一种基于加权均方误差最小化的双重定标处理方法

摘要

本发明公开了一种基于加权均方误差最小化的双重定标处理方法，该方法定义了一个用于RCS双重定标测量与处理的加权均方误差(MWMSE)函数；根据同一个误差函数，选择不同的权重因子并使加权均方误差最小化，可以满足不同的应用需求。当权重因子均取为1也即均匀加权时，其结果可使RCS测量定标绝对误差最小化；当权重因子取式

说明书

技术领域

本发明涉及通信和雷达的技术领域，特别是低可探测目标的雷达散射截面测量与定标处 理技术，具体涉及一种基于加权均方误差最小化的双重定标处理方法。

背景技术

在传统的目标雷达散射截面(RCS)测量中，通过对单个定标体的测量，得到定标函数 H(f)，从而可完成目标散射数据的定标。这种单次测量导出定标函数所存在的主要问题是， 尽管导出了定标函数H(f)，但无法给出采用该定标函数进行RCS测量定标的不确定度究竟 如何。

为了便于讨论目标宽带雷达散射截面(RCS)幅度和相位的测量与定标，定义目标宽带复 散射函数为：

$\sqrt{\sigma \left(f\right)}=\underset{R\to \infty }{\lim }\sqrt{4\pi }R·\frac{E_s\left(f\right)}{E_i\left(f\right)}---\left(1\right)$

式中，E_i(f)和E_s(f)分别表示随频率f变化的雷达入射场(目标处)和目标散射场(雷 达天线处)；它同宽带RCS之间的关系为

与本发明相关的现有技术分析如下：

现有技术一：早期的双重定标测量

美国的Chizever等人于1996年提出采用双重定标(dual calibration)测量(参见文献 H.M.Chizever,R.J.Soerens and B.M.Kent,"On reducing primary calibration error in radar  cross section measurements,"Proc.of the 18th Antenna Measurement Techniques Association  Symposium,Seattle,WA)，可以解决这一问题。

双重定标技术的基本思想：测量两个其理论RCS值可以精确计算、且两者差异足够大 的定标体，其中一个定标体作为“主定标体”，用于导出RCS定标的雷达定标函数；另一个定 标体作为“辅助定标体”，用来估计主定标的不确定度，从而有助于控制测量误差，提高定标 精度。如果在目标RCS测量的前定标和后定标中均采用双重定标，还有助于估计出并尽量 消除测量雷达系统漂移所带来的不良影响。

这一思路也可推广到采用更多个定标体的定标测量和处理。

采用两个定标体的“双重定标”测量的原理如下：假设有两个定标体，其随频率f变化的 理论散射函数分别记为和其随频率f变化的宽带测量回波分别记为C_P(f) 和C_S(f)，下标P和S分别代表“主定标体”和“辅助定标体”。主定标体的回波同定标函数 H(f)及主定标体散射之间的关系为：

$C_P\left(f\right)=H\left(f\right)·\sqrt{{\sigma }_p\left(f\right)}---\left(2\right)$

因此，根据主定标体的测量回波，可以得到定标函数为：

$H\left(f\right)=\frac{C_P\left(f\right)}{\sqrt{{\sigma }_p\left(f\right)}}---\left(3\right)$

根据该定标函数，可以得到辅助定标体的测量定标值为：

$\sqrt{{\sigma }_S^m\left(f\right)}=\frac{C_S\left(f\right)}{H\left(f\right)}·\sqrt{{\sigma }_P\left(f\right)}---\left(4\right)$

由于辅助定标体的理论散射函数是已知的，因此，对辅助定标体RCS测量的绝 对误差可按下式计算(以RCS的量纲m²为单位)：

$ϵ\left(f\right)={|\sqrt{{\sigma }_S\left(f\right)}-\sqrt{{\sigma }_S^m\left(f\right)}|}^2---\left(5\right)$

以分贝数表示的辅助定标体RCS测量相对定标误差则可表示为：

${\Delta }^{\mathrm{dB}}\left(f\right)=10{\log }_{10}|{\frac{\sqrt{{\sigma }_S^m\left(f\right)}}{\sqrt{{\sigma }_S\left(f\right)}}|}^2---\left(6\right)$

由此，通过分析上述测量误差随频率的变化特性，可以获得系统测量不确定度的特性， 保证散射函数或RCS测量与定标的准确性。

现有技术一的缺陷：从上面的分析可以发现，Chizever等人最初所提出的双重定标技术 中，选取两个定标体中谁为主、谁为辅完全是任意的，其缺陷是：无论选择谁为主定标体， 根据定义，如此得到的定标函数对于主定标体而言，其定标测量误差永远为0；而对于辅助 定标体而言，则所估计出来的定标误差是对两个定标体测量误差的合成。显然，这是不够合 理的。

现有技术二：基于最小均方误差的双重定标处理技术

为了解决上述问题，LaHaie于2013年提出一种基于最小均方误差(MMSE)准则的改进 双重定标处理技术(I.J.LaHaie,"A technique for improved RCS calibration using multiple  calibration artifacts,"Proc.of the 35th Antenna Measurement Techniques Association Symposium, San Diego,CA,2013)。其基本思想如下：

假设采用M个定标体，在N个频点上进行宽带扫频测量。第i个定标体在第k个频点上 的理论散射函数记为测量得到的回波记为C_i(f_k)，由定标函数H(f_k)和理论散射 函数得到的定标体回波满足：

${\hat{C}}_i\left(f_k\right)=H\left(f_k\right)·\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}---\left(7\right)$

根据定义，对于给定频率f_k，定标函数H(f_k)对于所有定标体都应该是相同的。如果 没有定标误差，则有等式成立。基于这一基本事实，可以通过使所有定标体 在所有频点上的均方误差最小化来得到定标函数的最佳估计，记为因此，定义最小 均方误差函数为：

$\left(\begin{array}{c}ϵ\left[H\left(f_k\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{|C_i\left(f_k\right)-{\hat{C}}_i\left(f_k\right)|}^2\\ =\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{|C_i\left(f_k\right)-H\left(f_k\right)\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}|}^2\end{array}\right)---\left(8\right)$

式中，M为定标体的个数；N为测量频点个数。

采用优化算法使得误差ε[H(f_k)]最小化，由此得到的“最优定标函数”的解为(参见文献 I.J.LaHaie,"A technique for improved RCS calibration using multiple calibration artifacts,"Proc. of the 35th Antenna Measurement Techniques Association Symposium,San Diego,CA,2013)

$\hat{H}\left(f_k\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\left[\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right]}^{*}{C}_i\left(f_k\right)}{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{\left[\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right]}^2},k=\mathrm{1,2},...,N---\left(9\right)$

进而可由定标函数得到第i个定标体(i＝1,2,...,M)的散射函数估计值为

$\sqrt{{\hat{\sigma }}_i\left(f_k\right)}=\frac{C_i\left(f_k\right)}{H\left(f_k\right)},k=\mathrm{1,2},...,N---\left(10\right)$

由于全部定标体的理论散射函数均是已知的，因此，对第i个定标 体RCS测量的绝对误差(以RCS的量纲m²为单位)可计算为：

${ϵ}_i\left(f_k\right)={|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}-\sqrt{{\hat{\sigma }}_i\left(f_k\right)}|}^2,k=\mathrm{1,2},...,N---\left(11\right)$

该误差同式(8)所定义的均方误差在形式上是一致的。

以分贝数表示的RCS定标误差则为：

${\Delta }_i^{\mathrm{dB}}\left(f_k\right)=10{\log }_{10}{\left|\frac{\sqrt{{\hat{\sigma }}_i\left(f_k\right)}}{\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}}\right|}^2---\left(12\right)$

现有技术-2的缺陷：LaHaie所采用的MMSE准则是基于使绝对误差最小化的准则，它 可以保证背景散射电平越低，则式(11)所定义的目标RCS测量定标绝对误差越小。但是， 在低可探测目标的RCS测量工程应用中，往往需要解决以下两个关键问题：

(1)要求在信杂比较低时，依然能保证较高的RCS测量定标精度，因为对于低可探 测目标RCS测量，目标自身的RCS电平低，通常很难保证测量是在高信杂比条件下完成的 (例如目标电平在-30dBm²量级时，若背景杂波电平在-40dBm²量级，则信杂比只有10dB)；

(2)在低可探测目标散射测量工程应用中，通常对于目标RCS测量定标不确定度的技 术需求是，希望式(12)所定义的测量定标相对误差最小化，而不是式(11)中的绝对误差 最小化。

显然，MMSE技术没有很好地解决以上两个关键问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题为：

在目标散射测量中，背景杂波散射电平相对于被测目标的散射电平越低(也即信杂比越 高)，则对目标RCS测量定标的误差越小。在低可探测目标RCS测量工程应用中，需要解决 以下两个关键技术问题：

(1)要求在信杂比较低时，依然能保证较高的RCS测量定标精度，因为对于低可探测 目标RCS测量，目标自身的RCS电平低，一般难以保证目标测量是在高信杂比条件下完成 的；

(2)在低可探测目标散射测量工程应用对于目标RCS测量定标不确定度的技术需求是， 要求式(12)所定义的RCS测量定标相对误差最小化，而一般并不关注式(11)所定义的 绝对误差大小。已有的双重定标处理技术没有很好地解决上述问题。本发明提出一种基于加 权均方误差最小化的改进双重定标测量处理技术，可以保证在低可探测目标RCS测量过程 中无论信杂比大小如何，均可使得测量定标的相对误差最小化。从而脚还地解决了上述两个 关键技术问题。

本发明采用的技术方案为：一种基于加权均方误差最小化的双重定标处理方法，具体步 骤如下：

首先，在RCS双重定标测量与处理中，定义加权均方误差(MWMSE)函数为

${ϵ}_w\left[H\left(f_k\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}_i{|C_i\left(f_k\right)-H\left(f_k\right)\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}|}^2---\left(13\right)$

式中，M为定标体的个数；N为测量频点个数；w_i为对每个定标体的权重因子；H(f_k) 表示频率f_k处的定标函数；为第i个定标体的理论散射函数；C_i(f_k)为第i个定标体 的测量回波；ε_w[H(f_k)]表示总的加权误差；

这样，在双重定标处理中，可以通过使所有定标体在所有频点上的加权均方误差最小化 来得到定标函数的最佳估计，记为

其次，为了求得ε[H(f_k)]的最小值，对之求偏导，有：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial ϵ\left[H\left(f_k\right)\right]}{\partial H\left(f_k\right)}{|}_{H\left(f_k\right)={\hat{H}}_w\left(f_k\right)}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{w}_i{\left[\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right]}^{*}[C_i\left(f_k\right)-{\hat{H}}_w\left(f_k\right)]=0\\ k=1,2,...,N\end{array}---\left(14\right)\right)$

式中上标“*”表示复共轭；表示使误差函数ε[H(f_k)]达到最小化的最佳定标函数；

方程(14)的解为：

${\hat{H}}_w\left(f_k\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{w}_i{\left[\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right]}^{*}{C}_i\left(f_k\right)}{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{w}_i{\left|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right|}^2},k=1,2,...,N---\left(15\right)$

由定标函数得到的各个定标体的散射函数估计值为：

$\sqrt{\widehat{{\sigma }_i}\left(f_k\right)}=\frac{C_i\left(f_k\right)}{H_w\left(f_k\right)},k=1,2,...,N---\left(16\right)$

第三、权重因子w_i(i＝1,2,...,M)的选取对测量定标误差的影响的三种方式如下：

(1)相对定标误差最小化方式

当在式(13)所定义的加权均方误差函数中，权重因子定义为：

$w_i=\frac{N}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right|}^2}---\left(17\right)$

时，有：

${ϵ}_w\left[H\left(f_k\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{{|C_i\left(f_k\right)-H\left(f_k\right)\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}|}^2}{\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right|}^2}---\left(18\right)$

分析可知，权重因子由式(17)定义时，则式(18)所给出的误差函数为按照RCS测 量定标相对误差定义的全部定标体的测量定标的总相对误差；因此，此时使ε_w[H(f_k)]最小 化意味着找到一个最优定标函数使得对于全部定标体，用该定标函数定标后，式(18) 所定义的总相对测量定标误差达到最小；

(2)绝对定标误差最小化方式

在式(13)中，取权重因子w_i＝1,i＝1,2,...,M，则该误差函数与LaHaie所定义的均方 误差函数式(8)完全一致；

(3)传统双重定标处理方式

所提出的传统双重定标处理中，取多个定标体测量中的一个作为主定标体，导出定标函 数，其他定标体不参与定标函数的导出，只是用于检验定标误差的大小，确认测量误差足够 小；这相当于在式(13)中，对于主定标体，其权重因子取1；而对于其他辅助定标体，权 重因子均取0；此时，相当于采用了Chizever等人于1996年提出的传统双重定标(dual  calibration)处理方式(参见文献H.M.Chizever,R.J.Soerens and B.M.Kent,"On reducing  primary calibration error in radar cross section measurements,"Proc.of the 18th Antenna  Measurement Techniques Association Symposium,Seattle,WA)。

除了以上3种方式，还可以将其他各种不同的权重定义应用于式(13)所给出的误差函 数。因此，式(13)提出了一个可用于RCS测量定标优化处理的通用误差函数表达式，采 用该基于加权均方误差最小化的误差函数并通过选择不同的权重因子进行优化处理，可以满 足不同的应用需求，达到对RCS测量定标函数的优化和定标误差最小化。

本发明的主要技术优点是：

(1)根据同一个误差函数，选择不同的权重因子并使加权均方误差最小化，可以满足 不同的应用需求。例如，当权重因子均取为1也即均匀加权时，其结果可使RCS测量定标 绝对误差最小化；当权重因子取式(17)时，优化结果将使RCS测量定标的相对误差最小 化；

(2)对于低可探测性目标RCS测量，为了保证足够高的定标体测量信杂比，一般所采 用的定标体RCS电平会高于目标RCS电平。在此条件下，采用相对误差最小化准则有利于 减小定标误差，提高测量精度。

附图说明

图1定标函数幅频(上)和相频(下)特性；

图2CAM定标体的几何结构，其中，(a)CAM定标体的3D造型；(b)CAM定标体的 横向剖面图；

图3支架背景以及CAM定标体的FP、LC和SC的RCS随频率变化特性；

图4采用不同误差准则对CAM定标体定标测量的误差性能，其中，(a)小圆柱(SC)； (b)大圆柱(LC)；(c)平板(FP)。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

本发明一种基于加权均方误差最小化的双重定标处理方法，具体步骤如下：

首先，在RCS双重定标测量与处理中，定义加权均方误差(MWMSE)函数为：

${ϵ}_w\left[H\left(f_k\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{w}_i{|C_i\left(f_k\right)-H\left(f_k\right)\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}|}^2---\left(13\right)$

式中，M为定标体的个数；N为测量频点个数；w_i为对每个定标体的权重因子，针对不同的 应用需求，可以定义不同的权重因子，稍后将进一步讨论。

这样，在双重定标处理中，可以通过使所有定标体在所有频点上的加权均方误差最小化 来得到定标函数的最佳估计，记为

其次，为了求得ε[H(f_k)]的最小值，对之求偏导，有：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial ϵ\left[H\left(f_k\right)\right]}{\partial H\left(f_k\right)}{|}_{H\left(f_k\right)={\hat{H}}_w\left(f_k\right)}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{w}_i{\left[\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right]}^{*}[C_i\left(f_k\right)-{\hat{H}}_w\left(f_k\right)]=0\\ k=1,2,...,N\end{array}---\left(14\right)\right)$

式中上标“*”表示复共轭。

方程(14)的解为：

${\hat{H}}_w\left(f_k\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{w}_i{\left[\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right]}^{*}{C}_i\left(f_k\right)}{\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}{w}_i{\left|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right|}^2},k=1,2,...,N---\left(15\right)$

由定标函数得到的各个定标体的散射函数估计值为

$\sqrt{\widehat{{\sigma }_i}\left(f_k\right)}=\frac{C_i\left(f_k\right)}{H_w\left(f_k\right)},k=1,2,...,N---\left(16\right)$

第三，下面讨论权重因子w_i(i＝1,2,...,M)的选取对测量定标误差的影响问题。事实上， 取不同的权重时，式(13)中误差函数最小化的意义是不同的。

(1)相对定标误差最小化

当在式(13)所定义的加权均方误差函数中，权重因子定义为：

$w_i=\frac{N}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right|}^2}---\left(17\right)$

时，有：

${ϵ}_w\left[H\left(f_k\right)\right]=\frac{1}{\mathrm{MN}}\underset{i=1}{\overset{M}{\Sigma }}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{{|C_i\left(f_k\right)-H\left(f_k\right)\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}|}^2}{\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left|\sqrt{{\sigma }_i\left(f_k\right)}\right|}^2}---\left(18\right)$

分析可知，权重因子由式(17)定义时，则式(18)所给出的误差函数为按照RCS测 量定标相对误差定义的全部定标体的测量定标的总相对误差。因此，此时使ε_w[H(f_k)]最小 化意味着找到一个最优定标函数使得对于全部定标体，用该定标函数定标后，式(18) 所定义的总相对测量定标误差达到最小。这正是大多数低可探测目标RCS测量工程应用中 所期望的。

(2)绝对定标误差最小化

在式(13)中，取权重因子w_i＝1,i＝1,2,...,M，则该误差函数与LaHaie所定义的均方 误差函数式(8)完全一致。

由此可见，LaHaie的方法是本发明所定义的加权误差函数优化的一个特例。

(3)早期的双重定标技术

Chizever等人早期所提出的双重定标处理中，取多个定标体测量中的一个作为主定标体， 导出定标函数，其他定标体不参与定标函数的导出，只是用于检验定标误差的大小，确认测 量误差足够小。这相当于在式(13)中，对于主定标体，其权重因子取1；而对于其他辅助 定标体，权重因子均取0。

因此，Chizever的双重定标也是本发明所提出加权均方误差函数优化的另一个特例。

事实上，除了以上3个例子，还可以将其他各种不同的权重定义应用于式(13)所给出 的误差函数。由此可见，本发明提出了一个可用于RCS测量定标的通用误差函数表达式， 通过选择不同的权重因子，可以满足不同的应用需求，达到对测量定标误差的优化。

进一步说明本发明的实施方式如下：

在目标RCS测量中，采用多个其RCS理论值已知或可以精确计算的定标体进行双重定 标测量和处理的基本步骤是：

(1)采用一套统一的标准定标体，并采用两种以上的数值方法对定标体的“精确”RCS 值进行计算和比对，以得到一套标准的定标体“理论”值，供后续RCS测试参照使用；

(2)确保每个定标体的机械加工误差足以小到可以保证，当采用其“理论”计算RCS值 进行定标时，所产生的误差在可接受的误差限范围内；

(3)确认标准定标体的“理论”RCS值计算足够精确，计算误差控制在允许的范围内(例 如，±0.05dB)；

(4)对加工完成的定标体进行测量，并将其RCS测量值同“理论”值进行比对分析，确 保定标体RCS的准确性；

(5)目标RCS测试过程中，在进行目标测试前和完成目标测试后，均对上述一组定标 体进行测量，通过前定标和后定标处理，确保测试系统漂移误差得以补偿；

(6)无论是前定标还是后定标处理，均按照本发明所提出的使加权均方误差最小化准 则，通过定标体测量数据和定标体理论RCS值导出定标函数。如前面已经分析的，其中权 重因子的选取可以多样化。

上述步骤(6)是本发明的核心，下面通过仿真给出应用示例，并分析传统的双重定标、 Lahaie的最小均方误差准则和本发明所提出的加权最小均方误差准则在双重定标处理中的 误差性能。

对典型RCS测试外场条件下的定标处理进行仿真分析。对于采用金属低散射支架的目 标RCS测试场，由于低散射支架的背景电平在低频段很高，容易引起大的测试误差，因此 我们重点仿真低频段的定标误差。

假设测试频段和测试系统的定标函数与文献(I.J.LaHaie,"A technique for improved RCS  calibration using multiple calibration artifacts,"Proc.of the 35th Antenna Measurement  Techniques Association Symposium,San Diego,CA,2013.)中Lahaie的仿真完全相同，即频率 范围125MHz～625MHz，定标函数的幅频和相频特性如图1中所示。假设第散射金属支架的 散射背景可以采用文献(E.F.Knott，Radar Cross Section Measurements,New York:Van  Nostrand Reinhold,1993:196-200.)中的预估公式计算，由于对于金属目标支架，其VV极化 的背景远高于HH极化的背景电平，因此以下仅给出VV极化的仿真结果。

为了完成双重定标，需要采用多个定标体。为此，在仿真中我们采用所谓的CAM定标 体(参见文献W.D.Wood,P.J.Collins,T.Conn,“The CAM RCS Dual-Cal Standard，”Proc.of  the 25th Antenna Measurement Techniques Association Symposium,Irvine,CA,2003.)，它是一 种由两个半径不同且相切的直立圆柱体以及同两个圆柱体的圆弧面相切的平面共同构成的 封闭几何结构，其详细几何结构如图2所示，几何参数为：a＝0.5m，b＝0.8m，h＝0.76m。 θ＝76.66°。由于CAM定标体的特殊几何外形，当将CAM定标体作方位向旋转时，单个定 标体可等效用作为小圆柱(SC)、大圆柱(LC)和平板(FP)等3种定标体。

图3给出了VV极化下支架背景电平(图中标示为Pylon)以及FP、LC和SC三个定标 体的RCS随频率的变化特性。

RCS测试一般属于高信噪比测量，为了同时兼顾研究背景杂波与噪声的影响，仿真中假 设杂噪比(背景电平与热噪声电平之比)为3dB,进行500次蒙特卡洛仿真，并统计分析不同 误差准则下多重定标得到的定标函数的误差性能。

图4给出了采用传统双重定标(图中标示为dual)、LaHaie的最小绝对误差(图中标示为 MMSE)、我们提出的加权均方误差(图中标示为MWMSE)准则，对小圆柱、大圆柱和平板 面测量定标的绝对误差和相对误差随频率的变化特性，其中MWMSE的权函数采用(17)式计 算，相当于采用相对定标误差最小化准则；而对于传统双重定标，则采用具有最高RCS电 平FP作为主定标体。

图4(a)、(b)和(c)分别给出了对小圆柱、大圆柱和平板的定标结果。其中，每幅 图中的上图示出了定标体的RCS理论值以及3个不同准则的定标绝对误差，下图则示出了3 个不同准则对于应的相对定标误差。从图中可见：

(1)由于支架的背景电平在低频段高、高频段较低，而三个定标体的RCS的频率特性 则正好相反，总体上随频率升高而增大。因此，无论采用何种误差准则，无论对于绝对误差 还是相对误差，其总的变化趋势均为随频率呈现下降的特性；

(2)从图3可见，背景电平随频率的变化特性是振荡变化的，而三个定标体的RCS频 率也是振荡变化的，这导致在一些特殊频点处的信杂比很低，造成大的定标测量误差；

(3)注意到对于FP，由于传统双定标中所选定的主定标体为FP，根据定义，其绝对误 差和相对误差均为零，同MMSE和MWMSE不具有可比性。仔细分析图4中SC、LC两个 定标体的测量定标误差特性可以发现，无论是在绝对误差还是相对误差意义上，MMSE和 MWMSE准则总是优于传统的采用单个主定标体导出定标函数的传统双重定标准则。这表 明，当采用多个定标体进行双重定标测量时，充分利用所有定标体的测量数据并基于某种最 小均方误差准则来导出定标函数，比简单地采用具有最高RCS电平的定标体作为主定标体 导出的定标函数具有更好的稳健性和更小的定标误差；

(4)由图4可以看出，在信杂比较低时，三种误差准则中，MWMSE同时具有最小的 绝对误差和相对误差。例如，对于定标体SC和LC，总体上MWMSE准则的误差性能均是 最优的；在信杂比很高时，MMSE准则具有比MWMSE误差准则更好的误差性能。

另外，从式(15)可见，权重因子在求取定标函数时在分子和分母中是同时出现 的。这意味着针对式(13)误差函数定义中权重因子的选取可以是多种多样的，并不需要满 足这一归一化关系。因此，除了前述讨论的相对误差最小化(权重因子由式(17) 定义)、绝对误差最小化(权重因子均取1)、选取单个定标体作为主定标体(其对应的权 重取1，其他权重均取0)外，还可以有其他各种选择和组合。