一种基于加速度计的机体弹性变形角估计方法

摘要

一种基于加速度计的机体弹性变形角估计方法，测量飞机上待测点(子节点)相对已知点(主节点)的机体弹性变形角。首先，在已知点分别正交安装三个陀螺仪和三个加速度计，在待测点正交安装三个加速度计；然后建立包括安装误差角、弹性变形角、加速度计常值和随机偏置的系统状态方程，并将主、子节点的加速度计测量值之差作为量测，建立系统的非线性系统量测方程；最后采用非线性滤波方法—Unscented卡尔曼滤波估计方法，估计出每个采样时刻的子节点处的机体弹性变形角。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于加速度计的机体弹性变形角估计方法，也可用于舰 船、车辆等弹性变形角的测量。

背景技术

弹性变形角测量是舰载、机载惯性网络获取各点高精度运动参数的关键 技术之一。在惯性网络中，通常包含一个主节点和多个子节点。弹性变形的 存在使得载体上各节点处的局部姿态信息与主节点的姿态信息有较大差异。 如不对弹性变形进行测量和补偿，这种差异将严重影响各子节点处运动参数 的精度。

目前测量挠曲变形的方法主要有基于光学传感器的光学测量法和基于 惯性测量单元的惯性测量法。其中光学测量法要求光束收发处必须“通视”， 安置较复杂，而且存在易受天气影响、不能实现全天候作业等的不足。基于 惯性测量单元的惯性测量法，要求在主节点和多个甚至每个子节点处均正交 安装三个陀螺仪和三个加速度计(称为惯性测量单元，Inertial Measurement  Unit，IMU)，大大增加了变形测量系统的体积、重量和成本。其中，对于 在主节点和部分子节点处安装惯性测量单元的变形测量方法，其惯性测量单 元的不同布局对变形测量精度的影响很大。而部分应用对变形测量系统的体 积、重量和成本都提出了非常苛刻的要求。例如多任务遥感载荷机载对地观 测应用中，典型的应用载荷为基于阵列技术的分布式合成孔径雷达 (Synthetic Aperture Radar，SAR)，各天线分布在机翼两侧，单侧机翼上 的SAR天线就多达十几部。为获取所有天线处的运动参数进而进行成像运 动补偿，就需要测量机翼的弹性变形。而SAR天线处的空间和承重能力非 常有限，因此基于惯性测量单元的变形测量方法难以应用。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提出一种基于加速度 计的机体弹性变形角估计方法。

本发明的技术解决方案为：一种基于加速度计的机体弹性变形角估计方 法。其具体步骤如下：

(1)在飞机上的待测点正交安装三个加速度计，在已知点处分别正交 安装三个陀螺仪和三个加速度计，待测点和已知点分别记为子节点和主节 点；

(2)建立包括安装误差角、弹性变形角、加速度计常值和随机偏置的 系统状态方程；

(3)将主、子节点的加速度计测量值之差作为量测，建立系统的非线 性系统量测方程；

(4)采用Unscented卡尔曼滤波估计出t_k时刻子节点处的机体弹性变 形角，k＝1,2,...,N，不断重复本步骤，直至主、子节点加速度计数据结束。

所述的步骤(2)中，系统状态方程包括子节点固定安装误差角、机体 弹性变形角和主、子节点加速度计常值和随机偏置的数学模型，具体建立步 骤为：

1)建立子节点固定安装误差角数学模型

相关参考坐标系的定义包括：记i为地心惯性坐标系；载体坐标系原点 为载体重心，x轴沿载体横轴向右，y轴沿载体纵轴向前，z轴沿载体竖轴 向上，该坐标系固定在载体上，通常称为右前上载体坐标系，用a和b分别 代表主节点和子节点的载体坐标系；

子节点固定安装误差角数学模型为：

$\stackrel{·}{\rho }=0$

其中ρ＝[ρ_x ρ_y ρ_z]^T为子节点相对主节点的固定安装误差角，ρ_x、ρ_y和 ρ_z分别为子节点载体系x轴、y轴和z轴的安装误差角；

2)建立子节点处机体弹性变形角数学模型

子节点处机体弹性变形角θ的微分方程：

${\stackrel{··}{\theta }}_j+2{\beta }_j{\stackrel{·}{\theta }}_j+{{\beta }_j}^2{\theta }_j={\eta }_j,j=x,y,z$

其中θ＝[θ_x θ_y θ_z]^T，θ_j为子节点载体系第j轴上的弹性变形角，β_j＝2.146/τ_j， τ_j为二阶马尔科夫过程相关时间；η_j为零均值白噪声，其方差满足：

$Q_{{\eta }_j}=4{{\beta }_j}^3{{\sigma }_j}^2$

其中σ_j²为弹性变形角θ_j的方差，β_j和为描述弹性变形角θ的二阶马尔科 夫过程的参数；

3)建立主、子节点加速度计常值和随机偏置数学模型

主、子节点加速度计常值偏置的数学模型满足如下微分方程：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{D}}}_{\mathrm{am}}=0\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{D}}}_{\mathrm{bm}}=0\end{array}\right),m=x,y,z$

其中${\bar{D}}_a={\left(\begin{array}{ccc}{\bar{D}}_{\mathrm{ax}}& {\bar{D}}_{\mathrm{ay}}& {\bar{D}}_{\mathrm{az}}\end{array}\right)}^T$为主节点加速度计常值偏置，为在主节点载 体系m轴上的分量；${\bar{D}}_b={\left(\begin{array}{ccc}{\bar{D}}_{\mathrm{bx}}& {\bar{D}}_{\mathrm{by}}& {\bar{D}}_{\mathrm{bz}}\end{array}\right)}^T$为子节点加速度计常值偏置，为在子节点载体系m轴上的分量；

主、子节点加速度计随机偏置由一阶Markov过程表示：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{D}}_{\mathrm{ai}}^{\prime }+{\mu }_{\mathrm{ai}}{D}_{\mathrm{ai}}^{\prime }={\gamma }_{\mathrm{ai}}\\ {\stackrel{·}{D}}_{\mathrm{bi}}^{\prime }+{\mu }_{\mathrm{bi}}{D}_{\mathrm{bi}}^{\prime }={\gamma }_{\mathrm{bi}}\end{array}\right),i=x,y,z$

其中D′_a＝[D′_ax D′_ay D′_az]^T为主节点加速度计随机偏置，D′_ai为D′_a在主节点载 体系i轴上的分量；其中D′_b＝[D′_bx D′_by D′_bz]^T为子节点加速度计随机偏置， D′_bi为D′_b在子节点载体系i轴上的分量；μ_ai和μ_bi为一阶Markov过程参数， γ_ai和γ_bi为白噪声；

4)建立系统状态方程

系统状态方程为：

$\stackrel{·}{X}=F\left(t\right)X\left(t\right)+G\left(t\right)W\left(t\right)$

其中状态变量X＝[X₁ X₂]^T，X₁为9维主、子节点间变形角变量，X₂为12 维加速度计误差变量；系统噪声W＝[η_x η_y η_z γ_ax γ_ay γ_az γ_bx γ_by γ_bz]^T， 状态转移矩阵F和噪声转移矩阵G可由上述建立的子节点固定安装误差角、 机体弹性变形角和主、子节点加速度计常值和随机偏置数学模型确定；X₁和 X₂的表达式为：

$X_1={\left(\begin{array}{ccccccccc}{\rho }_x& {\rho }_y& {\rho }_z& {\theta }_x& {\theta }_y& {\theta }_z& {\stackrel{·}{\theta }}_x& {\stackrel{·}{\theta }}_y& {\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)}^T$

$X_2={\left(\begin{array}{cccccccccccc}{\bar{D}}_{\mathrm{ax}}& {\bar{D}}_{\mathrm{ay}}& {\bar{D}}_{\mathrm{az}}& {\bar{D}}_{\mathrm{bx}}& {\bar{D}}_{\mathrm{by}}& {\bar{D}}_{\mathrm{bz}}& D_{\mathrm{ax}}^{\prime }& D_{\mathrm{ay}}^{\prime }& D_{\mathrm{az}}^{\prime }& D_{\mathrm{bx}}^{\prime }& D_{\mathrm{by}}^{\prime }& D_{\mathrm{bz}}^{\prime }\end{array}\right)}^T$

状态转移矩阵F和噪声转移矩阵G分别为：

$F=\left(\begin{array}{ccccccc}{0}_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& I_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& A_1& A_2& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& B_1& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\ge 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& B_2\end{array}\right)$

$A_1=\left(\begin{array}{ccc}{-\beta }_x^2& 0& 0\\ 0& {-\beta }_y^2& 0\\ 0& 0& {-\beta }_z^2\end{array}\right),$$A_2=\left(\begin{array}{ccc}{-2\beta }_x& 0& 0\\ 0& {-2\beta }_y& 0\\ 0& 0& {-2\beta }_z\end{array}\right)$

$B_1=\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_{\mathrm{ax}}& 0& 0\\ 0& {\mu }_{\mathrm{ay}}& 0\\ 0& 0& {\mu }_{\mathrm{az}}\end{array}\right),$$B_2=\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_{\mathrm{bx}}& 0& 0\\ 0& {\mu }_{\mathrm{by}}& 0\\ 0& 0& {\mu }_{\mathrm{bz}}\end{array}\right)$

$G=\left(\begin{array}{ccc}{0}_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ I_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& D_1& 0_{3\times 3}\end{array}\right)$

$D_1=\left(\begin{array}{ccc}{\gamma }_{\mathrm{ax}}& 0& 0\\ 0& {\gamma }_{\mathrm{ay}}& 0\\ 0& 0& {\gamma }_{\mathrm{az}}\end{array}\right),$$D_2=\left(\begin{array}{ccc}{\gamma }_{\mathrm{bx}}& 0& 0\\ 0& {\gamma }_{\mathrm{by}}& 0\\ 0& 0& {\gamma }_{\mathrm{bz}}\end{array}\right)$

所述的步骤(3)中的非线性系统量测方程，具体建立步骤为：

主节点的加速度计输出值f_a和子节点加速度计输出值f_b的关系可以表 示为：

$f_a+D_a+a_r^a=C_b^a(f_b+D_b)$

其中f_a＝[f_ax f_ay f_az]^T，f_ax、f_ay、和f_az分别为主节点x轴、y轴和z轴 加速度计的输出值；f_b＝[f_bx f_by f_bz]^T，f_bx、f_by、和f_bz分别为子节点x 轴、y轴和z轴加速度计的输出值；为主节点加速度计的偏置， 包括常值偏置和随机偏置D′_a两个部分；为子节点加速度计的 偏置，包括常值偏置和随机偏置D′_b两个部分；为主、子节点间的杆臂 加速度在主节点载体系下的投影；为子节点载体系到主节点载体系的姿 态转换矩阵；

整理可得

$\mathrm{\Delta f}=f_a-f_b=\hat{f}(\rho +\theta )+C_b^a{D}_b-D_a-a_r^a$

其中$\hat{f}=\left(\begin{array}{ccc}0& f_{\mathrm{bz}}& {-f}_{\mathrm{by}}\\ {-f}_{\mathrm{bz}}& 0& f_{\mathrm{bx}}\\ f_{\mathrm{by}}& {-f}_{\mathrm{bx}}& 0\end{array}\right),$杆臂加速度的计算公式为：

$\left(\begin{array}{c}{a}_r^a=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ a_1={2\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times r_0\times \stackrel{·}{\theta }+{2\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times (\stackrel{·}{\theta }\times r_0)-{\stackrel{·}{4}}_{\beta }\times r_0\\ a_2=3\stackrel{·}{\theta }\times (\stackrel{·}{\theta }\times r_0)\\ a_3={-2\theta }_{{\beta }^2}\times r_0\\ a_4={\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times ({\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times r_0)+{\stackrel{·}{\omega }}_{\mathrm{ia}}^a\times r_0\\ a_5=2\eta \times r_0\end{array}\right)$

其中${\stackrel{·}{\theta }}_{\beta }={\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_x{\stackrel{·}{\theta }}_x& {\beta }_y{\stackrel{·}{\theta }}_y& {\beta }_z{\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)}^T,$${\theta }_{{\beta }^2}={\left(\begin{array}{ccc}{{\beta }_x}^2{\theta }_x& {{\beta }_y}^2{\theta }_y& {{\beta }_z}^2{\theta }_z\end{array}\right)}^T;$r₀为子节点 相对主节点的初始杆臂在主节点载体系下的投影；为主节点陀螺仪输 出值，其含义为主节点载体系相对地心惯性坐标系的转动角速度在主节 点载体系下的投影；由五项组成，a₁、a₂分别为弹性变形角速度的 一次项和二次项，a₃为弹性变形角θ的一次项，a₄为与主节点陀螺仪输 出有关的输入项，a₅为与弹性变形角二阶Markov过程噪声 η＝[η_x η_y η_z]^T相关的噪声项；

非线性系统量测方程记为：

Z(t)＝h(X,t)+U(t)+V(t)

其中量测量Z＝Δf＝f_a-f_b，输入项U由a₄确定，系统量测噪声V由a₅确 定，非线性函数h由a₁、a₂和a₃确定。

本发明与现有技术相比的优点在于：

仅在主节点处正交安装三个陀螺仪和三个加速度计，而其他子节点处只 正交安装三个加速度计，并推导了基于加速度计的机体弹性变形角估计公 式。该估计公式具有比现有基于IMU的变形测量方法更加简洁的形式，更 便于工程实现。此外，由于高精度加速度计相比陀螺仪具有质量轻、成本低、 便于安装的显著优势，因此本发明克服了现有基于IMU的变形测量方法的 成本高、体积大、质量重、变形测量精度易受布局影响的不足，具有更加广 阔的应用前景。

附图说明

图1为现有技术和本发明采用的系统安装示意图；

图2为本发明的流程图。

具体实施方式

如图2所示，本发明的具体方法实施如下：

1、在飞机上的待测点正交安装三个加速度计，在已知点处分别正交安 装三个陀螺仪和三个加速度计，待测点和已知点分别记为子节点和主节点；

2、建立包括安装误差角、弹性变形角、加速度计常值和随机偏置的系 统状态方程

(1)建立子节点固定安装误差角数学模型

相关参考坐标系的定义包括：记i为地心惯性坐标系；载体坐标系原点 为载体重心，x轴沿载体横轴向右，y轴沿载体纵轴向前，z轴沿载体竖轴 向上，该坐标系固定在载体上，通常称为右前上载体坐标系，用a和b分别 代表主节点和子节点的载体坐标系。

子节点固定安装误差角数学模型为：

$\stackrel{·}{\rho }=0---\left(1\right)$

其中ρ＝[ρ_x ρ_y ρ_z]^T为子节点相对主节点的固定安装误差角，ρ_x、ρ_y和 ρ_z分别为子节点载体系x轴、y轴和z轴的安装误差角。

(2)建立子节点处机体弹性变形角数学模型

子节点处机体弹性变形角θ的微分方程：

${\stackrel{··}{\theta }}_j+2{\beta }_j{\stackrel{·}{\theta }}_j+{{\beta }_j}^2{\theta }_j={\eta }_j\left(j=x,y,z\right)---\left(2\right)$

其中θ＝[θ_x θ_y θ_z]^T，θ_j为子节点载体系第j轴上的弹性变形角，β_j＝2.146/τ_j， τ_j为二阶马尔科夫过程相关时间；η_j为零均值白噪声，其方差满足：

$Q_{{\eta }_j}=4{{\beta }_j}^3{{\sigma }_j}^2---\left(3\right)$其中σ_j²为弹性变形角θ_j的方差，β_j和为描述弹性变形角θ的二阶马尔科 夫过程的参数。

(3)建立主、子节点加速度计常值和随机偏置数学模型 主、子节点加速度计常值偏置的数学模型满足如下微分方程：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{D}}}_{\mathrm{am}}=0\\ {\stackrel{·}{\stackrel{‾}{D}}}_{\mathrm{bm}}=0\end{array}\right),m=x,y,z---\left(4\right)$

其中${\bar{D}}_a={\left(\begin{array}{ccc}{\bar{D}}_{\mathrm{ax}}& {\bar{D}}_{\mathrm{ay}}& {\bar{D}}_{\mathrm{az}}\end{array}\right)}^T$为主节点加速度计常值偏置，为在主节点载 体系m轴上的分量；${\bar{D}}_b={\left(\begin{array}{ccc}{\bar{D}}_{\mathrm{bx}}& {\bar{D}}_{\mathrm{by}}& {\bar{D}}_{\mathrm{bz}}\end{array}\right)}^T$为子节点加速度计常值偏置，为在子节点载体系m轴上的分量。

主、子节点加速度计随机偏置由一阶Markov过程表示，即

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{D}}_{\mathrm{ai}}^{\prime }+{\mu }_{\mathrm{ai}}{D}_{\mathrm{ai}}^{\prime }={\gamma }_{\mathrm{ai}}\\ {\stackrel{·}{D}}_{\mathrm{bi}}^{\prime }+{\mu }_{\mathrm{bi}}{D}_{\mathrm{bi}}^{\prime }={\gamma }_{\mathrm{bi}}\end{array}\right),i=x,y,z---\left(5\right)$

其中D′_a＝[D′_ax D′_ay D′_az]^T为主节点加速度计随机偏置，D′_ai为D′_a在主节点载 体系i轴上的分量；其中D′_b＝[D′_bx D′_by D′_bz]^T为子节点加速度计随机偏置， D′_bi为D′_b在子节点载体系i轴上的分量；μ_ai和μ_bi为一阶Markov过程参数， γ_ai和γ_bi为白噪声。

(4)建立系统状态方程

系统状态方程为：

$\stackrel{·}{X}=F\left(t\right)X\left(t\right)+G\left(t\right)W\left(t\right)---\left(6\right)$

其中状态变量X＝[X₁ X₂]^T，X₁为9维主、子节点间变形角变量，X₂为12 维加速度计误差变量；系统噪声W＝[η_x η_y η_z γ_ax γ_ay γ_az γ_bx γ_by γ_bz]^T， 状态转移矩阵F和噪声转移矩阵G可由上述建立的子节点固定安装误差角、 机体弹性变形角和主、子节点加速度计常值和随机偏置数学模型确定；X₁和 X₂的表达式为：

$\left(\begin{array}{c}{X}_1={\left(\begin{array}{ccccccccc}{\rho }_x& {\rho }_y& {\rho }_z& {\theta }_x& {\theta }_y& {\theta }_z& {\stackrel{·}{\theta }}_z& {\stackrel{·}{\theta }}_y& {\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)}^T\\ X_2={\left(\begin{array}{cccccccccccc}{\bar{D}}_{\mathrm{ax}}& {\bar{D}}_{\mathrm{ay}}& {\bar{D}}_{\mathrm{az}}& {\bar{D}}_{\mathrm{bx}}& {\bar{D}}_{\mathrm{by}}& {\bar{D}}_{\mathrm{bz}}& D_{\mathrm{ax}}^{\prime }& D_{\mathrm{ay}}^{\prime }& D_{\mathrm{az}}^{\prime }& D_{\mathrm{bx}}^{\prime }& D_{\mathrm{by}}^{\prime }& D_{\mathrm{bz}}^{\prime }\end{array}\right)}^T\end{array}\right)---\left(7\right)$

状态转移矩阵F和噪声转移矩阵G分别为：

$F=\left(\begin{array}{ccccccc}{0}_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& I_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& A_1& A_2& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& B_1& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\ge 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& B_2\end{array}\right)---\left(8\right)$

$A_1=\left(\begin{array}{ccc}{-\beta }_x^2& 0& 0\\ 0& {-\beta }_y^2& 0\\ 0& 0& {-\beta }_z^2\end{array}\right)---\left(9\right)$

$A_2=\left(\begin{array}{ccc}{-2\beta }_x& 0& 0\\ 0& {-2\beta }_y& 0\\ 0& 0& {-2\beta }_z\end{array}\right)---\left(10\right)$

$B_1=\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_{\mathrm{ax}}& 0& 0\\ 0& {\mu }_{\mathrm{ay}}& 0\\ 0& 0& {\mu }_{\mathrm{az}}\end{array}\right)---\left(11\right)$

$B_2=\left(\begin{array}{ccc}{\mu }_{\mathrm{bx}}& 0& 0\\ 0& {\mu }_{\mathrm{by}}& 0\\ 0& 0& {\mu }_{\mathrm{bz}}\end{array}\right)---\left(12\right)$

$G=\left(\begin{array}{ccc}{0}_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ I_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& D_1& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& 0_{3\times 3}& D_2\end{array}\right)---\left(13\right)$

$D_1=\left(\begin{array}{ccc}{\gamma }_{\mathrm{ax}}& 0& 0\\ 0& {\gamma }_{\mathrm{ay}}& 0\\ 0& 0& {\gamma }_{\mathrm{az}}\end{array}\right)---\left(14\right)$

$D_2=\left(\begin{array}{ccc}{\gamma }_{\mathrm{bx}}& 0& 0\\ 0& {\gamma }_{\mathrm{by}}& 0\\ 0& 0& {\gamma }_{\mathrm{bz}}\end{array}\right)---\left(15\right)$

2、建立系统的非线性系统量测方程

主节点的加速度计输出值f_a和子节点加速度计输出值f_b的关系可以表 示为：

$f_a+D_a+a_r^a=C_b^a(f_b+D_b)---\left(16\right)$

其中f_a＝[f_ax f_ay f_az]^T，f_ax、f_ay、和f_az分别为主节点x轴、y轴和z轴 加速度计的输出值；f_b＝[f_bx f_by f_bz]^T，f_bx、f_by、和f_bz分别为子节点x 轴、y轴和z轴加速度计的输出值；为主节点加速度计的偏置， 包括常值偏置和随机偏置D′_a两个部分；为子节点加速度计的 偏置，包括常值偏置和随机偏置D′_b两个部分；为主、子节点间的杆臂 加速度在主节点载体系下的投影；为子节点载体系到主节点载体系的姿 态转换矩阵。

整理可得

$\mathrm{\Delta f}=f_a-f_b=\hat{f}(\rho +\theta )+C_b^a{D}_b-D_a-a_r^a---\left(17\right)$

其中$\hat{f}=\left(\begin{array}{ccc}0& f_{\mathrm{bz}}& {-f}_{\mathrm{by}}\\ {-f}_{\mathrm{bz}}& 0& f_{\mathrm{bx}}\\ f_{\mathrm{by}}& {-f}_{\mathrm{bx}}& 0\end{array}\right),$杆臂加速度的计算公式为：

$\left(\begin{array}{c}{a}_r^a=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ a_1={2\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times r_0\times \stackrel{·}{\theta }+{2\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times (\stackrel{·}{\theta }\times r_0)-{\stackrel{·}{4}}_{\beta }\times r_0\\ a_2=3\stackrel{·}{\theta }\times (\stackrel{·}{\theta }\times r_0)\\ a_3={-2\theta }_{{\beta }^2}\times r_0\\ a_4={\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times ({\omega }_{\mathrm{ia}}^a\times r_0)+{\stackrel{·}{\omega }}_{\mathrm{ia}}^a\times r_0\\ a_5=2\eta \times r_0\end{array}\right)---\left(18\right)$

其中${\stackrel{·}{\theta }}_{\beta }={\left(\begin{array}{ccc}{\beta }_x{\stackrel{·}{\theta }}_x& {\beta }_y{\stackrel{·}{\theta }}_y& {\beta }_z{\stackrel{·}{\theta }}_z\end{array}\right)}^T,$${\theta }_{{\beta }^2}={\left(\begin{array}{ccc}{{\beta }_x}^2{\theta }_x& {{\beta }_y}^2{\theta }_y& {{\beta }_z}^2{\theta }_z\end{array}\right)}^T;$r₀为子节点 相对主节点的初始杆臂在主节点载体系下的投影；为主节点陀螺仪输 出值，其含义为主节点载体系相对地心惯性坐标系的转动角速度在主节 点载体系下的投影；由五项组成，a₁、a₂分别为弹性变形角速度的 一次项和二次项，a₃为弹性变形角θ的一次项，a₄为与主节点陀螺仪输 出有关的输入项，a₅为与弹性变形角二阶Markov过程噪声 η＝[η_x η_y η_z]^T相关的噪声项。

非线性系统量测方程记为：

Z(t)＝h(X,t)+U(t)+V(t)            (19) 其中量测量Z＝Δf＝f_a-f_b，输入项U由a₄确定，系统量测噪声V由a₅确定， 非线性函数h由a₁、a₂和a₃确定。

3、采用Unscented卡尔曼滤波估计机体弹性变形角

采用Unscented卡尔曼滤波估计出t_k时刻子节点处的机体弹性变形角， k＝1,2,...,N，不断重复本步骤，直至主、子节点加速度计数据结束。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的 现有技术。