一种适用于不确定性系统的非线性度量方法

摘要

本发明公开了一种适用于不确定性系统的非线性度量方法，包括以下步骤：设函数空间F表示具有特定分布的随机变量x构成的所有函数集合，将所述函数空间F分为线性函数集合L和非线性函数集合G，设非线性函数g

说明书

技术领域

本发明涉及一种非线性度量方法，具体涉及一种适用于不确定性系统的非线性度量方法。

背景技术

任何领域的非线性问题通常都要比线性的问题更难处理。处理的难度伴随着非线性问题的非线性度(Degree of Nonlinearity，DoN)的增加而增加。尽管确定一个系统是不是非线性的并不难，但是仅仅知道系统是非线性的并不够，更希望知道的是这个系统有多么非线性。也就是说，怎样去量化一个问题的非线性。关于此类问题的量化信息正是处理此问题时的困难所在，尤其是在比较不同的问题时。以非线性滤波举例，目前已开发出许多不同的非线性滤波算法，如扩展卡尔曼滤波(EKF)，无味卡尔曼滤波(UF)，粒子滤波(PF)等等，这些非线性滤波算法在适用性和计算复杂性上各有不同。如果知道了系统的非线性度(DoN)，就可以帮助用户明智的选择非线性滤波器。另外，用一个线性化的系统来近似非线性的系统是比较常用的办法，这样可以显著地简化分析。然而，这种方法只有当非线性较弱时效果才会较好，因此，必须寻找一种合适的量化措施，也就是要对非线性进行度量。

非线性度量(Measure of Nolinearity，MoN)的首次研究出现在六十年代的文献[1]，[2]中。后来，大量的MoNs被提出用于不同的应用中。这些度量方法可分为两类，第一类是按照非线性函数和与它最接近 的线性函数之间的偏差来度量非线性；Beale在文献[1]中，研究回归分析问题时对非线性度量问题进行的研究，也是第一位对非线性度量的较为严谨的研究。具体方法为：测量一个非线性函数g和基于泰勒级数展开(TSE)的与g最接近的线性函数之间的距离。它是一种局部测量，由于g是在某个点x₀处，通过一阶TSE进行线性化的。MoN被定义为标准化的“总距离”，即g和它的线性化近似之间的“总距离”，该线性化近似通过x₀点的小领域内的多个采样点计算得到。这个局部性度量使用非线性函数和线性近似之间的距离的基本思想构成了这一类问题所有度量的基础。文献[2]中提出非线性控制系统的非线性度量的方法，它运用了“最优”线性近似和范数的概念，比Beale的基于泰勒级数展开的方法要更优越。文献[3]中提出的方法是运用两个线性系统来捕获一个单输入-单输出(SISO)系统的非线性。文中把MoN定义为从g到它的最大下界和最小上界线性函数的距离中更大的那个距离。这个度量的定义主要用于SISO系统，并且如果用于一般的多输入多输出(MIMO)系统，那么它的扩展也很麻烦；另外，即使系统是有界输入有界输出稳定的，两个线性上下界函数很难找。最近文献[4]中提出一种用于确定性控制系统的相对非线性度量。本质上，它是系统的非线性输入输出映射g和它的最优线性近似之间的标准化差。在以上这一类度量方法中，除了Beale的度量方法外，其他几种度量方法都不用计算函数的导数，这对于那些导数很难计算，甚至不存在的应用中是很理想的。然而，它们各有缺点，都不适用于随机系统。

第二类度量方法是，运用函数在某一点的曲率作为非线性度量。文 献[5][6]提出一种基于曲率的非线性度量用于一回归模型。对于函数z＝g(x)，MoN由它在x处沿某一方向l的一阶和二阶导数确定的。一阶和二阶导数分别是曲线g(x+cl)在点x处的瞬时“速度”和“加速度”向量。其中，c是独立标量变量。在x处基于曲率的MoN定义为N(x)＝max_lN_l(x)。这种度量被运用到了非线性动态模型^[7]或者非线性量测模型^[8]的目标跟踪，地面一定目标指示器雷达跟踪^[9]和视频跟踪^[10]，文献[11]通过仿真研究了关于MoN的滤波器性能。这种非线性度量方法有如下特点：容易计算给定导数；有清楚的物理和几何解释；它们是局部度量而不是总体度量；对于导数不存在的许多应用就不能用；它运用非线性函数g的一阶和二阶项目，而忽略了高阶项，不好评判；此外，这种非线性度量已经应用于要么动态模型是非线性，要么量测模型是非线性的目标跟踪中，但对于动态模型和量测模型都是非线性时如何度量其非线性仍不清楚。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供了一种适用于不确定性系统的非线性度量方法，该方法可以获得不确定性系统的非线性度量。

为达到上述目的，本发明所述的适用于不确定性系统的非线性度量方法包括以下步骤：

设函数空间F表示随机变量x构成的所有函数集合，将所述函数空间F分为线性函数集合L和非线性函数集合G，设非线性函数g_k的非线性度量MoN为非线性函数g_k与线性函数集合L的偏差；

则有非线性函数g_k和线性函数集合L之间的接近程度J_k为：

      

其中，E为关于随机变量x_k的期望，L为所有线性函数L(x)＝Ax+b的集合，

L_k为线性函数集合L中的第k个线性函数，g_k(x)为非线性函数；

L(x)＝Ax+b和g_k具有相同的维数，则设定非线性度量v_k为：

      $v_k=\frac{J_k}{{\left[\mathrm{tr}\left(C_{\mathrm{gk}}\right)\right]}^{1/2}}---\left(6\right)$

其中，C_gk为g_k(x)的协方差矩阵，tr(x)为矩阵的迹，A为斜率，且A≠0，而b为L(x)在y轴上的截距；

设为离g_k最近的线性函数，则有

      $\hat{L}\left(x\right)=\bar{g}\left(x\right)+C_{\mathrm{gx}}{C}_x^{-1}(x-\bar{x})---\left(7\right)$

其中，C_x＝cov(x)，C_gx＝cov(g，x)为协方差矩阵，为C_x的逆；由式(5)、(6)及(7)，得不确定性系统的非线性度量v，其中

      $v=\sqrt{1-\frac{\mathrm{tr}\left(C_{\mathrm{gx}}{C}_x^{-1}{C}_{\mathrm{gx}}^{\prime }\right)}{\mathrm{tr}\left(C_g\right)}}---\left(8\right).$

设J(g₁，g₂)为非线性函数集合G中的两个非线性函数g₁和g₂间的接近程度，则有

      ${J(g_1,g_2)=\left(E\right[{\left|\right|g_1\left(x\right)-g_2\left(x\right)\left|\right|}_2^2\left]\right)}^{1/2}---\left(4\right)$

由式(4)得非线性函数g_k和线性函数集合L之间的接近程度J_k为：

      

离非线性函数g_k最近的线性函数通过以下方程求解：

      $\frac{\partial J(L,g)}{\partial b}=2E[\mathrm{Ax}+b-g\left(x\right)]=0$

      $\frac{\partial J(L,g)}{\partial A}=2E[\mathrm{Ax}+b-g\left(x\right)x^{\prime }]=0$

得其中，E[Ax+b-g(x)]为Ax+b-g(x)的均值，C_x＝cov(x)，则有

      $\hat{L}\left(x\right)=\bar{g}\left(x\right)+C_{\mathrm{gx}}{C}_x^{-1}(x-\bar{x})---\left(7\right).$

本发明具有以下有益效果：

本发明所述的适用于不确定性系统的非线性度量方法用函数空间F表示随机变量x构成的所有函数的集合，把该函数空间F分成线性函数集合L和非线性函数集合G，给定一非线性函数g_k，它的非线性度定义为g_k与线性函数集合L的偏差，也就是说一个点距离子空间L有多远，然后运用最大下界的概念得到非线性度量，本发明适用于任何形式的不确定性系统，不需要求导数，它是一个全局性的度量方法。

具体实施方式

下面将对本发明做进一步详细描述：

本发明所述的适用于不确定性系统的非线性度量方法包括以下步骤：

设离散时间非线性随机系统为

x_k+1＝f_k(x_k)+u_k+w_k       (1) 

z_k＝h_k(x_k)+v_k            (2) 

其中，x_k为随机状态，u_k为已知的线性控制输入，w_k和v_k分别为零均值白色过程噪声和量测噪声；

将式(1)和(2)堆叠得：

y_k＝g_k(x_k)+U_k+η_k          (3) 

其中，

y_k＝[x′_k+1，z′_k]′，g_k(x_k)＝[f_k(x_k)′，h_k(x_k)′]′

U_k＝[u′_k，0′]′，η_k＝[w′_k，v′_k]′

y_k和x_k之间为非线性关系，y_k在线性控制输入U_k和噪声h_k的作用下是线性的。

设函数空间F表示随机变量x构成的所有函数集合，然后把所述函数空间F分成线性函数集合L和非线性函数集合G，设非线性函数g_k，则非线性函数g_k的非线性度量MoN为非线性函数g_k与线性函数集合L的偏差；

设J(g₁，g₂)表示非线性函数集合G中的两个非线性函数g₁和g₂间的接近程度，则有

      ${J(g_1,g_2)=\left(E\right[{\left|\right|g_1\left(x\right)-g_2\left(x\right)\left|\right|}_2^2\left]\right)}^{1/2}---\left(4\right)$

由式(4)得非线性函数g_k和线性函数集合L之间的接近程度J_k为：

      

其中，E为期望E是关于随机变量x_k的期望，L是所有线性函数(实际上是仿射)L(x)＝Ax+b的集合，L_k为线性函数集合L中的第k个线性函数，g_k(x)为非线性函数，L(x)＝Ax+b和g_k具有相同的维数非线性度量v_k为：

      $v_k=\frac{J_k}{{\left[\mathrm{tr}\left(C_{\mathrm{gk}}\right)\right]}^{1/2}}---\left(6\right)$

其中，C_gk为g_k(x)的协方差矩阵，tr(x)为矩阵的迹，A为斜率，且A≠0，而b为L(x)在y轴上的截距；

      为离g_k最近的线性函数，通过一下方程求解，

      $\frac{\partial J(L,g)}{\partial b}=2E[\mathrm{Ax}+b-g\left(x\right)]=0$

      $\frac{\partial J(L,g)}{\partial A}=2E[\mathrm{Ax}+b-g\left(x\right)x^{\prime }]=0$

这两个等式解为其中，E[Ax+b-g(x)]为Ax+b-g(x)的均值，C_x＝cov(x)，C_gx＝cov(g，x)是协方差矩阵，故有，

      $\hat{L}\left(x\right)=\bar{g}\left(x\right)+C_{\mathrm{gx}}{C}_x^{-1}(x-\bar{x})---\left(7\right)$

其中，C_x＝cov(x)，C_gx＝cov(g，x)为协方差矩阵，为C_x的逆；

结合(5)、(6)及(7)，得不确定性系统的非线性度量v，其中

      $v=\sqrt{1-\frac{\mathrm{tr}\left(C_{\mathrm{gx}}{C}_x^{-1}{C}_{\mathrm{gx}}^{\prime }\right)}{\mathrm{tr}\left(C_g\right)}}---\left(8\right).$