一种快速提取电大尺寸金属腔体目标瞬态散射信号的仿真方法

摘要

本发明公开了一种快速提取电大尺寸金属腔体目标瞬态散射信号的仿真方法，步骤如下：建立金属腔体目标的几何模型，采用曲面三角形单元对金属腔体目标表面进行网格剖分；确定金属腔体目标的时域积分方程；采用空间上的高阶叠层散度共形基函数和时间上的时间时空混合基函数，对时域积分方程中的表面感应电流展开；将表面感应电流展开表达式代入时域积分方程，然后对离散形式的时域电场积分方程分别在时间上、空间上测试，得到系统阻抗矩阵方程；采用时间步进方法求解阻抗矩阵的方程，确定导体目标表面的时域电流分布，根据时域电流分布得到目标的宽频带电磁特性参数，完成仿真。该方法具有仿真精度高、所需时间少、内存消耗低的优点，具有广泛的应用前景。

说明书

技术领域

本发明涉及电磁仿真技术领域，特别是一种快速提取电大尺寸金属腔体目标瞬态散射信号的仿真方法。 

背景技术

由于军事上的需求和现代科学技术的不断发展，针对含腔电大尺寸目标的电磁特性分析已经成为一个重要的研究内容。腔体结构的散射特性比较复杂，往往不能与含腔目标合为整体进行计算，而大多军用目标均可视为含腔目标体，而目标体中的腔体部分往往是一个很强的散射源，因此对其内腔与外表面共同作用的散射结果研究具有重要的意义。 

频域积分方程方法分析中，目标表面的感应电流是一个复数矢量，即感应电流同时包含相位和幅度信息，由导体表面的感应电荷所满足的标量亥姆霍兹方程的解以及电流连续性方程可知，感应电流的相位信息中包含了入射电磁波的相位。利用这一物理特性，将描述电流线性变化的相位信息设计到感应电流的近似展开表达式中，即用来近似展开感应电流的基函数是一个复数矢量，并称之为相位基函数；而一般用来近似展开感应电流的都是实数矢量基函数；表示电流的相位信息可以被设计到任何种类的实数矢量基函数中，从而构成新的复数基函数，相位基函数。目前国内外已有研究者将相位基函数应用于频域积分方程分析方法中，文献1（J.M.Taboada,F.Obelleiro,J.L.Rodriguez,“Incorporation linear-phase progression in RWG basis function,”Microwave Opt Tchnol.Lett.44:106-112,2005）和文献2（Gareia-Tuon,J.M.Taboada,F.Obelleiro,and L.Landesa,“Efficient asymptotic-phase modeling of the induced currents in the fast multipole method,”Microwave Opt Techno.Lett.48:1594-1599,2006）公开了一种linear-phase RWG(LP-RWG)基函数，即用指数表示的物体表面感应电流相位的线性变化，并将它与传统的RWG基函数相结合，这些方法可以用来快速分析任意三维导体结构的电磁散射。金属腔体目标由于自身几何结构的原因，使其具有棱边和强耦合等结构，所以金属腔体目标的表面电流包含的相位信息不再是单纯的有外部激励所决定，即单纯的行波特性；它还包含了与自身结构有关的相位信息，即驻波特性。根据金属目标表面电流的这一特性文献3（S.Yan,S.Ren,Z.Nie,S.He,and J.Hu,“Efficient analysis of electromagnetic scattering from electrically large complex objects by using phase-extracted basis functions,”IEEE Trans. Antennas Propagat.,vol.54,no.5,pp.88-108,Oct.2012）公开了一种频域积分方程方法分析中的行驻波基函数，这种基函数由相位基函数和高阶基函数相结合构成，该种基函数可以同时描述金属腔体表面电流的行波特性和驻波特性，通过合理考虑金属腔表面电流自身物理特性的原理来增大剖分单元的尺寸。 

上述文献1～3报道的都是频域中使用相位基函数分析导体目标和金属腔体电磁散射特性的方法，然而由于谐振现象、高低频成分的存在，不同频率点的计算方法也不同，导致计算量庞大和复杂性高，并且不能直观的从模拟结果中理解场的相互作用，从而使得频域方法失去了优势。 

发明内容

本发明的目的在于提供一种快速提取电大尺寸金属腔体目标瞬态散射信号的仿真方法，该方法能显著提高仿真效率，具有内存消耗低、仿真时间快的特点。 

实现本发明目的的技术方案为：一种快速提取电大尺寸金属腔体目标瞬态散射信号的仿真方法，步骤如下： 

第1步，建立金属腔目标的几何模型，采用曲面三角形单元对导体目标的表面进行网格剖分； 

第2步，根据时域形式的麦克斯韦方程组和电流连续性，确定金属腔目标的时域积分方程； 

第3步，采用空间上的高阶叠层散度共形基函数和时间上的空间延迟混合基函数，对第2步的时域积分方程中的表面感应电流进行展开，得到表面感应电流展开表达式； 

第4步，将第3步的表面感应电流展开表达式代入第2步的时域积分方程中，然后对离散形式的时域积分方程分别在时间上采用点测试、在空间上采用Galerkin测试，得到系统阻抗矩阵方程； 

第5步，根据第4步中阻抗矩阵元素的表达式，消除奇异性积分，得到阻抗矩阵的稀疏表达式； 

第6步，根据第4～5步得到的系统阻抗矩阵方程，求解阻抗矩阵的方程，确定金属腔目标表面的时域电流分布，根据时域电流分布得到金属腔的宽频带电磁特性参数，完成仿真过程。 

本发明与现有技术相比其显著效果是：(1)求解未知量少：空间延迟混合时间基函数对金属腔体表面真实时域感应电流的描述更加准确，从而允许采用更大尺寸的单元贴 片离散目标表面，例如采用了三角函数形式的空间延迟混合时间基函数，此时单元贴片的最大剖分尺寸可以达到0.4c/f_max，f_max为入射电磁波的最高频率，这与一般的三角时间基函数，单元贴片的最大剖分尺寸为0.1c/f_max，相比大大节省了求解所需要的未知量；(2)对金属腔目标几何结构的适应性好，模型离散拟合更精确：采用曲面三角形单元对仿真对象的表面进行网格离散，能真实地拟合各种复杂外形的金属腔模型，保证了外形逼近的精确性。 

附图说明

图1(a)是本发明圆柱型金属腔模型，(b)是圆柱型金属腔模型的曲面三角形网格离散示意图。 

图2是本发明曲面三角形离散单元的示意图。 

图3是图2中曲面三角形单元在面积坐标下表示的示意图。 

图4是本发明圆柱形金属腔的宽带雷达散射截面曲线图。 

图5是本发明圆柱形金属腔的时域散射场曲线图。 

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细描述。 

本发明为基于空间延迟混合时间基函数的时域积分方程方法，首先根据入射电磁波的空间延迟量设计一种空间延迟时间基函数，再将空间延迟时间基函数与一般时间基函数组成空间延迟混合时间基函数，然后将空间延迟混合时间基函数结合高阶叠层散度共形空间基函数用来近似展开金属腔目标的时域感应电流，并将电流近似展开表达式代入时域积分方程，对离散后的时域积分方程分别进行时间上的混合测试和空间上的伽辽金测试，形成矩阵方程，采用基于广义最小余量法的时间步进算法求解系统矩阵方程，得到每个时刻的感应电流分布，最后利用时域电流分布计算得到金属腔目标的宽频带电磁特性参数。 

下面结合附图，以图1(a)所示厚度为无限薄，两端开口的金属圆柱腔为例，对本发明的具体步骤做进一步详细描述。 

本发明金属腔目标瞬态散射信号的快速提取方法，步骤如下： 

第1步，建立金属腔目标的几何模型，采用曲面三角形单元对金属腔目标的表面进行网格剖分，具体过程如下： 

1.1如图1(a)所示，建立厚度为无限薄且两端开口的圆柱形金属圆柱腔目标的几何模型，底面半径2.0m，高5.0m，利用计算机辅助设计工具ANSYS软件进行几何建模，导体目标置于介电常数ε₀、导磁率μ₀的自由空间中，金属腔目标在外来入射电磁波E^inc(r,t)照射下激励起表面感应电流，入射电磁波E^inc(r,t)为高斯调制脉冲，其表达式为： 

$E^{\mathrm{inc}}(r,t)=E_0\cos \left[2\pi f_0(t-\frac{r·{\hat{k}}^{\mathrm{inc}}}{c})\right]\exp [-\frac{{(t-t_p-\frac{r·{\hat{k}}^{\mathrm{inc}}}{c})}^2}{2{\sigma }^2}]---\left(1\right)$

式(1)中E^inc(r,t)为t时刻金属圆柱腔目标r点处的入射电磁波，其中r为金属圆柱腔目标观察点的位置矢量；E₀为高斯调制脉冲的强度；t_p为高斯调制脉冲E^inc(r,t)的时间中心；σ＝6/(2πf_bw)，其中f_bw为脉冲的频带宽度；f₀为入射电磁波的中心频率，初始频率f_min＝0，则最高频率f_max＝2f₀＝300MHz，f_bw＝2f₀；表示与金属圆柱腔目标自身有关的空间延迟量，表示入射电磁波的单位方向矢量，c为自由空间中的光速。 

1.2如图1(b)所示，采用曲面三角形单元对金属圆柱腔目标的表面进行网格剖分，根据入射电磁波的最高频率f_max来确定曲面三角形单元的尺寸，保证离散得到的三角形中的最大边长l_max满足条件l_max≤0.4c/f_max，其中c为自由空间中的光速；得到仿真所需的网格离散信息文件，包括离散的曲面三角形的单元信息文件和节点信息文件，离散之后得到1140个曲面三角形单元信息和2350个节点信息，运用网格前处理算法得到包括单元的编号、节点的编号、内边的编号、节点的三维坐标在内的几何信息。 

第2步，根据时域形式的麦克斯韦方程组和电流连续性，确定金属圆柱腔目标的时域电场积分方程，具体步骤如下： 

2.1假设入射波在t＝0时刻以后到达金属圆柱腔目标，即t＜0时，表面感应电流J(r,t)＝0，t时刻金属圆柱腔目标上的r点处的感应电流J(r,t)在空间中将产生散射电磁波E^sca(r,t)，t时刻金属圆柱腔目标上的r点处的总场E^total(r,t)为入射电磁波E^inc(r,t)与散射电磁波E^sca(r,t)的矢量和，根据金属圆柱腔目标表面切向电场为零的连续边界条件可得： 

$\hat{n}\left(r\right)\times [E^{\mathrm{inc}}(r,t)+E^{\mathrm{sca}}(r,t)]=0---\left(2\right)$

式中E^sca(r,t)为t时刻金属圆柱腔目标上r点处的散射电磁波，是金属圆柱腔目标表面S在r点处的单位外法向矢量； 

2.2E^sca(r,t)用表面感应电流表达的形式为： 

$E^{\mathrm{sca}}(r,t)=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_S\frac{1}{R}\frac{\partial J(r^{\prime },\tau )}{\partial t}d{S}^{\prime }+\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_S{\int }_{-\infty }^{\tau }\frac{{{▿}^{\prime }}_S·J(r^{\prime },t^{\prime })}{R}{\mathrm{dt}}^{\prime }{\mathrm{dS}}^{\prime }---\left(3\right)$

上式中r′表示金属圆柱腔目标源点的位置矢量，μ₀为自由空间中磁导率，ε₀为自由空间中介电常数，R＝|r-r′|代表金属圆柱腔目标观察点和源点之间的空间距离，τ＝t-|r-r′|/c表示位于金属圆柱腔目标源点r′处产生的场传到金属圆柱腔目标观察点即场点r处需要的时间滞后，c＝3.0×10⁸m/s为电磁波在自由空间中的传播速度，J(r′,τ)表示金属圆柱腔目标源点r′处产生散射电磁场的时变电流密度；J(r′,t′)中t′是积分的变量，▽′_S·、▽_S分别表示面积的散度算子和梯度算子。 

2.3金属圆柱腔目标的时域电场积分方程的基本形式为： 

$\hat{n}\left(r\right)\times [\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_T\frac{1}{R}\frac{\partial J(r^{\prime },\tau )}{\partial t}{\mathrm{dS}}^{\prime }-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_T{\int }_{-\infty }^{\tau }\frac{{{▿}^{\prime }}_S·J(r^{\prime },t^{\prime })}{R}{\mathrm{dt}}^{\prime }{\mathrm{dS}}^{\prime }]=\hat{n}\left(r\right)\times E^{\mathrm{inc}}(r,t)---\left(4\right)$

第3步，构造时间上的空间延迟混合基函数并采用空间上的高阶叠层散度共形基函数，对第2步的时域电场积分方程中的表面感应电流进行展开，得到表面感应电流展开表达式，具体过程如下： 

3.1选取空间基函数，如附图2所示，采用定义在曲面三角形单元上的高阶叠层散度共形矢量基函数对t时刻金属目标r′点处的感应电流J(r′,t)进行空间上的近似展开，展开表达式如下： 

$J(r^{\prime },t)\cong \underset{n=1}{\overset{2N_l}{\Sigma }}{J}_n^t\left(t\right){\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}{J}_n^s\left(t\right)f_n\left(r^{\prime }\right)---\left(5\right)$

式中N_l是第1步中金属腔体目标表面离散所得到的内边的个数，N_e是第1步中金属腔体目标表面离散所得到的单元的个数，n表示空间基函数的全局编号；和是 待求的时域形式的未知电流系数，需要用时间基函数来展开；空间基函数即高阶叠层散度共形矢量基函数包括棱边矢量基函数和面矢量基函数，其中Λ_n(r′)表示源点r′处的棱边矢量基函数，f_n(r′)表示源点r′处的面矢量基函数，每个曲面三角形单元上的包含有6个棱边基函数2个面基函数，它们的表达式如下： 

${\Lambda }_1\left(r^{\prime }\right)=\frac{1}{J}[({\xi }_1-1)\frac{\partial r^{\prime }}{\partial {\xi }_1}+{\xi }_2\frac{\partial r^{\prime }}{\partial {\xi }_2}],{\Lambda }_4\left(r^{\prime }\right)=\sqrt{3}({\xi }_2-{\xi }_3){\Lambda }_1\left(r^{\prime }\right)$

${\Lambda }_2\left(r^{\prime }\right)=\frac{1}{J}[{\xi }_1\frac{\partial r^{\prime }}{\partial {\xi }_1}+({\xi }_2-1)\frac{\partial r^{\prime }}{\partial {\xi }_2}],{\Lambda }_5\left(r^{\prime }\right)=\sqrt{3}({\xi }_3-{\xi }_1){\Lambda }_2\left(r^{\prime }\right)---\left(6\right)$

${\Lambda }_3\left(r^{\prime }\right)=\frac{1}{J}[{\xi }_1\frac{\partial r^{\prime }}{\partial {\xi }_1}+{\xi }_2\frac{\partial r^{\prime }}{\partial {\xi }_2}],{\Lambda }_6\left(r^{\prime }\right)=\sqrt{3}({\xi }_1-{\xi }_2){\Lambda }_3\left(r^{\prime }\right)$

$f_7\left(r^{\prime }\right)=2\sqrt{3}{\xi }_1{\Lambda }_1\left(r^{\prime }\right),f_8\left(r^{\prime }\right)=2\sqrt{3}{\xi }_2{\Lambda }_2\left(r^{\prime }\right)$

式中J表示将曲面三角形单元转换到参数空间的标准三角形单元的雅克比因子，ξ₁、ξ₂、ξ₃表示r′的面积坐标，如附图3所示，且有如下关系ξ₁+ξ₂+ξ₃=1；另外注意到Λ_n(r′)和f_n(r′)中的下标n是全局编号，而Λ₁(r′)～Λ₆(r′)、f₇(r′)～f₈(r′)中的下标表示某个三角形单元中的局部编号；r′用面积坐标ξ₁、ξ₂、ξ₃表示的表达式如下： 

r′(x,y,z)＝ξ₁(2ξ₁-1)r₁+ξ₂(2ξ₂-1)r₂+ξ₃(2ξ₃-1)r₃   (7) 

+4ξ₁ξ₂r₄+4ξ₂ξ₃r₅+4ξ₃ξ₁r₆

式中r₁～r₆是曲面三角形的6个节点，如附图2中所示。 

3.2构造空间延迟混合时间基函数，首先选用三角基函数作为一般时间基函数，结合第3.1步中的面矢量空间基函数用于描述时域感应电流的驻波特性，其形式如下： 

上式中Δt为时间分辨率，即时间步长，t_j＝jΔt表示第j个时间步的时刻；一般时间基函数（又可称为三角函数）配合第3.1步中的面矢量空间基函数用于描述时域感应电流的驻波特性。然后，根据第1步公式(1)中入射电磁波的表达式构造空间延迟时间基函数， 结合第3.1步中的棱边矢量空间基函数用于描述时域感应电流的行波特性，构造出的空间延迟时间基函数的形式如下： 

上式中Δt为时间分辨率，即时间步长，满足c是自由空间的光速，f_max是入射电磁波的最高频率，t_j＝jΔt表示第l个时间步的时刻，表示入射电磁波的单位方向矢量，r′表示源点的位置，r₀表示入射电磁波最先接触到目标的位置坐标；空间延迟时间基函数结合第(3.1)步中的棱边矢量空间基函数用于描述时域感应电流的行波特性。 

3.3将空间延迟混合时间基函数代入到第(3.1)步中式(5)的时域感应电流的近似展开表达式，得到如下形式： 

$J(r^{\prime },t)\cong \underset{n=1}{\overset{2N_j}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^t{T}_j^t(t,r^{\prime }){\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)+\underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^s{T}_j^s\left(t\right)f_n\left(r^{\prime }\right)---\left(10\right)$

N_t表示时间基函数的个数，即离散的时间步的个数，j是时间基函数的编号I_n,j是第n个空间基函数上第j个时间步上的时间基函数的系数，Λ_n(r′)，f_n(r′)分别是空间棱边矢量基函数和面矢量基函数。 

第4步，将第3步的表面感应电流展开表达式(10)代入第2步的时域电场积分方程(4)中，然后对离散形式的时域电场积分方程分别在时间上采用点测试-在空间上采用Galerkin测试，得到系统阻抗矩阵方程，具体过程如下： 

4.1表面感应电流展开表达式(10)代入时域电场积分方程(4)，得到离散形式的积分方程形式如下： 

$\left(\begin{array}{c}\hat{n}\left(r\right)\times \underset{n=1}{\overset{2N_l}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^t\left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^t(t-R/c,r^{\prime })}{\partial t}d{S}^{\prime }\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{t-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)T_j^t(\tau ,r^{\prime })\right]}{R}\mathrm{d\tau d}{S}^{\prime }\end{array}\right)+\\ \hat{n}\left(r\right)\times \underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^s\left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{f}_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^s(t-R/c)}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{t-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[f_n\left(r^{\prime }\right)T_j^s\left(\tau \right)\right]}{R}\mathrm{d\tau d}{S}^{\prime }\end{array}\right)=\hat{n}\left(r\right)\times E^{\mathrm{inc}}(r,t)\end{array}\right)---\left(11\right)$

4.2时间-空间的测试过程：因为表面感应电流是由两组不同的时-空基函数展开的，即空间延迟时间基函数-棱边矢量空间基函数和一般时间基函数-面矢量空间基函数，为了满足伽辽金测试原则，对(4.1)步中的(11)式需要进行两次时-空测试，第一次的测试过程采用δ(t-kΔt-T^d)和棱边矢量空间基函数Λ_m(r)(m＝1,2,…,2N_l)对上式中的离散时域电场积分方程在时间上做点匹配，在空间上作内积，时-空测试之后得到2N_l个方程组，第m个方程如下： 

$\left(\begin{array}{c}{\int }_{T_m}\mathrm{dS}{\Lambda }_m\left(r\right)·\left(\begin{array}{c}\hat{n}\left(r\right)\times \underset{n=1}{\overset{2N_l}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^t\left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^t(\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c,r^{\prime })}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)T_j^t(\tau ,r^{\prime })\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)+\\ \hat{n}\left(r\right)\times \underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^s\left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{f}_n\left(n^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^s(\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c)}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[f_n\left(r^{\prime }\right)T_j^t\left(\tau \right)\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(12\right)\\ ={\int }_{T_m}\mathrm{dS}{\Lambda }_m\left(r\right)·[\hat{n}\left(r\right)\times E^{\mathrm{inc}}(r,\mathrm{k\Delta t}+T^d)]\end{array}\right)$

第二次的测试过程采用δ(t-kΔt)和面矢量空间基函数f_m(r)(m＝1,2,…,N_e)对上式中的离散时域电场积分方程在时间上做点匹配，在空间上作内积，时-空测试之后得到N_e个方程组，第m个方程如下： 

$\left(\begin{array}{c}{\int }_{T_m}\mathrm{dS}{f}_m\left(r\right)·\left(\begin{array}{c}\hat{n}\left(r\right)\times \underset{n=1}{\overset{2N_l}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^t\left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^t(\mathrm{k\Delta t}-R/c,r^{\prime })}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)T_j^t(\tau ,r^{\prime })\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)+\\ \hat{n}\left(r\right)\times \underset{n=1}{\overset{N_e}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Sigma }}{I}_{n,j}^s\left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{f}_n\left(n^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^s(\mathrm{k\Delta t}-R/c)}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[f_n\left(r^{\prime }\right)T_j^s\left(\tau \right)\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(13\right)\\ ={\int }_{T_m}\mathrm{dS}{f}_m\left(r\right)·[\hat{n}\left(r\right)\times E^{\mathrm{inc}}(r,\mathrm{k\Delta t})]\end{array}\right)$

将式(12)和(13)进行组合，形成2N_l+N_e个方程，将这(2N_l+N_e)改成阻抗矩阵方程的形式，如下： 

${\bar{Z}}_E^0{I}^k=V_E^k-\underset{l=1}{\overset{k-1}{\Sigma }}{\bar{Z}}_E^{k-j}{I}^j---\left(14\right)$

上式的矩阵方程表示在第k个时间步需要求解I^k，$I^k=[I_1^k,···,I_{2N_l}^k,I_{2N_l+1}^k,···,I_{2N_l+N_e}^k]$是第k个时间步的待求系数，是第k个时间步的入射电磁波，表示当前时刻即第k个时间步的阻抗矩阵，由于第k个时间步以前的电流系数I^j在求解第k个时间步的时候都是已知的，j＝1,2,...,k-1，所以和I^j有关的矩阵元素全部放在等式的右边，且阻抗矩阵元素有四种形式，分别用上标t-t、t-s、s-t和s-s予以区分： 

$\left(\begin{array}{c}{\left[{\bar{Z}}_E^{k-l}\right]}_{\mathrm{mn}}^{t-t}=\\ {\int }_{T_m}{\Lambda }_m\left(r\right)·\{\hat{n}\left(r\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^s(\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c,r^{\prime })}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)T_j^t(\tau ,r^{\prime })\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)\}\mathrm{dS}---\left(15\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\left[{\bar{Z}}_E^{k-l}\right]}_{\mathrm{mn}}^{t-s}=\\ {\int }_{T_m}{\Lambda }_m\left(r\right)·\{\hat{n}\left(r\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{f}_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^s(\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c)}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}+T^d-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[f_n\left(r^{\prime }\right)T_j^s\left(\tau \right)\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)\}\mathrm{dS}---\left(16\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\left[{\bar{Z}}_E^{k-l}\right]}_{\mathrm{mn}}^{s-t}=\\ {\int }_{T_m}{f}_m\left(r\right)·\{\hat{n}\left(r\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^t(\mathrm{k\Delta t}-R/c,r^{\prime })}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[{\Lambda }_n\left(r^{\prime }\right)T_j^t(\tau ,r^{\prime })\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)\}\mathrm{dS}---\left(17\right)\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\left[{\bar{Z}}_E^{k-l}\right]}_{\mathrm{mn}}^{s-s}=\\ {\int }_{T_m}{f}_m\left(r\right)·\{\hat{n}\left(r\right)\times \left(\begin{array}{c}\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{T_n}\frac{1}{R}{f}_n\left(r^{\prime }\right)\frac{\partial T_j^s(\mathrm{k\Delta t}-R/c)}{\partial t}d{S}^{\prime }-\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{▿}_S{\int }_{T_n}{\int }_{-\infty }^{\mathrm{k\Delta t}-R/c}\frac{{{▿}^{\prime }}_S·\left[f_n\left(r^{\prime }\right)T_j^s\left(\tau \right)\right]}{R}\mathrm{d\tau }{\mathrm{dS}}^{\prime }\end{array}\right)\}\mathrm{dS}---\left(18\right)\end{array}\right)$

第5步，根据第4步得到的阻抗矩阵的稀疏矩阵表达式，采用基于广义最小余量法的时间步进算法求解阻抗矩阵的方程，确定圆柱形金属腔目标表面的时域电流分布，根据时域电流分布得到圆柱形金属腔目标的宽频带电磁特性参数，完成仿真过程。时间步进算法MOT指的是在时间上采用点匹配的方法，使得时域电场积分方程可以离散为在时间上的递推的矩阵方程；每一个时间步需要使用广义最小余量法求解一次矩阵方程，有N_t个时间步就需要求解N_t次矩阵方程。 

综上所述，本发明提出了一种用于时域积分方程方法分析金属腔目标宽带电磁散射的空间延迟混合时间基函数，在任意类型的时间基函数中的时间变量上加上合理的空间延迟量时来构造相应的空间延迟基函数，同时与一般的时间基函数混合使用构成空间延迟混合时间基函数，使得每个剖分单元上时域感应电流的描述更加符合实际的物理现象，从而可以使用更少的剖分单元来逼近真实的时域感应电流。该方法从本质上减少了计算未知量，降低了内存消耗，具有计算结果精度高，计算时间少的优点，可为电大尺寸金属腔目标宽带电磁散射特性的精确分析提供重要的参考资料。