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含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法

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本发明创造公开了含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法。该方法通过选取钢管混凝土柱截面作为优化变量，通过对钢管混凝土柱等效转换，利用有限元分析方法得出框架结构在荷载作用下各杆件的内力，再利用内力，根据虚功原理，建立优化变量与位移约束条件的显式函数关系，配合以整体结构造价最低这一优化问题的目标函数，在优化变量的边界条件范围内对优化变量进行迭代优化运算，从而获得最优的钢管混凝土柱截面，进而可得到最优的总造价，确保材料用量少的同时，保证优化后的高层建筑框架结构的顶部位移和层间侧移满足有关规范的设计要求。该高层建筑框架结构优化方法能减少建筑材料用量，而且优化后的截面尺寸可满足建筑和施工要求。

著录项

公开/公告号CN104820762A

专利类型发明专利
公开/公告日2015-08-05

原文格式PDF
申请/专利权人广州大学;
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申请/专利号CN201510268993.5
发明设计人徐安;贺美花;赵若红;傅继阳;刘爱荣;吴玖荣;
展开▼

申请日2015-05-22
分类号G06F17/50(20060101);
代理机构11403 北京风雅颂专利代理有限公司;
代理人于晓霞;于洁
地址 510006 广东省广州市番禺区广州大学城外环西路230号
入库时间 2023-12-18 10:16:50

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2017-07-28

授权

授权
2015-09-02

实质审查的生效 IPC(主分类):G06F17/50 申请日:20150522

实质审查的生效
2015-08-05

公开

公开

说明书

技术领域

本发明创造涉及建筑结构技术领域，具体涉及含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法。

背景技术

进行高层建筑框架结构的抗侧力(风荷载，地震荷载等)优化设计时,需要将目标函数和约束条件以涉及的变量显式表达，从而将结构优化问题数学建模为有约束条件的函数极值问题，然后进行优化迭代求解。发明人发现，在高层建筑抗风或抗震优化方法的相关技术中，关于构件的位移约束条件的显示表达式多数是针对简单的矩形截面单一材料构件的，而实际工程中，很多高度超过150m的高层或超高层建筑结构多数使用钢管混凝土柱作为一种重要的承压和抗侧力构件，对于含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构抗侧力优化设计方法的缺失导致一般的优化设计方法无法应用于含有钢管混凝土柱的实际工程。

发明内容

本发明创造的目的在于避免现有技术中的上述不足之处而提供一种含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法。

本发明创造的目的通过以下技术方案实现：

提供了含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法，所述高层建筑框架结构包括钢管混凝土柱，包括以下步骤：

1)对所述高层建筑框架结构建立框架结构模型，所述框架结构模型为有限元模型，其上划分有多个单元，单元之间形成单元节点；

2)采用刚度等效的方法将钢管混凝土柱等效为素混凝土柱，计算由钢管混凝土柱截面作为优化变量显示表达的所述素混凝土柱的等效直径，采用有限元分析方法将所述等效直径和优化变量赋值给框架结构模型；

3)采用有限元分析方法对赋值后的框架结构模型的单元节点施加外荷载，并求出框架结构模型在外荷载下的内力；然后在存在位移约束的所有单元节点位置分别逐一施加单位虚荷载，每次施加单位虚荷载均作为一个独立工况，在进行结构分析后，读取上述各个独立工况下的框架结构模型的内力；

4)基于虚功原理和步骤3)分析得到的框架结构模型在外荷载和单位虚荷载作用下的内力，计算框架结构模型顶部位移和层间侧移，将顶部位移和层间侧移以优化变量显式表达；

5)以顶部位移和层间侧移为约束条件，以整体结构造价最低来建立结构材料的总造价优化的目标函数，根据所述约束条件和所述目标函数，在优化变量的边界条件范围内对优化变量进行迭代优化，获得最终的钢管混凝土柱截面。

其中，步骤2)中，所述优化变量具体为钢管混凝土柱截面的外径D和厚径比ν，其中 ν＝t/D，t为钢管壁厚。

其中，步骤2)中等效直径表达式为：

$\frac{D_{e}}{D} = \sqrt[4]{n_{1} + ({1 - n}_{1}) {(1 - 2 v)}^{4}},$ 其中， $n_{1} = \frac{E_{s}}{E_{c}}, n_{2} = \frac{G_{s}}{G_{c}},$

式中，D_e表示钢管混凝土的等效直径，E_s为钢管的弹性模量，E_c为钢管内混凝土的弹性模量；G_s为钢管的剪切模量，G_c为钢管内混凝土的剪切模量。

其中，框架结构模型在外荷载和单位虚荷载作用下的内力包括：钢管混凝土柱在外荷载作用下产生的x轴方向的轴力和y轴、z轴方向的剪力绕x轴的扭矩及绕y轴、z轴的弯矩以及在相应位移处施加单位虚荷载时钢管混凝土柱的x轴方向的轴力f_xj，y轴、z轴方向的剪力f_yj、f_zj，绕x轴的扭矩m_xj及绕y轴、z轴的弯矩、m_yj、 m_zj。

其中，约束条件具体表达式为：

$u_{j}^{(n)} (D_{i}, v_{i}) = Σ_{i = 1}^{N_{i 1}} (\begin{matrix} \frac{C_{0 ij}^{(n)}}{(1 + \frac{{4 n}_{1} v_{i} ({1 - v}_{i})}{{({1 - 2 v}_{i})}^{2}}) {D_{i}}^{2} {({1 - 2 v}_{i})}^{2}} + \frac{C_{1 ij}^{(n)}}{(0.9 + \frac{{2 n}_{2} v_{i} ({1 - v}_{i})}{{({1 - 2 v}_{i})}^{2}}) {D_{i}}^{2} {({1 - 2 v}_{i})}^{2}} \\ + \frac{C_{2 ij}^{(n)}}{(\frac{n_{2}}{{({1 - 2 v}_{i})}^{4}} - n_{2} + 1) {D_{i}}^{4} {({1 - 2 v}_{i})}^{4}} + \frac{C_{2 ij}^{(n)}}{(\frac{n_{1}}{{({1 - 2 v}_{i})}^{4}} - n_{1} + 1) {D_{i}}^{4} {({1 - 2 v}_{i})}^{4}} \end{matrix}) \leq δ_{j}^{U}$

式中，为规范位移限值；D_i为第i个钢管混凝土柱的外径、ν_i为第i个钢管混凝土柱的厚径比；N_i1为钢管混凝土柱的个数，其中各系数表达式如下：

$C_{0 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{x}^{(n)} f_{xj}}{π E_{c} / 4}) dx$

$C_{1 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{y}^{(n)} f_{yj} + F_{z}^{(n)} f_{zj}}{π G_{c} / 4}) dx$

$C_{2 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{x}^{(n)} m_{xj}}{π G_{c} / 32}) dx$

$C_{3 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{y}^{(n)} m_{yj} + M_{z}^{(n)} m_{zj}}{π E_{c} / 64}) dx$

其中，L_i为第i个钢管混凝土柱长度。

其中，目标函数具体为：

$T = Σ_{i = 1}^{N_{1}} ({aA}_{i 1} + {bA}_{i 2}) L_{i 1}$

$L_{i 1} = Σ_{in = 1}^{K_{i 1}} l_{in}$

式中，T表示结构材料的总造价；N₁表示钢管混凝土柱的种类数；a、b分别为钢管、混凝土单位体积的价格；A_i1、A_i2分别为钢管截面积、钢管内混凝土截面积；K_i1表示i类钢管混凝土柱的个数；l_in为第n个i类钢管混凝土柱的长度。

其中，步骤5)中，在优化变量的迭代优化过程，以优化变量在迭代步ν+1与迭代步ν的相对误差绝对值作为收敛条件，具体表达式为：

$\frac{Σ_{i = 1}^{N_{i}} {(x_{i}^{v + 1} - x_{i}^{v})}^{2}}{Σ_{i = 1}^{N_{i}} {(x_{i}^{v})}^{2}} \leq e$

为为第i个钢管混凝土柱在迭代步ν的优化变量值，e为预设极小常数；

当和不满足上收敛条件时，取新的优化变量重新从步骤2)到步骤5)进行迭代优化，直到满足收敛条件。

其中，e在工程应用中建议取为0.001。

其中，所述高层建筑框架结构还包括矩形截面梁，优化变量还包括矩形截面梁的截面宽B 和截面高H；

约束条件表达式扩展为：

$(\begin{matrix} u_{j}^{(n)} (D_{i}, v_{i}) = Σ_{i = 1}^{N_{i 1}} (\begin{matrix} \frac{C_{0 ij}^{(n)}}{(1 + \frac{{4 n}_{1} v_{i} ({1 - v}_{i})}{{({1 - 2 v}_{i})}^{2}}) {D_{i}}^{2} {({1 - 2 v}_{i})}^{2}} + \frac{C_{1 ij}^{(n)}}{(0.9 + \frac{{2 n}_{2} v_{i} ({1 - v}_{i})}{{({1 - 2 v}_{i})}^{2}}) {D_{i}}^{2} {({1 - 2 v}_{i})}^{2}} \\ + \frac{C_{2 ij}^{(n)}}{(\frac{n_{2}}{{({1 - 2 v}_{i})}^{4}} - n_{2} + 1) {D_{i}}^{4} {({1 - 2 v}_{i})}^{4}} + \frac{C_{2 ij}^{(n)}}{(\frac{n_{1}}{{({1 - 2 v}_{i})}^{4}} - n_{1} + 1) {D_{i}}^{4} {({1 - 2 v}_{i})}^{4}} \end{matrix}) \\ + Σ_{i = 1}^{N_{i 2}} (\frac{C_{4 ij}^{(n)}}{B_{i} H_{i}} + \frac{C_{5 ij}^{(n)}}{B_{i} H_{i}^{3}} + \frac{C_{6 ij}^{(n)}}{B_{i}^{3} H_{i}}) \\ \leq δ_{j}^{U} \end{matrix})$

式中，B_i为第i个矩形截面梁的截面宽、H_i为第i个矩形截面梁的截面高；N_i2为矩形

截面梁的个数，其中各系数表达式如下：

$C_{4 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{x}^{(n)} f_{xj}}{E_{c}} + \frac{F_{y}^{(n)} f_{yj} + F_{z}^{(n)} f_{zj}}{{5 G}_{c} / 6}) dx$

$C_{5 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{z}^{(n)} m_{zj}}{G_{c} / 12}) dx$

$C_{6 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{x}^{(n)} m_{xj}}{G_{c} β} + \frac{M_{y}^{(n)} m_{yj}}{E_{c} / 12}) dx$

其中，L_i为矩形截面梁的长度；

其中，所述高层建筑框架结构还包括矩形截面梁，优化变量还包括矩形截面梁的截面宽B 和截面高H；目标函数扩展为：

$T = Σ_{i = 1}^{N 1} ({aA}_{i 1} + {bA}_{i 2}) L_{i 1} + Σ_{i = 1}^{N 2} {bB}_{i} H_{i} L_{i 2}$

$L_{i 1} = Σ_{in = 1}^{K_{i 1}} l_{in}$

$L_{i 2} = Σ_{in = 1}^{K_{i 2}} l_{in}$

其中，N₂表示矩形截面梁的个数；B_i、H_i分别为第i个矩形截面梁的宽和高；K_i2表示i 类矩形截面梁的个数；第二式中的l_in为第n个i类钢管混凝土柱的长度；第三式中的l_in为第n 个i类矩形截面梁的长度。

上面扩展了还含有矩形截面梁的层建筑框架结构的优化设计方法，如果还含有其他类型的截面梁，如工字型截面梁或者圆管截面梁，也可以用类似的方法来扩展公式。

还需要补充的，步骤4)中的外荷载包括风荷载，风荷载根据所述高层建筑框架结构

所在地的基本风压计算，其计算公式为：

ω_k＝β_zμ_sμ_zω₀

式中，ω_k是风荷载标准值(KN/m²)；β_z是高度z处的风振系数；μ_s为风荷载体形系数；μ_z为风压高度变化系数；ω₀指基本风压(KN/m²)。

本发明创造的有益效果：

本发明创造的含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法，选取钢管混凝土柱截面，具体地，是钢管混凝土柱截面的外径和厚径比，作为优化变量，通过对钢管混凝土柱等效转换，并赋予在有限元分析软件中建立的框架结构模型，利用有限元分析方法得出框架结构模型所受的内力，再利用内力，根据虚功原理，建立优化变量与位移约束条件的关系，配合以整体结构造价最低建立的结构材料的总造价优化的目标函数，在优化变量的边界条件范围内对优化变量进行迭代优化，从而获得最优钢管混凝土柱截面，进而得到最优的总造价，确保材料用量少的同时，保证结构的顶部位移和层间侧移满足有关规范的要求。该优化变量与位移约束条件的关系，通过钢管混凝土柱的截面刚度公式，配合虚功原理，同时利用有有限元分析软件得出的内力推导得出，是专门针对于钢管混凝土这种在高层建筑结构中常用的构件的位移约束条件显示表达式，利用此表达式配合目标函数对高层建筑框架结构进行优化，能得到更优的混凝土柱截面外径和厚径比，优化迭代过程能够快速稳定收敛。

附图说明

利用附图对发明创造作进一步说明，但附图中的实施例不构成对本发明创造的任何限制，对于本领域的普通技术人员，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据以下附图获得其它的附图。

图1是三种等效方法的等效直径与外径的比值随厚径比的变化示意图。

图2是框架结构模型的结构示意图。

图3(a)是工况1的钢管外径的优化迭代过程示意图。

图3(b)是工况1的厚径比的优化迭代过程示意图。

图3(c)是工况1的梁宽与梁高的优化迭代过程示意图。

图3(d)是工况1的优化目标的优化迭代过程示意图。

图4(a)是工况2的钢管外径的优化迭代过程示意图。

图4(b)是工况2的厚径比的优化迭代过程示意图。

图4(c)是工况2的梁宽与梁高的优化迭代过程示意图。

图4(d)是工况2的优化目标的优化迭代过程示意图。

图5是工况1下的y方向水平位移的示意图。

图6是工况1下的y方向层间侧移的示意图。

图7是工况2下的y方向水平位移的示意图。

图8是工况2下的y方向层间侧移的示意图。

具体实施方式

结合以下实施例对本发明创造作进一步描述。

本发明创造的含有钢管混凝土柱的高层建筑框架结构优化设计方法，所述高层建筑框架结构包括钢管混凝土柱1和矩形截面梁2，首先，选定优化变量，选取钢管混凝土柱1截面的外径D和厚径比ν，以及矩形截面梁2的截面宽B和截面高H作为优化变量，其中ν＝t/D， t为钢管壁厚。

根据所述高层建筑框架结构在SAP2000中建立框架结构模型，所述框架结构模型为有限元模型，其上划分有多个单元，单元之间形成单元节点，采用刚度等效的方法将钢管混凝土柱1等效为素混凝土柱，计算素混凝土柱的等效直径，其中该等效直径用优化变量显示表达，计算出来后，将等效直径和优化变量赋值给框架结构模型。其中等效直径表达式为：

$\frac{D_{e}}{D} = \sqrt[4]{n_{1} + ({1 - n}_{1}) {(1 - 2 v)}^{4}},$ 其中， $n_{1} = \frac{E_{s}}{E_{c}}, n_{2} = \frac{G_{s}}{G_{c}},$

式中，D_e表示钢管混凝土柱1的等效直径，E_s为钢管的弹性模量，E_c为钢管内混凝土的弹性模量；G_s为钢管的剪切模量，G_c为钢管内混凝土的剪切模量。

钢管混凝土柱1是由钢管和混凝土两种材料组成，而通过SAP2000API给截面赋值时只能针对一种材料，故需将钢管混凝土柱1等效为混凝土柱，此处发明人考察了刚度等效、强度等效和剪切等效方法，三种等效方法的等效直径表达式如下：

强度等效：

$\frac{D_{e}}{D} = \sqrt{(\frac{{4 n}_{1} v (1 - v)}{{(1 - 2 v)}^{2}} + 1)} (1 - 2 v)$

剪切等效：

$\frac{D_{e}}{D} = \sqrt{\frac{10}{9} (\frac{{2 n}_{2} v (1 - v)}{{(1 - 2 v)}^{2}} + 0.9)} (1 - 2 v)$

刚度等效：

$\frac{D_{e}}{D} = \sqrt[4]{n_{1} + ({1 - n}_{1}) {(1 - 2 v)}^{4}}$

以厚径比gama为横坐标，等效直径与外径的比值为纵坐标画图，三种等效直径与外径的比值随gama值的变化趋势如图1所示。

由于剪切强度对位移值的影响比较小，由图1可知采用刚度等效原则较安全保守，且厚径比值越小等效直径近实际外径值，因此我们选择了刚度等效的方法。

接着，在SAP2000中对框架结构模型的单元节点施加外荷载，并求出框架结构模型在外荷载下的内力；然后在存在位移约束的所有单元节点位置分别逐一施加单位虚荷载，每次施加单位虚荷载均作为一个独立工况，在进行结构分析后，读取上述各个独立工况下的框架结构模型的内力。其中，外荷载一般为风荷载，风荷载根据所述高层建筑框架结构所在地的基本风压计算，其计算公式为：ω_k＝β_zμ_sμ_zω₀。而内力则包括：钢管混凝土柱1在外荷载作用下产生的x轴方向的轴力和y轴、z轴方向的剪力绕x轴的扭矩及绕 y轴、z轴的弯矩以及在相应位移处施加单位虚荷载时钢管混凝土柱1的x轴方向的轴力f_xj，y轴、z轴方向的剪力f_yj、f_zj，绕x轴、y轴的弯矩m_xj、m_yj，绕z轴的扭矩m_zj

内力得出后即可建立优化变量与位移约束条件的关系，约束条件具体表达式为：

式中，为规范位移限值；D_i为第i个钢管混凝土柱的外径、ν_i为第i个钢管混凝土柱1的厚径比；N_i1为钢管混凝土柱1的个数，B_i为第i个矩形截面梁2的截面宽、H_i为第i个矩形截面梁2的截面高；N_i2为矩形截面梁2的个数；其中各系数表达式如下：

$C_{0 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{x}^{(n)} f_{xj}}{π E_{c} / 4}) dx$

$C_{1 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{y}^{(n)} f_{yj} + F_{z}^{(n)} f_{zj}}{π G_{c} / 4}) dx$

$C_{2 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{x}^{(n)} m_{xj}}{π G_{c} / 32}) dx$

$C_{3 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{y}^{(n)} m_{yj} + M_{z}^{(n)} m_{zj}}{π E_{c} / 64}) dx$

其中，上述四式的L_i为第i个钢管混凝土柱1长度。

$C_{4 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{x}^{(n)} f_{xj}}{E_{c}} + \frac{F_{y}^{(n)} f_{yj} + F_{z}^{(n)} f_{zj}}{{5 G}_{c} / 6}) dx$

$C_{5 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{z}^{(n)} m_{zj}}{G_{c} / 12}) dx$

$C_{6 ij}^{(n)} = \int_{0}^{L_{i}} (\frac{M_{x}^{(n)} m_{xj}}{G_{c} β} + \frac{M_{y}^{(n)} m_{yj}}{E_{c} / 12}) dx$

其中，上述三式L_i为矩形截面梁2的长度。

约束条件具体表达式的推导过程如下：

约束条件具体表达式根据虚功原理推导，框架结构模型在外荷载作用下结构某个节点的位移为：

$u_{j}^{(n)} = Σ_{i = 1}^{N_{i}} \int_{0}^{L_{i}} (\frac{F_{x}^{(n)} f_{xj}}{{EA}_{x}} + \frac{F_{y}^{(n)} f_{yj}}{{GA}_{y}} + \frac{F_{z}^{(n)} f_{zj}}{{GA}_{z}} + \frac{M_{x}^{(n)} m_{xj}}{{GI}_{x}} + \frac{M_{y}^{(n)} m_{yj}}{{EI}_{y}} + \frac{M_{z}^{(n)} m_{zj}}{{EI}_{z}}) dx$

而由钢管混凝土结构技术规程(CECS28:2012)可知，在计算钢管混凝土结构弹性内力和位移时，钢管混凝土柱1的截面刚度可按下列公式计算：

EA＝E_sA_s+E_cA_c

EI＝E_sI_s+E_cI_c

GI＝G_sI_s1+G_cI_c1

GA＝G_sA_s+G_cA_c

式中，EA、EI、GA、GI分别指钢管混凝土柱1的截面压缩刚度、截面弯曲刚度、截面剪切刚度和截面抗扭刚度；E_s、E_c分别为钢管、钢管内混凝土的弹性模量；G_s、G_c分别为钢管、钢管内混凝土的剪变模量；A_s、A_c分别为钢管、钢管内混凝土的截面面积； I_s、I_c分别为钢管、钢管内混凝土的截面惯性矩；I_s1、I_c1分别为钢管、钢管内混凝土的极惯性矩。

另一方面

钢管横截面面积：

A_s＝π(Dt-t²)＝π(D²ν-D²ν²)＝πD²ν(1-ν)

混凝土横截面面积：

$A_{c} = \frac{π D^{2}}{4} {(1 - 2 v)}^{2}$

钢管惯性矩：

$I_{s} = \frac{π}{64} (D^{4} - d^{4}) = \frac{π}{64} D^{4} [1 - {(1 - 2 v)}^{4}]$

钢管极惯性矩：

$I_{s 1} = \frac{π}{32} (D^{4} - d^{4}) = \frac{π}{32} D^{4} [1 - {(1 - 2 v)}^{4}] = {2 I}_{s}$

混凝土惯性矩：

$I_{c} = \frac{π}{64} D^{4} {(1 - 2 v)}^{4}$

钢管横截面面积与混凝土横截面面积比值用α表示：

$α = \frac{A_{s}}{A_{c}} = \frac{4 v (1 - v)}{{(1 - 2 v)}^{2}}$

钢管惯性矩与混凝土惯性矩的比值用β表示：

$β = \frac{I_{s}}{I_{c}} = \frac{\frac{π}{64} D^{4} [1 - {(1 - 2 v)}^{4}]}{\frac{π}{64} D^{4} {(1 - 2 v)}^{4}} = \frac{1}{{(1 - 2 v)}^{4}} - 1$

把系数α、β、n₁、n₂代入公式A_s＝π(Dt-t²)＝π(D²ν-D²ν²)＝πD²ν(1-ν)，钢管混凝土截面刚度计算表达式可写为：

${EA}_{x} = E_{s} A_{s} + E_{c} A_{c} = (\frac{E_{s} A_{s}}{E_{c} A_{c}} + 1) E_{c} A_{c} = (n_{1} α + 1) E_{c} A_{c}$

${GA}_{y} = {GA}_{z} = G_{s} A_{s} + G_{c} A_{c} = (\frac{G_{s} A_{s} / 2}{G_{c} A_{c}} + 0.9) G_{c} A_{c} = ({0.5 n}_{2} α + 0.9) G_{c} A_{c}$

${GI}_{x} = G_{s} I_{s 1} + G_{c} I_{c} = (\frac{G_{s} I_{s 1}}{G_{c} I_{c 1}} + 1) G_{c} I_{c 1} = (n_{2} β + 1) G_{c} I_{c 1}$

${EI}_{y} = {EI}_{z} = E_{s} I_{s} + E_{c} I_{c} = (\frac{E_{s} I_{s}}{E_{c} I_{c}} v 1) E_{c} I_{c} = (n_{1} β + 1) E_{c} I_{c}$

式中，I_x为钢管混凝土柱1绕x轴的扭转惯性矩，I_y、I_z分别为钢管混凝土柱1绕y、z轴的弯曲惯性矩。

再将上述四式代入框架结构模型在外荷载作用下结构某个节点的位移表达式，即可得出钢管混凝土柱1的约束条件具体表达式：

类似地，可得出矩形截面梁2的约束条件具体表达式，两者相加即为包含有钢管混凝土柱1和矩形截面梁2的高层建筑框架结构的约束条件表达式。

最后，以整体结构造价最低建立结构材料的总造价优化的目标函数；目标函数具体为：

$T = Σ_{i = 1}^{N 1} ({aA}_{i 1} + {bA}_{i 2}) L_{i 1} + Σ_{i = 1}^{N 2} {bB}_{i} H_{i} L_{i 2}$

$L_{i 1} = Σ_{in = 1}^{K_{i 1}} l_{in}$

$L_{i 2} = Σ_{in = 1}^{K_{i 2}} l_{in}$

式中，T表示结构材料的总造价，即优化问题的目标函数；N₁表示钢管混凝土柱1的种类数；a、b分别为钢管、混凝土单位体积的价格；A_i1、A_i2分别为钢管截面积、钢管内混凝土截面积；K_i1表示i类钢管混凝土柱1的个数；l_in为第n个i类钢管混凝土柱1的长度。

确定约束条件和目标函数后，根据这两表达式，在优化变量的边界条件范围内对优化变量进行迭代优化，获得最优的总造价。

具体地，在优化变量的迭代优化过程，以优化变量在迭代步ν+1与迭代步ν的相对误差绝对值作为收敛条件，具体表达式为：

$\frac{Σ_{i = 1}^{N_{i}} {(x_{i}^{v + 1} - x_{i}^{v})}^{2}}{Σ_{i = 1}^{N_{i}} {(x_{i}^{v})}^{2}} \leq e$

为为第i个钢管混凝土柱1在迭代步ν的优化变量值，e为预设极小常数，其取值范围优选为0.001.。

当和不满足上收敛条件时，取新的优化变量重新从等效直径的计算开始继续进行迭代优化，直到满足收敛条件。

为了验证采用等效直径是否合理，厚径比取0.03，将式等效直径表达式代入约束条件表达式中，编制相应位移计算程序，通过SAP2000API函数读取等效模型各构件的内力，得到各层位移值为u₁；直接依据约束条件表达式编制程序，通过SAP2000API函数读取实际模型各构件的内力，计算各层位移值u₂；通过SAP2000运行分析实际模型后得到的各层位移值为 u₃。取建筑第19层至顶层的位移进行对比，如表1所示，结果表明，采用等效直径的模型各层位移u₁与实际模型的各层位移u₂基本一致，且二者都接近用SAP2000运行分析实际模型所得位移值u₃，说明采用刚度等效的方法是可行的。

表1 ν取0.03时三种算法的位移值

为了更直观的突出本含有钢管混凝土柱1的高层建筑框架结构优化设计方法的优化效果，下面将给出利用具体数值建立的框架结构模型的具体迭代优化过程的实例，通过优化前后的数据对比，可验证本方法的显著技术效果。

针对一24层框架结构的钢筋混凝土高层建筑在风荷载作用下的截面尺寸优化，建立相应的抗风结构优化数学模型，即框架结构模型，其梁为混凝土的矩形截面梁2，柱为圆形截面的钢管混凝土1，框架结构模型如图2所示，层高3.3米，单跨跨度6米。在左侧从第1到 24层顶部节点处分别作用相应的基本风荷载值，主要考虑建筑结构在基本风荷载作用下顶层质心y方向的顶部位移与各层的层间侧移，并以此作为优化约束条件，根据《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ3-2010)对框架结构水平位移与层间位移差的限值要求：顶部位移与建筑高度之比限值为1/550，层间侧移最大值与层高之比限值为1/550。把框架结构模型的总造价作为目标函数，优化的目标为整体结构造价最低，选取钢管混凝土柱1截面的外径D和厚径比ν，以及矩形截面梁2的截面宽B和截面高H作为优化变量，设置柱的初始外径为0.7 米，厚径比为0.03，此外，通过设置截面尺寸的上下限值来满足结构的构造与强度要求，所有的矩形截面梁2的截面为同一尺寸，所有的钢管混凝土柱1的截面为同一尺寸。

为了考察最优准则法以及设计变量的强弱初始状态是否影响迭代过程的收敛性，按照表 2所示的三种工况对本实例进行优化分析。工况1和工况2的各个设计变量边界值完全相同，初始设计值不同(工况1的结构初始设计偏弱，工况2的结构初始设计偏强)，对比分析工况1 和工况2的优化计算结果可考察最优准则法的收敛稳定性；为了说明在设计变量越界时采用松弛处理方法的有效性，工况1和工况3的各个设计变量初始值完全相同而边界值不同，其中，ν的上下限根据规范确定，因此其上下限无变化。

表2分析工况

表3和图3(a)～图3(d)给出了工况1的设计变量和目标函数的优化迭代过程，表4 和图4(a)～图4(d)给出了工况2的设计变量和目标函数的优化迭代过程，表5给出了工况3的设计变量和目标函数的优化迭代过程。由表3和表4可知，在给定的目标函数、约束条件和边界条件相同的情况下，无论结构的设计是偏强还是偏弱，优化过程均能得到相同的最优解，迭代过程的设计变量和优化目标均能快速稳定收敛。表3和表5表明，矩形截面梁 2的宽和高总能达到上限，混凝土的价格较低，所以矩形截面梁越2大对优化目标越有利，但是矩形截面梁2太大不仅影响美观，而且还会影响使用功能，减少建筑使用空间，因此需要通过设定上下限值来限制矩形截面梁2的大小。

表3工况1的优化迭代过程

表4工况2的优化迭代过程

表5工况3的优化迭代过程

由图5和图6分别给出了工况1优化前后的y方向水平位移和层间水平位移差，可以判断优化后的结构是否满足约束条件的要求。由图5可知，结构在优化前只有在第1层y方向水平位移才满足约束条件的要求，在其他各层均不满足，而优化后的各层位移均满足约束条件的要求；从图6可以看出，优化前的绝大部分楼层都不能满足规范对层间位移差的要求，而优化后的层间位移差得到明显的改善，只有在第7层的层间位移差很接近约束限值。

由图7和图8分别给出了工况2优化前后的y方向水平位移和层间侧移，可以判断优化后的结构是否满足约束条件的要求。由图7可知，各层的y方向水平位移均能满足约束条件的要求，而优化后各层的位移值在第18层至顶层比优化前有所减小，在其他楼层则有所增大，但均满足约束条件的要求；从图8可以看到，结构在优化前在第8层至12层不能满足规范对层间位移差的要求，而优化后只有第7层的层间位移差很接近约束限值，证明优化结果在刚好满足约束条件的情况下达到最优解。图7和图8表明，当设置的结构设计变量初始值合适时，顶部位移在优化前已能满足水平位移的约束条件，所以在结构的整个优化过程中把层间位移差作为优化迭代过程的控制条件。

最后应当说明的是，以上实施例仅用以说明本发明创造的技术方案，而非对本发明创造保护范围的限制，尽管参照较佳实施例对本发明创造作了详细地说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明创造的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明创造技术方案的实质和范围。

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