带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模衍射场的计算方法

摘要

本发明提供一种带SRAF的双层衰减相移接触孔掩模衍射场的计算方法，具体步骤为：步骤一、设定x方向上保留的谐波数为L

说明书

技术领域

本发明涉及一种带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模衍射场的计算方法 ，属于光刻分辨率增强技术领域。

背景技术

半导体产业的飞速发展，主要得益于微电子技术的微细加工技术的进步， 而光刻技术是芯片制备中最关键的制造技术之一。由于光学光刻技术的不断创 新，它一再突破人们预期的光学曝光极限，使之成为当前曝光的主流技术。

光刻系统主要分为：照明系统(光源)、掩模、投影系统及晶片四部分。 光入射到掩模上发生衍射，衍射光进入投影系统后在晶圆上干涉成像，再经过 显影和蚀刻处理后，就将图形转移到晶圆上。

掩模上的结构比较复杂，按照在各方向上的周期性，掩模可以分成一维、 二维图形。一维图形仅在一个方向上具有周期性，比较简单，常见的线条/空间 (Line/Space)结构就是一维图形。二维图形在两个方向上都具有周期性，是一些 较复杂的几何图形，与实际器件结构更为接近。接触孔(Contact Hole)、L图形、 拼接图形及H图形都是二维结构。另外，按照图形密度又可以分为密集图形、半 密集图形和孤立图形三类。

为了改善半密集、孤立结构的焦深，我们需要添加一些辅助线条。辅助线 条(衬线)主要是利用在掩模上添加亚分辨辅助线条(Sub-Resolution Assist Feature， SRAF)改变其空间像的光场分布，使孤立结构的空间像能和密集结构的空间像具 有相同的宽度，以达到校正邻近效应的目的。

这些亚分辨辅助线条包括各种衬线和散射条。衬线和散射条的宽度及其与 主特征图形的距离较为重要，需要根据具体情况进行优化，以期通过散射条影 响位相频谱的变化实现对空间像的轮廓调节。这些散射条或衬线通过改善图形 频谱中各种频率成分的能量和位相分布，有效地调整空间像的光强分布，而不 会在抗蚀剂上形成图形，能起到改善线宽偏差，强化边角轮廓和增加曝光焦深 的作用。

为了更好地理解上述过程发生的物理机理，需要建立模型，并模拟仿真光 在其中的传播。且光刻仿真已经成为发展、优化光刻工艺的重要工具。模拟仿 真掩模衍射主要有两种方法：基尔霍夫方法(Kirchhoff approach)及严格的电磁场 方法(Rigorous electromagnetic field)。Kirchhoff方法将掩模当成无限薄的，透过电 场的幅值、相位直接由掩模布局(mask layout)决定。在二元掩模(binary masks，BIM) 中，透光区域的光强为1，相位为0，不透光区域光强为0。在6％衰减相移掩模 (attenuated phase shift masks，Att.PSM)中，部分透光区透过率为6％且产生180°的相 移，无吸收层区域透过率为1相移为0。Kirchhoff方法的主要特点是掩模不同区域 的强度、相位变化很陡直。

当掩模特征尺寸远大于波长，且厚度远小于波长时候，光的偏振特性不明 显，此时Kirchhoff近似是十分精确的。由于掩模的辅助线条比波长更小，掩模厚 度也达到波长量级，再加上采用大数值孔径(Numerical Aperture，NA)的浸没式光 刻，光的偏振效应十分明显，必须采用严格的电磁场模型来模拟带辅助线条的 掩模的衍射。

严格的电磁场模型完全考虑了掩模的3D(Three Dimensional)效应及材料的影 响。采用的数值方法主要包括：时域有限差分法(finite-difference time domain  method，FDTD)、严格耦合波法(rigorous coupled wave analysis，RCWA)、波导法 (the waveguide method，WG)及有限元法(finite element methods，FEM)。FDTD中， 将麦克斯韦(Maxwell)方程在空间、时间上进行离散化，这些离散化的方程对时间 进行积分就得到了掩模衍射场，解的精度取决于离散化时步长的大小。RCWA 及WG是将掩模电磁场、介电常数进行Fourier级数展开得到特征值方程，再通过 求解特征值方程得到问题的解，解的精度取决于Fourier展开时的阶数。FEM比 较复杂，理解起来也很困难，并不十分流行。通过这些严格的电磁场模型，要 么得到掩模近场的幅值、相位，要么直接得到远场衍射光的幅值、相位。严格 电磁场模型表明，掩模透过区域与不透过区域透过电场幅值、相位变化不再那 么陡直。

现有技术(J.Opt.Soc.Am.A，1994，11，9：2494-2502；JOURNAL OF  MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION，2009，6：57-59)公开了一种利用 RCWA分析二维亚波长光栅的衍射特性。但该方法具有以下不足，其不能分析带 辅助线条的掩模光栅的衍射，且其只分析了一层光栅的衍射；同时该方法收敛 性差，尤其是分析非对称层状光栅(nonsymmetric lamellar gratings)时，所需时间长。

发明内容

本发明涉及一种带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模衍射场的计算方 法，该方法可以快速计算出光刻中带SRAF的双层衰减相移接触孔掩模的衍射场。

实现本发明的技术方案如下：

一种带SRAF的双层衰减相移接触孔掩模衍射场的计算方法，具体步骤为：

步骤一、设定x方向上保留的谐波数为L_x，设定y方向上保留的谐波数为L_y；

步骤二、根据布洛开条件，求解第(m，n)个衍射级次的波矢量沿着切向、法 向的分量，其中m为取遍[-D_x，D_x]之间的整数，n为取遍[-D_y，D_y]之间的整数， L_x＝2D_x+1，L_y＝2D_y+1；

波矢量沿着x、y轴的分量α_m、β_n为

$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_m={\alpha }_0-2\mathrm{\pi m}/{\Lambda }_x\\ {\beta }_n={\beta }_0-2\mathrm{\pi n}/{\Lambda }_y\end{array}\right)---\left(1\right)$

α₀＝n_Iksinθcosδ，β₀＝n_Iksinθsinδ    (2)

其中k是入射光波在真空中的波矢量，n_I是入射区的折射率，θ是光波的入射角 ，δ为光波的方位角，Λ_x为掩模沿x方向的周期，Λ_y为掩模沿y方向的周期；

波矢量沿着法向即z轴的分量r_(m，n)、t_(m，n)为：

$r_{(m,n)}=\left(\begin{array}{cc}{[{\left(n_{I}k\right)}^2-{\alpha }_m^2-{\beta }_n^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2\le {\left(n_{I}k\right)}^2\\ -j{[{\alpha }_m^2+{\beta }_n^2-{\left(n_{I}k\right)}^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2>{\left(n_{I}k\right)}^2\end{array}\right)---\left(3\right)$

$t_{(m,n)}=\left(\begin{array}{cc}{[{\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2-{\alpha }_m^2-{\beta }_n^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2\le {\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2\\ -j{[{\alpha }_m^2+{\beta }_n^2-{\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2>{\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中下标I表示入射区，n_I表示入射区的折射率，下标II表示出射区，n_II表示出 射区的折射率，j表示虚数单位；

步骤三、针对双层衰减相移接触孔掩模的每一个二维光栅层，对其介电常 数和介电常数倒数分别进行Fourier级数展开；

介电常数的Fourier展开式为：

${ϵ}_L(x,y)=\underset{p=-{\partial }_x}{\overset{{\partial }_x}{\Sigma }}\underset{q=-{\partial }_y}{\overset{{\partial }_y}{\Sigma }}{ϵ}_{L,(p,q)}\exp \left[j2\pi (\mathrm{px}/{\Lambda }_x+\mathrm{qy}/{\Lambda }_y)\right](L=\mathrm{1,2})---\left(5\right)$

介电常数倒数的Fourier展开式为：

${1/ϵ}_L(x,y)=\underset{p=-{\partial }_x}{\overset{{\partial }_x}{\Sigma }}\underset{q=-{\partial }_y}{\overset{{\partial }_y}{\Sigma }}{\xi }_{L,(p,q)}\exp \left[j2\pi (\mathrm{px}/{\Lambda }_x+\mathrm{qy}/{\Lambda }_y)\right](L=\mathrm{1,2})---\left(6\right)$

其中ε_L(x，y)为第L层光栅的介电常数，ε_L，(p，q)为第L层 光栅相对介电常数第(p，q)个Fourier分量，ξ_L，(p，q)为第L层光栅相对介电常数倒数 的第(p，q)个Fourier分量；

步骤四、根据步骤二中计算的α_m、β_n、r_(m，n)、t_(m，n)以及步骤三中计算的ε_L，(p，q)、ξ_L，(p，q)求解每层光栅的特征矩阵，根据电磁场切向连续边界条件，利用增强透 射矩阵法求解出射区域的衍射场。

有益效果

本发明中将带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模看作是周期结构较复杂 的双层二维光栅，并将对介电常数和介电常数的倒数进行傅里叶展开，同时将 增强透射矩阵法用于分析双层二维光栅的情况，能快速求解得到带辅助线条的 双层衰减相移接触孔掩模的衍射场。

附图说明

图1为带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模。

图2为入射至掩模上光束的示意图。

图3为求解带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模衍射流程图。

图4为本发明矩阵E_L的示意图。

图5为本发明矩阵A_L的示意图。

图6为本发明矩阵K_x的示意图。

图7为本发明矩阵K_y的示意图。

图8为本发明单位矩阵I的示意图。

图9为本发明矩阵Y_I的示意图。

图10为本发明矩阵Z_I的示意图。

图11为本发明矩阵Y_II的示意图。

图12为本发明矩阵Z_II的示意图。

图13为本发明矩阵F_c的示意图。

图14为本发明矩阵F_s的示意图。

图15双层(Ta/SiO₂)衰减相移接触孔掩模添加辅助线条后，衍射级次的衍射 效率随着特征尺寸(晶圆上的尺度)变化的关系图；

(a)为TE、TM入射时，(0，0)级次的衍射效率；

(b)为TE、TM入射时，(1，0)级次的衍射效率。

图16双层(Ta/SiO₂)衰减相移接触孔掩模添加辅助线条后，衍射级次的衍射 效率随着辅助线条宽度b(晶圆尺度)变化的关系图；

(a)为TE、TM入射时，(0，0)级次的衍射效率；

(b)为TE、TM入射时，(1，0)级次的衍射效率；

具体实施方式

下面结合附图对本发明进行进一步详细说明。

图1为带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模的结构示意图，以下对本实施 例中涉及的掩模进行说明。

本发明以掩模平面的法线方向为z轴，依照右手坐标系原则，确定x轴和y轴； 如图1所示。

带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模沿z轴方向分为两层，其材质都为有 损介质，第一层(z₀＜z＜z₁)为SiO₂，复折射率为厚度为d₁＝z₁-z₀，通过变化 该层的厚度来控制相移。第二层(z₁＜z＜z₂)为Ta，复折射率为厚度为 d₂＝z₂-z₁，通过变化该层的厚度来控制透过率。掩模的每一吸收层沿x方向以周 期Λ_x的形式排列，占空比为f₁，且辅助线条的宽度为b，辅助线条与主特征图形 的间距为a；掩模的每一吸收层沿y方向以周期Λ_y的形式排列，占空比为f₂，且 辅助线条的宽度为d，辅助线条与主特征图形的间距为c；顶层为入射区(L′＝0)， 底层为出射区(L′＝3)。

一束线偏振光入射到掩模上发生衍射，入射光示意图如图2所示。入射角为 θ，方位角(入射平面与x轴夹角)为δ，偏振角(入射电场矢量与入射平面的夹角) 为ψ，对应于TE偏振光ψ＝90°，对应于TM偏振光ψ＝0°。

如图3所示，本发明带辅助线条的双层衰减相移接触孔掩模衍射场的计算方 法的流程图；具体步骤为：

步骤一、设定x方向上保留的谐波数为L_x，设定y方向上保留的谐波数为L_y； 上述两谐波数可以根据需要进行设定，若希望在求解电场能有较快的速度，则 可以将其设置较小，若希望所求解的电场有较高的精度，则可以将其设置较大 ，同时也可以令L_x＝L_y。

步骤二、根据布洛开(Floquet)条件，求解第(m，n)个衍射级次的波矢量沿着 切向、法向的分量，其中m为取遍[-D_x，D_x]之间的整数，n为取遍[-D_y，D_y]之间 的整数，L_x＝2D_x+1，L_y＝2D_y+1。

波矢量沿着切向即x、y轴的分量α_m、β_n为

$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_m={\alpha }_0-2\mathrm{\pi m}/{\Lambda }_x\\ {\beta }_n={\beta }_0-2\mathrm{\pi n}/{\Lambda }_y\end{array}\right)---\left(1\right)$

α₀＝n_Iksinθcosδ，β₀＝n_Iksinθsinδ    (2)

其中k是入射光波在真空中的波矢量，n_I是入射区的折射率，θ是光波的入射角 ，δ为光波的方位角，Λ_x为掩模沿x方向的周期，Λ_y为掩模沿y方向的周期。

波矢量沿着光栅平面的法向即z轴的分量r_(m，n)、t_(m，n)为：

$r_{(m,n)}=\left(\begin{array}{cc}{[{\left(n_{I}k\right)}^2-{\alpha }_m^2-{\beta }_n^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2\le {\left(n_{I}k\right)}^2\\ -j{[{\alpha }_m^2+{\beta }_n^2-{\left(n_{I}k\right)}^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2>{\left(n_{I}k\right)}^2\end{array}\right)--\left(3\right)$

$t_{(m,n)}=\left(\begin{array}{cc}{[{\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2-{\alpha }_m^2-{\beta }_n^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2\le {\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2\\ -j{[{\alpha }_m^2+{\beta }_n^2-{\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2]}^{1/2}& {\alpha }_m^2+{\beta }_n^2>{\left(n_{\mathrm{II}}k\right)}^2\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中下标I表示入射区，n_I表示入射区的折射率，下标II表示出射区，n_II表示出 射区的折射率，j表示虚数单位。

步骤三、针对双层衰减相移接触孔掩模的每一个二维光栅层，对其介电常 数和介电常数倒数分别进行Fourier级数展开。带辅助线条的双层衰减相移接触孔 掩模在本质上仍是周期结构较复杂的双层二维光栅，其相对介电常数沿着两个 正交方向即x方向和y方向皆呈周期变化，介电常数仍可以展开成Fourier级数。

介电常数的Fourier展开式为：

${ϵ}_L(x,y)=\underset{p=-{\partial }_x}{\overset{{\partial }_x}{\Sigma }}\underset{q=-{\partial }_y}{\overset{{\partial }_y}{\Sigma }}{ϵ}_{L,(p,q)}\exp \left[j2\pi (\mathrm{px}/{\Lambda }_x+\mathrm{qy}/{\Lambda }_y)\right](L=\mathrm{1,2})---\left(5\right)$

介电常数倒数的Fourier展开式为：

${1/ϵ}_L(x,y)=\underset{p=-{\partial }_x}{\overset{{\partial }_x}{\Sigma }}\underset{q=-{\partial }_y}{\overset{{\partial }_y}{\Sigma }}{\xi }_{L,(p,q)}\exp \left[j2\pi (\mathrm{px}/{\Lambda }_x+\mathrm{qy}/{\Lambda }_y)\right](L=\mathrm{1,2})---\left(6\right)$

其中ε_L(x，y)为第L层光栅的介电常数，ε_L，(p，q)为第L层 光栅相对介电常数第(p，q)个Fourier分量，ξ_L，(p，q)为第L层光栅相对介电常数倒数 的第(p，q)个Fourier分量。

步骤四、根据步骤二中计算的α_m、β_n、r_(m，n)、t_(m，n)以及步骤三中计算的ε_L，(p，q)、ξ_L，(p，q)求解每层光栅的特征矩阵，根据电磁场切向连续边界条件，利用增强透 射矩阵法求解出射区域的衍射场。

步骤401、求解每个二维光栅层的特征矩阵；

二维光栅的特征矩阵为：

M_L＝F_LG_L    (7)

其中

$F_L=\left(\begin{array}{cc}{K}_y{E}_L^{-1}{K}_x& I-K_y{E}_L^{-1}{K}_y\\ K_x{E}_L^{-1}{K}_x-I& -K_x{E}_L^{-1}{K}_y\end{array}\right)$

$G_L=\left(\begin{array}{cc}{K}_x{K}_y& {\mathrm{\alpha A}}_L^{-1}+(1-\alpha )E_L-K_y^2\\ K_x^2-{\mathrm{\alpha E}}_L-(1-\alpha )A_L^{-1}& -K_x{K}_y\end{array}\right)---\left(8\right)$

$\alpha =\frac{f_y{\Lambda }_y}{f_x{\Lambda }_x+f_y{\Lambda }_y}$

其中E_L，A_L，K_x，K_y、I都是(L_t×L_t)阶矩阵，L_t＝L_x×L_y。

E_L中的元素为ε_L，(p，q)，A_L中的元素为ξ_L，(p，q)。

例如本发明设定L_x＝3，L_y＝3，由于则p＝[-2，-1，0，1，2]，q＝[-2，-1，0，1，2]；对于第L层光栅来说，根据步骤三生成的 ε_L，(p，q)为个，分别为：ε_{L，(-2，-2)}、ε_{L，(-2，-1)}、……ε_L，(2，2)。

每一层光栅对应的E_L的分配规则相同，以下忽略对层数的考虑，对大小为 (L_t×L_t)即9×9的矩阵E_L上元素的分配规律进行说明：

将E_L分成L_y×L_y(即9)个L_x×L_x(即3×3)的小矩阵，并将每一小矩阵e_(i，j)当作一元素，其中i＝[1，2，3]、j＝[1，2，3]，e_(1，1)为坐标等于(1，1)的小矩阵，e_(1，2)为 坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。针对于每一小矩阵e_(i，j)其内包含9个元素 e′_{(i，j)，(i′，j′)}，其中i′＝[1，2，3]、j′＝[1，2，3]，e′_{(i，j)，(1，1)}为小矩阵e_(i，j)内坐标等于(1，1)的小 矩阵元素，e′_{(i，j)，(1，2)}为小矩阵e_(i，j)内坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。

分配规律为：在小矩阵e_(i，j)中，其第(i′，j′)个元素e′_{(i，j)，(i′，j′)}＝ε_{L，(i′-j′，i-j)}；

例如对小矩阵e_(1，1)中的第(1，1)个元素e′_{(1，1)，(1，1)}，由于i-j＝0，i′-j′＝0，所以 e′_{(1，1)，(1，1)}(也就是相当于E_L中的第(1，1)个元素)等于ε_L，(0，0)。

例如对小矩阵e_(1，1)中的第(1，2)个元素e′_{(1，1)，(1，2)}，由于i-j＝0，i′-j′＝-1，所以 e′_{(1，1)，(1，2)}(也就是相当于E_L中的第(1，2)个元素)等于ε_L，(-1，0)。

例如对小矩阵e_(2，1)中的第(1，2)个元素e′_{(2，1)，(1，2)}，由于i-j＝1，i′-j′＝-1，所以 e′_{(2，1)，(1，2)}(也就是相当于E_L中的第(4，2)个元素)等于ε_L，(-1，1)。

例如对小矩阵e_(2，1)中的第(3，3)个元素e′_{(2，1)，(3，3)}，由于i-j＝1，i′-j′＝0，所以 e′_{(2，1)，(3，3)}(也就是相当于E_L中的第(6，3)个元素)等于ε_L，(0，1)。

例如对小矩阵e_(3，3)中的第(1，3)个元素e′_{(3，3)，(1，3)}，由于i-j＝0，i′-j′＝-2，所以 e′_{(3，3)，(1，3)}(也就是相当于E_L中的第(7，9)个元素)等于ε_L，(-2，0)。

例如对小矩阵e_(3，3)中的第(3，3)个元素e′_{(3，3)，(3，3)}，由于i-j＝0，i′-j′＝0，所以 e′_{(3，3)，(3，3)}也就是相当于E_L中的第(9，9)个元素等于ε_L，(0，0)。

依照上述规律获取的E_L如图4所示。

A_L上元素的分配规律与E_L相同，如图5所示。

K_x为对角矩阵，其对角元为α_m。

例如本发明设定L_x＝3，L_y＝3，由于D_x＝(L_x-1)/2，则D_x＝1，m＝[-1，0，1]；， 根据步骤二生成的α_m为3个，分别为：α_-1、α₀、α₁。

以下对大小为(L_t×L_t)即9×9的对角矩阵K_x对角元素的分配规律进行说明：

将K_x分成L_y×L_y(即9)个L_x×L_x(即3×3)的小矩阵，并将每一小矩阵当作一元素，其中i＝[1，2，3]、j＝[1，2，3]，为坐标等于(1，1)的小矩阵，为 坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。针对于每一小矩阵其内包含9个元素 其中i′＝[1，2，3]、j′＝[1，2，3]，为小矩阵内坐标等于(1，1)的小 矩阵元素，为小矩阵内坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。

由于K_x为对角矩阵，则只在以及的对角位置上存在元素值， 其余小矩阵的元素值皆为0。

分配规律为：在小矩阵中(即j＝i)，其第(i′，j′)(即j′＝i′)个元素 由于该分配规律与(i，j)无关，所以以及完全相 同。

例如对小矩阵中的第(1，1)个元素由于i′＝1，D_x＝1， i′-(D_x+1)＝-1，所以(也就是相当于K_x中的第(1，1)个元素)等于a_-1。

例如对小矩阵中的第(2，2)个元素由于i′＝2，D_x＝1， i′-(D_x+1)＝0，所以(也就是相当于K_x中的第(2，2)个元素)等于a₀。

依照上述规律获取的K_x如图6所示。

K_y为对角矩阵，其对角元为β_n。

例如本发明设定L_x＝3，L_y＝3，由于D_y＝(L_y-1)/2，则D_y＝1，n＝[-1，0，1]；， 根据步骤二生成的β_n为3个，分别为：β_-1、β₀、β₁。

以下对大小为(L_t×L_t)即9×9的对角矩阵K_y对角元素的分配规律进行说明：

将K_y分成L_y×L_y(即9)个L_x×L_x(即3×3)的小矩阵，并将每一小矩阵当作一元素，其中i＝[1，2，3]、j＝[1，2，3]，为坐标等于(1，1)的小矩阵，为 坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。针对于每一小矩阵其内包含9个元素 其中i′＝[1，2，3]、j′＝[1，2，3]，为小矩阵内坐标等于(1，1)的小 矩阵元素，为小矩阵内坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。

分配规律为：在小矩阵中(即j＝i)，其对角元素由于该分配规律与(i′，j′)无关，所以每一小矩阵内的对角元素相同。

例如对小矩阵中的第(1，1)个元素由于i＝1，D_y＝1， i-(D_y+1)＝-1，所以(也就是相当于K_y中的第(1，1)个元素)等于β_-1。

例如对小矩阵中的第(2，2)个元素由于i＝2，D_y＝1， i-(D_y+1)＝0，所以(也就是相当于K_y中的第(5，5)个元素)等于β₀。

依照上述规律获取的K_y如图7所示。

I是单位阵，如图8所示。

步骤402、求解入射区的矩阵Y_I、Z_I，及透射区矩阵Y_II、Z_II。

其中Y_I、Z_I为对角矩阵，对角元素分别为Y_II、Z_II也是对角 矩阵，对角元素分别为

矩阵Y_I、Z_IY_II及Z_II上元素的分配规律相同，以下选取Y_I作为分析对象， 由于k为常数，因此忽略k对其上元素的分配规律进行详细说明。

例如本发明设定L_x＝3，L_y＝3，由于D_x＝(L_x-1)/2，则D_x＝1，m＝[-1，0，1]， 由于D_y＝(L_y-1)/2，则D_y＝1，n＝[-1，0，1]对于第L层光栅来说，根据步骤二 生成的r_(m，n)为3×3＝9个，分别为：r_(-1，-1)、r_(-1，0)、r_(-1，1)、……r_(1，-1)、r_(1，0)、r_(1，1)。

Y_I为(L_t×L_t)即9×9的对角矩阵，以下对Y_I对角元素的分配规律进行说明：

将Y_I分成L_y×L_y(即9)个L_x×L_x(即3×3)的小矩阵，并将每一小矩阵y_(i，j)当作一元素，其中i＝[1，2，3]、j＝[1，2，3]，y_(1，1)为坐标等于(1，1)的小矩阵，y_(1，2)为 坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。针对于每一小矩阵y_(i，j)其内包含9个元素 y′_{(i，j)，(i′，j′)}，其中i′＝[1，2，3]、j′＝[1，2，3]，y′_{(i，j)，(1，1)}为小矩阵y_(i，j)内坐标等于(1，1)的 小矩阵元素，y′_{(i，j)，(1，2)}为小矩阵y_(i，j)内坐标等于(1，2)的小矩阵，并依次类推。

由于Y_I为对角矩阵，则只在y_(1，1)、y_(2，2)以及y_(3，3)的对角位置上存在元素值， 其余小矩阵的元素值皆为0。

分配规律为：在小矩阵y_(i，j)中(即j＝i)，其第(i′，j′)(即j′＝i′)个元素 y′_{(i，j)，(i′，j′)}＝r((i′-D_x-1)，(i-D_y-1))。

例如对小矩阵y_(1，1)中的第(1，1)个元素y′_{(1，1)，(1，1)}，由于i′＝1，D_x＝1，i＝1，D_y＝1， i′-(D_x+1)＝-1，i-(D_y+1)＝-1，所以y′_{(1，1)，(1，1)}(也就是相当于Y_I中的第(1，1)个 元素)等于r_(-1，-1)。

例如对小矩阵y_(1，1)中的第(2，2)个元素y′_{(1，1)，(2，2)}，由于i′＝2，D_x＝1，i＝1， D_y＝1，i′-(D_x+1)＝0，i-(D_y+1)＝-1，所以y′_(1,1),(2,2)(也就是相当于Y_I中的 第(2，2)个元素)等于r_(0，-1)。

例如对小矩阵y_(2，2)中的第(2，2)个元素y′_{(2，2)，(2，2)}，由于i′＝2，D_x＝1，i＝2， D_y＝1，i′-(D_x+1)＝0，i-(D_y+1)＝0，所以y′_{(2，2)，(2，2)}(也就是相当于Y_I中的 第(5，5)个元素)等于r_(0，0)。

依照上述规律获取的Y_I、Z_IY_II及Z_II如图9-12所示。

步骤403、利用电磁场切向连续的边界条件，得到入射区与出射区电磁场之 间的表达式；

(N＝2)(9)

$\underset{L=1}{\overset{N=2}{\Pi }}\left(\begin{array}{cc}{V}_{L,1}& V_{L,1}{X}_L\\ W_{L,1}& -W_{L,1}{X}_L\\ W_{L,2}& -W_{L,2}{X}_L\\ V_{L,2}& V_{L,2}{X}_L\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}{V}_{L,1}{X}_L& V_{L,1}\\ W_{L,1}{X}_L& -W_{L,1}\\ W_{L,2}{X}_L& -W_{L,2}\\ V_{L,2}{X}_L& V_{L,2}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ {\mathrm{jY}}_{\mathrm{II}}& 0\\ 0& I\\ 0& {\mathrm{jZ}}_{\mathrm{II}}\end{array}\right)T$

其中

V_L，1＝F_cW_L，y-F_sW_L，xV_L，2＝F_cW_L，x+F_sW_L，y

W_L，1＝F_cV_L，x+F_sV_L，yW_L，2＝F_cV_L，y-F_sV_L，x

(10)

W_L，x＝[w_L，x]W_L，x＝[w_L，x]

V_L，x＝[v_L，x]V_L，x＝[v_L，x] $W_L=\left(\begin{array}{c}{w}_{L,y}\\ w_{L,x}\end{array}\right)$为第L层二维光栅特征矩阵M_L的本征矢量矩阵；

q_L，l为第L层二维光栅特征矩阵M_L的本征值矩阵中第(l，l)个元素的正平方根 l＝[1，2，3，……，2L_t]；

X_L表示第L层二维光栅中的对角矩阵，对角元素(l，l)为exp(-kq_L，ld_L)；

d_L表示第L层二维光栅的厚度；

$V_L=\left(\begin{array}{c}{v}_{L,y}\\ v_{L,x}\end{array}\right)=F_L^{-1}{Q}_L{W}_L;$

Q_L是对角元素(l，l)为q_L，l的对角矩阵；

F_c是对角元为的对角矩阵；

F_s是对角元为的对角矩阵；

F_c和F_s的对角元素的分配规则与Y_I相同，如图13-14所示。

δ_m0为L_x×1的矩阵，其中当m＝0时，δ(m+D_x+1，1)＝1；当m≠0时， δ(m+D_x+1，1)＝0；

δ′_n0为L_y×1的矩阵，其中当n＝0时，δ′(n+D_y+1，1)＝1；当n≠0时， δ′(n+D_y+1，1)＝0；

R为中间变量；

T为待求解的透射场各个衍射级次的幅值；

步骤404、利用增强透射矩阵法，求解透射场的各个衍射级次的幅值T；其 中T为2L_t×1的矩阵，T中的每一元素为复数a+bj的形式，其中衍射场的幅值 为即获得偏振光出射区的衍射场。

利用增强透射矩阵法，入射区与出射区电磁场之间的表达式为：

其中

$\left(\begin{array}{c}{f}_L\\ g_L\end{array}\right)T_L=\left(\begin{array}{cc}{V}_{L,1}& V_{L,1}{X}_L\\ W_{L,1}& -W_{L,1}{X}_L\\ W_{L,2}& -W_{L,2}{X}_L\\ V_{L,2}& V_{L,2}{X}_L\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}I\\ b_L{a}_L^{-1}{X}_L\end{array}\right)T_L---\left(12\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_L\\ b_L\end{array}\right){=\left(\begin{array}{cc}{V}_{L,1}& V_{L,1}\\ W_{L,1}& -W_{L,1}\\ W_{L,2}& -W_{L,2}\\ V_{L,2}& V_{L,2}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{f}_{L+1}\\ g_{L+1}\end{array}\right)---\left(13\right)$

$\left(\begin{array}{c}{f}_3\\ g_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ {\mathrm{jY}}_{\mathrm{II}}& 0\\ 0& I\\ 0& {\mathrm{jZ}}_{\mathrm{II}}\end{array}\right)---\left(14\right)$

$T=a_2^{-1}{X}_2{a}_1^{-1}{X}_1{T}_1---\left(15\right)$

进一步地，本发明还可求解出各衍射级次的衍射效率；

第(m，n)级次的衍射效率为：

${\eta }_{(m,n)}={\left|T_{s,(m,n)}\right|}^2\mathrm{Re}\left(\frac{t_{(m,n)}}{{\mathrm{kn}}_I\cos \theta }\right)+{\left|T_{p,(m,n)}\right|}^2\mathrm{Re}\left(\frac{t_{(m,n)}/n_{\mathrm{II}}^2}{{\mathrm{kn}}_I\cos \theta }\right)---\left(16\right)$

其中T_s为T中的上半部分元素组成的矩阵，T_p为T中的下半部分元素组成的矩 阵。T_s，(m，n)为T_s中的第((m+D_x+1)+(n+D_y)L_x)个元素，T_p，(m，n)为T_p中的第 ((m+D_x+1)+(n+D_y)L_x)个元素。

进一步地，本发明还可以求解各衍射级次的偏振度(Degree of Polarization， DoP)

${\mathrm{DoP}}_{(m,n)}=\frac{{\eta }_{(m,n)}^{\mathrm{TE}}-{\eta }_{(m,n)}^{\mathrm{TM}}}{{\eta }_{(m,n)}^{\mathrm{TE}}+{\eta }_{(m,n)}^{\mathrm{TM}}}·100\%---\left(17\right)$

其中当入射光为TE偏振光时，将η_(m，n)定义为当入射光为TM偏振光时， 将η_(m，n)定义为DoP为正，表示掩模类似TE偏振片，DoP为负，表示掩模 类似TM偏振片

发明实例一：

这里计算了标准的6％Ta/SiO₂ Att.PSM，45nm的接触孔(Contact Hole)结构 中，添加辅助线条后，(0、0)、(1、0)级次的衍射效率、偏振度随着特征尺寸及 掩模辅助线条宽度变化的关系图。其中波长为193nm，入射角为10°，方位角为30°， 掩模在x、y轴上的占空比均为1/10，且x、y轴上的SRAF的宽度及其与主特征图 形的间距均相等。没有特别指出的话，辅助线条的宽度为linewidth/4，辅助线条 与主特征图形间距为2.2×linewidth，均为晶圆尺度。Ta折射率、消光系数及厚度 分别为1.63、2.58及21nm.，SiO₂折射率、消光系数及厚度分别为1.63、0.006及144nm。

图15双层(Ta/SiO₂)衰减相移接触孔掩模添加辅助线条后，衍射级次的衍射 效率随着特征尺寸(晶圆上的尺度)变化的关系图。(a)为TE、TM入射时，(0，0) 级次的衍射效率，(b)为TE、TM入射时，(1，0)级次的衍射效率

图16双层(Ta/SiO₂)衰减相移接触孔掩模添加辅助线条后，衍射级次的衍射 效率随着辅助线条宽度b(晶圆尺度)变化的关系图。(a)为TE、TM入射时，(0，0) 级次的衍射效率，(b)为TE、TM入射时，(1，0)级次的衍射效率。此处计算结果表 明，图15、16中(0，0)级次衍射效率非常接近，DoP近似为0，另外，(1，0)级次的衍 射效率也非常低，所以也没有给出其DoP的变化。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保 护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等， 均应包含在本发明的保护范围之内。