的总偏差状 态，为床身的角度误差，为立柱的角度误差，为滑座的角度误差，为工作台的角 度误差。

同时，其状态空间方程如下：

$\left(\begin{array}{c}{X}_1(k+1)\\ X_2(k+1)\\ X_3(k+1)\\ X_4(k+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{X}_1\left(k\right)\\ X_2\left(k\right)\\ X_3\left(k\right)\\ X_4\left(k\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\tilde{\omega }\left(k\right)$

其中X₁(k+1)为第k+1步装配完后特征面KC1的总偏差，X₂(k+1)为第k+1步装配完后特征 面KC2的总偏差，X₃(k+1)为第k+1步装配完后特征面KC3的总偏差，X₄(k+1)为第k+1步装 配完后特征面KC4的总偏差，X₁(k)为第k步装配完后特征面KC1的总偏差，X₂(k)为第k步装 配完后特征面KC2的总偏差，X₃(k)为第k步装配完后特征面KC3的总偏差，X₄(k)为第k步装 配完后特征面KC4的总偏差。

装配工艺过程随着机床的机构、制造企业的能力而改变。同时，有时候两个或者两个以上 的组件被装配为一个子装配体，然后再与其他零部件装配。此问题的装配工艺过程如下:

(1)在地面基础上安装部件A(床身)；

(2)将部件B(立柱)与部件C(滑座)装配为一个子装配体；

(3)安装子装配体到部件A上；

(4)安装部件D(工作台)到部件A上。

在装配的第一步，部件B、D的安装配合表面(KC0：即图3中特征面0、KC3：即图3 中特征面3)可以通过刮研等方式来调节相对角度误差。因为KC0被定义为了基准平面，所 以调整矩阵T(k)(k＝0)可以写为如下：

$T\left(0\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

同时，也可以定义调整成本权重矩阵。因在这一装配操作之前，其他部件未装配，可以将 这些未装配的关键特征面相应的系数设置为大一点的数值，比如1000。所以调整成本矩阵R(k) (k＝0)为：

$R\left(0\right)=\left(\begin{array}{cccc}1000& 0& 0& 0\\ 0& 1000& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1000\end{array}\right)$

在第二步装配操作中(k＝1)，部件B和C合装为一个子装配体。可以调整的装配特征面 KC2(即图3中特征面2)与KC1(即图3中特征面1)。所以，调整矩阵为：

$T\left(1\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

假设部件B、C通过一个线性运动系统联系起来，运动系统的面KC1比KC2更难调整， 所以KC1的调整成本比KC2大。所以第二步的调整成本权重矩阵为：

$R\left(1\right)=\left(\begin{array}{cccc}10& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 1000& 0\\ 0& 0& 0& 1000\end{array}\right)$

装配过程的第三步(k＝2)是将部件B、C的子装配体安装到部件A上。因为KC1是部件 B、C的结合面，调整这一特征面会花费更大的成本，所以第三步的调整矩阵与调整成本权重 矩阵为：

$T\left(2\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$R\left(2\right)=\left(\begin{array}{cccc}20& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0\\ 0& 0& 0& 1000\end{array}\right)$

装配操作的第四步(k＝3)是将部件D安装到部件A上。KC3为部件A、D的结合面，所 以调整矩阵与调整成本权重矩阵为：

$T\left(3\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

$R\left(3\right)=\left(\begin{array}{cccc}20& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 20& 0\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$

在公差分配过程中，只关心最终的精度要求，故在装配过程中，观测矩阵C与权重矩阵S 被设置为了4x4的零矩阵。

在这一装配例子中，假设精度要求是KC1与KC3的垂直度，KC2与KC4的垂直度。所 以装配完成后的观测矩阵为：

$C\left(4\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1\end{array}\right)$

权重矩阵是用来衡量因为精度的损失，导致收益的下降，设精度指标权重矩阵为：

$Q\left(4\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$

所以，可以求得卡尔曼增益系数矩阵为:

$K\left(0\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -0.433& -0.048& 0.433& 0.048\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$K\left(1\right)=\left(\begin{array}{cccc}0.167& 0.019& -0.167& -0.019\\ -0.167& 0.204& 0.167& -0.204\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$K\left(2\right)=\left(\begin{array}{cccc}0.100& 0.014& -0.100& -0.014\\ -0.200& 0.257& 0.200& -0.257\\ -0.400& -0.057& 0.400& 0.057\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$K\left(3\right)=\left(\begin{array}{cccc}0.227& 0.045& -0.227& 0.045\\ -0.182& 0.364& 0.182& 0.048\\ -0.227& -0.045& 0.227& 0.045\\ 0.182& -0.364& -0.182& 0.364\end{array}\right)$

装配过程中的调整量由卡尔曼增益系数，调整矩阵，以及当前总偏差状态决定。表2是一 些零部件误差数据。

表2零件误差数据

利用这些基本数据，可以得到最终的偏差状态。图4为偏差状态量变化情况，显示了在不 同的成本权重下，偏差状态在装配过程中的走势。其中图4(a)是状态量X₁(k)(δ1)与X₃(k) (δ3)在装配过程中的变化情况，可以发现，装配完成后，X₁(k)与X₃(k)数值十分接近，且在 权重越大时越接近。图4(b)显示了状态量X₂(k)(δ2)与X₄(k)(δ4)在装配过程中的变化情 况，结果与图4(a)相似。

如果将零部件A-D的误差数值用参数表示，即ω_A、ω_B、ω_C、ω_D，则本例中，关键特征 面角度误差协方差可以用下式表达：

$D_1=0.037{\omega }_A^2+0.39{\omega }_B^2$

$D_2=0.062{\omega }_A^2+{0.269\omega }_B^2+0.124{\omega }_C^2+0.167{\omega }_D^2$

$D_3=0.078{\omega }_A^2+0.214{\omega }_B^2$

$D_4=0.067{\omega }_A^2+{0.250\omega }_B^2+0.062{\omega }_C^2+0.349{\omega }_D^2$

其中D₁是特征面KC1的协方差，D₂是特征面KC2的协方差，D₃是特征面KC3的协方差， D₄是特征面KC4的协方差。

设计所要求的垂直度项目协方差为：

$D_{1-3}=0.0075{\omega }_A^2+{0.0278\omega }_B^2+0.0069{\omega }_C^2+0.0083{\omega }_D^2$

$D_{2-4}=0.0103{\omega }_C^2+0.0331{\omega }_D^2$

其中D_1-3是特征面KC1、KC3间的位姿关系，D_2-4是特征面KC2、KC4间的位姿关系。

如果精度要求项目D_1-3，D_2-4被赋予数值，那么关键特征面的公差可以被分配下来。分配 时可以设定零部件精度成本，建立精度成本目标函数。然后采取遗传算法寻优，得到最优化分 配结果。设精度项目数值均为3×10^-5rad，得到的零部件公差数值如表3所示：

表3零部件公差数值(×10⁺⁵rad)