一种索杆张力结构初始预应力分布确定方法

摘要

本发明公开了一种索杆张力结构初始预应力分布确定方法，属于空间结构的建筑设计和结构设计领域。第一步、给定索杆张力结构的几何和拓扑关系，并计算其平衡矩阵：第二步、计算索杆张力结构的自应力模态数：第三步、确定优化方法中的目标函数，第四步、随机产生c组自应力模态组合系数，从而可以得到c个初始预应力分布，利用梯度法进行优化，从而得到c组最终初始预应力分布，然后比较c组最终初始预应力分布对应的刚度矩阵二次型最小特征根，取刚度矩阵二次型最小特征根最大的数据为最终结果，c的取值为大于100的整数；第五步、判断所取初始预应力分布的索杆张力结构是否满足稳定性条件。

说明书

技术领域

本发明公开了一种基于梯度法优化的索杆张力结构初始预应力分布确定方法，属于空 间结构的建筑设计和结构设计领域。

背景技术

索杆张力结构是由拉索和压杆为基本单元组成的，它与一般传统结构的最大区别是结 构内部存在自应力模态和机构位移。如果结构可通过施加预应力提供刚度，虽然结构内部 存在一阶无穷小机构，但仍能像传统结构一样承受一定的荷载。在未施加预应力前，结构 自身刚度无法维持形状，体系处于松弛态，只有施加一定大小的预应力才能成形和承受荷 载；且其预应力的大小和分布直接影响着结构的受力性能，只有结构中的预应力大小和分 布合理，结构才能有良好的力学性能。因此求解索杆张力结构初始预应力分布是首先需要 解决的关键问题。

在一个三维索杆结构中，假定自由节点i与节点j、k相连，连接节点i、j的单元(i，j)， 其内力为f_ij，长度为l_ij；连接节点i、k的单元(i，k)，其内力为f_ik，长度为l_ik；作用于节 点i的外荷载为p_i，其在x、y、z三个方向的分量为p_ix、p_iy、p_iz。索杆体系在节点i处的 平衡方程可以表述为：

$\left(\begin{array}{c}(x_i-x_j)f_{\mathrm{ij}}/l_{\mathrm{ij}}+(x_i-x_k)f_{\mathrm{ik}}/l_{\mathrm{ik}}=p_{\mathrm{ix}}\\ (y_i-y_j)f_{\mathrm{ij}}/l_{\mathrm{ij}}+(y_i-y_k)f_{\mathrm{ik}}/l_{\mathrm{ik}}=p_{\mathrm{iy}}\\ (z_i-z_j)f_{\mathrm{ij}}/l_{\mathrm{ij}}+(z_i-z_k)f_{\mathrm{ik}}/l_{\mathrm{ik}}=p_{\mathrm{iz}}\end{array}\right)$

假定给定一个空间铰接结构体系，其杆件数为b，节点数为N，约束数为k，则结构体 系的非约束位移数为n＝3×N-k。该结构体系的平衡方程为：

Af＝P

其中A为n×b矩阵，称为平衡矩阵；f为b维杆件内力矢量；P为n维节点力矢量。

根据矩阵理论，设A矩阵的秩为r，则可对A矩阵进行奇异值分解：

$A=U\left(\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{rr}}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)W^T$

式中S_rr＝diag{S₁₁，S₂₂，...，S_rr}称为矩阵A的奇异值，并有S₁₁≥S₂₂≥...≥S_rr＞0；矩阵U和V 分别可以表示为：[u₁，u₂，...，u_r，m₁，...，m_m]和[w₁，w₂，...，w_r，t₁，...，t_s]，则m＝n-r为机构位 移模态数，s＝b-r为自应力模态数。

当前大部分索杆张力结构找力方法中，没有考虑结构承受荷载的能力，而土木工程结 构均是用来承受荷载的，所以这样求得的预应力分布可能致使结构的刚度很弱。

发明内容

为了克服现有初始预应力分布确定方法不考虑结构刚度的缺点，本发明利用优化方法 寻找能够保证结构几何稳定、刚度最大、预应力分布均匀以及满足拉索受拉、压杆受压等 条件的初始预应力分布形式。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：

一种索杆张力结构初始预应力分布确定方法，包含如下步骤：

第一步、给定索杆张力结构的几何和拓扑关系，其杆件数为b，节点数为N，约 束数为k，则结构体系的非约束位移数为n＝3×N-k，并计算其平衡矩阵：

Af＝P

其中A为n×b矩阵，称为平衡矩阵；f为b维杆件内力矢量；P为n维节点力矢量；

第二步、计算索杆张力结构的自应力模态数：

$A=U\left(\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{rr}}& 0\\ 0& 0\end{array}\right)W^T$

式中S_rr＝diag{S₁₁，S₂₂，...，S_rr}称为矩阵A的奇异值，并有S₁₁≥S₂₂≥...≥S_rr＞0；矩阵U和V 分别可以表示为：[u₁，u₂，...，u_r，m₁，...，m_m]和[w₁，w₂，...，w_r，t₁，...，t_s]，则m＝n-r为机构位 移模态数，s＝b-r为自应力模态数；

当所求的自应力模态数s为1时，如果这个自应力模态满足索受拉，杆受压的条件， 就是所要求的初始预应力分布；如果不满足这个条件，需重新给定结构的几何或拓扑关系； 当自应力模态数s大于1时，则一般预应力状态T是s个独立自应力模态的线性组合，即

T＝α₁T₁+α₂T₂+...+α_sT_s

式中：T_i为体系第i阶独立自应力模态向量；α_i为组合系数，用优化方法来寻找组合系数α_i；

第三步、确定优化方法中的目标函数，

$\min (w_1(-{\lambda }_{\min })+w_2(\underset{i=1}{\overset{b_1}{\Sigma }}{\mathrm{funtc}}_i+\underset{i=1}{\overset{b_2}{\Sigma }}{\mathrm{funts}}_i)+w_3(\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{t}_i^2-\delta )+w_4(\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{(t_i-\bar{t})}^2-ϵ))$

其中，w₁为最小特征值权重系数，w₂为可行性条件权重系数，w₃为总预应力大小权重 系数，w₄为总预应力分布均匀性权重系数，δ为给定的总预应力大小的限值条件，ε为给定的内 力偏差限值，min(-λ_min)为索杆张力结构的刚度最大条件，为杆件的内力需求条件， 为预应力分布的均匀性，为结构的可行性条件，λ_min是索杆张力结构几何刚度矩阵二次型的最小特征根，t_i向量T中第i个元素，也即第i根 杆件的内力，为所有杆件内力的平均值，表示为：在杆件为拉索时，funtc_i表示 为：

在杆件为压杆时，funts_i表示为：

第四步、随机产生c组自应力模态组合系数，从而可以得到c个初始预应力分布，利 用梯度法进行优化，从而得到c组最终初始预应力分布，然后比较c组最终初始预应力分 布对应的刚度矩阵二次型最小特征根，取刚度矩阵二次型最小特征根最大的数据为最终结 果，c的取值为大于100的整数；

第五步、判断所取初始预应力分布的索杆张力结构是否满足稳定性条件，结构的稳定 性通过其切线刚度矩阵K是否正定来判断，如果结构是稳定的，则在任意的小位移模态d 下切线刚度矩阵的二次型是正定的：

d^TKd＞0

如果满足稳定性条件，输出结果；如果不满足稳定性条件，重新进行第四步。

本发明的有益效果是，本发明以体系刚度最大、预应力分布均匀以及拉索受拉、压杆 受拉为目标函数，利用优化方法寻找自应力模态组合系数。本发明确定的索杆张力结构的 初始预应力分布，考虑了结构承受荷载的能力，在结构总预应力大小一定的情况下，刚度 最大。另外，均匀的预应力分布在结构的设计、施工甚至维护等方面都具有优越性。所以 本发明确定的预应力分布，将使同类构件拥有相同的截面，这样即可以节省原材料以及方 便施工，更重要的是使同类构件的安全储备相同。由于本发明的限制条件较少，适合各种 索杆体系的预应力水平的确定。

附图说明

下面结合附图及实施例对本发明进一步详细说明：

图1是本发明计算流程图。

图2是索杆张力结构节点编号图。

图3是索杆张力结构杆件编号图。

图4是不同自应力模态向量组合系数初值优化结果的比较示意图。

具体实施方式

确定索杆张力结构初始预应力分布包含如下步骤：

(1)给定索杆张力结构的几何和拓扑关系，并计算其平衡矩阵；

(2)计算索杆张力结构的自应力模态数。当所求的自应力模态数s为1时，如果这个 自应力模态满足索受拉，杆受压的条件，就是所要求的初始预应力分布；如果不满足这个 条件，需重新给定结构的几何或拓扑关系。本发明主要针对自应力模态数s大于1的情况， 则一般预应力状态T是s个独立自应力模态的线性组合，即

T＝α₁T₁+α₂T₂+...+α_sT_s

式中：T_i为体系第i阶独立自应力模态向量；α_i为组合系数。一般可以用优化方法来寻找 组合系数α_i。

(3)确定优化方法中的目标函数，

$\min (w_1(-{\lambda }_{\min })+w_2(\underset{i=1}{\overset{b_1}{\Sigma }}{\mathrm{funtc}}_i+\underset{i=1}{\overset{b_2}{\Sigma }}{\mathrm{funts}}_i)+w_3(\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{t}_i^2-\delta )+w_4(\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{(t_i-\bar{t})}^2-ϵ))$

其中，w₁为最小特征值权重系数，w₂为可行性条件权重系数，w₃为总预应力大小权重系 数，w₄为总预应力分布均匀性权重系数，δ为给定的总预应力大小的限值条件，ε为给定的内力 偏差限值。目标函数的其它参数的含义如下：

(a)刚度最大

结构的切线刚度矩阵K可以分为几何刚度矩阵K_G和材料刚度矩阵K_E，则对任意的位 移模态d，刚度矩阵的二次型Q可以表述为：

Q＝d^TKd＝d^TK_Ed+d^TK_Gd

而一般索杆张力结构都是动不定结构，如果上式中的d为位移模态矩阵M(矩阵M为 矩阵U的最后m列)，则K_EM＝0。其刚度矩阵的二次型可以写为：

Q＝M^TK_GM

根据式7给出的Q的最小特征值λ_min可以判断结构的刚度的大小。λ_min越大，则结构 的刚度越大。因此，如果希望在体系的材料和外荷载确定的情况下结构的刚度最大，预应 力分布应该使Q的最小特征值λ_min最大。所以索杆张力结构的刚度最大可以表述为：

min(-λ_min)

需要指出的是，结构使用的总预应力大小需要控制；否则的话，如果预应力分布全部 放大k倍，则刚度矩阵的二次型对应的特征值也放大k倍。这样，寻找最大的特征值λ_min就变为寻找最大的k了。本节是通过给定所有杆件的内力平方和来限制总体预应力大小的， 具体如下式表示为：

$\mathrm{constr}\left(T\right)=T^{T}T=\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{t}_i^2$

其中t_i为向量T中第i个元素，也即第i根杆件的内力。所以杆件的内力需要满足：

$\min (\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{t}_i^2-\delta )$

(b)预应力分布的均匀性

均匀的预应力分布在结构的设计、施工甚至维护等方面都具有优越性。例如，均匀的 预应力分布，将使同类构件拥有相同的截面，这样即可以节省原材料以及方便施工，更重 要的是使同类构件的安全储备相同。在这里，通过控制各单元内力偏差，具体由下式求得：

$\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{(t_i-\bar{t})}^2$

其中：所以预应力分布的均匀性可以表述为：

$\min (\underset{i=1}{\overset{b}{\Sigma }}{t}_i^2-ϵ)$

(c)可行性条件

由于索杆结构的拉索只能受拉，压杆只能受压，所以需要在确定预应力分布时考虑杆 件预应力的正负属性。设前b₁根杆件为拉索，后b₂根杆件为压杆，本文通过如下程序来 判断结构中的杆件是否满足可行性条件。在杆件为拉索时，函数为：

在杆件为压杆时，函数为：

则结构的可行性条件的目标函数为：

$\min (\underset{i=1}{\overset{b_1}{\Sigma }}{\mathrm{funtc}}_i+\underset{i=1}{\overset{b_2}{\Sigma }}{\mathrm{funts}}_i)$

(4)随机产生c组自应力模态组合系数，从而可以得到c个初始预应力分布，利用梯 度法进行优化，从而得到c组最终初始预应力分布，然后比较c组最终初始预应力分布对 应的刚度矩阵二次型最小特征根，取刚度矩阵二次型最小特征根最大的数据为最终结果。 c的取值为大于100的整数。

(5)判断所取初始预应力分布的索杆张力结构是否满足稳定性条件。结构的稳定性 可以通过其切线刚度矩阵K是否正定来判断。如果结构是稳定的，则在任意的小位移模态 d下切线刚度矩阵的二次型是正定的：

d^TKd＞0

如果满足稳定性条件，输出结果；如果不满足稳定性条件，重新进行第4步。

利用图1所示的流程编制相应程序，结构具体算例对本发明的具体实施方式作出更为 详细的说明：

索穹顶结构设置一道环索，杆件数b＝49，其中压杆为9，拉索为40，非约束节点为 18，约束节点数为8。其节点坐标见表1，该结构具有6个自应力模态，见表2。其节点和 杆件编号见图2和图3。确定内力平方和的约束值δ＝30，内力偏差限值ε＝0.001。由于初 始模态向量组合系数对最终优化结果有一定的影响，因此程序采取搜寻100个，选取刚度 矩阵二次型最小特征根最大的数据为最优的结果。100组结果数据的比较如图4所示。得 到最佳的刚度矩阵二次型的最小特征根为1.0994。

利用优化方法得到最佳的独立自应力模态向量组合系数为：{-2.2929 -0.2352 -0.0361 4.1286 0.0147 -2.7641}^T。优化后得到的杆件的力密度分布见表3。

表1 索穹顶结构节点坐标

表2 索穹顶结构的自应力模态

表3 索穹顶结构优化结果