基于数字图像相关的塑性多缺陷材料M积分测量方法

摘要

本发明公开了一种基于数字图像相关的塑性多缺陷材料M积分测量方法，利用M积分的直接定义，其积分项中的位移场通过数字散斑相关技术测得；应变及位移梯度场利用三次样条拟合获得；塑性材料表面应力场通过Ramberg-Osgood本构方程计算求得；弹塑性应变能密度分布则由非线性的应力-应变曲线数值积分获得。选取包含所有缺陷的任意闭合路径，通过数值积分计算M积分值。该方法主要针对于塑性材料，适用于各种不同的缺陷及缺陷群在塑性变形时的M积分测量，可用于表征塑性材料损伤及结构完整性评估。

说明书

技术领域

本发明涉及一种塑性多缺陷材料损伤参量——M积分的数字图像相关测 量方法

技术背景

裂纹、空洞、夹杂等缺陷的存在往往会破坏机械结构的完整性，降低材 料强度和部件的寿命。在断裂力学中，沿单个裂尖闭合路径计算求得的J积分 作为一个断裂参数，在预测裂纹的稳定性与扩展方面有着广泛的应用。但对 于多缺陷的损伤描述，J积分则很难发挥作用，一是因为多缺陷材料往往并不 存在主裂纹，这样包围单个裂尖的J积分路径难于选取；二是如果选取包含所 有缺陷的路径计算J积分，J积分将满足守恒定律，其值为零，无法作为断裂 损伤参数描述材料破坏。

最近，作为一种描述材料多缺陷损伤的力学参量，M积分引起了国内学 者的广泛关注。经过几十年的研究，M积分作为一个可以表征材料中各种微 观缺陷及其演化的力学参量，在材料损伤及结构完整性评估中发挥着重要作 用。在弹塑性多缺陷材料损伤力学研究中，围绕整个缺陷的M积分，表征了 该缺陷自相似扩展的能量释放率，此物理意义不依赖于闭合积分所包围的缺 陷或缺陷群的具体形态。M积分的定义表达式如下：

其中w＝σ_ijε_ij/2，σ_kj，ε_ij，u_k和n_i分别为材料应变能密度、应力、应变、位移和围 绕缺陷闭合积分路径C的外法向矢量；其中u_k，i为位移对相关坐标x_i的偏微分。

针对M积分参量的实验测量方法研究，目前国内外还几乎是空白。King 和Herrmann[King，R.B.and Herrmann，G.(1981)Nondestructive Evaluation of  the J and M-integrals，ASME Journal of Applied Mechanics，48，83-87]针对两种 简单的单裂纹(单边裂纹和中心裂纹)，提出了一种无损测量M积分的方法。 此方法有明显不足之处：(1)此方法只能针对特定的单裂纹情况，对于复杂 的多缺陷问题无法适用；(2)材料必须为各向同性的线弹性材料，对于塑性 材料，该方法无法适用。而工程上大量应用的材料，其内部缺陷多种多样(裂 纹、空洞、夹杂、位错等)，且材料很容易产生塑性变形，从而限制了该方法 的应用。

此外，随着实验力学以及相关的计算机图形处理技术的发展，数字图像 相关技术逐渐运用于材料和结构的变形测量中，可用于测量各种材料类型下 的位移场。它主要利用数学相关方法来分析受载荷作用下的试样表面数字图 像数据(物体表面的随机分布的散斑点记录在数字图像中)，即利用数字图像的 灰度值模式来精确测定变形，具有光路简单、对测量环境要求低、对光源要 求低、对测量范围可以任意制定等特点。

发明内容

本发明针对以往技术所存在的问题，通过数字散斑相关技术测量方法，对 含多缺陷的塑性材料在任意载荷下的位移场进行测量，并利用 Ramberg-Osgood非线性本构方程计算材料的各物理场，进而提出一种塑性多 缺陷材料M积分的无损测量方法。具有测量准确度较高、适用缺陷对象宽泛、 测量简便、载荷可以任意加载等特点。为达到以上目的，本发明采取如下技 术方案予以实现：

一种基于数字图像相关的塑性多缺陷材料M积分测量方法，其特征在于， 包括下述步骤：

(1)制备拉伸试验标准试件，对该试件进行单向拉伸，得到试件材料的 非线性应变-应力曲线，引入Ramberg-Osgood塑性本构：ε/ε₀＝σ/σ₀+α(σ/σ₀)ⁿ， 利用最小二乘法拟合所述的应变-应力曲线，得到试件的各个材料常数：弹性 模量E、泊松比v、屈服应变ε₀、屈服应力σ₀、硬化系数α及硬化指数n；

(2)针对存在陷缺的同一材料另一试件，使用三维白光散斑应变测量设 备，测量在其在整个加载过程中试件表面的位移场u_x和u_y；采样并记录每个 载荷步下的试件表面的位移场u_x和u_y；

(3)利用均值滤波器方法对步骤(2)得到的每个载荷步下含有噪声的 位移场进行平滑处理，将平滑处理后的位移场在两坐标轴方向进行三次样条 曲线拟合，得到位移场沿两坐标轴方向的位移梯度：和 以及应变场ε_x、ε_y、ε_xy；

(4)利用步骤(3)得到的应变场ε_x、ε_y、ε_xy及步骤(1)得到的各个材 料常数，通过Ramberg-Osgood本构方程组：

${ϵ}_x=(1+v){\sigma }_x/E-v({\sigma }_x+{\sigma }_y)/E+\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}({\sigma }_x-1/2*{\sigma }_y)/E$

${ϵ}_y=(1+v){\sigma }_y/E-v({\sigma }_x+{\sigma }_y)/E+\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}({\sigma }_y-1/2*{\sigma }_x)/E---\left(2\right)$

${ϵ}_{\mathrm{xy}}=(1+v){\sigma }_{\mathrm{xy}}/E+3/2*\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}{*\sigma }_{\mathrm{xy}}/E$

求解应力场σ_x、σ_y、σ_xy，其中为Mises等效应力；

(5)重复步骤(3)和(4)，得到整个拉伸过程该试件表面任意点的应力 -应变关系曲线，将该关系曲线的散点序列带入进行数值积分，得 到当前载荷步下的应变能密度w；

(6)选取围绕步骤(2)试件所有缺陷的任意闭合积分路径，利用M积 分定义式：通过步骤(3)～(5)得到的该路径上一 系列离散点的各个应力、应变、位移梯度及应变能密度，采用数值积分计算 M积分值。

本发明适用于含有各种缺陷及缺陷群的塑性材料薄板的M积分测量，如 金属、橡胶、陶瓷等；与以往方法相比，不但适用各种复杂缺陷类型，最重 要的是其适用于工程塑性材料的损伤参数测量。本发明公布的测量手段直接 源于M积分的定义表达式，测量得到的值准确度较高。

附图说明

图1为本发明采用的LY12硬铝合金单向拉伸的应力-应变曲线，及 Ramberg-Osgood本构方程的最小二乘法拟合结果。

图2为试件表面多孔缺陷、积分路径及加载示意图。

图3为试件与ARAMIS 4M测量装置示意图。

图4为经平滑滤波器处理后试件表面位移场分布云图。其中：(a)图为u_x； (b)图为u_y。

图5为三次样条拟合的试件应变场及位移梯度场分布云图。其中：(a)图 为ε_xx；(b)图为ε_yy；(c)图为(d)图为

图6为根据Ramberg-Osgood塑性本构计算得到应力场分布云图。其中： (a)图为σ_xx；(b)图为σ_yy；(c)图为σ_xy。

图7为通过数值积分应力-应变曲线，得到的外载荷为60,000N状态时的 应变能密度分布云图。

具体实施方法

本发明塑性多缺陷材料损伤参量M积分的数字图像相关技术测量方法， 包括以下步骤：

(1)制备拉伸试验标准试件，对该试件进行单向拉伸，得到该试件的非 线性应变-应力曲线，引入Ramberg-Osgood塑性本构：ε/ε₀＝σ/σ₀+α(σ/σ₀)ⁿ， 利用最小二乘法拟合所述应变-应力曲线，得到试件的材料常数：弹性模量E、 泊松比v、屈服应变ε₀、屈服应力σ₀、硬化系数α及硬化指数n；

(2)将存在缺陷的同一材料的另一试件表面进行抛光处理，然后将试件 表面用两种色差大(如黑白两色)的消反光漆喷涂成随机分布的散斑状态， 按ARAMIS实验设备手册设置测量设备，用MTS试验机对试件进行加载， 通过测量设备的黑白镜头记录加载过程的试件表面照片，利用三维数字图像 相关软件计录每一载荷步下的位移场u_x和u_y。

(3)使用均值滤波器对步骤(2)得到的含有噪声的位移场进行平滑处理， 将平滑处理后的位移场在两坐标轴方向上用三次样条曲线进行拟合，并求其 位移场沿两个坐标方向的位移梯度，也即位移偏导数：和 根据材料的几何方程计算求得每 一载荷步下试件表面的应变场ε_x、ε_y、ε_xy；

(4)利用步骤(3)得到的应变场ε_x、ε_y、ε_xy及步骤(1)得到的各个材 料常数，通过Ramberg-Osgood本构方程组：

${ϵ}_x=(1+v){\sigma }_x/E-v({\sigma }_x+{\sigma }_y)/E+\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}({\sigma }_x-1/2*{\sigma }_y)/E$

${ϵ}_y=(1+v){\sigma }_y/E-v({\sigma }_x+{\sigma }_y)/E+\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}({\sigma }_y-1/2*{\sigma }_x)/E---\left(2\right)$

${ϵ}_{\mathrm{xy}}=(1+v){\sigma }_{\mathrm{xy}}/E+3/2*\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}{*\sigma }_{\mathrm{xy}}/E$

求解应力场σ_x、σ_y、σ_xy；其中为Mises等效应力。 该本构方程组为高阶非线性方程组，三个未知数对应三个方程，可直接采用 数值迭代法求解；其方法求解如下：

引入垂直于试件表面的正应变分量ε_z的Ramberg-Osgood本构方程分式：

${ϵ}_z=-v({\sigma }_x+{\sigma }_y)/E-\alpha {(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}(1/2*{\sigma }_x+1/2*{\sigma }_y)/E---\left(3\right)$

其中各分量及材料各常数与式(2)相同。将式(2)与(3)组成方程组，并 取新方程组中的作为新的未知量X，即使得该方程组具 有五个未知量和四个方程，其中未知量分别为σ_x、σ_y、σ_xy、ε_z和X。解该方 程组，将ε_z之外的未知变量均用ε_z表出，得到σ_x、σ_y、σ_xy及X含有ε_z的表达 式：σ_x＝σ_x(ε_z)，σ_y＝σ_y(ε_z)，σ_xy＝σ_xy(ε_z)，X＝X(ε_z)。将σ_x(ε_z)、σ_y(ε_z)、σ_xy(ε_z) 带入再利用X表达式X(ε_z)，求解关于ε_z的非线性高阶方程

$X-{(\bar{\sigma }/{\sigma }_0)}^{n-1}=0---\left(4\right)$

由于试件处于单向拉伸状态，在缺陷区域之外的绝大部分区域ε_z应为负值， 且其绝对值不应大于拉伸方向正应变ε_y；因而设定ε_z的可能取值范围为 (-ε_y，0)，在该范围内对方程(4)进行迭代求解，即可得到方程(4)的解ε_z，进而 得到对应的表面应力场：σ_x(ε_z)、σ_y(ε_z)、σ_xy(ε_z)。数值结果表明，方程(4)在该 范围内一般会存在零点及极点各一个，而使方程等于零的ε_z是最符合实际的 解。

(5)重复步骤(3)和(4)，得到整个拉伸过程该试件表面任意点的应力 -应变关系曲线，将该关系曲线的散点序列带入进行数值积分，得 到当前载荷步下的应变能密度w；

(6)选取围绕所有缺陷的任意闭合积分路径，利用M积分定义式(1)，

通过步骤(3)-(5)得到的该路径上一系列离散点的各个应力、应变、 位移梯度及应变能密度分量，数值积分计算M积分值。

以下结合一个塑性硬铝合金含多孔缺陷实例，对本发明的M积分的实验 测量做进一步说明：

材料单向拉伸应力应变曲线如图1所示。通过最小二乘法拟合单向拉伸 数据，可得其线弹性范围内弹性模量为68.5Gpa，对应0.2％残余应变的屈服 应力σ₀为318Mpa，Ramberg-Osgood硬化指数α与硬化系数n分别为0.2587 和18.81。同时，利用单拉伸曲线在拉伸过程中拉伸方向正应变与垂直于拉伸 方向的正应变之比，可以得到材料的泊松比v约为0.33。

实例中的试件加载及M积分路径选取示意图如图2所示。材料尺寸 70×60×3mm，试件中央分布着60个直径为0.5mm的圆孔；利用MTS-880试 验机(MTS-880为美国MTS公司生产的力学测试与模拟系统)对试件两端进 行拉伸加载，载荷从0均匀增加至60,000N，约合296.6MPa。积分路径选取 边长不等的正方形，其半边长为s。

光学测量设备安装如图3所示。选用GOM公司生产的3D-DIC测量系统 ARAMIS 4M(ARAMIS 4M为德国GOM公司生产的三维光学变形测量系统， 该系统利用数字图像相关算法计算试件表面的变形)，在该测量体积下的位移 测量精度约为0.001mm。

由ARAMIS计算得到的试件加载状态下的位移场如图4(a，b)所示。

如图5所示，利用三次样条函数，将平滑过的位移数据求方向导数，得到 x方向正应变(图5a)；y方向正应变(图5b)；x方向位移对y的导数(图5c)；y 方向位移对x的导数(图5d)。

利用材料Ramberg-Osgood本构方程(2)，计算试件表面的应力分量。其 中x方向(拉伸方向)正应力分布如图6(a)所示，y方向正应力如图6(b) 所示，剪应力如图6(c)所示。

计算整个加载过程的所有载荷步的应力场及应变场，绘制应力-应变关系 曲线；通过数值积分，求解得到的该状态应变能密度分布如图7 所示。

将所求的位移、位移梯度、应变、应力及应变能密度代入M积分表达式 (1)，选取不同积分路径，通过数值积分方法计算M积分值；表1给出了60,000N 外载荷下，选取不同路径时M积分的实验结果值，可以看出，由于材料在缺 陷周围形成大范围塑性区，积分路径通过塑性区造成M积分测量结果在不同 路径下差异明显。

表1.载荷为60,000N下，不同积分路径下的实验测量M积分结果

  2s(mm)   20   24   28   32   36   40   M(Nm)   301.52   340.33   380.17   427.58   480.29   523.04