基于改进子空间算法的输电塔模态参数识别方法

摘要

本发明公开了基于改进子空间算法的输电塔模态参数识别方法对大跨越输电塔结构，在野外环境激励下，单独利用响应数据完成结构的模态参数识别。识别过程在随机子空间识别原理的基础之上，实现了将多组分组响应数据整合为同步的脉冲响应数据，整合后的数据避免了分组识别带来的拟合误差，实现了数据的同步整体识别，最后利用不同系统阶数下的模态参数识别结果构建稳定图，解决了环境激励下模态参数识别的定阶问题，避免了峰值法等传统方法的模态遗漏和重复现象，给出更加准确稳定的识别结果，并为后续的结构损伤检测和寿命估计奠定了基础。

说明书

技术领域

本发明涉及一种大型结构试验模态分析技术，尤其是一种输电塔 模态参数识别方法。

背景技术

大型结构试验模态分析技术是新世纪开展起来的结构健康安全评 估的有效方法之一。针对输电线路铁塔原型动力特性与动力响应现场 实测是近年才开展起来的。由于试验人员在输电塔原型高压电场附近 高空作业，测量工作条件十分困难；微风时振动信号微弱，对测量传 感器及仪器的信噪比要求高；整塔模态试验为了获得较可靠的振形， 需要较多的测点，对传感器及数采仪要求通道数很多。因此，目前有 关输电塔原型的振动模态现场实测据甚少，整塔的试验模态分析工作 几乎是空白，个别研究工作只做了一阶弯曲模态。

对桥梁、建筑物、输电塔等大型结构进行模态试验，无论是正弦、 随机或者脉冲方式的人为激励都是不可能或不允许的。但是任何大型 结构物都存在一定的振动环境，例如风、水流冲击、大地脉动、移动 的车辆引起的振动等，在这些自然环境的激励下，结构物都会产生微 弱的振动。在强风作用，输电铁塔的环境振动还可能是很大的。虽然 我们对这些激励特性无法精确定量，但并非一无所知，可合理的假定 这些激励是近似的平稳随机信号，其频谱是具有一定带宽的连续谱， 在带宽内基本覆盖了对结构物感兴趣的频带，从而在结构物的自然环 境激励下的振动信号中包含了这些模态。

对结构物振动信号中的振型、阻尼进行识别，可以为后续的有限 元建模、损伤和安全寿命估计等提供可靠的模态参数识别结果。目前 流行且在工程上比较有效地获得的自然环境激励下的振型的方法是 将全部测点在环境激励下的振动响应和某一固定的参考点的振动响 应分别作双通道频谱分析。首先在自功率谱图上识别出共振频率f_i， 再将各测点与参考点在共振频率上的幅值谱之比Φ(f_i)作为该点的振 型的相对值，将它们的互功率谱的实部在此频率上的正负作为该点振 型的相位。

$\left|\Phi \left(f_i\right)\right|=\left|\frac{B\left(f_i\right)}{A\left(f_i\right)}\right|={\left|\frac{B\left(f_i\right)\bar{B}\left(f_i\right)}{A\left(f_i\right)\bar{A}\left(f_i\right)}\right|}^{\frac{1}{2}}={\left|\frac{G_{\mathrm{bb}}\left(f_i\right)}{G_{\mathrm{aa}}\left(f_i\right)}\right|}^{\frac{1}{2}}---\left(1\right)$

sgn(Φ(f_i))＝sgn(Real(G_ba(f_i))              (2)

其中A(f_i)为参考点信号的傅氏变换，B(f_i)为测量点信号的傅氏变换， G_aa(f_i)、G_bb(f_i)分别为参考点信号、测量点信号的自功率谱，G_ba(f_i)为 测量点信号与参考点信号的互功率谱。

环境激励的模态识别方法单独利用响应数据进行模态参数识别， 不需人为激励，从而大大节省了试验设备的成本。并且避免了人为激 励，如发射火箭或切断预拉力钢丝，造成突发冲击等引起的结构损伤。 而且方法在结构物真实支承状态下进行，便于与理论计算进行比较。

近年来关于环境激励下工程结构的模态参数识别方法主要分为 时域分析和频域分析。

频域识别方法主要有峰值发、频域分解法。这两种方法具有快速、 方便和经济的优点，但是前者峰值的拾取往往是主观的，得到的是结 构工作挠曲形状而不是振型，仅限于实模态和比例阻尼结构，不能识 别复杂模态和阻尼比。后者是峰值拾取法的延伸，克服了峰值拾取法 的不足，但不能识别密集模态。

目前，大型结构环境激励模态参数的识别一般采用频域方法，各 阶模态阻尼根据全部响应点信号的集总平均谱，人为进行模态定阶。

传统的频域识别算法，如：峰值法、NExT算法等可以较为准确的 识别固有频率值，但是在环境激励的条件下很难有效确定模态阶数， 很容易受到周期信号干扰，而且振型的识别精度较差。

随机子空间识别方法是1995年以来国内外模态分析的一个热 点。它充分利用了矩阵QR分解，奇异值分解SVD，最小二乘法等强 大的数学工具，使得该算法非常有效的进行环境激励下参数识别，是 目前最先进的结构环境振动模态参数识别方法。

由于随机子空间识别方法是一种时域算法，当结构所有测试点数 据同步采集、测量时对于识别精度的提高有很好的效果。但是由于受 到测试条件的限制，大型输电塔框架尺寸较大，为了表征系统的固有 特性，需要很多测量自由度。而现场难于多测点同时测量，一般采用， 固定参考点，移动测量点的试验方法。当前通常采用的方法是选择好 固定的参考点位置后，分批次逐步完成整个结构的测试。但分批次测 量后存在数据整合的问题，难以避免整合过程带来的拟合误差。

发明内容

本发明的目的就是为了解决克服现有基于环境激励下频域识别 算法的局限性以及大型结构无法同步测量所有测试点的困难，对现有 随机子空间模态参数识别算法进行改进，提高模态参数的识别精度， 改善人为模态定阶的缺陷。

本发明的技术方案是提供一种基于改进子空间算法的输电塔模 态参数识别方法，其特征在于：其包括以下步骤：

1)在输电塔上设置一个参考点和多个测量点，分步采集环境激 励下参考点和测量点的振动响应信号，计算其自功率谱和互功率谱；

2)由该互功率谱得到互相关序列组成hankel矩阵；

3)计算该hankel矩阵的投影矩阵；

4)对该投影矩阵加权处理；

5)对步骤4)中加权处理后的投影矩阵进行奇异值分解；

6)根据随机子空间理论计算输电塔系统的离散状态空间方程的 卡尔曼滤波状态向量；

7)根据输电塔系统离散状态空间方程求解系统状态矩阵和输出 矩阵；

8)根据系统状态矩阵和输出矩阵求解系统模态参数；

9)重复步骤7)和8)，获得不同阶次的输电塔系统的模态参数， 建立系统模态参数的稳定图。

优选的，所述步骤2)中组成的hankel矩阵为：

该Hankel矩阵是由测量点的响应数据y_k组成的2mi×j矩阵，y_i表 示i时刻所有测量点的响应，下标p表示过去，下标f表示将来， Y_p＝Y_0|i-1为Hankel矩阵第一列中的下标起始为0，终点为i-1的元素对 应的所有的行和列组成的Hankel矩阵的块，表示过去行空间， Y_f＝Y_i-1|2i-1为Hankel矩阵的后i行，表示将来行空间。

优选的，所述步骤3)中求解hankel矩阵的投影矩阵的步骤为：

3.1)求振动响应信号的将来行空间到过去行空间的投影O_i，求 解公式为：

$O_i=Y_f/Y_p=Y_f{Y}_p^T{\left(Y_p{Y}_P^T\right)}^{+}{Y}_p,$

式中，(·)⁺表示矩阵求广义逆，(·)^T表示矩阵求转置；

3.2)根据随机子空间理论，所识别输电塔系统的离散状态空间方 程为：

x_k+1＝Ax_k+ρ_w

y_k＝Cx_k+ρ_v

式中A，C分别表示n×n阶系统状态矩阵和m×n阶输出矩阵，该离 散状态空间模型的阶数为n，ρ_w，ρ_v分别为过程噪音和测量噪音；x_k为k时刻的系统状态向量，y_k为系统的k时刻的振动响应向量；系统 模态参数由系统状态矩阵A的特征值和特征向量，以及系统输出矩阵 C表示。

3.3)根据随机子空间识别理论，投影矩阵O_i可以分解为可控可 观矩阵Γ_i和卡尔曼滤波状态向量的乘积，即：

$O_i={\Gamma }_i{\hat{X}}_i=\left(\begin{array}{c}C\\ \mathrm{CA}\\ {\mathrm{CA}}^2\\ ···\\ {\mathrm{CA}}^{i-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}{\hat{x}}_i& {\hat{x}}_{i+1}& {\hat{x}}_{i+2}& & {\hat{x}}_{i+j-1}\end{array}\right)$

式中，为卡尔曼滤波状态向量，是系统状态向量x_k的最优估计 值；Γ_i为由系统状态矩阵A和输出矩阵C构成的可控可观矩阵。

优选的，步骤4)中采用主分量PC方法对投影矩阵进行加权处理， 其方法是：首先，设加权矩阵为：

W₁＝I

$W_2=Y_P^T{\left(Y_p{Y}_P^T\right)}^{1/2}{Y}_p$

式中，I为单位矩阵；

代入投影矩阵O_i，获得加权后的投影矩阵为：

$O_i^{\prime }=W_1{O}_i{W}_2=Y_f{Y}_P^T{\left(Y_p{Y}_P^T\right)}^{-1/2}{Y}_p.$

优选的，步骤5)对步骤4)中加权处理后的投影矩阵进行奇异 值分解的步骤为：

5.1)对投影矩阵进行奇异分解，确定投影矩阵的系统阶数：

$O_i^{\prime }=W_1{O}_i{W}_2=\mathrm{U\Sigma V}=\left(\begin{array}{cc}{U}_r& U_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{S}_r& \\ & S_s=0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_r\\ V_s\end{array}\right){U_r^{T}S}_r{V}_r^T,$

式中，U_r，S_r，V_r为主分量的左奇异值向量、奇异值和右奇异值 向量；U_s，S_s，V_s为噪声分量的左奇异值向量、奇异值和有奇异值向 量；U，V为正交矩阵；S为由从大到小排列的奇异值组成的对角矩 阵；

根据投影矩阵的奇异值分解得到以下结果：

1)加权后的投影矩阵O′_i等于可控可观矩阵Γ_i和卡尔曼滤波状态 向量的乘积：

2)投影矩阵的系统阶数为公式中奇异值矩阵中不为零的奇异值 数；

3)可控可观矩阵为：

4)i时刻的卡尔曼滤波状态向量为：

5.2)根据权利要求2所述的Hankel矩阵的第二种分块方法，投 影矩阵用下式表达：

$O_{i-1}^{\prime }=Y_f^{-}/Y_p^{+}={\Gamma }_{i-1}·{\hat{X}}_{i+1};$

则i+1时刻的卡尔曼滤波状态向量为：

Γ_i-1为Γ_i剔除最后一块行所得的矩阵。

优选的，由可知，卡尔曼滤波状态向量仅用振动响应数据即可得到；

最后将求得的卡尔曼滤波状态向量代入输电塔系统离散状态空 间方程得：$\left(\begin{array}{c}{\hat{X}}_{i+1}\\ Y_{i|i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A\\ C\end{array}\right)\left({\hat{X}}_i\right)+\left(\begin{array}{c}{\rho }_w\\ {\rho }_v\end{array}\right),$式中，ρ_w，ρ_v为卡尔曼滤波最佳 估计的残差；Y_i|i表示Hankel矩阵第一列中的下标起始为i，终点为i的 元素对应的所有的行和列组成的Hankel矩阵的块，表示只有一个块 行的Hankel矩阵。

优选的，由于卡尔曼滤波状态向量和振动响应数据已知，ρ_ω，ρ_v和相互独立，利用数值计算领域广泛应用的最小二乘法求解输电塔 系统离散状态空间方程，得到线性方程：由此方程求 解出系统状态矩阵A和输出矩阵C。

优选的，所述步骤6)还包括以下步骤：

6.1)对系统状态矩阵A进行特征值分解：

A＝ψΛψ^-1

式中：Λ＝diag(λ_i)，是系统状态矩阵的复特征值的对角阵，ψ是 特征向量矩阵；

6.2)根据系统状态矩阵的特征值求系统的固有频率和阻尼比：

其中，系统状态矩阵的复特征值λ_i，是λ_i的共轭复数。

根据随机子空间理论，对于单位采样间隔时间的输电塔系统，系 统第i阶固有频率

系统第i阶阻尼比

8.3)由输出矩阵C和系统状态矩阵的调整向量得到系统第i阶振 型为：

优选的，步骤9)中建立稳定图并识别系统稳定、正确模态参数 的方法为：

设所识别输电塔系统的离散状态空间方程阶次为n，得到多个不 同阶次的离散状态空间方程，对每个方程进行模态参数识别，将得到 的所有模态参数绘制在二维坐标图中，坐标图的横坐标为频率值，纵 坐标为离散方程的阶数，便可得到稳定图；

稳定图把不同阶次方程的模态参数画在同一幅图上，在相应于系 统某阶固有频率的轴上，高一阶状态空间方程识别的模态参数同低一 阶状态空间方程识别的模态参数相比较，如果固有频率、阻尼比和模 态振型的差异小于预设的限定值，则这个点就称为稳定点，稳定点组 成的轴为稳定轴，相应的模态参数即为系统的模态参数；限定值取固 有频率＜1％，阻尼比＜5％，模态振型＜2％，即稳定轴要求为：

$\frac{|{\omega }^{\left(n\right)}-{\omega }^{(n+1)}|}{f^{\left(n\right)}}\times 100\%<1\%$

$\frac{|{\xi }^{\left(n\right)}-{\xi }^{(n+1)}|}{{\xi }^{\left(n\right)}}\times 100\%<5\%$

(1-MAC(n，n+1))×100％＜2％

式中n表示输电塔系统离散状态空间方程的阶次，阶次为n的状 态空间方程计算得到系统的模态参数为：固有频率ω⁽ⁿ⁾，阻尼比ξ⁽ⁿ⁾， 模态振型MAC表示模态保证准则：

优选的，所述步骤2)中设参考点为j，响应点数为i，两点之间 的互相关函数的表达式为：

$R_{\mathrm{ij}}=\underset{r=1}{\overset{N}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{ijr}}\exp (-{\xi }_r{\omega }_{\mathrm{nr}}t)\sin ({\omega }_{\mathrm{dr}}t+\theta );$

A_cmr为幅值，ξ_r为阻尼比，ω_nr为固有频率，ω_dr共振频率，r为 模态阶数，N为总的模态阶数；

用该互相关函数代替振动响应信号，对步骤1)中计算得到的互 功率谱进行反傅里叶变换，得到互相关函数：R_ij＝ifft(F_ij)，式中F_ij为 互功率谱，由响应点i和参考点j的自功率谱计算得到；

建立所述Hankel矩阵：

式中，r_i为互相关函数矩阵中的第i列，与i时刻的响应信号相对 应，R_p＝R_0|i-1为Hankel矩阵的前i行，表示过去行空间，R_f＝R_i-1|2i-1为Hankel矩阵的后i行，表示将来行空间。

本发明的基于改进子空间算法的输电塔模态参数识别方法对大 跨越输电塔结构，在野外环境激励下，单独利用响应数据完成结构的 模态参数识别。识别过程在随机子空间识别原理的基础之上，实现了 将多组分步响应数据整合为同步的脉冲响应数据，整合后的数据避免 了分组识别带来的拟合误差，实现了数据的同步整体识别，最后利用 不同阶数下的识别结果构建稳定图，解决了环境激励下模态参数识别 的定阶问题，避免了峰值法等传统方法的模态遗漏和重复现象，给出 更加准确稳定的识别结果，并为后续的结构损伤检测和寿命估计奠定 了基础。

附图说明

图1是本发明的基于改进子空间算法的输电塔模态参数识别方 法的流程图；

图2是稳定图生成原理图。

具体实施方式

下面对本发明的具体实施方式作进一步详细的描述。

如图1和图2所示，本发明的一种基于改进子空间算法的输电塔 模态参数识别方法，其包括以下步骤：

1、在输电塔上设置参考点和多个测量点，采集输电塔在环境激励下 的振动响应信号，并计算其互动功率谱。

2、应用随机子空间算法理论求解所有测点的响应的投影矩阵

1)首先是建立Hankel矩阵，将测点振动响应数据y(k)组成2m×j 的Hankel矩阵(Hankel矩阵是交叉对角线上具有元素相同的矩阵)。 把Hanke l矩阵的行空间分成“过去”行空间和“将来”行空间：

y_i表示i时刻所有测量点的响应，下标p表示过去，下标f表示将 来，Y_p＝Y_0|i-1为Hankel矩阵第一列中的下标起始为0，终点为i-1的 元素对应的所有的行和列组成的Hankel矩阵的块，表示过去行空间， Y_f＝Y_i-1|2i-1为Hankel矩阵的后i行，表示将来行空间。

Hankel矩阵的另外一种划分方法是，将“将来”行空间的第一 块行移到“过去”行空间中，即“过去”的块行数为i+1，“将来”的 块行数为i-1。

$H=Y_{0|2i-1}==\left[\frac{Y_{0|i}}{Y_{i+1|2i-1}}\right]=\left[\frac{Y_p^{+}}{Y_f^{-}}\right]---\left(2\right)$

2)求响应的将来行空间到过去行空间的投影

$O_i=Y_f/Y_p=Y_f{Y}_p^T{\left(Y_p{Y}_P^T\right)}^{+}{Y}_p---\left(3\right)$

其中(·)⁺表示求广义逆，(·)^T表示求转置。

3)根据随机子空间理论，所识别输电塔系统的离散状态空间方 程表示为：

x_k+1＝Ax_k+ρ_w      (4)

y_k＝Cx_k+ρ_v

式中，A，C分别表示n×n阶系统状态矩阵和m×n阶和输出矩阵， 离散状态空间方程的阶次为n，ρ_w，ρ_v分别为过程噪音和测量噪音。 x_k为k时刻的系统状态向量，y_k为系统的k时刻的振动响应向量。系 统的模态参数由系统状态矩阵A的特征值和特征向量，以及系统输出 矩阵C表示。

根据随机子空间识别理论，投影矩阵O_i可以分解为可观矩阵Γ_i和 卡尔曼滤波状态向量的乘积。

$O_i={\Gamma }_i{X}_i=\left(\begin{array}{c}C\\ \mathrm{CA}\\ {\mathrm{CA}}^2\\ ···\\ {\mathrm{CA}}^{i-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}{\hat{x}}_i& {\hat{x}}_{i+1}& {\hat{x}}_{i+2}& & {\hat{x}}_{i+j-1}\end{array}\right)---\left(5\right)$

式中，为卡尔曼滤波滤波状态向量，是系统状态向量x_k的最优 估计值；Γ_i为由系统状态矩阵A和输出矩阵C构成的可控可观矩阵。

3、投影矩阵的模态参数识别

随机子空间模态参数识别方法通过对投影矩阵采用不同的加权 处理方式，将产生不同的识别算法。采用主分量PC方法对投影矩阵 进行加权处理：

设加权矩阵为：

W₁＝I

(6)

$W_2=Y_P^T{\left(Y_p{Y}_P^T\right)}^{1/2}{Y}_p$

式中，I为单位矩阵；代入投影矩阵O_i，获得加权后的投影矩阵 为：

$O_i^{\prime }=W_1{O}_i{W}_2=Y_f{Y}_P^T{\left(Y_p{Y}_P^T\right)}^{-1/2}{Y}_p.---\left(7\right)$

对加权处理后的投影矩阵进行奇异值分解，确定投影矩阵的系统 阶数：

$O_i^{\prime }=W_1{O}_i{W}_2=\mathrm{U\Sigma V}=\left(\begin{array}{cc}{U}_r& U_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{S}_r& \\ & S_s=0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_r\\ V_s\end{array}\right){U_r^{T}S}_r{V}_r^T,---\left(8\right)$

式中，U_r，S_r，V_r为主分量的左奇异值向量、奇异值和右奇异值 向量；U_s，S_s，V_s为噪声分量的左奇异值向量、奇异值和有奇异值向 量；U，V为正交矩阵；S为由从大到小排列的奇异值组成的对角矩 阵；

根据投影矩阵的奇异值分解得到以下结果：

A.加权后的投影矩阵O′_i等于可控可观矩阵Γ_i和卡尔曼滤波状态 向量的乘积：

B.投影矩阵的系统阶数为公式中奇异值矩阵中不为零的奇异值 数；

C.可控可观矩阵为：

${\Gamma }_i=U_r{S}_r^{1/2};$

D.状态向量的卡尔曼滤波估计为：

根据Hankel矩阵的第二种分块方法，投影矩阵用下式表达：

$O_{i-1}^{\prime }=Y_f^{-}/Y_p^{+}={\Gamma }_{i-1}·{\hat{X}}_{i+1};$

则下一时刻的卡尔曼滤波状态向量为：

Γ_i-1为Γ_i剔除最后一块行所得的矩阵。

计算投影矩阵的卡尔曼状态向量：

由可知，卡尔曼滤波状态向量仅 用振动响应数据即可得到；

最后将求得的卡尔曼滤波状态向量代入系统离散状态空间方程：

$\left(\begin{array}{c}{\hat{X}}_{i+1}\\ Y_{i|i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A\\ C\end{array}\right)\left({\hat{X}}_i\right)+\left(\begin{array}{c}{\rho }_w\\ {\rho }_v\end{array}\right)---\left(11\right)$

式中，ρ_w，ρ_v为卡尔曼滤波最佳估计的残差；Y_i|i是只有一个块 行的Hankel矩阵。

由于卡尔曼状态向量和振动响应数据已知，ρ_ω，ρ_v和相互独 立，因此根据最小二乘求解状态方程，得到线性方程：

由此方程可求解出系统状态矩阵A和输出矩阵C

对系统状态矩阵A进行特征值分解：

A＝ψΛψ^-1    (13)

式中：Λ＝diag(λ_i)，是离散空间系统状态矩阵的复特征值的对角 阵，Ψ是特征向量矩阵；

根据随机子空间理论输电塔系统第i阶固有频率：

${\omega }_i=\sqrt{\ln \left({\lambda }_i\right)\ln \left(\overline{{\lambda }_i}\right)}---\left(16\right)$

系统第i阶阻尼比：

${\xi }_i=\frac{\ln \left({\lambda }_i\overline{{\lambda }_i}\right)}{2}---\left(17\right)$

由离散空间输出矩阵C和离散空间系统状态矩阵的特征向量得 到系统第i阶振型为：

4、建立稳态图

在子空间识别结构模态参数的方法中，确定系统的阶次是该方法 的关键。奇异值分解确定系统阶次，得到的结果不是很理想。稳定图 方法是一种比较新颖的确定系统阶次的方法，同时可以从诸多模态中 鉴别真假模态。可用于有较强噪声情形下的模态识别，尤其适合环境 激励下的模态定阶。那些满足条件的稳定极点理论上被认为是系统的 真实极点。

设所识别系统的离散状态空间方程阶次为n，得到多个不同阶次 的离散状态空间方程，对每个模型进行模态参数识别，将得到的所有 模态参数绘制在二维坐标图中，坐标图的横坐标为频率值，纵坐标 为离散状态方程的阶次，便可得到稳定图。稳定图把不同阶次状态方 程的模态参数画在同一幅图上，在相应于系统某阶固有频率的轴上， 高一阶状态方程识别的模态参数同低一阶状态方程识别的模态参数 相比较，如果固有频率、阻尼比和模态振型的差异小于预设的限定值， 则这个点就称为稳定点，稳定点组成的轴为稳定轴，相应的模态参数 即为系统的模态参数。限定值一般取固有频率＜1％，阻尼比＜5％，模 态振型＜2％，即稳定轴要求为：

$\frac{|{\omega }^{\left(n\right)}-{\omega }^{(n+1)}|}{f^{\left(n\right)}}\times 100\%<1\%$

$\frac{|{\xi }^{\left(n\right)}-{\xi }^{(n+1)}|}{{\xi }^{\left(n\right)}}\times 100\%<5\%---\left(19\right)$

(1-MAC(n，n+1))×100％＜2％

式中n表示输电塔系统离散状态空间方程的阶次，阶次为n的状 态空间方程计算得到系统的模态参数为：固有频率ω⁽ⁿ⁾，阻尼比ξ⁽ⁿ⁾， 模态振型MAC表示模态保证准则：

5、构造Hankel矩阵的方法还可以进行改进：

对于时域算法，各测点的振动数据同步采集测量，对于识别精度 的提高效果很好，但由于受到测试条件和手段的限制，对于大型输电 塔结构很难同步测量所有测试点振动数据。选择好固定的参考点位置 后，分批次逐步完成整个结构的测试是当前采用的主要方法。但分批 次测量后存在数据整合的问题，难以避免整合过程带来的拟合误差。 为提高振型的拟合识别精度，对现有算法进行改良。

从采集的数据入手，设参考点为j，响应点数为i，两点之间的 互相关函数的表达式为：

$R_{\mathrm{ij}}=\underset{r=1}{\overset{N}{\Sigma }}{A}_{\mathrm{ijr}}\exp (-{\xi }_r{\omega }_{\mathrm{nr}}t)\sin ({\omega }_{\mathrm{dr}}t+\theta )---\left(21\right)$

A_cmr为幅值，ξ_r为阻尼比，ω_nr为固有频率，ω_dr共振频率，r为 模态阶数，N为总的模态阶数；

它同脉冲响应函数具有相似的表达式，二者都能表示为衰减正弦 函数的和，并且每个衰减正弦都有一个自然频率和阻尼比同结构的各 阶模态相对应。由此可见，上式右边包含了系统的全部模态参数，这 就确定了响应信号的互相关函数与模态参数之间的关系。

为了使得不同时间采集得到的各组实验数据同步，对互功率谱进 行反傅里叶变换，得到互相关函数：

R_ij＝ifft(F_ij)                               (22)

F_ij为互功率谱，由响应点i和参考点j的自功率谱计算得到。

用互相关函数代替响应信号，重新建立Hankel矩阵：

式中，r_i为互相关函数矩阵中的第i列，与i时刻的响应信号相对 应。

利用新的Hankel矩阵，进行分解和计算，这样就得到了分步测 量，整体识别的输电塔模态参数随机子空间识别算法。

以上实施例仅为本发明其中的一种实施方式，其描述较为具体和 详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的 是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下， 还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此， 本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。