基于FRI时频域综合分析的信号高效采样及信号重构方法

摘要

基于FRI时频域综合分析的信号高效采样及信号重构方法，涉及信息与通信技术领域，是为了降低信号的奈奎斯特采样频率，以及为了提高信号采样的精度。在频域，用频率谱线来记录信号较高频率成分的信息，并对频率取对数并归一化，实现频域的进一步压缩。在时域，提出了线段拟合的方法，对较低频率的时域信号进行压缩。通过频域与时域对信号进行高效的采样，大幅度降低对信号采样数量的要求。并利用FRI理论在时域和频域分别对信号进行处理与恢复。同时，本文扩展了FRI理论能处理的信号类型，使FRI理论不仅能处理离散的狄拉克流，也能处理较高频率的连续信号。本发明适用于信号采样及重构过程中。

说明书

技术领域

本发明涉及信息与通信技术领域，具体涉及一种对信号进行高效采样的方法。

背景技术

数字通信系统由信源、信源编码器、信道编码器、调制器、信道、解调器、信道 译码器、信源译码器以及信宿的组成。其中，信源编码器完成信号的采样、量化与编 码的过程。因此，在通信过程中，采样是必要的步骤之一。采样点数的多少直接影响 对信号进行后续处理的计算量。目前，多数情况下把奈奎斯特采样定理作为主要的采 样方案。奈奎斯特采样定律表明，当采样频率f_s大于信号中最高频率f_max的2倍时， 即f_s≥2f_max，则采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用 中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。而利用信号的稀疏特性，可以大幅度地 降低对信号的采样率，并能很精确地恢复信号。

事实上，存在着比奈奎斯特采样定律效率高的多的采样方案。我们可以利用一些 特殊采样的方法可以大幅度降低采样频率。例如：一个信号y(t)＝sin(10000*2*π*t)， 如果利用奈奎斯特采样定理，则采样频率至少为20000Hz，即每秒需要采样两万个点。 而从频率角度分析信号，则该信号的频谱图只有一根谱线。即频谱图中一个点包含的 信息量等价于在时域每秒采两万个点所包含的信息量。

但并非所有信号在频域分析都比时域分析简单。例如，信号y(t)＝t，在时域的波 形图是一条直线，两点就能确定一根直线，即：利用两个点的信息就能表示这根直线 的所有信息。而在频域中，此信号包含很多频率谱线，通过仿真，得到频谱图中幅度 大于0.01的频点就有31个，即：需要31个点的信息才能较为准确的表示该信号。

由此可见，仅仅从时域或频域都不能获得最好的采样效果，即利用尽可能少的点 来表示信号包含的信息。

发明内容

本发明是为了降低信号的奈奎斯特采样频率，以及为了提高信号采样的精度，从 而提供一种基于FRI时频域综合分析的信号高效采样及信号重构方法。

基于FRI时频域综合分析的信号高效采样及信号重构方法，它由以下步骤实现：

步骤一、对原始信号x_n做快速傅氏变换FFT，将该原始信号x_n从时域转换到频域， 得到y_k，并做出频谱图；并利用低通滤波器将频域信号分为高频的部分与低频的部分， 其中，低通滤波器的截止频率可以根据具体的应用场景做出相应的选择；

步骤二、利用频谱图中的频点f_k与幅度a_k来记录高频率的部分的信息，并将高频 的部分通过低通滤波器从原始信号中滤除；

对频域信号的高频部分的频率取对数，并进行归一化处理，使频谱图的频率分布 在[0，1]范围内；

对频率取对数，并归一化的具体步骤如下：

设原始信号的初始频率为f₀，取对数后得到f_log，具体的数学解析式为：

f_log＝log₁₀(f₀)    (1)

并选取f_log中的最大值f_max，得到归一化的频率为：

$\bar{f}=\frac{f_{\log }}{f_{\max }}---\left(2\right)$

则，频谱图中的所有谱线的频率分布在[0，1]范围内；

步骤三、利用时域的线段拟合算法对频域信号的低频部分进行分析，判断频域信 号的低频部分是否为线性；具体为：

步骤三一、利用时域的线段拟合算法对频域信号的低频部分是否为线性，如果判 断结果为是，则执行步骤三三；如果判断结果为否，则执行步骤三二；

步骤三二、将线段二等分，逐一判断信号在两个分成的区间是否线性，如果判断 结果为是，则执行步骤三三；如果判断结果为否，则执行步骤三四；

步骤三三、记录区间起点的时刻与该区间下线段的斜率，并执行步骤三五；

步骤三四、返回步骤三二；

步骤四、利用FRI技术进行信号进行重构，具体为：

步骤四一、将信号x(t)通过滤波器进行滤波，滤波后的信号y(t)的表达式为：

y(t)＝h(t)*x(t)    (3)

其中：h(t)为滤波的时域冲击响应，x(t)是由位置为和振幅为构成的 脉冲流信号；

$x\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k\underset{m\in z}{\Sigma }p(t-t_k-\mathrm{m\tau })=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k\frac{1}{\tau }\underset{m\in z}{\Sigma }\hat{p}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)e^{j2\mathrm{\pi m}\frac{t-t_k}{\tau }}=\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m{e}^{j2\mathrm{\pi m}\frac{t}{\tau }}---\left(4\right)$

其中：p(t)为脉冲的数学解析式，τ为信号的时间长度；K是信号脉冲的数量， K为正整数；j为正整数；

对滤波后的信号y(t)进行采样，得到离散信号y_n，所述离散信号y_n的表达式为：

其中：T为采样间隔，为采样函数；n表示第n个采样点；

对上式进行变形，得到：

$\left(\begin{array}{c}{y}_n=<x\left(t\right),{\phi }_B(\mathrm{nT}-t)>\\ =\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m<e^{j2\mathrm{\pi m}\frac{t}{\tau }},{\phi }_B(\mathrm{nT}-t)>\\ =\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m{\hat{\phi }}_B\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)e^{j2\mathrm{\pi n}\frac{\tau }{N}\frac{m}{\tau }}\\ =\frac{1}{B}\underset{m\le M=\left[\frac{\mathrm{B\tau }}{2}\right]}{\Sigma }{e}^{j2\pi \frac{\mathrm{mn}}{N}}\end{array}\right)---\left(6\right)$

在式(6)中，是x_m的离散傅里叶变换，B是滤波器的带宽，τ为信号的时间 长度；

即：

${\hat{x}}_m={B\hat{y}}_m---\left(7\right)$

其中：是x_m的离散傅里叶变换，是y_m的离散傅里叶变换，B是滤波器的带 宽；

计算x(t)的傅里叶级数系数得到为：

${\hat{x}}_m=\frac{1}{\tau }\hat{p}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{e}^{-j2\mathrm{\pi m}\frac{t_k}{\tau }}---\left(8\right)$

对上式进行变换，得：

${\hat{x}}_m{\hat{p}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)=\frac{1}{\tau }\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{u}_k^m---\left(9\right)$

其中：

$u_k=e^{-j2\pi \frac{t_k}{\tau }}---\left(10\right)$

表示p的乘法逆元素，p(t)的值是先验已知的，对于狄拉克函数流， $\hat{p}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)=1;$

采用的Z-变换表示u_k：

$\hat{h}\left(z\right)=\underset{m=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_m{z}^{-m}=\underset{m=0}{\overset{k-1}{\Pi }}(1-u_k{z}^{-1})---\left(11\right)$

即，的根等于被寻找的u_k的值；

h_m满足：

$h_m*{\hat{x}}_m=\underset{i=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_i{\hat{x}}_{m-i}=\underset{i=0}{\overset{K}{\Sigma }}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{h}_i{u}_k^{m-i}=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{u}_k^m\underset{i=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_i{u}_k^{-i}=0---\left(12\right)$

由于该滤波器{h_m}被称为湮灭滤波器；

令h₀＝1，将公式(12)写成矩阵形式为：

由上面的方程求得{h_m}；

{h_m}的z变换的零点即为u_k，

t_k＝(lnu_k)/(-j)/2/π×τ    (14)

由此求出时延t_k；

通过方程：

解出幅值a_k；

步骤五、根据步骤获得的幅值a_k与时延t_k恢复信号的频域部分与时域部分；

由时延t_k根据公式

f_log＝t_k×f_max    (16)

计算出反归一化的频率值f_log，

再由f_log计算出高频部分的频点f_k，计算公式如式(17)：

$f_k={10}^{f_{\log }}---\left(17\right)$

在时域中，将t_k作为线段起点的时刻，a_k作为直线的斜率，恢复出信号的低频部 分的时域波形；

步骤六、将频域部分的信号通过离散傅里叶反变换IFFT到时域信号，

$x\left(n\right)=\frac{1}{N}{\left[\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{X}^{*}\left(k\right)W_N^{\mathrm{nk}}\right]}^{*}=\frac{1}{N}{\left\{\mathrm{DET}\right[X^{*}\left(k\right)\left]\right\}}^{*}---\left(18\right)$

其中：DFT[]是对函数做离散傅里叶变换；N表示做N点的离散傅里叶逆变换；

将频域部分的信号变换到时域后，与时域中低频成分的信号叠加，恢复出原始信 号。

步骤一中对原始信号x_n做快速傅立叶变换FFT具体为：

$\left(\begin{array}{c}{y}_k=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{W}_N^{\mathrm{kn}}{x}_n\\ ={\Sigma }_{n=2t}{W}_N^{\mathrm{kn}}{x}_n+{\Sigma }_{n=2t+1}{W}_N^{\mathrm{kn}}{x}_n\\ ={\Sigma }_t{W}_{\frac{N}{2}}^{\mathrm{kt}}{x}_{2t}+W_N^k{\Sigma }_{n=2t+1}{W}_{\frac{N}{2}}^{\mathrm{kt}}{x}_{2t+1}\\ =F_{\mathrm{even}}\left(k\right)+W_N^k{F}_{\mathrm{odd}}\left(k\right)\end{array}\right)---\left(19\right)$

其中：用W_n来表示F_even(k)是对偶次项做离散傅里叶变换，F_odd(k)是对奇次 项做离散傅里叶变换。

判断频域信号的低频部分是否为线性的具体方法为：

对于区间[a,b]，判断区间[a,b]是否满足：

$f\left(a\right)+f\left(b\right)-2\times f\left(\frac{a+b}{2}\right)<ϵ---\left(20\right)$

其中：ε为误差允许值；

如果满足，则信号频率f(x)在区间[a,b]内是线性的；如果不满足，则信号频率 f(x)在区间[a,b]内是非线性的。

步骤四一中，h(t)选取高斯函数、辛格函数、B样条与E样条函数之一。

本发明获得的有益效果：

1、本发明中的采样方案具有高效性；

2、本发明在时域信号分析中提出了线段拟合算法，可以比较精确地利用直线来描 述较低频率信号的波形曲线，这样可以高效地从时域中提取出较低频率成分的有效信 息。

3、本发明虽然采样的点数非常少，但是可以很精确地恢复信号。通过图15和图4， 我们可以比较恢复信号与原始信号，二者几乎是完全相同，因此验证了本发明中采样 恢复算法的精确性。

4、本发明巧妙地利用FRI理论，并拓展了FRI理论能处理的信号种类。本发明利 用f_k和a_k记录频域信息，利用t_k和a_k记录时域信息。而FRI理论能处理的是离散的信 号，如狄拉克流。这些信号的信息可以用时延t_k和幅度a_k来表示。把频域中的f_k看成 FRI理论中的t_k，把频域中的a_k看成FRI理论中的a_k。因此，频域部分可以利用FRI 理论进行处理。如果把时域中的t_k看成FRI理论中的t_k，把时域中的a_k看成FRI理论 中的a_k，这样时域部分的信号也可以用FRI理论进行处理。因此，可以利用FRI理论 对时域和频域记录的信息进行进一步的处理。同时，也将FRI理论能处理的信号种类 从离散的狄拉克流扩展到高频连续信号。

附图说明

图1是本发明的信号流程图；

图2是线段拟合算法的流程图；

图3是利用FRI理论处理信号的流程图；

图4是原始信号的波形仿真示意图；

图5是对信号进行频谱分析得到的频谱图；

图6是0～100Hz的频谱图；

图7是频域中的FRI信号仿真示意图；

图8是FRI频域信号通过辛格核滤波器得到的信号仿真示意图；

图9是利用FRI理论的恢复算法重构的频域FRI信号仿真示意图；

图10是将信号中的较高频率成分滤除后，较低低频成分信号的波形仿真示意图；

图11是时域中的FRI信号仿真示意图；

图12是FRI时域信号通过辛格核滤波器得到的信号仿真示意图；

图13是重构的时域FRI信号与原始的FRI信号仿真示意图；

图14是恢复出的低频成分的信号波形仿真示意图；

图15是恢复信号的波形仿真示意图。

具体实施方式

具体实施方式一、基于FRI时频域综合分析的信号高效采样及信号重构方法，由 以下步骤实现：

步骤一、对原始信号x_n做FFT变换(Fast Fourier Transformation)，即快速傅氏变 换，变换的具体表达式如下：

$\left(\begin{array}{c}{y}_k=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{W}_N^{\mathrm{kn}}{x}_n\\ ={\Sigma }_{n=2t}{W}_N^{\mathrm{kn}}{x}_n+{\Sigma }_{n=2t+1}{W}_N^{\mathrm{kn}}{x}_n\\ ={\Sigma }_t{W}_{\frac{N}{2}}^{\mathrm{kt}}{x}_{2t}+W_N^k{\Sigma }_{n=2t+1}{W}_{\frac{N}{2}}^{\mathrm{kt}}{x}_{2t+1}\\ =F_{\mathrm{even}}\left(k\right)+W_N^k{F}_{\mathrm{odd}}\left(k\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

其中，用W_n来表示

通过(1)式可以得到y_k。该过程将时域信号转换到频域。作出其频谱图，并进行 频谱分析。之后分别利用高通滤波器和低通滤波器，将信号分为较高的频率成分与较 低的频域成分。

步骤二、利用频谱的频点f_k与幅度a_k来记录较高频率成分的信息。并将较高的频 率成分通过滤波器从原信号中滤除。为了将较高频率成分进一步压缩，对频率取对数， 并进行归一化处理。对频率取对数，并归一化的具体步骤如下：

如果信号的初始频率为f₀，取对数的数学解析式为：

f_log＝log₁₀(f₀)    (2)

并选取f_log中的最大值f_max，归一化的频率为：

$\bar{f}=\frac{f_{\log }}{f_{\max }}---\left(3\right)$

这样，所有谱线的频率都会分布在[0，1]范围内。

步骤三、利用时域的线段拟合算法对较低频率的信号进行分析。

线段拟合算法是一种本发明的创新点之一。低频信号因为其频率较低，即：信号 在单位时间内的变化较慢。因此，低频信号可以看成缓慢变化的曲线。这些缓慢变化 的曲线可以利用直线段来近似表示。这些线段的起始时刻与斜率即可以记录低频曲线 的信息。实现信息在时域的压缩。

具体来说，这种线段拟合算法先判断信号是否为线性的，如果信号是线性的，那 么记录区间起点的时刻与直线的斜率。如果该线段不是线性的，则将线段二等分，再 分别判断信号在两个分成的区间是否为线性。如果为线性，则记录区间起点的时刻与 直线的斜率。如果不为线性，则继续对区间进行二等分，直到信号在各个区间均近似 为线性。这种算法的流程如图2所示。

判断各个区间是否可以近似看成线性的方法如下：

若判定的区间为[a，b]，若满足：

$f\left(a\right)+f\left(b\right)-2\times f\left(\frac{a+b}{2}\right)<ϵ---\left(4\right)$

则f(x)可以近似在区间[a,b]内看成是线性的。在式(4)中，ε为误差允许值。

步骤四、利用FRI理论进行后续的信号处理与信号的重构。

FRI理论能处理和恢复时延为t_k，幅值为a_k的离散信号。在频域中，频谱线归一化 对应的频率值用f_k来表示，幅度用a_k来表示。在时域中，直线端点对应的时刻也可以 用t_k来表示，对应的纵轴坐标用a_k来表示。如果把频域中的f_k看成FRI理论中的t_k， 频域中的a_k看成FRI理论中的a_k，这样，频域信号就可以利用FRI理论来处理。如果 把时域中的t_k看成FRI理论中的t_k，时域中的a_k看成FRI理论中的a_k，这样，频域信 号就可以利用FRI理论来处理。

因此，可以完全利用FRI理论分别对时域和频域进行信号处理和恢复。

利用FRI处理信号的步骤如下：

首先，将信号通过特定的滤波器，滤波器的时域冲击响应记为h(t)，那么我们通过 滤波器后得到的信号y(t)的表达式为

y(t)＝h(t)*x(t)    (5)

这里，h(t)可以选取高斯函数、辛格函数、B样条与E样条函数。并对y(t)进行采 样，得到离散的y_n，将样本y_n，由下式给出：

对上式进行变形，得到：

$\left(\begin{array}{c}{y}_n=<x\left(t\right),{\phi }_B(\mathrm{nT}-t)>\\ =\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m<e^{j2\mathrm{\pi m}\frac{t}{\tau }},{\phi }_B(\mathrm{nT}-t)>\\ =\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m{\hat{\phi }}_B\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)e^{j2\mathrm{\pi n}\frac{\tau }{N}\frac{m}{\tau }}\\ =\frac{1}{B}\underset{m\le M=\left[\frac{\mathrm{B\tau }}{2}\right]}{\Sigma }{e}^{j2\pi \frac{\mathrm{mn}}{N}}\end{array}\right)---\left(7\right)$

即，

${\hat{x}}_m={B\hat{y}}_m---\left(8\right)$

这里，x(t)是由位置为和振幅为构成的脉冲流信号。

$x\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k\underset{m\in z}{\Sigma }p(t-t_k-\mathrm{m\tau })=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k\frac{1}{\tau }\underset{m\in z}{\Sigma }\hat{p}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)e^{j2\mathrm{\pi m}\frac{t-t_k}{\tau }}=\underset{m\in Z}{\Sigma }{\hat{x}}_m{e}^{j2\mathrm{\pi m}\frac{t}{\tau }}---\left(9\right)$

计算x(t)的傅里叶级数系数，得到为

${\hat{x}}_m=\frac{1}{\tau }\hat{p}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{e}^{-j2\mathrm{\pi m}\frac{t_k}{\tau }}---\left(10\right)$

对上式进行变换，可得

${\hat{x}}_m{\hat{p}}^{-1}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)=\frac{1}{\tau }\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{u}_k^m---\left(11\right)$

这里并且表示p的乘法逆元素，p(t)是先验已知的，为简单起见， 我们假设符号$\hat{p}\left(\frac{2\mathrm{\pi m}}{\tau }\right)=1.$

为了获得u_k的值，用表示其的滤波器Z-变换：

$\hat{h}\left(z\right)=\underset{m=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_m{z}^{-m}=\underset{m=0}{\overset{k-1}{\Pi }}(1-u_k{z}^{-1})---\left(12\right)$

也就是说，的根等于被寻找的u_k的值。h_m满足：

$h_m*{\hat{x}}_m=\underset{i=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_i{\hat{x}}_{m-i}=\underset{i=0}{\overset{K}{\Sigma }}\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{h}_i{u}_k^{m-i}=\underset{k=0}{\overset{K-1}{\Sigma }}{a}_k{u}_k^m\underset{i=0}{\overset{K}{\Sigma }}{h}_i{u}_k^{-i}=0---\left(13\right)$

由于该滤波器{h_m}被称为湮灭滤波器，因为它使信号归零。

这里令h₀＝1，公式(13)可以写成矩阵形式为

这表明，我们至少需要2K个连续值来解决上述系统。由上面的方程可以求出 {h_m}。{h_m}的z变换的零点即为u_k，并由此求出位置t_k。可以通过下面的方程解出幅值 a_k：

这里，总结一下利用FRI理论进行信号处理的过程：

(1)获得傅里叶级数这可以通过使用和它们通过关系式 ${\hat{x}}_m={B\hat{y}}_m$来完成；

(2)检索湮灭的滤波器的系数可以通过公式(14)解出；

(3)获得的滤波器的根，其根产生的值u_k。由此我们能求出位置t_k的值。

(4)求振幅a_k，可以通过公式(15)求出。

通过上面的步骤即能获得位置和振幅利用FRI理论处理信号的流程 图如图3所示。

步骤五、根据FRI的恢复算法得到的a_k与t_k恢复信号的频域部分与时域部分。在 频域中，FRI恢复的t_k，可以由t_k先计算出反归一化的频率值f_log，

f_log＝t_k×f_max    (16)

再由f_log计算出较高频率分量的频点f_k，计算公式如式(17)：

$f_k={10}^{f_{\log }}---\left(17\right)$

FRI中恢复的a_k即为较高频率分量的幅值。在时域中，FRI恢复的t_k即为线段起点 的时刻，a_k即为直线的斜率。因此，通过时域中的t_k与a_k可以恢复出信号的较低频率 部分的时域波形图。

步骤六、将频域部分的信号通过IFFT变换(离散傅里叶反变换)到时域，

$x\left(n\right)=\frac{1}{N}{\left[\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{X}^{*}\left(k\right)W_N^{\mathrm{nk}}\right]}^{*}=\frac{1}{N}{\left\{\mathrm{DET}\right[X^{*}\left(k\right)\left]\right\}}^{*}---\left(18\right)$

并与时域中低频成分的信号叠加，恢复出原始信号的波形图。

具体实施例：

本采样方案适用于任意连续信号。为了验证本发明中采样方案的高效性与恢复信 号的精确性，我们举出一个比较复杂的信号作为例子。

这里，选取原始信号：

y(t)＝t³-1.6t²+2.5t+1.4sin(2πt)+2.2sin(2×2πt)

     +cos(5×2πt)+1.2sin(10×2πt)+3.2cos(20×2πt)

     +sin(50×2πt)+1.8(100×2πt)+cos(1000×2πt)     (19)

     +3.6cos(2000×2πt)+2.4cos(5000×2πt)

     +2.7sin(10000×2πt)

可以画出原始信号的波形图如图4所示。

对原始信号做FFT变换，将时域信号转化为频域，可以得到的频谱图如图5所 示。通过频谱图，可以信号的最大频率为10000Hz，如果利用奈奎斯特采样定律，则 采样频率必须大于20000Hz。

为了更清楚地表现低频的频谱，做出0～100Hz的频谱图如图6所示。为了比较准确 的描述信号，我们选取频谱图中幅度大于0.01的谱线，这样的谱线共有71条。因此，仅 仅从频域进行分析需要71个点的信息。

如果将谱线中幅度不大的低频成分在时域进行分析，可以进一步降低采样的点数。可 以利用谱线信息来记录较高的频率成分，并将频率较高的分量滤除。较高频率的频谱线共 有9条，这样频域需要记录的信息点数为9个。把频谱线所在的频率记为f_k，幅度记为a_k。 并将f_k取对数并归一化，这样可以进一步对频域进行压缩，由此可以得到频域中的FRI 信号如图7所示。

FRI频域信号通过辛格核滤波器得到的信号如图8所示。

利用FRI理论的恢复算法重构的频域FRI信号如图9所示。为了展示恢复的精确 性，也将初始的FRI频域信号画在图9中。

较高频率的信息已在频域中记录，因此可以将这部分信号从原始信号中剔除。将 信号中的较高频率成分滤除后，得到较低频成分信号的波形图如图10所示。

通过线段拟合算法对较低频成分信号进行处理，确定时域中需要采样的点数。利用线 段拟合算法，可以由30条线段近似描述低频成分的波形图。把线段的起始时刻记为t_k， 斜率记为a_k。可以得到时域中的FRI信号如图11所示。

FRI时域信号通过辛格核滤波器得到的信号如图12所示。

利用FRI理论的恢复算法重构的时域FRI信号如图13所示；为了展示恢复的精 确性，也将初始的FRI时域信号画在图13中。

根据恢复的时刻t_k，幅度a_k确定线段的起点与斜率，把这些线段首尾相连恢复出信 号的低频部分，由此，得到低频成分信号的波形图如图14所示。

在频域中，将恢复的FRI频域信号的做IFFT变换，将高频部分从频域转换到时域。 并与恢复的FRI时域信号进行叠加，得到恢复信号的波形图如图15所示。

通过图15，可以看出本发明中采样方案恢复信号的精确性。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明中的采样方案具有高效性。本发明的采样方案对于上面例子中的信号，需 要采样的点数仅仅为39个点，其中9个点在频域记录信号的高频信息，30个点在时域记 录信号的低频信息。而单单从时域分析，利用奈奎斯特采样定律需要采集20000个点的信 息。单单从频域进行分析，需要记录71个谱线的位置。由此可见，本发明的时频域综合 分析的方法可以大大地降低所需要的采样点数，具有采样的高效性。

2、本发明在时域信号分析中提出了线段拟合算法，可以比较精确地利用直线来 描述较低频率信号的波形曲线，这样可以高效地从时域中提取出较低频率成分的有效 信息。

3、本发明虽然采样的点数非常少，但是可以很精确地恢复信号。通过图15和图 4，可以比较恢复信号与原始信号，二者几乎是一模一样，因此验证了本发明中采样 恢复算法的精确性。

4、本发明巧妙地利用FRI理论，并拓展了FRI理论能处理的信号种类。本发明利 用f_k和a_k记录频域信息，利用t_k和a_k记录时域信息。而FRI理论能处理的是离散的信 号，如狄拉克流。这些信号的信息可以用时延t_k和幅度a_k来表示。把频域中的f_k看成 FRI理论中的t_k，把频域中的a_k看成FRI理论中的a_k。因此，频域部分可以利用FRI 理论进行处理。如果把时域中的t_k看成FRI理论中的t_k，把时域中的a_k看成FRI理论 中的a_k，这样时域部分的信号也可以用FRI理论进行处理。因此，可以利用FRI理论 对时域和频域记录的信息进行进一步的处理。同时，也将FRI理论能处理的信号种类 从离散的狄拉克流扩展到高频连续信号。