基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法

摘要

本发明公开了一种基于边界元法的矩形冗余填充耦合电容提取方法，它属于微电子技术领域，主要解决现有提取工具数据输入慢和计算效率不高的问题。其实现步骤是：首先，建立三维坐标系，提取矩形冗余填充模块与互连线模块的模型参数，其次，基于该参数数据，利用间接边界元法提取每两个模块之间的三维电容并构成电容矩阵，最后，根据电容的串并联原理计算出在添加了矩形冗余填充之后互连线之间的耦合电容的具体数值，完成耦合电容的提取。本发明具有应用方便，节省计算资源，处理速度快等优点。可用于集成电路设计过程中对矩形冗余填充耦合电容的提取。

说明书

技术领域

本发明属于微电子技术领域，涉及超大规模集成电路寄生工艺参数提取领域，特 别是涉及一种矩形冗余填充寄生电容提取方法，可用于集成电路设计过程中的寄生参 数提取和性能优化。

技术背景

随着IC制造工艺中多层金属化技术的广泛应用和工艺尺寸的不断缩小，化学机 械抛光CMP工艺已经成为生产过程中一个必不可少的环节。

在化学机械抛光工艺中，由于上层介质层的厚度对下层金属密度的依赖性，业界 一般通过增加冗余填充金属模块保证金属密度的均一化分布，以改善其平坦化效果。 但是这些填充物的存在对电路的电容会产生一定的影响。随着半导体工艺尺寸的按比 例缩小，在信号完整性、功率以及制造工艺等方面出现的问题愈发值得关注。冗余金 属填充式互连线的耦合电容已经越来越大，Sinha在“Impact of modern process technologies on the electrical parameters of interconnects Proceedings of the 20th International Conference on VLSI Design”一文中指出：冗余金属填充可使关键线网的总 电容最多增加到2.6倍。

冗余填充所产生的耦合效应对电路信号所产生的负面影响已不容忽视。因此考虑 冗余填充金属对互连的耦合效应已经成为业界的研究热点，精确掌握并计算冗余填充 带来的耦合电容的数值是一个重要方向。

互连参数提取问题最早是由IBM公司的Watson研究中心于20世纪70年代提出。 到90年代，集成电路制造已经进入深亚微米工艺，关于互连参数提取的相关算法研 究和软件开发逐渐活跃起来。数值模拟法是近来研究较热门的方法，这种方法是通过 建立精确的互连结构的几何模型，然后求解静电场计算寄生电容，从而得到较高精度 的计算结果。为提高计算的效率，人们对静电场的数值计算有了很多研究，诞生了不 同的参数提取软件。1991年美国麻省理工学院的J.White教授开发了采用准静电场近 似提取电容参数的FastCap。2003年德州农机大学的W.Shi开发出的参数提取软件 Phiicap又将FastCap的计算速度提高了60倍。

当前，互连寄生参数提取特别是寄生电容提取的软件日趋成熟。其中比较有代表 性的有：Avant！公司基于有限差分法的2D/3D互连分析软件Raphael于有，Ansoft 公司基于有限元法的Spicelink，J.White等人基于间接边界元法的FastCap以及 Quickcap、Acradia、AutoBEM等等。

上述方法多要求使用者首先建立输入数据矩阵，对每个导体的三维结构有较为彻 底的描述，例如FastCap即要求输入导体每个面上每个顶点的三维坐标，对于一个正 方体就需要输入24个三维坐标。虽然这样做对复杂结构的导体可以有较好的描述， 但是对于填充图形多为矩形，填充数量成百上千甚至更多的冗余金属填充来说，输入 数据将非常麻烦。并且对于需要大量金属模块的情况，软件计算过程中的数据矩阵将 会非常大，对计算机硬件提出了较高要求，增加了计算时间，延长了计算周期，增加 设计成本。

发明内容

本发明的目的在于提出一种专用于计算矩形冗余金属填充寄生电容的提取方法， 以提高数据输入和计算效率，实现大量矩形冗余金属填充的快速提取，满足目前集成 电路设计所面临的更为苛刻的要求。

实现本发明目的的技术方案，包括如下步骤：

1)视互连线与冗余填充金属为普通导体并建立三维坐标系，将互连线个数n、 冗余金属填充个数m、导体几何中心的坐标集合O、导体长度集合L、导体宽度集合 W、导体高度集合H这六个关键参数作为完全描述矩形冗余金属填充的参数集合；

2)利用间接边界元法，建立以上述参数集合为输入的电容矩阵：

2a)对每个普通导体进行编号，使其与导体几何中心坐标集合O、导体长度集合 L、导体宽度集合W和导体高度集合H相对应；

2b)选取编号为1和2的普通导体，定义其为普通导体1和普通导体2，提取两 者几何中心坐标(O₁，O₂)、长度(L₁，L₂)、宽度(W₁，W₂)和高度(H₁，H₂)；

2c)对普通导体1和普通导体2的表面进行方格划分，并对每个方格进行编号， 设总共划分的方格数为N，其中普通导体1表面方格数为N₁，普通导体2表面方格 数为N₂，N＝N₁+N₂；计算每个方格几何中心的三维坐标并构成三维坐标矩阵： O_□＝(O_□x，O_□y，O_□z)，其中O_□x、O_□y、O_□z为所有方格的几何中心分别在X轴、Y轴、 Z轴上的三维坐标所构成的列向量；

2d)根据三维坐标矩阵O_□，计算任意两个方格几何中心的直线距离，定义为D_ij第 i个方格的几何中心与第j个方格的几何中心的直线距离，并构成方阵D，D中元素D_ij表达式如下：

其中(O_□xi，O_□yi，O_□zi)和(O_□xj，O_□yj，O_□zj)分别表示第i个方格的几何中 心和第j个方格的几何中心的三维坐标值，第i个方格的几何中心与第j个方格的几 何中心的距离D_ij与第j个方格的几何中心于第i个几何中心的距离D_ji相等，即 D_ij＝D_ji；

2e)根据间接边界元法，将第i个方格几何中心的电势用所有的方格的电荷在第 i个方格几何中心产生的电势的总和表示：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{q_j}{4\pi {ϵ}_0{D}_{\mathrm{ij}}}(i=\mathrm{1,2,3},...,N),$

其中q_j为第j个方格所带的电量，ε₀为导体材料的电容率；第i个方格∈普通导 体1时，p_i＝1，第i个方格∈普通导体2时，p_i＝0；

2f)将q_i看作未知数，计算所有方格的电势p_i：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{D}_{\mathrm{ij}}}{q}_j,i=\mathrm{1,2,3},...,N,$

联立全部p_i式，得到线性方程组Aq＝p，其中p是所有电势p_i构成的列向量， p＝[p₁，p₂，p₃，…，p_N]^T，T为矩阵的转置符号，q是所有方格电量构成的未知数列向量， q＝[q₁，q₂，q₃，…，q_N]^T，A是线性方程组的系数矩阵，在i≠j时，矩阵A中的元素 $A_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{D}_{\mathrm{ij}}};$

当i＝j时，对A_ij的值进行特殊定义：

$A_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{2\pi {ϵ}_{0}b}\ln \left[(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}+\frac{b}{a}){(\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}+\frac{a}{b})}^{\frac{b}{a}}\right],$

其中a和b分别表示所计算方格即第i个方格的长和宽；

2g)利用广义极小残余算法GMRES求解线性方程组Aq＝p，得到未知数向量q 的解，再用该值计算普通导体1与普通导体2之间的三维电容C₁₂：

2h)按照步骤2b)到步骤2g)，计算任意两个普通导体的电容值，并构成矩阵C， 矩阵C中的元素C_st即为编号为s的普通导体与编号为t的普通导体之间的三维电容 值，对于矩阵中s＝t的特殊情况，令式中k为正整数；

3)求解耦合电容

3a)将矩阵C中元素转换成以下形式，并用C′表示：

$C^{\prime }\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{LL}}& C_{\mathrm{LF}}\\ C_{\mathrm{FL}}& C_{\mathrm{FF}}\end{array}\right),$

其中C_LL为互连线之间的电容值构成的矩阵，C_LF和C_FL为互连线与填充金属之间 的电容值构成的矩阵，C_FF为填充金属之间的电容值构成的矩阵，且

3b)定义添加冗余金属填充之后的互连线之间的电容矩阵为C_e，根据电容的串并 联定理得到

$C_e=C_{\mathrm{LL}}-C_{\mathrm{LF}}{C}_{\mathrm{FF}}^{-1}{C}_{\mathrm{FI}};$

4)将步骤3b)计算的电容矩阵C_e的每一个元素数值都赋予相对应的两条互连线， 得到任意两条互连线之间在添加冗余金属填充之后的耦合电容值，实现基于边界元法 的矩形冗余金属填充耦合电容的提取。

本发明具有以下优点：

1.本发明利用了矩形的特点，以参数集合为输入数据，对提取冗余填充的耦合 电容的问题能进行快捷有效的输入，提高效率。

2.本发明利用间接边界元法，直接计算出导体之间的寄生电容，相对于有限差 分法和直接边界元法，计算过程中线性方程组中的变量数要少得多，便于计算。

3.本发明对计算耦合电容的问题采用先计算出每两个导体之间的电容，构成电 容矩阵，然后利用电容串并联原理计算出耦合电容的方法；这样大大减少了计算过程 中线性方程组的系数矩阵的维度，而且冗余填充数量越大，这种优势就会越明显，从 而节约计算资源，加快计算速度，适用于大量填充的情况。

附图说明

图1是本发明的总流程图；

图2是本发明冗余金属填充及构建三维直角坐标系示意图；

图3是本发明对导体表面进行方格分块及方格几何中心之间的距离示意图；

具体实施方法：

下面结合附图对本发明作进一步的描述。

参照图1，本发明的具体实现如下：

步骤1.设定表示矩形冗余金属填充寄生电容的参数集合。

1.1)统计互连线个数为n，冗余金属填充个数为m，将互连线与矩形冗余金属填 充模块视为普通导体，其普通导体总数为M＝n+m，并对各普通导体编号；

1.2)参照图2，建立三维直角坐标系，使三个坐标轴分别与普通导体三个方向的 边平行，以便于坐标统计；各普通导体都是长方体，为规则几何体，根据边长尺寸找 到普通导体的几何中心，进而得到各普通导体的几何中心的坐标，并统计为系数矩阵 O，O共3列，行数与普通导体总数相同，每一行表示一个普通导体的几何中心在三 维直角坐标系中的三维坐标值。

1.3)统计各个普通导体的几何尺寸，对普通导体的长度、宽度和高度分别建立 集合，其中长度集合L是各普通导体在X轴方向的长度构成的列向量，宽度集合W 是各普通导体在Y轴方向的宽度构成的列向量，高度集合H是各普通导体在Z轴方 向的高度构成的列向量。

对于已经确定填充密度和填充规则的情况，上述几个参数集合能将冗余金属填充 的情况很好的表达出来。

步骤2.利用间接边界元法，建立以上述参数集合为输入的电容矩阵：

2.1)对每个普通导体进行编号，使其与普通导体的几何中心坐标集合O、长度集 合L、宽度集合W和高度集合H相对应；

2.2)选取编号为1和2的普通导体，定义其为普通导体1和普通导体2，提取两 者几何中心坐标(O₁，O₂)、长度(L₁，L₂)、宽度(W₁，W₂)和高度(H₁，H₂)。

2.3)根据导体参数，进行方格分割：

2.3a)若普通导体为正方体，则在X，Y，Z三个方向上的分割情况完全相同， 即在每个方向上对普通导体进行均匀分割，参照图3，设每个方向上分割的份数为n₀， 这样普通导体的每个面就分成等份，其中，n₀是一个与计算精度相关的可调正整 数值，n₀确定了分割后表面方格的数目，n₀的数值越大，最后计算得到的结果就会越 精确，对计算机硬件的要求也越高，为了保证精度，要求n₀不小于8；

由于每个普通导体为正方体，有6个面，因而待计算的两个普通导体一共12个 面，共被分成个方格，N为分成的方格总数；

2.3b)若普通导体为长方体，在X，Y，Z三个方向上的分割情况需要分开考虑， 由长方体在三个方向上的边长确定：X轴方向、Y轴方向和Z轴方向上分割的份数分 别用n_x、n_y和n_z表示，确定n_x、n_y、n_z的数值是为了使分割之后的方格尽量趋向于 正方形，避免出现过于扁长的长方形出现，以提高计算精确度，n_x、n_y、n_z之间满 足关系：

$n_y=\mathrm{FLOOR}\left(\frac{{\mathrm{wn}}_x}{l}\right),$$n_z=\mathrm{FLOOR}\left(\frac{{\mathrm{hn}}_x}{l}\right),$

其中是对向负无穷取整函数，是对向负无穷 取整函数，l、w、h分别表示普通长方体导体在X，Y，Z三个方向上的边长；

2.4)根据总共划分的方格数为N，设其中普通导体1表面方格数为N₁，普通导 体2表面方格数为N₂，N＝N₁+N₂；给所有方格进行编号，计算每个方格几何中心的 三维坐标并统计构成三维坐标矩阵：O_□＝(O_□x，O_□y，O_□z)，其中O_□x、O_□y、O_□z为所有 方格的几何中心分别在X轴、Y轴、Z轴上的三维坐标所构成的列向量；

2.5)根据三维坐标矩阵O_□，计算任意两个方格几何中心的距离，参照图3，定义 D_ij为第i个方格的几何中心与第j个方格的几何中心的距离，并构成方阵D，D中元 素D_ij表达式如下：

其中坐标(O_□xi，O_□yi，O_□zi)和坐标(O_□xi，O_□yj，O_□zj)分别表示第i个方格 的几何中心和第j个方格的几何中心的三维坐标值，第i个方格的几何中心与第j个 方格的几何中心的距离D_ij与第j个方格的几何中心于第i个几何中心的距离D_ji相等， 即D_ij＝D_ji；

2.6)根据间接边界元法，构建第i个方格几何中心的电势表达式：

间接边界元法是利用边界表面电荷密度σ(x)作为未知函数的间接边界积分方 程，求出导体表面的电荷分布，进而求出电容分布，其具体步骤如下：

2.6a)假设普通导体1的电势为1V，导体2的电势为0，根据间接边界元法的基 本理论，可知对于单介质普通导体，在待求解区域中x点的电势满足：

$p\left(x\right)=\frac{1}{{ϵ}_0}\underset{\Gamma }{\int }G(x,x^{,})\sigma \left(x^{,}\right){\mathrm{ds}}^{,},$

其中Γ是待求区域的边界表面，x∈Γ，s’是边界表面Γ上的被积元，x’是被积 元s’上的一点，ε₀为导体的电容率；G(x，x’)是格林函数，对于单介质无限域问题， 采用三维Laplace方程位势问题的基本解其||x-x’||是x 和x’之间的距离；

2.6b)将p(x)式离散化，得到第i＝1，2，...，N个方格的几何中心的电势p_i表 达式：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{1}{{ϵ}_0}\underset{{\Gamma }_j}{\int }\frac{{\sigma }_j\left(x_j\right)}{4\pi \left|\right|x_j-x_i\left|\right|}{\mathrm{ds}}^{,},$

其中，ε₀为导体的电容率，σ_j(x_j)为第j个方格上的面电荷密度，Γ_j为第j个方 格的边界表面，s’是边界表面Γ_j上的被积元，||x_j-x_i||为第j个方格的几何中心与 第i个方格的几何中心之间的距离，N为方格的总数；

2.6c)假设每个方格上的面电荷分布均匀，即则将p_i式写成：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{q_j}{{ϵ}_0{s}_j}\underset{{\Gamma }_j}{\int }\frac{1}{4\pi \left|\right|x_j-x_i\left|\right|}{\mathrm{ds}}^{,},$

其中，q_j为第j个方格上所带的电量，s_j为第j个方格的面积；

2.6d)根据普通导体1和普通导体2都为长方体，得到积分故将上 式简化为：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{q_j}{4\pi {ϵ}_0\left|\right|x_j-x_i\left|\right|};$

2.6e)将||x_j-x_i||表示为D_ij，得到第i个方格几何中心处的电势p_i的计算公式：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{q_j}{4\pi {ϵ}_0{D}_{\mathrm{ij}}},$

其中ε₀为导体的电容率，j为不大于N的正整数，N为方格的总数；

2.7)将q_i看作未知数，计算所有方格的电势p_i：

$p_i=\underset{j=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{D}_{\mathrm{ij}}}{q}_j,i=\mathrm{1,2,3},...,N,$

联立全部p_i式，得到线性方程组Aq＝p；

其中：p是所有电势p_i构成的列向量，p＝[p₁，p₂，p₃，…，p_N]^T，T为矩阵的转置符 号，第i个方格∈普通导体1时，p_i＝1，第i个方格∈普通导体2时，p_i＝0；q是所 有方格电量构成的未知数列向量，q＝[q₁，q₂，q₃，…，q_N]^T；A为线性方程组的系数矩阵， 在i≠j时，矩阵A中的元素

当i＝j时，将对A_ij的值进行特殊定义：

$A_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{2\pi {ϵ}_{0}b}\ln \left[(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}+\frac{b}{a}){(\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}+\frac{a}{b})}^{\frac{b}{a}}\right],$

其中a和b分别表示所计算万格即第i个方格的长和宽；

2.8)利用广义极小残余算法GMRES求解线性方程组Aq＝p，得到未知数向量q 的解值，再用该值计算普通导体1与普通导体2之间的三维电容C₁₂：

首先，将普通导体2的所带电量Q₂表示为：

Q₂＝C₂₂φ₂+C₁₂(φ₂-φ₁)，

其中，φ₁和φ₂分别为普通导体1和普通导体2的电势，C₂₂为普通导体2的自电 容；

由于设普通导体1的电势为1V、普通导体2的电势为0，即φ₁＝1，φ₂＝0，进而 将Q₂可表示为

Q₂＝-C₁₂，

其次，Q₂是普通导体2上所有方格所带电量的总和，即

因此，普通导体1与普通导体2之间的三维电容值为

2.9)按照步骤2.2)到步骤2.8)，计算任意两个普通导体的电容值，并构成矩阵 C，矩阵C中的元素C_st即为编号为s的普通导体与编号为t的普通导体之间的三维电 容值，对于矩阵中s＝t的特殊情况，令式中k为正整数。

步骤3.根据电容的串并联原理计算耦合电容：

3.1)将矩阵C中元素转换成以下形式，并用C′表示：

$C^{\prime }\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{LL}}& C_{\mathrm{LF}}\\ C_{\mathrm{FL}}& C_{\mathrm{FF}}\end{array}\right),$

其中，C_LL为互连线之间的电容值构成的矩阵，C_LF和C_FL为互连线与填充金属之 间的电容值构成的矩阵，C_FF为填充金属之间的电容值构成的矩阵，且

3.2)定义在添加冗余金属填充之后互连线之间的电容矩阵为C_e，利用Batterywala 在“A Statistical Method for Fast and Accurate Capacitance Extraction in the Presence of Floating Dummy Fills”一文中对冗余填充耦合电容设定的计算方法，得到：

$C_e=C_{\mathrm{LL}}-C_{\mathrm{LF}}{C}_{\mathrm{FF}}^{-1}{C}_{\mathrm{FI}}.$

步骤4.将步骤3中计算的电容矩阵C_e的每一个元素数值都赋予相对应的两条互 连线，得到任意两条互连线之间在添加冗余金属填充之后的耦合电容值，实现基于边 界元法的矩形冗余金属填充耦合电容的提取。